2023-2024年福建新高考高二（上）數(shù)學(xué)期末模擬卷（解析板）

20232024年福建新高考高二（上）數(shù)學(xué)期末模擬卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知直線，則直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，．則，．故選：．2．（5分）已知點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個焦點(diǎn)，若，則)A． B． C．1 D．3【答案】【詳解】因為點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，所以，因為，所以．故選：．3．（5分）已知直線過點(diǎn)，方向向量為，則原點(diǎn)到的距離為A．1 B． C． D．3【答案】【詳解】根據(jù)題意，點(diǎn)，則，則，設(shè)向量與的夾角為，則向量在向量上的射影為，則原點(diǎn)到的距離；故選：．4．（5分）已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】【詳解】圓的圓心，半徑為3，，圓的圓心，半徑為1，圓與圓，若與有且僅有一條公切線，說明兩個圓內(nèi)切，可得：，解得．故選：．5．（5分）某農(nóng)場為節(jié)水推行噴灌技術(shù)，噴頭裝在管柱的頂端處，噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀，如圖所示．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)離地面，點(diǎn)到管柱所在直線的距離為，且水流落在地面上以為圓心，以為半徑的圓上，則管柱的高度為A． B． C． D．【答案】【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，水流的軌跡為一開口向下的拋物線，設(shè)拋物線的方程為，因為點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線方程為，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以，所以管柱的高度為．故選：．6．（5分）記是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，．?dāng)?shù)列滿足，且，則下列選項錯誤的是A． B． C．?dāng)?shù)列的最大項為 D．【答案】【詳解】由與，得，又，所以，即．因為，所以，，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時，，也符合，，選項正確；，選項正確；設(shè)，，當(dāng)時，解得，數(shù)列的最大項為，選項錯誤；，選項正確．故選：．7．（5分）初中時通常把反比例函數(shù)的圖象叫做雙曲線，它的圖象就是在圓錐曲線定義下的雙曲線，只是因為坐標(biāo)系位置的不同，所以方程的形式才不同．當(dāng)時只需把反比例函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，便得到焦點(diǎn)在軸的雙曲線的圖形．所以也可以理解反比例函數(shù)的圖象是以軸，軸為漸近線，以直線為實軸的等軸雙曲線，那么當(dāng)時，雙曲線的焦距為A．8 B．4 C． D．【答案】【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且以軸和軸為漸近線．同時求得函數(shù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．他們與原點(diǎn)的距離為．同時可知直線與軸成的角，反比例函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，得到的雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且以和為漸近線，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，和，所以，所以該雙曲線的焦距為：．故選：．8．（5分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則A．2 B．7 C．14 D．28【答案】

【詳解】，．則．故選：．二．多選題（共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）已知直線，直線，則下列命題正確的有A．直線恒過點(diǎn) B．直線的方向向量為，則 C．若，則 D．若，則【答案】【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，選項錯誤；直線的方向向量為，則直線斜率，得，選項正確；直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當(dāng)時，與重合，選項錯誤；若，則有，即，選項正確．故選：．10．（5分）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)，與半橢圓交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．橢圓的離心率是 B．線段長度的取值范圍是 C．面積的最大值是 D．的周長不存在最大值【答案】【詳解】由題意得半圓的方程為，設(shè)橢圓的方程為，，，橢圓的方程為，對于，橢圓的離心率是，故正確，對于，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以線段長度的取值范圍是，故錯誤，對于，由題得面積，設(shè)，，，，設(shè)，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確，對于，的周長，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的周長最大，但是不能取零，所以的周長沒有最大值，故正確．故選：．11．（5分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過的截面與棱，分別交于點(diǎn)，，，可能共線），則下列說法中正確的是A．存在點(diǎn)，使得 B．線段長度的取值范圍是， C．四棱錐的體積為2時，點(diǎn)只能與點(diǎn)重合 D．設(shè)截面，，的面積分別為，，，則的最小值為4【答案】【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，1，，，0，，，2，，，0，，設(shè)點(diǎn)，2，，，0，，其中，．由于，，滿足題意時，解得，不合題意，選項錯誤；設(shè)，其中，，即，0，，1，，2，，即，整理可得，，則，所以，，選項正確；，其中，則，又，故，即，故點(diǎn)只能與點(diǎn)重合，選項正確；，，則點(diǎn)到直線的距離為，，則點(diǎn)到直線的距離：，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為4，選項正確．故選：．12．（5分）拋物線的光學(xué)性質(zhì)為：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，且法線垂直于拋物線在點(diǎn)處的切線．已知拋物線上任意一點(diǎn)，處的切線為，直線交拋物線于，，，，拋物線在，兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)．下列說法正確的是A．直線方程為 B．記弦中點(diǎn)為，則平行軸或與軸重合 C．切線與軸的交點(diǎn)恰在以為直徑的圓上 D．【答案】【詳解】設(shè)直線的方程為，，與拋物線聯(lián)立得，必有△，，，，，代回方程整理得：，故錯誤；拋物線在點(diǎn)處的切線切線，在兩點(diǎn)處的切線，設(shè)點(diǎn)，，則滿足方程組，則可知，，，是一元二次方程的兩組解，由經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線有且僅有一條，故方程為，變形為，又直線方程為，兩式對應(yīng)系數(shù)得，，所以平行軸或與軸重合，故正確；如圖，記切線與軸的交點(diǎn)，，，，，所以，，，四點(diǎn)共圓，且為直徑，故正確；如圖，記切線與軸的交點(diǎn)為，過作軸平行線，由拋物線光學(xué)性質(zhì)，，由等腰、直角、，，，四點(diǎn)共圓（對同弦圓周角相等），可得如圖五個角相等；同理，五個角相等．則，，故正確．故選：．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，其縱截距為正，且縱截距比橫截距大1，則直線的方程為．【答案】【詳解】由題意知，直線的斜率存在，由題意設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，可得，解得或（舍去），所以直線的方程為，即．故答案為：．14．（5分）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為．【答案】【詳解】，，，，由累加得，所以，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，或5時最小，時，；時，，所以的最小值為．故答案為：．15．（5分）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是．【答案】【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，1，，可得，設(shè)，，，，，，，則，可得，即，故，0，，同理可得：，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，對，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即直線與之間的距離是．故答案為：．16．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，△的面積為，，則橢圓的長軸長為．【答案】7【詳解】是橢圓上的一點(diǎn)，，又由余弦定理可得，，，△的面積為，，，，，，，，，又，，，．故答案為：7．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）已知空間三點(diǎn)，0，，，1，，，0，，設(shè)，．（1）若，且，求向量；（2）求向量與向量的夾角的余弦值；（3）若與互相垂直，求實數(shù)的值．【答案】（1），1，或，，；（2）或【詳解】（1）點(diǎn)，0，，，1，，，0，，，，，由，且，設(shè)，，，，解得，，1，或，，．（2），1，，，0，，，，，，．（3），1，，，0，，若與互相垂直，則，，即，化簡得，解得或．18．（12分）已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．（1）求所在的直線方程；（2）求平行四邊形的面積．【答案】（1）；（2）16【詳解】（1）設(shè)，，，，則，，為平行四邊形，，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，即直線所在的直線方程為；（2），，則，即直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，又，平行四邊形的面積為．19．（12分）在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列的前10項和為55這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且_____．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前100項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】見解析【詳解】（1）若選①：由題意有，則，解得，又，所以．若選②：由得，解得，又，所以．若選③：，由題意得，解得，又，那么，所以數(shù)列的通項公式．（2）由（1）得，所以．20．（12分）（1）已知圓與圓．證明圓與圓相交；并求兩圓公共弦所在直線的方程；（2）求圓心既在第一象限又在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：圓的圓心為，半徑為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓心為，半徑為，所以，因為，所以圓與圓相交．由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即，所以兩圓公共弦所在直線的方程為．（2）設(shè)所求圓圓心為，，，半徑為，則圓心到直線的距離為，由題意，可得，解得，，，故所求圓的方程為．21．（12分）如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，．（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）證明：正方形中，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，且，又，，又，，，又，，又，，平面，平面；（2）如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，4，，設(shè)點(diǎn)，，，，，，，4，，，，，