2023年中考數(shù)學(xué)考前第11講：思想方法性問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第U講：思想方法性問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)思想方法是指對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學(xué)問題的根本

策略.數(shù)學(xué)思想方法是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，靈活運用各種數(shù)學(xué)思想方法是提高解題能

力的根本所在.因此，在復(fù)習(xí)時要注意總結(jié)體會教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)

學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識和能力.

類型一分類討論思想

分類討論思想是指當被研究的問題存在一些不確定的因素，無法用統(tǒng)一的方法或結(jié)論給

出統(tǒng)一的表述時，按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各情況下相應(yīng)的結(jié)論.分類的原

則：⑴分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類必須是同一個標準；⑶分類討論要逐

級進行：⑷分類必須包含所有情況，既不能重復(fù)，也不能有遺漏.

類型二數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是把抽象思維和形象思維結(jié)合起來分析問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀

的圖形語言結(jié)合起來表示問題，從而解決問題的數(shù)學(xué)思想.運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，關(guān)

鍵是要找到數(shù)與形的契合點.數(shù)形結(jié)合在不等式（組）、函數(shù)等知識中有著廣泛的應(yīng)用，綜合

題中始終滲透著對數(shù)形結(jié)合思想的考查.

類型三轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問題時的基本思想是化未知為已知,

把復(fù)雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)的問題化為常規(guī)問題，把實際問題數(shù)

學(xué)化，實現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問題化為有章可循、容

易解決問題的思想.

類型四數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的思想，即用數(shù)學(xué)的語言一一公式、符號、圖表等刻畫

一個實際問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)的處理一一計算解決問題.利用模型思想解決問題的關(guān)鍵：（1）

抓住關(guān)鍵的字、詞、句，把生活中的語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，結(jié)合生活中的經(jīng)驗，靈活運用數(shù)

學(xué)知識進行解決；（2）充分利用各種數(shù)學(xué)思想把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后解答.

【例題1】分類討論思想

將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a（0o<a<360。），得到矩形AEFG.

（1）如圖，當點E在BD上時，求證：FD=CD;

第1頁共30頁

(2)當α為何值時，GC=GB?畫出圖形，并說明理由.

備用圖

【例題2】數(shù)形結(jié)合思想

如圖，在在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90o,且AD=12cm,AB=8cm,DC=IOcm,若動點

P從A點出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段AD向點D運動；動點Q從C點出發(fā)以每秒3cm

的速度沿CB向B點運動，當P點到達D點時，動點P、Q同時停止運動，設(shè)點P、Q同時

出發(fā)，并運動了t秒，回答下列問題：

(1)BC=18cm：

(2)當t=述秒時,四邊形PQBA成為矩形.

5

(3)當t為多少時，PQ=CD?

(4)是否存在t,使得ADQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理

第2頁共30頁

【例題3】轉(zhuǎn)化與化歸思想

（如圖1,研究發(fā)現(xiàn)，科學(xué)使用電腦時，望向熒光屏幕畫面一的“視線角”α約為20。，而當手指

接觸鍵盤時，肘部形成的“手肘角邛約為100°.圖2是其側(cè)面簡化示意圖，其中視線AB水平,

且與屏幕BC垂直.

（1）若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時，求眼睛與屏幕的最短距離AB的長；

⑵若肩膀到水平地面的距離DG=IOOCm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤上，

其到地面的距離FH=72cm.請判斷此時β是否符合科學(xué)要求的100°?

（參考數(shù)據(jù)：sin69?！?，cos21o≈jj,tan20o≈^?,tan43o≈∣∣,所有結(jié)果精確到個位）

第3頁共30頁

【例題4】方程思想

(如圖，C,D是以AB為直徑的。O上的點，AC=BC,弦CD交AB于點E.

(1)當PB是。O的切線時，

求證：ZPBD=ZDABi

(2)求證：BC2-CE2=CEDE;

(3)已知0A=4,E是半徑OA的中點，求線段DE的長.

【例題5】函數(shù)思想

在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3.

(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長分別為X,y.

①求y關(guān)于X的函數(shù)表達式；

②當yN3時，求X的取值范圍：

(2)圓圓說其中有一個矩形的周長為6,方方說有一個矩形的周長為10,你認為圓圓和方方

的說法對嗎？為什么？

第4頁共30頁

一、選擇題：

1.已知函數(shù)y=(k-3)χ2+2x+l的圖象與X軸有交點，則k的取值范圍是(B)

A.k<4B.k<4C.k<4且"3D.k"且23

2.如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、E、F六個點，每兩個相鄰的點的距離相等，那么下列說法

中錯誤的是()

A.表示.原點的數(shù)在C、D之間B.有三個點表示的數(shù)是負數(shù)

C.這六個數(shù)中沒有表示整數(shù)的點D.C點與原點最接近

ABCDEF

3.某天小明騎自行車上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，修車耽誤了一段時間后繼續(xù)騎行，按

時趕到了學(xué)校.如圖描述了他上學(xué)的情景，下列說法中錯誤的是()

B.學(xué)校離家的距離為2000米

C.到達學(xué)校時共用時間20分鐘

D.自行車發(fā)生故障時離家距離為IOoo米

4.如圖是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P

是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使aABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是()

A.2個B.3個C.4個D.5個

5.如圖，拋物線y=aχ2+bx+c的圖象交X軸于A(-2,0)和點B,交y軸負半軸于點C,

且OB=OC.下列結(jié)論：①2b—c=2；②a=1；③ac=b-1；醉土龍>0.其中正確的個數(shù)有

2c

第5頁共30頁

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：

6.AsB兩地相距450km,甲，乙兩車分別從A,B兩地同時出發(fā)，相向而行.已知甲車速

度為120km/h,乙車速度為80km/h,過t(h)后兩車相距50km,則t的值是.

7.如圖，在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E、F分別在BC、CD±,若AE=JmNEAF=45°,

則AF的長為—.

8.如果等腰三角形中的一個角是另一個角度數(shù)的一半，則該等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)

是.

9.如圖所示，在aABC中，ZB=90",AB=6厘米，BC=3厘米，點P從點A開始沿AB邊向B

以2厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以1厘米/秒的速度移動，如果P、

Q分別從A、B同時出發(fā)，秒鐘后P、Q間的距離等于2、西厘米。

10.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m,8m,現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三

角形,且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形,擴充后等腰三角形綠地的周長.

三、解答題：

11.已知AABC中，AB=20,AC=15,BC邊上的高為12,求AABC的面積.

第6頁共30頁

12.(某班級同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去扎龍自然保護區(qū)研學(xué)旅行，一部分乘坐大客車先出發(fā)，余下的

幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行，大客車中途停車等候，小轎車趕上來之后，大

客車以出發(fā)時速度的”繼續(xù)行駛，小轎車保持原速度不變.小轎車司機因路線不熟錯過了景

7

點入口，在駛過景點入口6km時，原路提速返回，恰好與大客車同時到達景點入口.兩車

距學(xué)校的路程s(km)和行駛時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

請結(jié)合圖象解決下面問題：

------小轎車

-------大客車

s/km

D

(1)學(xué)校到景點的路程為—km,大客車途中停留了—min,a=—；

(2)在小轎車司機駛過景點入口時，大客車離景點入口還有多遠？

(3)小轎車司機到達景點入口時發(fā)現(xiàn)本路段限速80km/h,請你幫助小轎車司機計算折返時是

否超速？

(4)若大客車一直以出發(fā)時的速度行駛，中途不再停車，那么小轎車折返后到達景點入口，

需等待一分鐘，大客車才能到達景點入口.

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13.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=幺(×>0)的圖象交于A(m,6),B(3,n)

X

兩點.

(1)直接寫出m=,n=；

(2)根據(jù)圖象直接寫出使kx+b<$成立的X的取值范圍：

X

(3)在X軸上找一點P使PA+PB的值最小，求出P點的坐標.

14."五?一"期間，小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩，在村頭A處小明接到小陳發(fā)來的定位,

發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45。方向，于是沿河邊筆直的綠道I步行200米到達B處，這

時定位顯示小陳家C在自己的北偏東30。方向，如圖所示，根據(jù)以上信息和下面的對話，請

你幫小明算一算他還需沿綠道繼續(xù)直走多少米才能到達橋頭D處(精確到1米)(備用數(shù)據(jù):

Ji=I.414,75≈1.732)

第8頁共30頁

15.(如圖，已知拋物線y=aχz+bx+6(a≠θ)與X軸交于點A(-3,0)和點B(l,0),與y軸交于

點C.

(1)求拋物線y的函數(shù)表達式及點C的坐標；

(2)點M為坐標平面內(nèi)一點，若MA=MB=MC,求點M的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點E,使4tan∕ABE=IItanNACB?若存在，求出滿足條件的所有

點E的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖

第9頁共30頁

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第U講：思想方法性問題答案解

析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

數(shù)學(xué)思想方法是指對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學(xué)問題的根本

策略.數(shù)學(xué)思想方法是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，靈活運用各種數(shù)學(xué)思想方法是提高解題能

力的根本所在.因此，在復(fù)習(xí)時要注意總結(jié)體會教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)

學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識和能力.

類型一分類討論思想

分類討論思想是指當被研究的問題存在一些不確定的因素，無法用統(tǒng)一的方法或結(jié)論給

出統(tǒng)一的表述時，按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各情況下相應(yīng)的結(jié)論.分類的原

則：⑴分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類必須是同一個標準；⑶分類討論要逐

級進行：（4）分類必須包含所有情況，既不能重復(fù)，也不能有遺漏.

類型二數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是把抽象思維和形象思維結(jié)合起來分析問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的

圖形語言結(jié)合起來表示問題，從而解決問題的數(shù)學(xué)思想.運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，關(guān)鍵

是要找到數(shù)與形的契合點.數(shù)形結(jié)合在不等式（組）、函數(shù)等知識中有著廣泛的應(yīng)用，綜合題

中始終滲透著對數(shù)形結(jié)合思想的考查.

類型三轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問題時的基本思想是化未知為已知,

把復(fù)雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)的問題化為常規(guī)問題，把實際問題數(shù)

學(xué)化，實現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問題化為有章可循、容

易解決問題的思想.

類型四數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的思想，即用數(shù)學(xué)的語言一一公式、符號、圖表等刻畫

一個實際問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)的處理一一計算解決問題.利用模型思想解決問題的關(guān)鍵：⑴

抓住關(guān)鍵的字、詞、句，把生活中的語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，結(jié)合生活中的經(jīng)驗，靈活運用數(shù)

學(xué)知識進行解決；（2）充分利用各種數(shù)學(xué)思想把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后解答.

【例題1】分類討論思想

（將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0yα<36（）θ）,得到矩形AEFG.

第10頁共30頁

(1)如圖，當點E在BD上時，求證：FD=CD;

(2)當α為何值時，GC=GB?畫出圖形，并說明理由.

備用圖

【分析】(1)先判定四邊形BDFA是平行四邊形，可得FD=AB,再根據(jù)AB=CD,即可得

出FD=CD:

(2)當GC=GB時，點G在BC的垂直平分線上，分情況討論，即可得到旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【解答】⑴如圖1,連接AE

BA

圖1

由四邊形ABCD是矩形，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可得BD=AF,NEAF=NABD.

VAB=AE,ΛZABD=ZAEB,

ΛZEAF=ZAEB,ΛBD√AF,

二四邊形BDFA是平行四邊形，.?.FD=AB.

VAB=CD,ΛFD=CD.

(2)如圖2,當點G位于BC的垂直平分線上，且在BC的右邊時，連接DG,CG,BG,

第11頁共30頁

F

D

BA

圖2

易知點G也是AD的垂直平分線上的點，.?.DG=AG.

?'??ADG是等邊二角形，

.?.NDAG=60°,.?.α=60°.

如圖3,當點G位于BC的垂直平分線上，且在BC的左邊時，連接CG,BG,DG,

同理，AADG是等邊三角形，

；.ZDAG=60。，此時a=300。.

綜上所述，當a為60?；?00。時?，GC=GB.

【歸納】在數(shù)學(xué)中，如果一個命題的條件或結(jié)論有多種可能的情況，難以統(tǒng)一解答，那么就

需要按可能出現(xiàn)的各種情況分類討論，最后綜合歸納問題的正確答案.

【例題2】數(shù)形結(jié)合思想

如圖，在在四邊形ABCD中，AD〃BC,NB=90。，且AD=12cm,AB=8cm,DC=IOcm,若動點

P從A點出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段AD向點D運動：動點Q從C點出發(fā)以每秒3cm

的速度沿CB向B點運動，當P點到達D點時，動點P、Q同時停止運動，設(shè)點P、Q同時

出發(fā),,并運動了t秒，回答下列問題：

(1)BC=18cm：

第12頁共30頁

(2)當t=￡■秒時,四邊形PQBA成為矩形.

5

(3)當t為多少時，PQ=CD?

(4)是否存在t,使得ADQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由.

【解答】解：根據(jù)題意得：PA=2t,CQ=3t,則PD=AD-PA=I2-23

(1)如圖，過D點作DEJ_BC于E,則四邊形ABED為矩形，

/.DE=AB=8cm,AD=BE=12cm,

在RtZ?CDE中，VZCED=90o,DC=10cm,DE=8cm,

?■?EC=VDC2-DE2=6cm,

BC=BE+EC=18cm.

故答案為18；

(2)VAD√BC,ZB=90β

當PA=BQ時，四邊形PQBA為矩形，

即2t=18-3t,

解得t=單秒，

故當t=畢秒時，四邊形PQBA為矩形；

5

故答案為畢；

5

(3)

①當PQ〃CD時，如圖，

VADΛzBC,

???四邊形CDPQ是平行四邊形，

ΛP,Q,=CD,DP,=CQ',

Λ12-2t=3t,

.??H?L?秒，

5

②如圖，梯形PDCQ是等腰梯形時，PQ=CD,

第13頁共30頁

易證，四邊形PDEF是矩形,

ΛEF=DP=12-2t,

易證，Z?CDE絲ZXQPF,

ΛFQ=CE=G,

ΛCQ=FQ+EF+CE=6+12-2t+6=3t,

Λt=21

5

（4）4DQC是等腰三角形時，分三種情況討論:

①當QC=DC時，即3t=10,

3

②當DQ=DC時，—=6,

2

Λt=4;

6

③當QD=QC時，3t?左=5,

?.痔

故存在使得是等腰三角形，此時的值為空■秒或

3ADQCt4秒.

3

【歸納】把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何圖形有機地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合

尋找解題的思路，使問題得以解決.

【例題3】轉(zhuǎn)化與化歸思想

（如圖1,研究發(fā)現(xiàn)，科學(xué)使用電腦時，望向熒光屏幕畫面的“視線角''α約為20。，而當手指

接觸鍵盤時，肘部形成的“手肘角''β約為100。.圖2是其側(cè)面簡化示意圖，其中視線AB水平,

且與屏幕BC垂直.

第14頁共30頁

(1)若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時，求眼睛與屏幕的最短距離AB的長；

(2)若肩膀到水平地面的距離DG=IOOcm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤上,

其到地面的距離FH=72cm.請判斷此時β是否符合科學(xué)要求的100°?

(參考數(shù)據(jù)：sin69o≈j^,cos21o≈γ^,tan20o≈γj-.tan43o≈j^,所有結(jié)果精確到個位)

【分析】(1)在Rt?ABC中利用三角函數(shù)即可直接求解；

(2)延長FE交DG于點L利用三角函數(shù)求得NDEl即可求得P的度數(shù)，從而作出判斷.

【解答】(1)：RtAABC中，tanA=9，

.BCBC.gθ、

..AB=------=---------≈.=55(cm).

tanAtan20o?

11

(2)如圖，延長FE交DG于點I,則四邊形GHFl為矩形,

ΛIG=FH,

ADl=DG-FH=100-72=28(Cm).

在RtZSDEI中，sinZDEI=—=—=—,

DE3015

ΛZDEI≈69o,

.?.p=180°-69°=lll°≠100°,

此時β不符合科學(xué)要求的100°.

【歸納】把一種數(shù)學(xué)問題合理地轉(zhuǎn)化成另一種數(shù)學(xué)問題可以有效地解決問題.在解三角形

中，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問。

【例題4】方程思想

(如圖，C,D是以AB為直徑的。O上的點，AC=BC,弦CD交AB于點E.

(1)當PB是。O的切線時，

求證：ZPBD=ZDAB;

第15頁共30頁

(2)求證：BC2-CE2=CEDE;

(3)已知0A=4,E是半徑OA的中點，求線段DE的長.

【分析】(1)由AB是。。的直徑知/BAD+/ABD=90。，由PB是。O的切線知NPBD+

ZABD=90o,據(jù)此可得證;

(2)連接OC,設(shè)圓的半徑為r,ijE?ADE^ΔCBE,由/=前知NAC)C=NBoC=90。，再

根據(jù)勾股定理即可得證；

(3)先求出BC,CE,再根據(jù)BC2-CE2=CEDE計算可得.

【解答】

(I);AB是G)O的直徑，

ΛZADB=90o,ΛZBAD+ZABD=90o.

VPB是。O的切線，

ΛZABP=90o,ΛZPBD+ZABD=90o,

NBAD=NPBD.

(2)VZA=ZDCB,ZAED=ZCEB,

Λ?ADE^ΔCBE,

DFAF

A—=—,即DE?CE=AE?BE.

BECE

如圖，連接OC.

設(shè)圓的半徑為r,

則OA=OB=C)C=r,

第16頁共30頁

則DE?CE=AE?BE=(OA—OE)(OB+OE)=F-OE2.

VAC=BC,

.?.NAOC=NBOC=90°,

ΛCE2=OE2+OC2=OE2+r2,

BC2=BO2+CO2=2r2,

則BC2-CE2=2r2-(OE2+r2)=r2-OE2,

ΛBC2-CE2=DECE.

(3)VOA=4,Λ0B=0C=0A=4,

.*.BC=√OB2+OC2=4√2.

又是半徑OA的中點，

ΛAE=0E=2,

則CE=√OC2+OE2=√42+22=2√5.

?/BC2-CE2=DECE,

(4的2-(2√5)2=DE?2√5,

解得DE=皆.

【歸納】在解決數(shù)學(xué)問題時，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是設(shè)元，尋找已知與未知之

間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向己知的轉(zhuǎn)化.

【例題5】函數(shù)思想

在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3.

(1)設(shè)矩形的相鄰兩邊長分別為X,y.

①求y關(guān)于X的函數(shù)表達式；

②當yN3時，求X的取值范圍；

(2)圓圓說其中有一個矩形的周長為6,方方說有一個矩形的周長為10,你認為圓圓和方方

的說法對嗎？為什么？

【分析】(1)①直接利用矩形面積求法進而得出y與X之間的關(guān)系；②直接利用y>3得出X

的取值范圍；

(2)直接利用x+y的值結(jié)合根的判別式得出答案.

【解答】

(1)①由題意可得xy=3,則y=3.

X

②當淪3時，->3,解得爛1,

第17頁共30頁

.?.x的取值范圍是OVXSL

(2)；一個矩形的周長為6,.?.x+y=3,

Λx÷-=3,整理得χ2-3x+3=0.

X

Vb2-4ac=9-12=-3<0,

.?.矩形的周長不可能是6,

.?.圓圓的說法不對.

：一個矩形的周長為10,

??x+y=5,

Λx÷-=5,整理得χ2-5x+3=0.

X

?.E-4ac=25-12=13>0,...矩形的周長可能是10,

方方的說法對.

【歸納】在解答此類問題時，建立函數(shù)模型一求出函數(shù)表達式T結(jié)合函數(shù)表達式與函數(shù)的性

質(zhì)作出解答.要注意從幾何和代數(shù)兩個角度思考問題.

【最新試題】名校直考，巔峰沖刺，一步到位。

一、選擇題：

1.已知函數(shù)y=(k—3)χ2+2x+l的圖象與X軸有交點，則k的取值范圍是(B)

A.k<4B.k<4C.k<4且厚3D.仁4且厚3

【解析】①當k-3≠0時,(k-3)x2+2x+l=0,

Δ=b2-4ac=22-4(k-3)×l=-4k+16>0,k<4；

②當k—3=0,即k=3時，y=2x+1,與X軸有交點.故選B.

2.如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、E、F六個點，每兩個相鄰的點的距離相等，那么下列說法

中錯誤的是()

A.表示原點的數(shù)在C、D之間B.有三個點表示的數(shù)是負數(shù)

C.這六個數(shù)中沒有表示整數(shù)的點D.C點與原點最接近

▲▲.A._A.▲_A__.

ABCDEF

【解答】A點到F點的距離是63,且相鄰的點之間的距離相等，所以每兩個相鄰點間距離

4

為」÷5=二”原點在C、D之間，391>321，因此原點靠近D點，A、B、C三點表示的數(shù)

第18頁共30頁

是負數(shù)，B點表示的數(shù)是分數(shù).故選D。

3.某天小明騎自行車上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，修車耽誤了一段時間后繼續(xù)騎行，按

時趕到了學(xué)校.如圖描述了他上學(xué)的情景，下列說法中錯誤的是()

A.修車時間為15分鐘

B.學(xué)校離家的距離為2000米

C.到達學(xué)校時共用時間20分鐘

D.自行車發(fā)生故障時離家距離為1000米

【分析】觀察圖象，明確每一段小明行駛的路程，時間，作出判斷.

【解答】解：由圖可知，修車時間為15-10=5分鐘，可知A錯誤；B、C、D三種說法都符

合題意.

故選A.

4.如圖是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P

是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使aABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解析】由圖可知,矩形的長是寬的2倍,以點B為直角頂點構(gòu)成等腰直角三角形的點P有2

個,以點A為直角頂點構(gòu)成等腰直角三角形的點P有1個滿足條件的有3個.

5.如圖，拋物線y=aχ2+bx+c的圖象交X軸于A(-2,0)和點B,交y軸負半軸于點C,

且OB=C)C.下列結(jié)論：①2b—c=2；②a=?③ac=b-1；④^土^>0.其中正確的個數(shù)有

2c

()

第19頁共30頁

【解析】在y=aχ2+bx+c中,當x=0時，y=c,.*.C(O,c),ΛOC=-c,VOB=OC,ΛB(-

c,O).VA(-2,O),???一c、一2是一元二次方程aχ2+bx+c=0的兩個不相等的實數(shù)根，

/.-c(—2)=2,β/c≠0?.?.a=L②正確；

a2

Ya=：,-c、一2是一元二次方程gχ2+bx+c=0的兩個不相等的實數(shù)根，；.一c+(-2)=

b

-P即2b—c=2,①正確；

2

把B(—c,0)代入y=aχ2+bx+c,W0=a(-c)2÷b?(-c)+c,BPac2-bc÷c=O.Vc≠O,Λac

—b+l=0,Λac=b-1,③正確;

；拋物線開口向上，.?.a>0.:拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，.?.一b<0,.?.b>O..?.a+b>O.:

2a

拋物線與y軸負半軸交于點C,.?.c<0..?.也<0,④不正確.

c

故選Co

二、填空題：

6.A、B兩地相距450km,甲，乙兩車分別從A,B兩地同時出發(fā)，相向而行.已知甲車速

度為120km/h,乙車速度為80km/h,過t(h)后兩車相距50km,則t的值是.

【解析】分相遇前和相遇后兩種情況討論.

①當甲，乙兩車未相遇時，根據(jù)題意，得120t+80t=450-50,解得t=2；

②當兩車相遇后，兩車又相距50km時，根據(jù)題意，得120t+80t=450+50,解得t=2.5.

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點E、F分別在BC、CD±,若AE=遙，NEAF=45。,

貝UAF的長為—.

【分析】取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=X,則NF=&x,再利

用矩形的性質(zhì)和己知條件證明^AMES^FNA,利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等

可求出X的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長.

第20頁共30頁

【解答】解：取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,

Y四邊形ABCD是矩形，

ΛZD=ZBAD=ZB=90o,AD=BC=4,ΛNF=V2x,AN=4-x,

?.,AB=2,，AM=BM=I,YAE=遍，AB=2,ΛBE=1,ΛME=VBM2+BE2=√2,

VZEAF=450,ΛZMAE+ZNAF=450,

VZMAE+ZAEM=450,ΛZMEA=ZNAF,Λ?AME<^?FNA,

包=也，：.3旦,解得：X=t.?.AF=而誕處.

EVAN√2x4-x33

故答案為：

3

8.如果等腰三角形中的一個角是另一個角度數(shù)的一半，則該等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)

是.

【解析】設(shè)NA,ZB,/C是該等腰三角形的三個內(nèi)角，且NA=1/B.設(shè)NA=x。，則/B

2

=2xo.

①若NB是頂角，則∕A,NC是底角，于是有NC=NA=x。.

VZA+ZB+ZC=180°,

.?.x+2x+x=180.解得x=45。，

故NA=NC=45,ZB=90°.

②若NB是底角，因為NAJNB,所以NA是頂角，ZC=ZB=2xo.

VZA+ZB+ZC=180o,

第21頁共30頁

.?.2x+2x+x=180.解得x=36,故∕A=36°,ZB=ZC=72o.

綜上所述，等腰三角形的各內(nèi)角為45。、45。、90。或36。、72。、72°.

9.如圖所示，在AABC中，NB=90。，AB=6厘米，BC=3厘米，點P從點A開始沿AB邊向B

以2厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以1厘米/秒的速度移動，如果P、

Q分別從A、B同時出發(fā)，秒鐘后P、Q間的距離等于2灰厘米。

【分析】設(shè)t秒后PQ=2√ξ,則BP=6-2t,BQ=3-t,在直角ABPQ中，根據(jù)勾股定理

BP2+BQ2=PQ2可求t的值.

【解答】在直角三角形中AB=6cm=2BC=2χ3cm,

且P的移動速度是Q的移動速度的2倍，

ΛBP,BQ滿足BP=2BQ的關(guān)系

設(shè)t秒后PQ=2√5'

則BP=6-2t,BQ=3-t,

且(6-2t)2+(3-t)2=(2,^5),

解得t=l.故1秒后PQ間的距離為2JE

10.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m,8m,現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三

角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，擴充后等腰三角形綠地的周長.

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90o,AC=8,BC=6,

由勾股定理有：AB=IO,應(yīng)分以下三種情況：

①如圖L當AB=AD=Io時,

VAClBD,

ΛCD=CB=6m,

Λ?ABD的周長=IO+10+2χ6=32m.

②如圖2,當AB=BD=Io時,

??BC=Gm,

ΛCD=IO-6=4m,

JAD=VAC2+DC2=V82+4j4λ∕Sm'

第22頁共30頁

,△ABD的周長=10+10+4?用=（20+4、、,%）m.

③如圖3,當AB為底時，設(shè)AD=BD=X,則CD=X-6,

由勾股定理得：22

AD=√g+(x-6)=×

解得，X=學(xué),

,△ABD的周長為：AD+BD+AB=-m.

3

故答案為：32m或(20+4,后)m或②m.

三、解答題:

11.已知aABC中，AB=20,AC=15,BC邊上的高為12,求aABC的面積.

【解答】解：作ADjLBC于D,則AD為BC邊上的高，AD=12.分兩種情況:

①高AD在三角形內(nèi)，如圖所示：在RtZ?ADC中，由勾股定理得：

AC2=AD2+DC2,

ΛDC=9,

在RtAADB中，由勾股定理得：

AB2=AD2+BD2,

.?.BD=16,

.?.BC=BD+DC=16+9=25,

.".SΔABC^×25×12=150;

2

②高AD在三角形外，如圖所示:

在RtAADC中，由勾股定理得：

AC2=AD2+DC2

ΛDC=9,

在RtAADB中，由勾股定理得:

AB2=AD2+BD2,

第23頁共30頁

ΛBD=16,

ΛBC=BD-DC=16-9=7,

?"?SABC=,*?×7×12=42.

2

故答案為：150或42.

12.(某班級同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去扎龍自然保護區(qū)研學(xué)旅行，一部分乘坐大客車先出發(fā)，余下的

幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行，大客車中途停車等候，小轎車趕上來之后，大

客車以出發(fā)時速度的也繼續(xù)行駛，小轎車保持原速度不變.小轎車司機因路線不熟錯過了景

7

點入口，在駛過景點入口6km時，原路提速返回，恰好與大客車同時到達景點入口.兩車

距學(xué)校的路程s(km)和行駛時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

請結(jié)合圖象解決下面問題：

------小轎車

-------大客車

s/km

D

(1)學(xué)校到景點的路程為—km,大客車途中停留了—min,a=—；

(2)在小轎車司機駛過景點入口時，大客車離景點入口還有多遠？

(3)小轎車司機到達景點入口時發(fā)現(xiàn)本路段限速80km/h,請你幫助小轎車司機計算折返時是

否超速？

(4)若大客車一直以出發(fā)時的速度行駛，中途不再停車，那么小轎車折返后到達景點入口，

第24頁共30頁

需等待一分鐘，大客車才能到達景點入口.

【分析】(1)根據(jù)圖形可得總路程和大客車途中停留的時間，先計算小轎車的速度，再根據(jù)

時間計算a的值；

(2)計算大客車的速度，可得大客車后來行駛的速度，計算小轎車趕上來之后大客車行駛的

路程，從而可得結(jié)論；

(3)先計算直線CD的表達式，計算小轎車駛過景點入口6km時的時間，再計算大客車到達

終點的時間，根據(jù)路程與時間的關(guān)系可得小轎車行駛6km的速度與80km/h作比較可得結(jié)

論.

(4)利用路程÷速度=時間計算出大客車所用時間，計算與小轎車的時間差即可.

【解答】(1)由圖形可得學(xué)校到景點的路程為40km,大客車途中停留了5min,

4∩

小轎車的速度為'V=l(km∕min),

60-20

a=(35-20)×l=15.

故答案為40,5,15.

(2)由⑴得a=15,.?.大客車的速度為畀/km∕min)?

小轎車趕上來之后，大客車又行駛了(60—35)x∕xB=5?km),40-^-15=y(km).

答：在小轎車司機駛過景點入口時，大客車離景點入口還有包km.

7

(20k÷b=0,Ik=1,

(3)設(shè)直線CD的表達式為s=kt+b,將(20,0)和(60,40)代入得?解得?

60k+b=40,M=-20,

???直線CD的表達式為s=t-20.

當s=46時,46=t-20,解得t=66.

40-15

小轎車趕上來之后，大客車又行駛的時間為^∩6=35(min),

-X--

27

小轎車司機折返時的速度為6÷(35+35-66)=∣(km∕min)=90km/h>80km/h.

答：小轎車折返時己經(jīng)超速.

40

(4)大客車的時間：γ=80(min),80—70=10(min).

2

故答案為10.

13.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)丫=9(x>0)的圖象交于A(m,6),B(3,n)

X

第25頁共30頁

兩點.

（1）直接寫出m=,n=；

（2）根據(jù)圖象直接寫出使kx+bV?^成立的X的取值范圍

X

（3）在X軸上找一點P使PA+PB的值最小，求出P點的坐標.

【分析】（1）將點A、B坐標代入即可得：

（2）由函數(shù)圖象即可得；

（3）作點A關(guān)于X軸的對稱點C,連接BC與X軸的交點即為所求.

【解答】解：（I）把點（m,6）,B（3,n）分別代入y=2?（×>0）得：m=l,n=2,

X

故答案為：1、2；

（2）由函數(shù)圖象可知，使kx+b<±?成立的X的取值范圍是O<x<l或x>3,

X

故答案為：0<x<l或X>3;

（3）由（1）知A點坐標為（1,6）,B點坐標為（3,2）,

則點A關(guān)于X的軸對稱點C的坐標（1,-6）,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

將點B、C坐標代入，得：

∫3k+b=2

lk+b=-6,

解得：,

Ib=-IO

則直線BC的解析式為y=4×-10,

當y=0時，由4x-10=0得：X=—,

???點P的坐標為（彳，0）.

14.〃五?一〃期間，小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩，在村頭A處小明接到小陳發(fā)來的定位,

發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45。方向，于是沿河邊筆直的綠道I步行200米到達B處，這