舊教材適用2023高考數(shù)學一輪總復習 第十二章算法初步復數(shù)推理與證明第5講數(shù)學歸納法

第5講數(shù)學歸納法

履礎知識整合I

□知識梳理

1.數(shù)學歸納法

證明一個與正整數(shù)〃有關的命題，可按下列步驟進行：

(1)證明當〃取畫第一個值∕?(∕?∈M)時命題成立,這一步是為歸納奠基.

(2)假設〃=AG2m,A∈N*)時命題成立，證明當國〃=〃+1時命題也成立,這一步是歸

納遞推.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對一切〃∈N*,n^n0,命題成立.

2.數(shù)學歸納法的框圖表示

^7^-'—；若"=M*3≈"6*eN*)時命題成立,

現(xiàn)址"="W[N*)時命題成證明失”=*+1時命題也成立

M納奠基歸納遞推

命題一時于?一切"CN*."才"。都成立

知識拓展

數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學思想方法，只適用于與正整數(shù)有關的命題，證明過程的表

述嚴格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可.第二步中，歸納假設起著“已知條件”的作用，當n

=4+1時一定要運用它，否則就不是數(shù)學歸納法.第二步的關鍵是“一湊假設，二湊結論”.

□雙基自測

1.在應用數(shù)學歸納法證明凸〃邊形的對角線為%(〃-3)條時，第一步檢驗〃等于()

A.1B.2

C.3D.O

答案C

解析凸〃邊形的邊最少有三條，故第一步檢驗〃取3.故選C.

2.己知"是正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設〃=履衣》2且為偶數(shù))時命題為真,

則還需證明()

A.A=A+1時命題成立

B.〃=4+2時命題成立

C./7=24+2時命題成立

D.zz=2(4+2)時命題成立

答案B

解析因為〃是正偶數(shù)，所以只需證命題對所有正偶數(shù)都成立.偶數(shù)A的下一個偶數(shù)是

A+2.故選B.

3.(2021?駐馬店市基礎教學研究室考試)用數(shù)學歸納法證明：("+l)5+2)…(〃+〃)

=2"X1X3X…X(2〃一1)(c∈N*)時，從到o=〃+1"等式右邊的變化結果是()

A.增乘一個因式2女+1

B.增乘兩個因式2k+1和2A+2

C.增乘一個因式2(24+1)

D.增乘2A+1同時除以A+1

答案C

解析當A=MA∈N*）時,則有（A+1）（左+2）…（A÷）=2*X1X3X…義（2左一1）；當〃

=4+1時，則有（A+2）（4+3）…（24+2）=2"+'X1X3X…義（2A+1）.由于

2*+1×lX3×???×2?+l

2*i×l×3×???×~2AT=2(2什1),故從=A到〃=什1”等式右邊的變化結果是增

乘一個因式2(2A+1).故選C

111197

4.用數(shù)學歸納法證明不等式1+5+彳+―+產(chǎn)1>石］(〃￡2)成立，其初始值至少應取

()

A.7B.8

C.9D.10

答案B

1

1——

1112,127

解析l+5+i+…+聲=—7>記z7,整理，得2">128,解得〃>7.所以初始值至少應

乙B乙1OI

取8.故選B.

5.(2022?江西萍鄉(xiāng)摸底)用數(shù)學歸納法證明"當"為正奇數(shù)時,x"+y"能被x+y整除”，

當?shù)诙郊僭O〃=2〃一1(A∈N)時命題為真，進而需證A=時，命題亦真.

答案2tH

解析〃為正奇數(shù)，假設〃=24一1成立后，需證明的應為〃=24+1時成立.

6.用數(shù)學歸納法證明：5+1)+5+2)+→(〃+〃)=n；+J(AGN)的第二步中,

當〃=4+1時等式左邊與〃=A時的等式左邊的差等于.

答案3A+2

解析當〃=4+1時，左邊=(4+2)+(〃+3)H-----1-(2A÷2)；當〃=4時，左邊=(4+

1)+(4+2)+…+2A^,其差為(2A+1)+(24+2)—(A+1)=34+2.

核心一向突破I

考向一數(shù)學歸納法證明恒等式

例1(2022?云南大理階段考試)對于∕7∈N",用數(shù)學歸納法證明：1?〃+2?(/?-1)+

3?(/7—2)+???+(/7—1)?2+/7?l=~∕7(∕7+l)(∕7÷2).

O

證明①當〃=1時，IXl=L

∣×1×(1+1)×(1+2)=1,所以等式成立.

②假設當〃=4觸》1且A∈N*)時，等式成立，

即1?k+2?(A-1)+3?ɑ-2)+???+(^-l)?2+k?1=∣?(?+1)(?+2),

則當∕7=?+l時，

1?(A?+l)+2?[α+l)-l]+3?[(A+1)-2]+???+[(A+1)-1]?2+(A+l)?1=

1?A+2?(A—1)+3?(A—2)H-----I-(A-I)?2+A?l+l+2+3+???+A+(A+1)=?(A+

6

1)?(?+2)+∣(A-+l)(A+1+1)=∣(A+1)(?+2)(?+3),即當α=A+l時，等式也成立.

由①②可知，當〃∈M時等式都成立.

觸類旁通

(1)在證明過程中突出兩個“湊”字，即一“湊”假設，二“湊”結論，關鍵是在證明n

=〃+1時要用上〃=〃時的假設，其次要明確〃=4+1時證明的目標，充分考慮由〃=A到A

=4+1時.，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系，化異為同.中間的計算過程千萬不能省略.

(2)注意“兩個步驟、一個結論”一個也不能少，切勿忘記歸納結論.

即時訓練1.求證：I-------1^9?1Γo^∣------Fy^(∕7∈N*).

2342/?—12n〃+1n+22n

證明①當〃=ι時，左邊=1一3=3，右邊=AT=3,左邊=右邊.

②假設〃=A(AeM)時等式成立，即1一9+；一9+一+37一==占+出+—+

z?4?κ~1?κA十1A十，

1

刀，

則當n=k+?時，

1,11,,__11,(11、

?-2+3-4++2A-1^2A+l2A+1^2?+2j

4+1%+2丁2A<2A+12A+2；

?÷?÷→?τ÷r??

即當"=4+1時等式也成立.

綜合①和②，可知對一切〃∈N*,等式成立.

考向二數(shù)學歸納法證明不等式

例2用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n,不等式（1+3

14?/?

證明①當〃=2時，左邊=1+鼻=不右邊=手，左邊＞右邊，?,?不等式成立.

??乙

②假設〃=AG為大于1的自然數(shù)）時，不等式成立，

即（1+扣+??（1+/■＞容?,

那么當n=k+?時，（1+如升（1+壯TL+2什；7呼聲,貂=

2?+2√4?2+8?+4?√4?2+8?+3√2?+3√Σ?+l√2?+l+1

2?√2A+1-2√2A+1'2√2?+l-2√2A+1—2

.?.∕7=%+l時，不等式也成立.

由①②，知對一切大于1的自然數(shù)/7,不等式都成立.

[觸類旁通.用數(shù)學歸納法證明不等式的兩種形式

用數(shù)學歸納法證明與AS∈N?）有關的不等式，一般有兩種具體形式：一是直接給出不等

式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，第二種形式往往要先對

〃取前幾個值分別驗證比較，然后猜出從某個〃值開始都成立的結論.

即時訓練2.用數(shù)學歸納法證明：

慮+成+…+5】＜d?

證明①當〃=1時，顯然不等式成立.

當〃=2時，左邊=-^+4==與?,

√1×2√2×3√6

右邊=5,

由$+1＜2/，得葉f＜鏡，

即〃=2時，不等式也成立.

②假設〃=A（Ae2且〃∈N*）時，不等式成立，即

J+/1T----FI?^^=＜y[k,（*）

√1×2√2×3y[kk+lv

當n=k+l時，不等式(*)兩邊同加/一「，，°,得-?+-?κ+…+

√k+1k+2√1×2√2×3

I1=<y∣~k-?-1i=,

y∣k+1k+2y∣A+1k+2

只需證1」」〈屈?即可.

y∣k~?~1Λ+2

而河-R4+JA+2

]_____________1________

?jk+l+yj^ky∣A`+1A'+2-

o√衣+1什2>√I+T+√A

<≠√I+T(√A+2-1)>√A,

?..而7](訪哥-1)>、依恒成立(4》2,且A∈N*),

，當〃=衣+1時，不等式成立.

由①②，知不等式對/JEN*都成立.

考向三歸納一猜想一證明

例3(2020?全國HI卷)設數(shù)列｛a,,｝滿足d=3,a,,+↑-3a,,-4n.

(1)計算或，a；“猜想｛aj的通項公式并加以證明；

(2)求數(shù)列｛2"aJ的前A項和S.

解⑴由題意可得a=3aι-4=9—4=5,a3=3a2-8=15—8=7,

由數(shù)列｛a,,｝的前三項可猜想數(shù)列｛a,J是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即a,=2//+1.

證明：當〃=1時，a∣=3成立；

假設當力=A(4GN*)時，a*=2X+l成立.

那么當〃=4+1時，a*+,=3a*-4A=3(2Λ+1)-4A=2A+3=2(A+1)+1也成立.

則對任意的〃∈N*,都有a“=2〃+l成立.

⑵由⑴可知，a∏?2Π=(2Λ+1)?2",

S,=3×2+5×2Z+7×234-----F(2Λ-1)?2,,^1+(2Λ+1)?2",①

2S,=3×22+5×23+7×2'H-----÷-(2Λ-1)?2Π+(2Λ+1)?2n+',②

O2×?—On-1

由①一②，得一S,=6+2X(22+2，+…+2")—(2〃+1)?2,,+'=6+2×------——

(2Λ+1)?2,,+'=(1-2Λ)?2"∣-2,

所以S,=(2/7-1)?2,,+'+2.

觸類旁通“歸納一猜想一證明”的一般步驟

(1)計算(根據(jù)條件，計算若干項).

(2)歸納猜想(通過觀察、分析、綜合、聯(lián)想，猜想出一般結論).

(3)證明(用數(shù)學歸納法證明).

這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的命題中有著廣泛的應用，其

關鍵是歸納猜想出結論.

即時訓練3.(2021?甘肅酒泉模擬)設a>0,—=筌,令&=1,?.=∕(a),n

a+X+π

GN*.

(1)寫出a2,a,a的值，并猜想數(shù)列｛a｝的通項公式；

(2)用數(shù)學歸納法證明你的結論.

解(I)Ya=I,；?<?=f(a)=F(I)=[I""；

?+a

猜想a,t=---三.

〃一1十a(chǎn)

(2)證明：①易知，〃=1時，猜想正確.

②假設〃=A(4∈N*)時猜想正確，即&=/，

κ-?-ra

a

,.a9ak—l+a

則rlla+i=f(々)λ=-r-k=----------

a+ak1a

a+二羊

a___________a_______

k-?-a[?+l—1]+a*

這說明，〃=4+1時猜想正確.

由①②知，對于任何"∈N*,都有品=—9.

n—1+a

課時作業(yè)I

1.證明：l2-22+32-42+???+(2Λ-D2-(2Λ)2=-Λ(2Λ+1)(Λ∈N*).

證明①當〃=1時，左邊=-3=右邊，等式成立.

②假設當A=A?0?2LA∈N*)時等式成立,即P—22+3?—1+…+(24—IF—(24)2=一

A(2A+1).

則當n—k+1時，

222222

l-2+3-44-----F(24—1)2―—斗(2?ψ1)-(2?+2)

——H2A+1)+(2??+1)2—(2衣+2)2

=-?-(2A+l)-(4A+3)

=一(2發(fā)+5衣+3)

=-(A+l)[2(A+l)+l].

.?.當n=k+l時等式也成立?

由①②知，原等式對任何“EM都成立.

1115

2.求證：--r+-rτH-----∕2∈N*).

z?+l7?+23/76

證明①當〃=2時，左邊=；+；+5+出，不等式成立.

34566

②假設當〃=A(a)2,4GN*)時不等式成立，即占+γ?+…+H?

KI?KI/tjKU

當n=k+l時,

?+?—+…+工+―+,+?

A+1+14+1+23A3A+13A-+23A+1

=JJ??+L+R-+J~J--M

A+lA+23/(3A+13〃+23A+3k+?)

5rIll1λ?

>6+l3A+l+3A?+2+3A+3-7+V

>M,x3Λ+3-A+τ)?

當n=k+l時不等式也成立.

，原不等式對一切A22,AeN*均成立.

3.求證：當”∈N*時,f(〃)=3"'+2-8”-9能被64整除.

證明①當〃=1時，/(1)=64,命題顯然成立.

②假設當〃=A(A∈N',—D時,/〃)=32*+2-8"-9能被64整除.

當〃=4+1時，由于3"+"2—8(在+1)—9

=9(32t+2-8A-9)+9×8A+9×9-8(A+1)-9

=9(3M+2-8Λ-9)+64(什1),

即f(k+1)=9∕(A)+64(A+1),

所以