專題06復數(shù)綜合

專題06復數(shù)綜合知識點1復數(shù)的有關概念1、定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，實部是eq\a\vs4\al(a)，虛部是eq\a\vs4\al(b).復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．2、虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號i表示，規(guī)定i2＝－1，我們把i叫作虛數(shù)單位．3、復數(shù)集：①定義：全體復數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．【注意】復數(shù)概念說明：（1）復數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）復數(shù)的實部是a，虛部是實數(shù)b而非bi.（3）復數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．4、復數(shù)的分類：對于復數(shù)a＋bi，（1）當且僅當b＝0時，它是實數(shù)；（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數(shù)0；（3）當b≠0時，叫做虛數(shù)；（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù)．這樣，復數(shù)z＝a＋bi可以分類如下：復數(shù)=【注意】復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系5、復數(shù)相等在復數(shù)集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.6、共軛復數(shù)如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)．復數(shù)z的共軛復數(shù)用eq\x\to(z)表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，eq\x\to(z)＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共軛復數(shù)是eq\x\to(z)＝2－3i.【注意】（1）當復數(shù)z＝a＋bi的虛部b＝0時，有z＝eq\x\to(z)，也就是，任一實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身；（2）在復平面內，表示兩個共軛復數(shù)的點關于實軸對稱，并且它們的模相等．知識點2復數(shù)的幾何意義1、復平面：當用直角坐標平面內的點來表示復數(shù)時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．2、復數(shù)的幾何意義（1）任一個復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．（2）一個復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量OZ=(a,b)【注意】實軸、虛軸上的點與復數(shù)的對應關系實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應的有序實數(shù)對為(0，0)，它所確定的復數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實數(shù)．3、復數(shù)的模（1）定義：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值（2）記法：復數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．知識點3復數(shù)的四則運算1、復數(shù)的加法運算法則與運算律（1）加法法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復數(shù)，規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.即兩個復數(shù)相加，就是實部與實部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個復數(shù)的和仍然是復數(shù)．注意：對于復數(shù)的加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.（2）復數(shù)的加法運算律：復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2、復數(shù)的減法運算法則（1）相反數(shù)：已知復數(shù)a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)復數(shù)加法的定義，存在唯一的復數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數(shù)．（2）減法法則：規(guī)定兩個復數(shù)的減法法則，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.即兩個復數(shù)相減，就是實部與實部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個復數(shù)的差仍是一個復數(shù)．3、復數(shù)的乘法運算法則和運算律（1）乘法運算法則：兩個復數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法運算來進行，只是把i2換成－1，并把最后結果寫成a＋bi(a、b∈R)的形式．設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.顯然兩個復數(shù)的積仍是復數(shù)．（2）復數(shù)乘法的運算律：對于任意z1、z2、z3∈C，有z1·z2＝z2·z1(交換律)；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結合律)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．4、復數(shù)的乘方與虛數(shù)單位的乘方（1）復數(shù)的乘方：復數(shù)的乘方也就是相同復數(shù)的乘積，根據(jù)乘法的運算律，實數(shù)范圍內正整數(shù)指數(shù)冪的運算律在復數(shù)范圍內仍然成立．即對復數(shù)z1、z2、z和自然數(shù)m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2)，z0＝1；z－m＝eq\f(1,zm)(z≠0)．【注意】實數(shù)范圍內的乘方公式、運算律在復數(shù)范圍內仍然成立．（2）虛數(shù)單位i的乘方計算復數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，in有如下性質：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.5、復數(shù)的除法運算規(guī)定兩個復數(shù)除法的運算法則：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）a+b在進行復數(shù)除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)c－di，把分母變?yōu)閷崝?shù)，化簡后就可得到所求結果．【注意】（1）兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商仍是一個復數(shù)．（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·eq\x\to(z)＝a2＋b2是復數(shù)除法運算中實現(xiàn)分母“實數(shù)化”的一個手段．6、復數(shù)方程的解在復數(shù)范圍內，實系數(shù)一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當?≥0時，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用復數(shù)相等的定義求解，設方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax知識點4復數(shù)的三角形式1、輔角的定義：設復數(shù)z=a+bi的對應向量為OZ，以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ，叫做復數(shù)z的輔角2、輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數(shù)輔角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.規(guī)定：其中在0≤θ<2π范圍內的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作arg【注意】因為復數(shù)0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數(shù)0的輔角是任意的。3、復數(shù)的三角形式：任何一個復數(shù)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復數(shù)的模，θ是復數(shù)【注意】復數(shù)的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連。4、復數(shù)的代數(shù)式與三角式互化將復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當a=0，b>0時，argz=每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等。考點1復數(shù)的概念與分類【例1】（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習）已知復數(shù)，則的虛部為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】復數(shù)，故的虛部為.故選：B.【變式11】（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習）已知為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A．若，則B．實部為零的復數(shù)是純虛數(shù)C．可能是實數(shù)D．復數(shù)的虛部是【答案】C【解析】A.，說法不正確；B.實部為零的復數(shù)可能虛部也為零，從而是實數(shù)，說法不正確；C.當時，是實數(shù)，說法正確；D.復數(shù)的虛部是1，說法不正確.故選：.【變式12】（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習）已知復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．B．0C．1D．0或1【答案】C【解析】因為為純虛數(shù)，所以，解得.故選：C.【變式13】（2023春·新疆喀什·高一?？茧A段練習）已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），求適合下列條件的實數(shù)m的值；（1）z為實數(shù)；（2）z為虛數(shù)；（3）z為純虛數(shù).【答案】（1）或；（2）且；（3）.【解析】（1）當為實數(shù)時，，解得或；（2）當為虛數(shù)時，，解得且；（3）當為純虛數(shù)時，，解得.【變式14】（2023·全國·高一專題練習）已知集合，，討論實數(shù)m取何值時：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因為，所以；因為，所以.所以，所以恒成立.即無論實數(shù)m取任何值，恒成立.故.（2）因為，所以.因為，，所以或.當時，有：，解得：；當時，有：，解得：.綜上所述：或.【變式15】（2023春·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習）已知復數(shù)，.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若在復平面內對應的點在第四象限，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）若為純虛數(shù)，則，解得；（2）若在復平面內對應的點在第四象限，則，解得.考點2復數(shù)的幾何意義【例2】（2023春·新疆喀什·高一校考階段練習）如圖，若向量對應的復數(shù)為z，則z表示的復數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖可知，，所以z在復平面內所對應的點為，則.故選：C.【變式21】（2023春·全國·高一專題練習）復數(shù)滿足：，則復數(shù)z在復平面內對應的點是（）A．B．C．D．（）【答案】C【解析】由，得，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得，復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為.故選：C【變式22】（2023春·浙江·高一湖州中學?？茧A段練習）（多選）若，則復數(shù)在復平面內對應的點可能在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】CD【解析】當時，，故復數(shù)在復平面內對應的點在第三象限，當時，，故復數(shù)在復平面內對應的點在第四象限.故選：CD【變式23】（2023·高一單元測試）設復數(shù)和復數(shù)在復平面上分別對應點和點，則、兩點間的距離是______．【答案】【解析】復數(shù)對應點，復數(shù)對應點，則.考點3復數(shù)的四則運算【例3】（2023春·天津濱海新·高一大港一中?？茧A段練習）復數(shù)化簡的結果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故選：A【變式31】（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習）已知，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，則，∴.故選：A.【變式32】（2023春·福建·高一三明一中?？茧A段練習）設，則______.【答案】【解析】設，則，所以，，，所以，，則，解得，因此，.【變式33】（2021春·廣東東莞·高一校聯(lián)考階段練習）已知z是復數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位）．（1）求復數(shù)z；（2）求的模．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設復數(shù)，因為為實數(shù)，所以，則復數(shù)，又因為為純虛數(shù)，則，得，所以復數(shù).（2）由（1）可知復數(shù)，則，所以的模為.【變式34】（2023春·福建三明·高一?？茧A段練習）已知復數(shù).（1）若，求的值；（2），，求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由題意復數(shù)，則由可得；（2）當，時，，故.考點4復數(shù)的高次方運算【例4】（2023·全國·高一專題練習）若復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面所對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因為，所以，所以復數(shù)在復平面所對應的點為位于第二象限.故選：B.【變式41】（2022春·福建三明·高一福建省寧化第一中學?？茧A段練習）棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667﹣1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內所對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由已知得，∴復數(shù)在復平面內所對應的點的坐標為，位于第三象限．故選：C．【變式42】（2023春·天津·高一?？茧A段練習）若為虛數(shù)單位，且，則______.【答案】【解析】因為，則，，故.【變式43】（2023·高一課時練習）已知，則的值為______．【答案】【解析】因為，所以，即，所以.所以，由解得：或.當時，，，所以；當時，，，所以.綜上所述：.【變式44】（2023·全國·高一專題練習）計算：（1）；（2）．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.【答案】（1）；（2）；（3）1010＋1011i【解析】（1）因為，所以原式；（2）因為，所以，原式；（3）因為，原式【變式45】（2023·全國·高一專題練習）計算．（1）；（2）．（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式.（4）原式.（5），，，，原式.考點5與復數(shù)模有關的最值【例5】（2023·全國·高一專題練習）已知復數(shù)為虛數(shù)單位）滿足，則的最小值為（）A．2B．1C．D．4【答案】A【解析】因為，所以復數(shù)對應的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以.故選：A【變式51】（2023·高一單元測試）若，則的最大值與最小值的和為___________.【答案】【解析】由幾何意義可得：復數(shù)表示以（）為圓心的半徑為1的圓，則.【變式52】（2023·全國·高一專題練習）已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的最大值為__________.【答案】【解析】設，由得：，，則可設，，，（其中，），則當時，.【變式53】（2022·全國·高一專題練習）是虛數(shù)單位，設復數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，又，的幾何意義是單位圓上的點與點的距離，，即的最大值為.故選：C.【變式54】（2022春·云南玉溪·高一峨山彝族自治縣第一中學?？计谥校ǘ噙x）下列關于復數(shù)說法正確的是（）A．若，則的最小值為2B．若，則的最小值為2C．若，則的最小值為D．若，則的最小值為【答案】ACD【解析】設，其中，則表示復平面內任意一點.對于A：因為，所以復數(shù)z對應的點Z到、的距離相等，所以點Z在虛軸上.如圖示：表示點Z到點的距離，所以當軸，即Z落在原點O時，最小.故A正確；對于B：因為，所以復數(shù)z對應的點Z到、的距離相等，所以點Z在實軸上.如圖示：表示點Z到點的距離，所以當重合時，最小.故B錯誤；對于C：因為，所以復數(shù)z對應的點Z到、的距離相等，所以點Z在直線l：上.如圖示：表示點Z到點的距離，所以當時，最小.故C正確；對于D：因為，所以復數(shù)z對應的點Z到、的距離相等，所以點Z在直線l：上.如圖示：表示點Z到點的距離，所以當時，最小.故D正確.故選：ACD考點6復數(shù)范圍內解方程【例6】（2023春·全國·高一專題練習）設，，為虛數(shù)單位，若是關于的二次方程的一個虛根，則______．【答案】2【解析】將代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.【變式61】（2022春·上?！じ咭坏谌又袑W校考期末）在復數(shù)范圍內分解因式_____．【答案】【解析】【變式62】（2023·江蘇·高一專題練習）已知關于的一元二次方程的兩根為、．（1）若為虛數(shù)，求的取值范圍；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）因為為虛數(shù)，所以，即.（2）因為，所以，，①當時，，則；②當時，，則；綜上，的值為或．【變式63】（2023·高一課時練習）已知，且，復數(shù)為虛數(shù)單位）滿足．（1）求；（2）若關于的方程有實根，求的所有可能值．【答案】（1）；（2）或【解析】（1），因為，所以，又，所以，即；（2）因為，，所以，設實根為，則，所以，所以，因為所以或，若，則無實數(shù)解，舍去；若，則，所以，又由（1）知，所以，所以或.【變式64】（2023·全國·高一專題練習）已知復數(shù)為虛數(shù)單位．（1）若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，求的值；（2）若為實數(shù)，求的值．【答案】（1）或；；（2）【解析】（1）若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則，所以，所以，所以或；（2）由題意得為實數(shù)，所以，所以．考點7復數(shù)的三角形式【例7】（2023春·全國·高一專題練習）計算：．【答案】【解析】.【變式71】（2023春·全國·高一專題練習）計算：（1）；（2）.【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）；（2）.【變式72】（2022·高一課時練習）設，則復數(shù)的輻角主值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，因為，所以，所以，所以該復數(shù)的輻角主值為．故選：B.【變式73】（2022春·廣東廣州·高一?？茧A段練習）（多選）已知復數(shù)，則下列關于復數(shù)z的結論中正確的是（）A．B．C．復數(shù)z是方程的一個根D．復數(shù)的輻角主值為【答案】ABC【解析】，，故A正確；，故B正確；，，故C正確；，復數(shù)的輻角主值為，故D錯誤；故選：ABC1．（2023春·湖南長沙·高一長郡中學?？茧A段練習）已知，則（）A．3B．4C．D．10【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.2．（2022春·山東臨沂·高一?？茧A段練習）若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】因為復數(shù)滿足，所以，則，所以在復平面內對應的點位于第三象限，故選：C3．（2022春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習）的值為（）A．1B．－1C．D．【答案】B【解析】由，而.故選：B4．（2022春·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習）已知虛數(shù)z是關于x的方程的一個根，且，則（）A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】設（且），代入原方程可得，所以，解得，因為，所以.故選：D.5．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎翘摂?shù)單位，復數(shù)，下列說法正確的是（）A．的虛部為B．的共軛復數(shù)對應的點在第三象限C．的實部為1D．的共軛復數(shù)的模為1【答案】D【解析】因為，所以，所以的虛部為，故A錯誤；的共軛復數(shù)為，其對應的點是，在第一象限，故B錯誤；的實部為，故C錯誤；的共軛復數(shù)為，則模長為，故D正確，故選：D.6．（2022春·湖北·高一統(tǒng)考期末）如圖，在復平面內，復數(shù)對應的向量分別是，則對應的點位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由復數(shù)的幾何意義知：，則，對應的點的坐標為，位于第三象限，故選：C7．（2022春·湖北咸寧·高一統(tǒng)考期末）歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為“數(shù)學中的天橋”.若復數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，，所以，，所以．故選：B.8．（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點在第三象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，在復平面內對應的點在第三象限，，解得.故選：A.9．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習）（多選）已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A．的共軛復數(shù)是B．的虛部是C．D．若復數(shù)滿足，則的最大值是【答案】AD【解析】對于A選項，因為，則，A對；對于B選項，復數(shù)的虛部為，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，令，則，即在圓心為半徑為1的圓上，而表示圓上點到原點的距離，由圓心到原點的距離為，結合圓上點到定點距離范圍易知：的最大值為，D對.故選：AD.10．（2023·高一單元測試）（多選）已知，且，則（）A．當時，必有B．復平面內復數(shù)所對應的點的軌跡是以原點為圓心、半徑為的圓C．D．【答案】BD【解析】A項：，故錯誤；B項：因為，故正確；C項：，當與i對應向量同向時取等，故錯誤；D項：，當與對應向量反向時取等，故正確.故選：BD.11．（2023·全國·高一專題練習）（多選）已知復數(shù)z滿足，則（）A．復數(shù)z虛部的最大值為2B．復數(shù)z實部的取值范圍是C．的最小值為1D．復數(shù)z在復平面內對應的點位于第一、三、四象限【答案】ABC【解析】滿足的復數(shù)在復平面內對應點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，由圖可知，虛部最大的復數(shù)，即復數(shù)z虛部的最大值為2．A正確；實部最小的復數(shù)，實部最大的復數(shù)，所以實部的取值范圍是，B正確；表示復數(shù)在復平面內對應點到的距離，所以的最小值為，C正確；由圖可知，復數(shù)在復平面內對應點位于第一、二、三、四象限，故D錯誤．故選：ABC12．（2023春·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習）（多選）設，，為復數(shù)，下列命題中正確的是（）A．若，則B．