舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 高考大題研究五二定點(diǎn)定值問題

專題研究(二)定點(diǎn)、定值問題

題型一定點(diǎn)問題

例1已知拋物線α1=-2Py經(jīng)過點(diǎn)(2,—1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)。為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為O的直線/交拋物線C于也，V兩點(diǎn)，直

線F=—1分別交直線OV于點(diǎn)/和點(diǎn)區(qū)求證：以18為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

解(1)由拋物線α步=-2勿經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),得P=2.

所以拋物線。的方程為f=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=L

(2)證明：拋物線C的焦點(diǎn)為6(0,-1).

設(shè)直線1的方程為y=?-l(A≠0).

y=kx—1,

由得X÷4ΛΛ-4=0.

x--4y

設(shè)"(xι,%),MX2,K),貝IIXI及=-4.

直線的方程為y=~x.

Xl

令F=-1,得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)X,=

i?i

同理得點(diǎn)6的橫坐標(biāo)XB=一應(yīng).

設(shè)點(diǎn)〃(O,ri),則的=卜去一1—7?)

—1—/?,

XlX2

=-4+5+1)2.

令Λ4?O6=0,即-4+(〃+1)'=0,得〃=1或〃=—3.

綜上，以46為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)91)和(0,-3).

［解題策略］(1)求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路是:把直線或曲線方程中的變量

X,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成

立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于X,y的方程組，這個(gè)方程組的解

所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).

(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式了一加=耿x—施)，則直線

必過定點(diǎn)(為，％);若得到了直線方程的斜截式尸成+〃，則直線必過定點(diǎn)(O,ni).

2

變式訓(xùn)練1(2020?全國I卷)已知48分別為橢圓反當(dāng)+∕=l(a>l)的左、右頂點(diǎn),

Q

―?-?

G為K的上頂點(diǎn)，AG?GBK尸為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，為與K的另一交點(diǎn)為C,PB與E的

另一交點(diǎn)為D.

(1)求￡■的方程；

(2)證明：直線切過定點(diǎn).

解(1)依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程E當(dāng)+∕=l(a>l)可得4(—a,0),B[a,0),G(0,1),

a

—?—?

.?ΛG=(a,1),GB=(a,-1).

-A-?

.?.AG?Gβ=a-l=8,Λa'=9.

V2

.?.橢圓￡■的方程為§+/=1.

(2)證明:由(1)得/1(—3,0),6(3,0),設(shè)尸(6,⑸,y<)≠0,

則直線4―的方程為P=,JL°程+3),

O—-?

即y弋(x+3),

直線9的方程為y=號(hào)(x—3),

O-O

即y=γU-3).

?

聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得

E=L

y=^χ+3

整理得5+9)f+6蘇x+9M—81=0,

—3jj+27

解得x=-3或x：

4+9

—34+27

將X—代入y=^（χ+3）可得

yo+9

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一靠27,6%)

同理可得，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（*_；,誦割，

①當(dāng)￡:#X〃時(shí)，

直線6?的方程為

6乂1—仁2%

1―24—+9U+1J(3,-3)

??.?)+1/-3j?+27?b+1J

/+9Jb+1

故直線G9過定點(diǎn)（|，0）

-3jb+273J4-3

②當(dāng)XC=X〃時(shí),即1+9=而^'

3

有Jb=3,此時(shí)&、=x〃=j,

即直線W的方程為x=∣,過定點(diǎn)修，0）.

綜上所述，直線切過定點(diǎn)仔，0）.

題型二定值問題

例2（2022?蘭州診斷）已知曲線C上的任意一點(diǎn)到直線1：x=一；的距離與到點(diǎn)

；，0)的距離相等.

(1)求曲線。的方程；

(2)若過戶(1,0)的直線與曲線C相交于46兩點(diǎn)，。(一1,0)為定點(diǎn)，設(shè)直線4。的斜率

119

為A直線制的斜率為前直線四的斜率為L證明：至十7一亍為定值.

K?K2K

解⑴由條件可知，此曲線是焦點(diǎn)為廠的拋物線，f=∣,P=I,

.?.曲線。的方程為y=2x.

(2)證明：根據(jù)已知，直線46的方程為y=雇x—DJWO),

?y=kχ-l,

由J2C可得打一2y-24=0.

［y=2X

則a+%=1y?y2=-2.

M2必―2%

f+1y'+2f+1/2

.「1加2"一+22

?/十年——4√一十一41—

一+2男+應(yīng)+2"

U+HY+8J??+41+)

=471

8)+)+32

16

%+j?-2y∣%+4

2

112

二屆+總一T=4,為定值.

［解題策略］圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即

可得出定值.

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)

條件化簡、變形求得.

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變

形即可求得.

22/7

變式訓(xùn)練2(2020?新高考I卷)已知橢圓C：當(dāng)+方=1(a>6>0)的離心率為手，且過點(diǎn)

3bL

4(2,1).

(1)求。的方程；

(2)點(diǎn)也N在C上，且4K4V,ADVMN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)0,使得|〃。|為定

值.

rcΛ∕2

~a~2，

解(1)由題意，可得<生

了十了j

、才=4+6

解得a'=6,lf-c=3,

22

故橢圓C的方程為卷+卷=1.

63

(2)證明：設(shè)點(diǎn)M(XI,z?),MX2,72).

因?yàn)?月_4乂所以4V?4V=0,

即(??-2)(%2-2)+(7?-1)(∕2-1)=0.①

當(dāng)直線極V『的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為尸M+加，如圖L

代入橢圓方程消去y并整理，得(1+2芯)步+4?6彳+2方-6=0,

Akm2m—6

X?+X2=②

1+2戶"∕2=TT5T'

根據(jù)y?-kx?+πι,y2-kxi+m,代入①整理，可得(如+1)汨*2+(而一4一2)(為+茲)+(0

-1)2+4=O,

將②代入上式，得(2+1)(km-A-2)?1]+U-1)2+4=0,

整理化簡得(24+36+1)(24+//7—1)=0,

因?yàn)?(2,1)不在直線WV上，所以24+必一l≠0,

所以24+3%+1=0,k≠l,

于是直線期V的方程為y=(χ-∣)-/

所以直線助Vr過定點(diǎn)￡號(hào)一上).

當(dāng)直線4V的斜率不存在時(shí)，可得Mx,-71),如圖2.

代入(XL2)(火2—2)+(71—1)(j/2-1)=O得

(??-2)"+l-JΛ=0,

結(jié)合卷+弓=1,解得小=2(舍去)或?yàn)?,，

633

此時(shí)直線的V過點(diǎn)(；，一

因?yàn)镸團(tuán)為定值，且△?!，后為直角三角形，力后為斜邊，

所以烈的中點(diǎn)0滿足I〃Ql為定值(熊長度的一半*Y(2-?∣)+(1+加半.

由于4(2,1),(|,一；),

故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得《，

故存在點(diǎn)出，，，使得I為定值.

課時(shí)作業(yè)I

1.(2022?山西呂梁調(diào)研)己知橢圓C：2+S=l(a>6>0)的焦距為4,/(2,鳴是橢圓C

abI5J

上的點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

-A-?-?

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,6是橢圓C上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)OgoA+OB,證明：直

線48的斜率與直線勿的斜率的乘積為定值.

解(1)由題意，知2c=4,BPC-2,

則橢圓C的方程為5+±=ι,

因?yàn)辄c(diǎn)^2,用在橢圓。上，

41

所以F+T~~丁丁=1，

a5a-4

解得才=5或4=?（舍去）,

?

所以橢圓C的方程為芻√=L

?

⑵證法一：設(shè)力(不，/1),BlX?,%),直線/6的方程為y=4x+〃(刀≠0,A≠O),

y=kx+n,

聯(lián)立</消去y,整理得(5片+1)/+10%/汽+5〃2—5=0,

M=L

則Δ=100A2Π2-4(5A2+1)(5Λ2-5)=100^-20Λ+20>0,

—10?2n

E+E=51+]'y+%=4(xι+o)+2〃=542+],

—?―?―?

由Ω4+仍=①，得〃(X∣+X2,7?+J2),

所以直線勿的斜率岫=千差=—最，

則k?岫=—(，故直線48的斜率與直線勿的斜率的乘積為定值一

55

證法二：設(shè)力（汨，7?）,B（X2,現(xiàn)），XIWX2且xι+x2z≠z0,由0A+OB=OD,得〃（汨+如y↑

+%），

所以直線4?的斜率心=匕二匕，

Xl-X2

z

直線M的斜率?w=?與

Xi+X2

（2.

Rj?

由〈得￡（汨+均（小一生）+（凹+度）（》—%）

回2』,=0,

∕ι+j2y?-yι1

即ππ-;—?-----=-7，

x↑-]-x2x?-X25

所以如?koi）=—?

?

故直線48的斜率與直線勿的斜率的乘積為定值一!.

5

22

2.（2021?合肥模擬）已知橢圓G：2+￡=1（於核0）的右頂點(diǎn)與拋物線G：「=2°X（P>0）

au

的焦點(diǎn)重合，橢圓G的離心率為:，過橢圓G的右焦點(diǎn)尸且垂直于X軸的直線截拋物線所得

的弦長為4√2.

(1)求橢圓G和拋物線C的方程；

⑵過點(diǎn)A(-2,0)的直線1與C交于MN兩點(diǎn)，若點(diǎn)M關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為"，證明:

直線〃M恒過一定點(diǎn).

解⑴依題意，可得a=g,

則G：y=4ax,令X=C得y=4acf

c

即y=±2γ[acf所以4y[ac=4yβf所以ac-λ.

'ac=2,

c1I-

由〈二=5，解得a=2,b=yβ,

aZV

京=4+02,

22

所以橢圓G的方程為3+5=1,拋物線G的方程為∕=8χ.

⑵證明：依題意可知直線/的斜率存在且不為0,

可設(shè)/：x=ιny-29.4/(?i,力)，N(x?,㈤，則〃(?i,一力)，

X=Iny-2,

聯(lián)立《2消去X得/—8Wy+16=0,

,y=8%,

由/>0得水-1或勿>1.

因?yàn)椋?%=8加，y\y2=16,所以R=~

O

所以直線〃N的斜率

,j2÷yι8加8

KifV===，

X2-X?m72-7172-71

O

可得直線〃”的方程為LXn(Xf)，

my2—?

即y---------χ+度

Y2-y?〃2一K

872%—必-%加+力+16

-----x+1----------------------------

72-71%-K

8168

X(x—2)，

Y2-y?yι-y?y2-y?

所以當(dāng)成一1或m>1時(shí)，直線〃N恒過定點(diǎn)(2,0).

3.已知點(diǎn)4笈關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，=4,。歷過點(diǎn)46且與直線x+2=0相切.

(1)若/在直線x+y=0上，求?！ǖ陌霃?；

⑵是否存在定點(diǎn)尸，使得當(dāng)力運(yùn)動(dòng)時(shí)，M如一I，步I為定值？并說明理由.

解(1)因?yàn)??！ㄟ^點(diǎn)力，B,所以圓心"在力8的垂直平分線上.

因?yàn)榱υ谥本€x+y=O上，且46關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0對(duì)稱，所以〃在直線y=x上，故可

設(shè)M(a,a).

因?yàn)?。M與直線x+2=0相切，所以。"的半徑為r=∣a+2∣.

由已知得∣∕O∣=2.

又MoLA0,故可得2才+4=(a+2)2,解得a=0或3=4.

故。"的半徑r=2或r=6.

(2)存在定點(diǎn)尸(1,0),使得|例|一|如為定值.

理由如下：

設(shè)"(x,y),由已知得。."的半徑為r=∣x+2∣,I40|=2.

由就叱40,得f+∕+4=(χ+2)2,化簡得M的軌跡方程為∕=4X.

因?yàn)榍€G/=4X是以點(diǎn)p(ι,o)為焦點(diǎn)，直線x=-I為準(zhǔn)線的拋物線，所以∣,M∣=χ

+1.

因?yàn)閨物|—I聞=ι-?MP?=x+2-(JrM)=1,

所以存在滿足條件的定點(diǎn)2

V2J1

4.(2022?昆明診斷)已知橢圓GF+￡=l(a>?0)的離心率為小左、右焦點(diǎn)分別為

ab3

A,F,4為橢圓C上一點(diǎn)，AFLFF,且

22lie

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為4,A2,過4,4分別作X軸的垂線12,橢圓C的

一條切線/：尸kx+m與h,A分別交于MM兩點(diǎn)，求證：N朗%V為定值.

og8

解⑴由AFzlFM,?AF?=1，得一=三.

2?3,O

又e='=<,a=l)+c,所以才=9,62=8,

a3

故橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為看+5=1.

yo

(2)證明：由題意可知，直線乙的方程為x=-3,直線A的方程為x=3.

直線/分別與直線人a的方程聯(lián)立得

/17(—3,—3k+而,∕V(3,34+加),

所以凡始=(一2,-3Z-+w),

—?

RN=(4,3k+πi),

—?—?

所以凡用上一8+方一9歐

、尸kx+πι,

得(9A2+8)y+18?7?+9zz∕-72=0.

因?yàn)橹本€/與橢圓。相切，

所以J=(18??2-4(9?2+8)(9T√-72)=0,

化簡得帚=9接+8.

—?—?

所以凡(/?EA-一8+宮-92=0,

■■■>,,“A??

所以AjaEA4故乙新W為定值萬

5.(2021?洛陽高三統(tǒng)考)已知拋物線α/=2PX(P>0),其焦點(diǎn)為區(qū)。為坐標(biāo)原點(diǎn),

直線/與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)兒8,材為48的中點(diǎn).

(1)若p=2,材的坐標(biāo)為(1,1),求直線/的方程；

9IMVI2

(2)若直線/過焦點(diǎn)凡4?的垂直平分線交X軸于點(diǎn)M求證：F?為定值.

解(1)由題意知直線1的斜率存在且不為0,故設(shè)直線1的方程為%-l=∕zz(y-l),

即X=〃少+1—必，設(shè)力(ayι),B(X2,y2).

[x=∕ny+l-nιf

由彳2得Z-4/77/-4+4/77=0,

??=4x,

.*.Δ=16∕Z∕2÷16-16/77=16(/?-∕zz+l)>0,巾+度=4勿，

?:4加=2,BPzz7=z?

???直線/的方程為2χ-yT=0.

(2)證明：???拋物線C：/=2PX(P〉0),

焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(g0).

由題意知直線1的斜率存在且不為0,

又直線/過焦點(diǎn)E故設(shè)直線/的方程為X=Si■殳1W0),設(shè)力(x∣,7?),BlX2,y2).

A/5得/一2〃〃一方=。,

由V

j=2px,

.,.Δ=4pZ2÷4p>0,yι+y2=2pt.

2

.?x↑+x2=t(yi+y2)+p=2pt+p,

，直線MM的方程為y-pt=~tyχ-pt'-f

令y=0,解得才=夕/+￥，

?；(“+￥，0)

.?.∣Ml2=√+√f2,

I剛=*+當(dāng)一勞=*+p,