2022-2023學(xué)年河北省石家莊高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量期末檢測數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年河北省石家莊高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量期末檢測（數(shù)

學(xué)）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若復(fù)數(shù)Z滿足iz=-2+i,貝收的虛部為（）

A.2iB.2C.1D.i

2.設(shè)集合Z={x∣-5<x<4},B={x∣M+3x-18<0},則AnB=（）

A.{x∣—3<%<4]B.{x∣—3<X<6}

C.{x∣—5<X<3}D.{x∣—6<X<4}

3.已知拋物線C：y2=2%的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為I,點P在C上，過點P作準(zhǔn)線，的垂線，垂足為

A,若N"4=基則IPFl=（）

A.1B.√2C.√3D.2

4.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折

扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千

里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧徐，

念所在圓的半徑分別是3和6,且乙4BC=等，則該圓臺的體積為（）

圖1圖2

A.竿兀B.9ττC.7πD.芋乃

5.△4BC中，點M是BC的中點，點N為ZB上一點，AM與CN交于點。，且同=/奇，AN=

AAB,則4=（）

?-lB.IC/D.∣

6.已知函數(shù)/（x）=sinωx+cosωx{ω>0）在區(qū)間&兀）上單調(diào)遞減，則實數(shù)?的取值范圍為

（）

A./B.（0,∣]C.[1,∣]D.（0,2]

7.四面體4BCD的所有棱長都是3,點M,N,P分別在棱AB,AD,CDt,AM=2MB,AN=

^ND,CP=2PD,平面MNP交8C于點Q,貝∣]BQ的長為（）

A.?B.?C.?D.1

8.已知雙曲線C：5=19>0/>0）的左，右焦點分別是&,F2,左，右頂點分別是

41，A2,離心率為2,點P在C上，若直線&P,AzP的斜率之和為軍?,APRF2的面積為反，

則α=（）

A.1B.√2C.√3D.2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知等差數(shù)列｛a7l｝的前n項和為S*,公差為d,若Sn<Sιo<Si2,則（）

A.d>0B.a1>0C.S22<0D.S21<θ

10.下列選項中，正確的命題是（）

A.已知隨機變量X?B（n,p）,若E（X）=30,D（X）=20,則P=1

B.gχ-2y）s的展開式中∕y3的系數(shù)為I。

C.用*2獨立性檢驗進(jìn)行檢驗時，/的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩事件有關(guān)系

D.樣本相關(guān)系數(shù)為r,則Irl越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱

（2x~1+21~x-2,x≥0

11-已知函數(shù)/（x）=｛丫24,2v4.工V/n，若f（X[）=/（%2）=∕0?）=/（>4），且與<

（人I4√c>I2,?U

X2<X3<X4'則（）

A.%ι+%2=—2B.0<Λ?V1VMV2

xx

C.X3X4≥1D.Xi÷X2÷3÷4=θ

12.三棱柱力中，4B=7IC=Λ4ι,點。是AZBC的外心，41l0L平面4BC,BC=

√3,二面角8—441-C為余則下列選項中正確的是（）

A.三棱柱的側(cè)面積為6次

B.與.所成角的余弦值為苧

C.點&到平面BCGBI的距離為I

D.若四棱錐4-BCGBl各頂點都在同一球面上，則該球的半徑為?

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.己知上萼=,則tan?=.

14.冬奧會設(shè)有冬季兩項、雪車、冰壺、雪橇、滑冰、滑雪、冰球7個大項，現(xiàn)有甲、乙、

丙三名志愿者，設(shè)4表示事件為“甲不是雪車項目的志愿者，乙不是雪橇項目的志愿者”，B

表示事件為“甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者”，則P（AiB）=

15.已知。為坐標(biāo)原點,4B在直線x-y-4=0上，Bl=2√Σ,動點M滿足IM川=2?MB?,

則IoMI的最小值為.

16.若直線y=kx+b是曲線y=竽的切線，也是曲線y=：的切線，則k=.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知數(shù)列5｝滿繪+?+?+-+?=2"-ι.

（1）求數(shù)列｛αn｝的通項公式；

（2）求｛%t｝的前n項和Sjt.

18.（本小題12.0分）

在ZMBC中，角4,B,C所對的邊分別為α,b,c,且滿足2sin（4+看）=牛.

⑴求C;

（2）若AABC內(nèi)切圓面積為3兀，b=a+3,求△ABC的周長.

19.（本小題12.0分）

黨的二十大已勝利閉幕，某市教育系統(tǒng)為深入貫徹黨的二十大精神，組織黨員開展了“學(xué)習(xí)

二十大”的知識競賽活動.隨機抽取了IOoO名黨員，并根據(jù)得分（滿分100分）按組別[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100港制了頻率分布直方圖（如圖），視頻率為概率.

頻率/組距A

0.035

0.030

0.025

0.010.............................................

θ?60708090100*^得分

(1)若此次活動中獲獎的黨員占參賽總?cè)藬?shù)20%,試估計獲獎分?jǐn)?shù)線；

(2)采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，從得分不低于80的黨員中隨機抽取7名黨員，再

從這7名黨員中隨機抽取3人，記得分在［90,100］的人數(shù)為f,試求f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABUCD,ADLDC,AD=DC=^AB,點P在以AB為直徑

的半圓上(不包括端點)，平面ABPI平面4BCD,E,尸分別是BC,4P的中點.

(1)證明：EF〃平面PC。；

(2)當(dāng)PB=WPZ時，求直線EF與平面PBe所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：務(wù)5=l(α>b>0)經(jīng)過點(2,√5),離心率為爭

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線2：y=kx+τn與橢圓C有兩個不同的交點4,B,原點。到直線，的距離為2,求△ABO

的面積的最大值.

22.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/(x)=sinx.

(I)設(shè)F(X)=/(x)—mx,若F(X)≤O在［0,+8)上恒成立，求實數(shù)Tn的取值范圍；

xx

(2)設(shè)G(X)=J(X)+%-IQInX+2,若存在正實數(shù)x2(ι≠2^滿足Gal)=G(X2)，

證明：x1+X2>2a.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

首先由iz=-2+i,求出z,根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求出虛部.

【解答】

解：因為iz=-2+i,所以Z=上常當(dāng)=l+2i,所以Z的虛部為2.

ι?(-0

故選民

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查交集及其運算、一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

化簡集合B,利用交集的概念，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：X2+3%—18<0<=>(x+6)(x—3)<0,

解得一6<x<3,

所以B={x∣-6<X<3},

又4={x∣-5<X<4},

所以4nB={x∣-5<x<3}.

故選C.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查拋物線的定義及其應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意可判斷APZF是正三角形，可得R4方程為y=-8(X-鄉(xiāng)，與拋物線準(zhǔn)線方程聯(lián)立，得4點

坐標(biāo)，由兩點間距離公式求出MFl即可.

【解答】

解：拋物線C：y2=2久的焦點為F0,o),準(zhǔn)線為'，%=-?,

不妨設(shè)點P是拋物線C上第一象限內(nèi)的一點，過點P作1的垂線，垂足為4^FPA=I，

由拋物線的定義，可知MPl=IPF|,所以APAF是正三角形，

因為F?,0),則凡4方程為y=-百(％-；),

所以4點坐標(biāo)滿足《2/八，

(y=-√3(x-∣)

解得4(一a遮)，IAFl=J(∣+∣)z+(θ-√3)2=2-

所以IPFl=?AF?=2.

故選D.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查圓臺的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意求出圓臺上下底面圓的半徑和圓臺的高，代入圓臺的體積公式，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為R,

因為兩個圓弧施，公所在圓的半徑分別是3和6,且乙4BC二手

則2τrr=?×2ττ×3,2πR=?×2π×6,

解得丁=1,R=2,

圓臺的母線長Z=3,圓臺的高為九==32—(2—1)2=2√Σ

所以圓臺的體積為gτr×2√2×(22+2×1+I2)=苧兀.

故選D

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了向量的線性運算，考查平面向量的三點共線定理，屬于基礎(chǔ)題.

由題設(shè)易得而=^AN+1前，利用平面向量的三點共線定理即可求;I的值.

【解答】

解：由題設(shè)，AM=^(AB+AC),又同=g宿，

：.AD=^(AB+AC),

"AN=λAB,

■■.AB=^AN,

.?.ADAN+IAC,而N,D,C共線，

545

?÷I=1?可得a=

????

故選A.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性解決參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間4,令6,兀)￡4解出3的范圍.

【解答】

解：f(x)=sinωx+cosωx=√2sin(ωx+》，

令，+2∕C7?！?JI)X+~≤~?+2kτr,kEZ,

解得F+碼≤X≤"+碼，kez,

4ωω4ωω

??,函數(shù)/(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在g,ττ)上單調(diào)遞減，

5π2kπ"，解得+4fc≤ω≤∣+2fc,kEZ,

4—ω+——ω≥π

：,當(dāng)k=O時，?≤ω≤I-

24

故選C

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

由題意，根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，通過平行線分線段成比例，可得答案.

【解答】

解：由四面體4BCD的所有棱長都是3,

點M,N,P分別在棱4B,AD,CD上，AM=2MB,AN=；ND,CP=2PD,

可得力M=2,MB=1,AN=I1ND=2,CP=2,PD=1,

延長NM交DB于點7,TP交BC于點Q,過N作NE平行于BD,交AB于點E,

由三角形AEN為等邊三角形，可得AENM三ABTM,

所以EN=BT=1,DT=DB+BT=4,

過點P作PF平行于BC,交BD于點、F,可得三角形PDF為等邊三角形，

可得PF=DF=1,TF=3,BF=2,

由PF平行于BC,可得票=瞿,%=半，

所以BQ=/

故選C.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，考查雙曲線的焦點三角形問題，屬于較難題.

設(shè)點P坐標(biāo)為(XP,yp),結(jié)合已知條件易得c=2α,b2=3a2,△P&F2的面積為λ∕TN可求出IyPl=

季，則可求|孫|,再結(jié)合直線4止，&P的斜率之和為爛，列出等式，可得到關(guān)于α的方程，解

Za5

方程即可.

【解答】

解：由題意，可得P只能在第一、三象限，不妨設(shè)點P在第一象限，

過點P做PHJ.X軸，垂足為H,設(shè)點P坐標(biāo)為(XP,力)，

雙曲線C：Μ―/=l(α>0*>0)離心率為2,

則e=5=2，則C=2a,

則c?=4小，

又。2=小+必，

所以萬2=3a2,

又SAPFlF2=I-F1F2-PH=c?PH=√15,

所以PH=逗=半，

c2a

即IyPl=票

√15√15

所以心IP+%=+-?z;

N4αzyJ4αz

罡(屆+α2-α)+第(J接+α2+α)

(J?+α2+α)Q?+α2^a)

_4√15aΓΓ^?_6√15j

故2。偏+a2=3,

即4。2島+a?)=9,

即5+4a4=9,

解得：a=1.

故選A.

9.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.

由題意，求出an<O,a12>0,a12+a11>0,再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，對照選項逐一判斷即可.

【解答】

解：因為Sιι<SupS11<S12,

所以a11=Sll-SIO<0,cι∣2—S12—Sll>0,所以d=a12—ɑn>0,ɑ?—ɑ??—IOd<0,故

A正確，8錯誤；

a

由SlO<S12,可知由2+a??>0,所以S22=ll(ɑi+a22)=11(%2+11)>0，故C錯誤；

因為的ι<0，所以$21=21%ι<0,故。正確.

故選AD

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查二項分布的均值與方差、二項展開式及其通項、樣本相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗，屬于中檔

題.

根據(jù)題意，利用相關(guān)知識對各選項逐項判定，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：4選項，因為隨機變量X?8(n,p),E(X)=30,O(X)=20,

可得九p=30,MP(I-P)=20,貝如=寺，故A正確；

8選項，由二項式定理可知，GX-?2y)5的展開式的通項公式為：

Tr+】=CJ?(?)5-r?(—2y)r,

令r=3,可得展開式中∕y3的系數(shù)是廢*,(-8)=—20,故8錯誤；

C選項，對于獨立性檢驗，f的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩事件有關(guān)系，故C正確；

D選項，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，Irl越接近于1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強，故。錯誤.

故選AC.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的圖象、函數(shù)的對稱性、基本不等式求最值，屬于中檔題.

設(shè)g(x)=2'+2r-2,判斷出g(x)是偶函數(shù)，結(jié)合圖象平移規(guī)律得出f(x)的圖象，結(jié)合圖象和

對稱性，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)g(x)=2'+2-'-2,定義域為R,

因為9(一久)=2~x+2x-2=g(x),

所以g(x)是偶函數(shù)，

且g(0)=0,g(χ)=2x+2-x-2≥2√2χ-2-x-2=0，

當(dāng)且僅當(dāng)X=0時等號成立，

故g(χ)是偶函數(shù)，且最小值為0,

函數(shù)y=2x-1+21-x-2可以由函數(shù)y=2丫+2-x-2的圖象向右平移1個單位長度得至∣J;

當(dāng)久<0時，fix')=x2+2x+?=(x+I)2-?,圖象開口向上，對稱軸為X=—1;

所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：

由函數(shù)圖象可知：

x1+X2=-2,0<X3<1<X4<2,x3+X4=2,

所以Xl+句+%3+%4=0，

故ABO正確；

因為巧必《(警)=1，當(dāng)且僅當(dāng)%3=M=1時等號成立，

但O<X3<l<X4<2,故等號取不到，故C錯誤.

故選ABD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查棱柱的側(cè)面積，四棱錐的外接球，點到平面距離的求法，異面直線所成角等，屬于較難

題.

先結(jié)合條件得ZB=AC==2,再對各個選項分析求解即可.

【解答】

解：如圖:

因為48=AC,所以取BC的中點H,連接4”,而點。是△4BC的外心，因此。在AH上.

又因為4。?L平面4BC,所以AH是A%在平面ABC內(nèi)的射影，

因此AH是直線441與平面ABC所成角，

所以CoSNBA&=CosZ.A1AH.

又因為AH是NBAC的平分線，所以Z844ι=?A1AC,而ZB=AC,

因此過B在平面4BB14內(nèi)作BG1441，交于G,連接CG,則CGl/M。

所以NBGC是二面角B—A4—C的平面角，因此NBGC=:

又因為BC=遮，所以BG=CG=√5,因此AG=√AB2-3.

因為AB=AC=AA1,

所以由COSNB=COSN&A，得GB2-3=".絲=”.”，

ABABAA1ABAB

即AB?√?B2-3=AH-AO.

在△?!BC中，因為AB=AC,點。是△ABC的外心，

所以O(shè)IH-40)2+8"2=4。2,即=L+,=逆,

2AH2AH

22

因此AB?√4B2-3=4H?絲="-，解得4B=2,即AB=4C=441=2.

2AH2

對于4因為BG_L44,CG1.AAi,CGeBG=G,CGU平面BGC,BGU平面BGC,

所以Λ4ι1平面BGC,

而ABGC的周長為3百，因此三棱柱的側(cè)面積為3√544ι=6√5,故A正確；

對于8.如圖：

延長力通,B$,GC,使4遇=44,BIB=BB2,GC=CC2,連接AB2,則AB?=且

因此4B2AC1是4B與4的所成角（或補角）.

因為由選項A知：四邊形ACGaI和四邊形4BB14都是邊長為2的菱形，?BAA1=?A1AC=

所以4Cι=2√3.膽=A1B=2.

又因為冬。1平面48C,8。＜=平面48配所以4。IBC,

IlijBClAH,AHDA1O=A,AHU平面人14口，AloU平面

因此BC1平面&AH,而U平面4ι4H,

所以BCJ.441，因此連接&G，則B2Gι=g?

AC↑+ABl-B2C↑_12+4-19√3

在^B2AC1中,因為COSZ_8246=-_

2AC↑-AB2—2×2√3×2^8^,

所以與4G所成角的余弦值為噂，故8錯誤;

O

對于C.如圖:

取BIG的中點Hi,連接HHI和4%

由選項B知:BeL平面4AH“ι,而BCU平面BCClBl,因此平面為AH/1平面BCClBI,交于“名,

所以點兒到直線HHI的距離就是點4到平面BCGBl的距離，而加1/H/,

所以，到4必的距離就是點兒到直線HHl的距離.

由選項A知：4〃=繽，COSΛBAA1=?,CoSZ?B4H=羋，

因此COSZ?a//=所以Sin乙4ι√lH=耳^，

因此點4到直線HHI的距離為力HSinZAaH=孚X喈=|，

即點4到平面BCClBl的距離為|,故C正確；

對于D由選項A和B知:四邊形BCCIBl是矩形,且BC=√S,BBi=2,A1B=A1B1=A1C1=A1C=

2,

因此點&在平面BCGBI內(nèi)的射影是矩形BCClBI外心。0,且OOB=爭

因為由選項C知：點兒到平面BCClBI的距離為|,

所以若四棱錐為-BCClBl的外接球半徑為R,則(|_R)2+(1j=R2,解得R=3故。正確.

故選ACD.

13.【答案】√3

【解析】

【分析】

本題考查二倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)二倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡求解即可.

【解答】

解：由此察=事

sιnσ3

1+2COS2~1cos2fCOS∣1√3

可信..86=.θΘ=-1=口=可，

2sι吁os^sm?eos?sin?tan?。

可得tan=V3?

故答案為：√3.

14.【答案】∣j

【解析】

【分析】

本題主要考查條件概率公式，考查計算能力，屬于中檔題.

由題意P(B)=冬P(AB)=導(dǎo)誓+.，代入P(AlB)=需即可.

【解答】

解：由題意，P(B)=,,

4B表示甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者且甲不是雪車項目的志愿者，乙不是雪橇項目的

志愿者，

三人分別是不同項目的志愿者共有心種可能，

甲是雪車項目的志愿者或乙是雪橇項目的志愿者共有2就種可能，

甲是雪車項目的志愿者且乙是雪橇項目的志愿者共有出種可能，

符合4B的志愿者選派方法共有心-2AI+出種，

P(AB)=學(xué)期

的-2庶+*

y3

p∏^∕A∣r∣β>?)=P?(AB)r=-?7-=7-×6×5E-2×6×—5÷5=31逋,

73

故答案為盜

42

15.【答案】苧

【解析】

【分析】

本題考查了與圓相關(guān)的軌跡問題，考查了點到圓上點的距離的最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

當(dāng)M不在直線48上時，在線段48上取點E,在4B的延長線上取點尸，使得曾=2,罌J=2,根

∣CD∣?rb?

據(jù)角平分線與外角平分線的性質(zhì)可得MEd.MF,當(dāng)M在直線48上時，點M的軌跡為點E,F,綜

合可得點M的軌跡為以IE可為直徑的圓，半徑為殍，根據(jù)點到直線的距離公式即可求得IoMl的最

小值.

【解答】

解：因為IMAl=2∣MB∣,即2[=2,MBl=2加，

當(dāng)M不在直線AB上時，

在線段AB上取點E,使得鼠=2,所以但川=苧,|EBl=苧.

在AB的延長線上取點F,使得腎J=2,所以MH=4√Σ,∣BF∣=2√Σ

所以IEFl=?BE?+IBFl=苧.

因為樵=黑=2,所以ME為乙4MB的角平分線.

∣MoI∣coI

因為黑=吃=2,所以MF平分4AMB的鄰補角?

?t5rI∣∕V7θI

所以4EMF=3即MElME

所以點M的軌跡為以IEFl為直徑的圓（除去E,F）,半徑為苧.

當(dāng)M在直線AB上時，點M的軌跡為點E,F.

綜上，點M的軌跡為以IEFl為直徑的圓上，半徑為殍.

設(shè)直線I：x-y-4=0,過。作0。交，于點D,

當(dāng)EF的中點為。時，此時|。Mlmin=1。。1一∣MD∣?

m^?0D?=l0~0-41=2√2...4√2

因為1I乒f不，∣ΛWn∣l=丁

所以IoMImin=2√∑—殍=苧?

故答案為竽.

16.1答案］—貴

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究兩條切線重合的問題，考查計算能力，屬于較難題.

分別設(shè)出直線與兩曲線的切點坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距

相等，從而求得切線方程得答案.

【解答】

解：設(shè)y=kx+b與y=號和y=：的切點分別為(XI,警?)、(.χ2>~)>

分別對y=竽和y—1求導(dǎo)得y'=和y'=-1，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k=-?=-?

xlx2

I1

曲線y=則在01，P)處的切線方程為y-粵=?(X-X1),

X^?1????

即y=邛χ+?Ξi,

?777

曲線y=2在點(%2,5)處的切線方程為y-f=一9(X-％2)，

X12兀2%2

24

即y=—2x—?

Z×22乂2

rl-lnz?_2

聯(lián)立I勺2x2

以2*T_±

、勺一Xz

消去％2得8Qn%ι-1)=(21n%ι—I)2,即(2InXl—3)2=0,

解得InXI=|,則支=/，

113

.fe-≥?-l∑2-__L.

故答案為一擊.

17.【答案】解：（1）由已知:+j+-------1-?=2n—1①,

QlQ203an

當(dāng)幾=1時，得Ql=1,

當(dāng)n≥2時，工+2+三4------1-??=2n~1—1

。2。3?-l

①―②得：?=2π^1＞與=券，

檢驗：ɑ?=1成立，故(?=關(guān)T；

n1

(2)由(I)知:an=?=∏?φ^,

0n2n1

則Stt=1??+2-(?)?+???+(n-1)?φ-+H-φ-,

TSn=IG)i+2?φ2+???+(n-1)?(yT+n?(扔，

1

兩式相減可得：∣Sn=φ°+φ+(?2+φn-^n.φn

=-τ?--n-φn=2-(n+2)?φn,

1^^^2

故又=4-(71+2)-?尸-1.

【解析】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式，考查錯位相減法求和，屬于中檔題.

⑴由已知《+方+%…+3=2"-1①,當(dāng)n≥2時,？+卷+5+…+公=2時1一1②,

作差求即，注意驗證n=1時的情況；

(2)利用錯位相減法求和即可.

18.【答案】解：(1)由正弦定理得：2sin(Z+,)=。喘叫,

2sin(Λ+ξ)sinC=sinA+SinB,

BP(√3sin√l+COSA)SinC=sinA+Sin(A+C),

即遮SirL4sinC+cosΛsinC=sinA+SinAcosC+COSASinC，

即V5sin∕sinC=sin?+SirL4cosC,

因為0＜力VTT,所以SinAH0,

可得手SinC-TCoSC=?,

得Sin(CT)=l,

因為0＜CV7T,所以―，VC-BV等，

666

則cE；

(2)由題易得44BC內(nèi)切圓半徑為

由44BC面積公式得：S=jαb=；(a+b+c)g,

即α+b+c=^ab①，

又由余弦定理得：a2+b2-c2=ab(2),

由已知得b=α+3③，

由①②③得a4-2?3-15α2=O,B∣Jα2(α2-2α-15)=0,

又α>0,解得α=5,b=8,c=7,

所以AABC的周長為20.

【解析】本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式和三角恒等變換，屬于中檔

題.

⑴由正弦定理得：2sinG4+S=列嗡嗎整理化簡得Sin(CY)=今可得C的大??；

(2)由三角形面積公式和余弦定理，結(jié)合b=α+3,聯(lián)立得出a、b、C的值，可得AABC的周長.

19.【答案】解:(D根據(jù)直方圖可知,成績在［80,100］的頻率為(0.025+0.010)X10=0.35,

成績［90,100］的頻率為0.1,小于0.2,

因此獲獎的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于［80,90)之間，

設(shè)分?jǐn)?shù)線為X6［80,90),使得成績在［%,100］的概率為0.2,

即(90-X)×0.025+0.010×10=0.2,可得X=86,

所以獲獎分?jǐn)?shù)線劃定為86；

(2)由題意，應(yīng)從［80,90)和［90,100］兩組內(nèi)分別抽取5人和2人,

則f的可能取值為0,1,2,

P(<=0)=f=12=1，

PG=D=等=∣∏,

Pd)=警=￡=；，

4的分布列為：

ξO12

241

P

數(shù)學(xué)期望E(0=0×∣+l×^+2×∣=∣.

【解析】本題考查了頻率分布直方圖、離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.

(1)根據(jù)直方圖可知，獲獎的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于[80,90)之間，設(shè)分?jǐn)?shù)線為X6[80,90),列出方程，解

出即可；

(2)易得f的可能取值為0,1,2,得出對應(yīng)概率，可得f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.【答案】解：CL)證明：設(shè)4。的中點為G,連接EG,FG,則FG∕∕PD,GE//CD,

fFG∕∕PD

?.?卜G￠.平面PCD,.?.FG〃平面PCD,

(PDU平面PCD

同理GE〃平面PCD,

s55

?.?FGOEG=G,FG1EGUFtffEFG,.?.F≡FFG∕∕F≡PCD,

又EFUSPISJEFG,

.?.EF〃平面Pm

⑵???點P在以4B為直徑的半圓上(不包括端點)，.?.PA1PB.

設(shè)AD=DC=g4B=2,貝!]AB=4,

?：PB=WPA，???PA=2,PB=2√3.?'?/.PAB=60°.

???平面ABPl平面ABC。，5F∣Si4βP∩sFiSjABCD=AB,AD1DC,AB//DC,

ADU平面ABCD,:.AD_L平面PAB,

又4BU平面P4B,.??ADLAB,

故以4為原點，以4B、4。方向為y軸、Z軸，過點4垂直于平面ABCD的方向為Z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(OAO),C(0,2,2),D(0,0,2),E(0,3,l),P(√3,l,0),

FF=(y,-∣,-l)>BP=(√3,-3,0).BC=(0,-2,2),

設(shè)平面PBC的法向量五=(X,y,z),則巴亙二°,即卜字二?=:，

^n-BC=0<?-2y+2z=0

取y=1,得有=(√5,1,1),

設(shè)。為直線EF與平面PBC所成角，

則Sine=ICOS(方,元)|=≡∣=??=*

直線EF與平面PBC所成角的正弦值為絆.

10

【解析】本題主要考查了線面平行的判定，考查直線與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.

(1)由已知，先證明面面平行，然后可得線面平行;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的法向量元，設(shè)。為直線EF與平面PBC所成角，再由sin。=

?EPn?

即可求解.

21.【答案】解:(1)由題意可得：4+?=l,又離心率為g所以￡=當(dāng)

ab2a2

可得'Ma=2b,代入可得：a=4,b=2,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程格+?=L

IMl_

(2)由題意可知，原點。到直線I的距離為2,則口一即：m2=4(k2+1),

ry=kx+m

設(shè)8(第2，丫2)，聯(lián)乂%2y2

----FJ=I

1164

可得：(1+4fc2)x2+8kmx+4m2-16=0,

由^=64∕c2m2-4(41+l)(4m2-16)=