2023-2024學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二年級下冊第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市濱海新區(qū)高二下冊第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.函數(shù)y=優(yōu)（。＞0且，WI）的導(dǎo)數(shù)為（）

A.yr=axInaB.y,=exIna

,x

C.y=aD.y'=aIogue

【正確答案】A

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式直接判斷結(jié)果.

【詳解】因為y="（α＞0且α≠l）,所以y'="lnα,

故選：A.

2.數(shù)列|，舞4,…，則該數(shù)列的第"項為（）

C〃+2

BD.-----

?≡2/2+3

【正確答案】D

【分析】通過數(shù)列的規(guī)律總結(jié)出數(shù)列的第〃項即可

【詳解】設(shè)該數(shù)列為｛q,｝,

,343+153+l×263+1x3

則π14=-,?a-=-------，44

575+23-95+2×24TT^5+2×3,

以此類推可得%=3W+(〃4T=〃w+2

故選：D

3.在等差數(shù)列｛%｝中，4=4,α10=22,則%=（）

A.史47

B.8C.10D.—

55

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得.

【詳解】在等差數(shù)列｛可｝中，4=4,q0=22,設(shè)公差為d,則"號=＞，

所以4=4+2d=4+2X2=8.

故選：B

4.f(x)=2x5+x2-5,則f'(D=

A.3B.8C.-8D.-3

【正確答案】B

【分析】利用求導(dǎo)法則求出/V)的導(dǎo)函數(shù)，把x=l代入導(dǎo)函數(shù)中求得結(jié)果.

【詳解】求導(dǎo)得：fU)=6x2+2x,

把x=l代入得：/⑴=6+2=8,

故選B.

該題考查的是有關(guān)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的求解問題，涉及到的知識點有函數(shù)的求導(dǎo)公式以及

求導(dǎo)法則，屬于簡單題目.

5.函數(shù)/(x)在χ=4處的切線方程為y=3x+5,則/(4)+f(4)=()

A.10B.20C.30D.40

【正確答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義確定導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值.

【詳解】由題意/'(4)=3,又切線方程是χ=4時，y=17,所以7(4)=17,

/(4)+Γ(4)=20.

故選：B.

6.已知函數(shù)"x)=x3-3χ2+α,則/(x)的極值點個數(shù)為()

A.由參數(shù)4確定B.0C.1D.2

【正確答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值點.

【詳解】函數(shù)/(x)=x3-3f+a的定義域為R,且/'(x)=3χ2-6x=3x(x-2),

令/'(x)=0,解得χ=0或x=2,

所以當(dāng)x>2或XVO時∕<x)>0,當(dāng)0<x<2時制x)>O,

所以/(x)在(-8,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以/(x)在X=O處取得極大值，在x=2處取得極小值，故/(x)有2個極值點.

故選：D

7.己知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，3a,,2%成等差數(shù)列，則g=()

A.-1B.3C.-1或3D.1.或-3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到方程，再解方程即可.

【詳解】設(shè)公比為4(q>0),因為3q,∣ɑ3,2生成等差數(shù)列，

所以34∣+2<?=2xg“3，即34+2qq=4∣q2,顯然q>0,

所以3+2g=q"解得4=3或q=T(舍去).

故選：B.

8.已知“X)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象如圖所示，那么“X)的圖象最有可能是圖中的()

【正確答案】A

【分析】由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得答案.

【詳解】由題意，可得f(x)在(-∞,-2)和(0,+8)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增,

只有選項A符合，

故選：A.

9.己知數(shù)列｛〃"｝，"I=7?！?1("22),則a2020=()

4an-?

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題干所給的遞推關(guān)系得到數(shù)列的周期為3,進而得到a2020=%=；.

【詳解】數(shù)列｛q｝,滿足4=1-二一(〃*2),因為αI=J故得到％=l-L=-3,

an-?4%

14II1

再代入得到。3=11--==?,?=11--=7,火=1--=-3,進而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是有周期的，

a23a34a4

周期為3,2020=673×3+l,故a2020=%=L

4

故答案為B.

這個題目考查了數(shù)列通項公式的求法，即通過數(shù)列的遞推關(guān)系找到數(shù)列的通項，或者通過配

湊新數(shù)列進而求出通項，或者通過找規(guī)律找到數(shù)列的周期性，進而求出特定項的值.

10.函數(shù)/(x)=(x-3)e,的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(→o,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)

【正確答案】A

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)F(X),由/'(X)<0得減區(qū)間.

【詳解】由已知f,(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,

x<2時，∕,U)<0.x>2時，f'(x)>0,

所以/(x)的減區(qū)間是(F,2),增區(qū)間是(2,+8)；

故選：A.

11.數(shù)列｛q｝,也｝滿足6=么=2,4+∣-4=與L=2,∏∈N*,則數(shù)列｛%｝的前〃項和為

()

A.y(4"^l-l)B.∣(4,'-1)C.∣(4π-'-l)D.∣(4,,-1)

【正確答案】B

【分析】由=智=2,得到數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，求得an=2n,

得到%=22",結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)列｛4｝,也｝滿足q=A=2,an+l-an=^-=2,neN\

所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且公差是2,｛〃｝是等比數(shù)列，且公比是2,

又因為4=2,所以αz,=q+(〃-l)d=2"

22n2n

所以％=處=bλ-2'-'=2×2-'=2,

設(shè)g=%,所以C“=22",則上J=4,

Cn~]

所以數(shù)列｛5｝是等比數(shù)列，且公比為4,首項為4.

由等比數(shù)列的前〃項和的公式，可得數(shù)列｛%｝前”項的和為4X,[")=*4"-1).

故選：B.

fαx+l,x<O,

12.已知函數(shù)/(X)=,八若函數(shù)/O)的圖像上存在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點，則實數(shù)4

[lnx,x>0.

的取值范圍是()

A.(→o,0]B.(→≈,1JC.[-?,θ]D.(?,l]

【正確答案】B

I—y=-ClX+1

存在兩對稱點M(x,y),N(-x,-y),(x>0)則IyTnX,即InX=Or-I,故y=Inx與

y=or-l有交點,先求得y=以-1與y=lnX相切時的斜率,進而求解即可

【詳解1由題,設(shè)兩對稱點M(X,y),N(-x,-y),(x>0)

f-y=-ax+l

則｛.,所以InX=Or-1,即y=lnx與y=αx-l有交點，

[y=Inx

設(shè)y=αrT與3=如X的切點為(々,In%),

則切線斜率為

α=Mmb=L,

又有InXo='x<>T,所以％=1,即。=1,

?

所以當(dāng)y=lnx與y=αr-l有交點時,a≤l,

故選:B

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,考查圖像的對稱點問題,考查數(shù)形結(jié)合思想

二、填空題

13.若1,4,2加+8成等比數(shù)列，則機=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，解得即可.

【詳解】因為1,4,2/+8成等比數(shù)列，

所以1x（2根+8）=4。解得加=4.

故4

14.曲線y=d-.在點處的切線斜率為.

【正確答案】5

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】由y=d—*可得y'=3f+2,

XX

2

所以當(dāng)X=I時，y'=3xF+]=5,

?

所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線y=1-：在點（1,-1）處的切線斜率為5,

故5

三、雙空題

15.己知等差數(shù)列｛4“｝,其前W項和為S“，α4+%+%=12,則＜?=,Sg=

【正確答案】436

【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出出，再根據(jù)求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.

【詳解】在等差數(shù)列｛““｝中%+%+%=12,又4+4=2%,所以為=4,

又q+a9=2a5,

所以S」q+?x9=等=2=36?

故4：36

四、填空題

16.函數(shù)/（x）=xlnx的極小值為.

【正確答案】一一

e

求出J"(x)=lnx+1,令導(dǎo)數(shù)為0,解出方程，從而可以看出/(x)j'(x)隨X的變化情況,

繼而可求極小值.

【詳解】解：依題意，得/'3=lnx+l,Xe(0,+∞).令f(x)=O,解得X=L

e

所以當(dāng)x∈(θ,j時，∕,U)<0;當(dāng)XeE,+Ql時，Γ(x)>0.

所以當(dāng)X=J?時，函數(shù)/(χ)有極小值-L

ee

故答案為：-L

e

本題考查了極值的求法.求函數(shù)極值時，一般先求出函數(shù)的定義域，接著求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)

為0解方程，探究函數(shù)、導(dǎo)數(shù)隨自變量的變化.注意，導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點.極值點

的不僅要滿足導(dǎo)數(shù)為0,還要滿足左右兩側(cè)函數(shù)單調(diào)性相反.

17./(x)=-*+∣nx+l在?,e上的最大值是________.

2Le

【正確答案】1##0.5

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值.

【詳解】因為/(x)=-1χ2+lnx+l,所以廣(X)=r+L=土皿二D,

2XX

所以當(dāng)Xe!［時用X)>0,當(dāng)Xe(I,e］時r(x)<0,

所以/(x)在Jl)上單調(diào)遞增，在(Le］上單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=l處取得極大值即最大值，所以/("a="。=；.

故g

18.若函數(shù)/(x)=x(x-α)2在χ=2處取得極小值，則α=.

【正確答案】2

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點得到α=2或α=6,討論。的不同取值，利用導(dǎo)數(shù)的方法

判定函數(shù)單調(diào)性，驗證極值點，即可得解.

【詳解】由/(x)=x(x-a)2=xi-2ax2+a2x可得f'{x}=3x2-4ax+a2,

因為函數(shù)f(x)=X(X-a)?在X=2處取得極小值,

所以/'(2)=12-84+/=o,解得α=2或α=6,

若α=2,貝IJ∕,(x)=3X2-8Λ+4=(X-2)(3X-2),

當(dāng)Xe,8,|)時，/'(X)>0,則f(χ)單調(diào)遞增；當(dāng)Xe(1,2)時，/'(x)<0,則/(χ)單調(diào)遞

減；

當(dāng)xe(2,4w)時，∕,(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；所以函數(shù)AX)在x=2處取得極小值，符合題

意；

當(dāng)α=6時，f'(x)=3χ2—24x+36=3(x—2)(x-6),

當(dāng)X?一,2)時，∕,(x)>0,則/(χ)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(2,6)時，∕,(x)<0,則/(*)單調(diào)遞減;

當(dāng)x?6,”)時，∕,(x)>0,則/O)單調(diào)遞增：所以函數(shù)在χ=2處取得極大值，不符合題意;

綜上.4=2

故2.

思路點睛：

已知函數(shù)極值點求參數(shù)時，一般需要先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點求出參數(shù)，再驗證所求參數(shù)

是否符合題意即可.

五、雙空題

19.若數(shù)列｛q｝是正項數(shù)列，且用+施^++7^^w2+3n(n∈N*),貝∣J%=，

4+/+a,,_

-------1r+π-------_____________.

23n+1

【正確答案】362"+6〃

【分析】當(dāng)“≥2時:石+JZ++7?7=(W-1)2÷3(n-l),與已知式相減,得JZ=2n+2,

即可求出％,檢驗首項即可得到數(shù)列｛%｝的通項公式，即可求出見,再得到熱的通項，

最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式解得.

【詳解】因為“^+瘋++瘋="+3〃①，

令〃=1,得百=4,q=16,

當(dāng)”22時，8+M++?J?7=(M-1)2+3(?-1)?

①一②得=H2+3∕l-(λl-l)2-3(∕7-1)=2∕7÷2,

2

an=4(H+1),

又?.?刃=1時,%滿足上式，?二4=4("+l)2(κ∈N*),

.?.4=36,

.??3=4"+4,.?.%-4=4,即是以4為公差的等差數(shù)列,

n+?〃+2/2+11^+1J

.?.幺+生++江」(8+4”+4)=2〃2+6”.

23〃+12

故36；2rr+6n

六、填空題

20.若函數(shù)/(x)=χ2-g[nx+l在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間伏-IM+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則

實數(shù)4的取值范圍.

【正確答案】心).

2

【詳解】試題分析：由于定義域為(0,+∞),Λ?-l>0,.β.Λ>l,V/(x)=x2-^lnx÷l,

k-?<-

A9-_I4r29—119

Λf'(X)=v_L,令r(x)=2_l=0得X=：,由題意｛f,又Ql,

2x2x2Λ+l>l

2

3

???實數(shù)人的取值范圍為[1,∣?)

本題考查了導(dǎo)數(shù)的運用

點評：函數(shù)的零點問題利用導(dǎo)數(shù)法往往轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，然后求解即可

七、解答題

21.已知函數(shù)/(x)=V+加-2x+l在X=I處取得極值.

⑴求。的值；

(2)求〃x)的單調(diào)區(qū)間及極值.

【正確答案】(1)-]

⑵單調(diào)遞增區(qū)間為18,-?∣)和(1次)，單調(diào)遞減區(qū)間為(一：/｝極大值為段，極小值為一；.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得/'(1)=0,即可求出參數(shù)的值，再檢驗即可;

(2)由(1)可得函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

【詳解】(1)因為f(x)=V+底-2x+l,所以r(x)=3χ2+20r-2,

由題意/⑴=3+2α-2=0,解得〃=-；,經(jīng)檢驗符合題意；

(2)由(1)得/(1)二/一；工2一2%+1,則/'(%)=3χ2一％一2=(3%+2)(工一1)，

2

令人外>0,解得%>ι或

2

令rα)<o,解得一(c<ι,

故/O)在(-∞,-∣)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1,M)上單調(diào)遞增，

則“X)在X=處取得極大值在X=1處取得極小值/O)=-?,

??fcl?/乙/乙

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為1-∞,-∣)和(ι,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∣,ι｝極大值為極

小值為一;.

22.已知公比大于I的等比數(shù)列｛%｝的前6項和為126,且4/，3%,2%成等差數(shù)列.｛〃｝

是等差數(shù)列，打=3,5s=20.

⑴求數(shù)列｛4｝與｛2｝的通項公式：

⑵若?ι=anbn(〃∈N*),求數(shù)列｛c,,｝的前n項和Tn.

【正確答案】⑴4=2",bn=n+l

+

(Z)Tn=n-2"'

【分析】(1)分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前〃項和公式列方程組求解即可;

(2)利用錯位相減法求解即可.

【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為q(q>l),

由4生，3%,2%成等差數(shù)列可得2、3%=4出+24，即64/=4αq+2“/,解得q=2,

又因為｛。.｝的前6項和為126,所以)=126,解得4=2,

Ir

所以q=囚卡=2".

設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d，

由題意可得A=b∣+d=3①,Ss=5屹+:)=5儂+4")=20②，

22

①②聯(lián)立解得A=2,d=l,

所以包=bl+("-l)d="+l.

(2)由(1)得c,,=("+l)?2",

=2×2l+3×22+4×23+???+n×2π^1+(“+1)x2"③，

27；,=2×22+3×23+4×24+-??+H×2"+(T7+1)×2"+1Φ,

③一④得一%=2X2'+2?+2'+…+2"τ+2"-(〃+1)?2),+1

H

2(1-2)Z.TL

=ZH----------(∕1÷I)-2=-7?-2，

1-2''

所以北=〃-2向.

23.已知函數(shù)F(X)=(2"-I)Inx」-2ox(αeR).

⑴a=0時，求函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)αw0時，討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(3)若對任意的α∈[―2,T),當(dāng)為，9w[1,e]時恒有W-2e)4—+2(XJ-/(々)|成立,

求實數(shù)加的取值范圍.

【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(l,+∞)?

(2)答案見解析

(3)(7),5]

【分析】(1)求出函數(shù)的解析式，即可得到定義域，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到廣(Jr)=。奴+I-—”,再分〃>0、a<-,。=一；、

X乙乙

-^<?<0四種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)由(2)可得〃X)的單調(diào)性，即可得到Y(jié)a)-"X2)∣≤4"-2ae-g,依題意可得

(〃L2e)ɑ」+2≥44-2ɑe」對任意的ɑe[-2,-l)恒成立，參變分離，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)計算

ee

可得.

【詳解】(I)當(dāng)α=0時，f(x)=—1∏Λ^—,X∈(θ,+∞),

"(x)=T7=?，

當(dāng)Xe((U)時，,明耳>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(l,+∞)時，∕,(x)<0,函數(shù)"x)

單調(diào)遞減，

即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為((U),單調(diào)遞減區(qū)間為(L+∞).

(2)當(dāng)4≠0時，函數(shù)/(x)=(24-l)lnx-1-2αr,X∈(0,+∞),

2,

、2a—11-2cιx+(2d-l)x+l(20x+l)(l-x)

*X)=丁+L=-------√--------=-√-'

①當(dāng)4>0時，20v+l>0,

令/'(x)=0,解得x=l,

.?.當(dāng)X?0,1)時，/(≈{x)>0,函數(shù)"x