2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末練習(xí)03 直線和圓的方程（重點） 含解析

專題03直線和Hl的方程(重點)

一、單選題

1.在同一平面直角坐標系下，直線N="+方總在直線y=2x-3的上方，則()

A.k>2,b>-3B.k>2,b=-3

C.k=2,b>-3D.k=2,h=-3

【答案】C

【分析】結(jié)合直線的圖像，利用直線的斜率與縱截距進行判斷.

【解析】因為直線)■="+8總在直線y=2x-3的上方，所以直線y="+b與直線y=2x-3平行，且直線

y=履+6在y軸上的截距必大于直線y=2x-3在>軸上的截距，所以％=2,?>-3.故A,B,D錯誤.

故選：C.

2.已知直線4：x-2y+l=O,l2-.2x+ay-?=O,I1Il2,則實數(shù)。的值為()

A.1B.?C.――D.—2

【答案】A

【分析1利用一般式下兩直線垂直的充要條件“4，4=AA?+4為=0”即可求解

【解析】由∕∣_L4=lx2+(-2)Xa=Ona=1.

故選：A.

3.已知直線《OX-y+l=0,Z2:x+αy+l=0,a∈R,以下結(jié)論不正確的是()

A.不論“為何值時，《與4都互相垂直

B.當α變化時，4與(分別經(jīng)過定點A((M)和B(TQ)

C.不論α為何值，4與4都關(guān)于直線x+V=O對稱

D.如果乙與4交于點〃，o為坐標原點，則IMa的最大值是3

【答案】C

【分析】根據(jù)直線垂直的條件可判斷A;求出直線4與L所過的定點，可判斷B；在上任取點(x,6+l),

求出其關(guān)于直線χ+y=0的對稱點，判斷是否滿足4方程，判斷C;求出4與％交點M,求出IMa的表達

式，可判斷D.

【解析】對于A,αχl+(-l)xa=0恒成立，《與4互相垂直恒成立，故A正確;

對于B,直線∕∣:αr-y+l=O,芻q變化時，1=。，y=ι恒成立，

所以6恒過定點A(0,l)；

l2?x+αy+l=0,當。變化時，x=τ,y=0恒成立，所以4恒過定點8(T,0),故B正確；

對于C,在∕∣上任取點(x,ox+l),awR,

其關(guān)于直線χ+y=o對稱的點的，且標為(一改一L一九),

代入4：x+αy+l=0,則左邊為-2依不恒等于0,故C不正確；

一〃-1

X=—;——

[ax-y+?=0,〃+1

對于D,聯(lián)立八,解得

[x+αy+1l=0一4+1'

y=~~27

U+1

Hn"/F-"]F+

即MJ~,F~),

a÷1Γa+1Γ

所以IMol=J(Wzl)2+(里7

\礦+16T+1

=J-ΛT≤√2，

Vdf+1

所以IMa的最大值是血,故D正確，

故選;C

4.若過點(3,0)的直線/截圓/+(y-2)2=25的弦長為8,則直線/的方程為()

A.5Λ-12>--15≈0B.5x+12y-15=O

C.5x-12y-15=O或X=3D.5x+12y-15=()或％=3

【答案】C

【分析】對直線的斜率是否存在夕>類討論，根據(jù)圓心到直線的距離、弦長和半徑構(gòu)成的直角三角形得到關(guān)

于斜率的方程，解方程得到方程白勺斜率，進而得到直線方程.

【解析】若直線/的斜率不存在，則/的方程為x=3,

圓心(0,2)到/的距離為3,易求得弦長為8,符合題意：

若直線/的斜率存在，設(shè)/的方程為y=攵(X-3),即kx-y-3k=0,

.I—2—322

故圓心(0.2)到/的距離d=j-p=Ll=√5-4=3,

1

解得人=3

則/的方程為5x-12yT5=0.

綜上所述，直線/的方程為5x-12y-15=0或χ=3.

故選：C.

5.已知兩點A(l,-2),8(2,1),直線/過點尸(0,-1)且與線段AB有交點，則直線/的斜率的取值范圍為()

A.[-?,?]B.(-∞,-l]C.(-M)D.[1,+<?)

【答案】A

【分析】根據(jù)斜率的公式，數(shù)形結(jié)合分析臨界條件求解即可.

【解析】如圖所示，直線%的斜率為右1=雪=-1,直線PB的斜率為即B=畀=1.由圖可知，當直

1—02—0

線/與線段AB有交點時，直線/的斜率&w[T,l∣.

6.若直線x+b,-2-3%=0與圓χ2+y2=∕(r>0)相切，則廠的最大值為()

A.3B.√10C.2也D.√13

【答案】D

【分析】根據(jù)直線過定點且直線與圓相切可知圓心到定點的距離不小于半徑即可得解.

【解析】由題意直線方程可化為&(y-3)=-(x-2),則直線恒過定點(2,3).

因為直線x+妙-2-3左=O與圓f+y2=r2(r>0)相切，所以點(2,3)不在圓內(nèi)，

故∕≤22+32=13,BP?！堋?3,即當(2,3)為切點時，r取最大值JrL

故選：D

7.對于直線/：0r+αy-L=O(4x()),現(xiàn)有下列說法：

a

①無論。如何變化，直線/的傾斜角大小不變；

②無論“如何變化，直線/一定不經(jīng)過第三象限：

③無論。如何變化，直線/必經(jīng)過第一、二、三象限；

④當。取不同數(shù)值時，可得到一組平行直線.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將直線化為斜截式方程，得出直線的斜率與傾斜角，可判斷①正確，④正確；由直線的縱截距為

正，可判斷②正確，③錯誤.

【解析】直線/：ax+ay--=O（a≠0）,可化簡為：x+y-1=O,即y=τ+4,則直線的斜率為-1,

aaa

傾斜角為135。，故①正確；直線在y軸上的截距為，?>o,可得直線經(jīng)過一二四象限，故②正確，③錯誤;

當“取不同數(shù)值時，可得到一組斜率為T的平行直線，故④正確：

故選：C

8.直線/：y=x+機與圓V+y2=4相交于A,B兩點，?∣ΛB∣>2√3,則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.[-2,2]B.[-&,后]C.[-1,1]D.

【答案】B

【分析】利用圓的弦長、半徑、弦心距的關(guān)系結(jié)合已知求出弦心距的范圍，再借助點到直線的距離公式計

算作答.

【解析】令圓χ2+y2=4的圓心儀θ,θ）到直線/的距離為d,而圓半徑為r=2,弦A8長滿足∣AB∣≥26,

Ii,Im??m?ItnILL

則有d=Jz?2-（JABl）2≤1,又d=[W=B于是得十41,解得一應(yīng)≤zm≤應(yīng)，

所以實數(shù)m的取值范圍為卜0,血].

故選：B

9.如圖，已知兩點A（11,O）,3（O，T）,從點尸（LO）射出的光線經(jīng)直線AB上的點M反射后再射到直線OB

上，最后經(jīng)直線OB上的點N反射后又回到點P,則直線MN的方程為（）

A.4x-3y—3=0B.4x+3y+4=()

C.3x-4y+3=0D.4x-3y÷4=0

【答案】D

【分析】分別求出點P關(guān)于直線x+2y-lI=0與y軸的對稱點，從而得到結(jié)果.

【解析】由題意易得AB所在的直線方程為x+2y-11=0,

設(shè)點P關(guān)于直線"：x+2y-l1=O的對稱點A(a,b),

解得a=5,人=8,

點P關(guān)于直線AB對稱的點為4(5,8),點P關(guān)于)，軸對稱的點為4(-1,0).

Q

直線MN即直線A&，則直線MN的方程為>=彳(7)，即4一>4=。.

故選：D

OXO+by0+c

10.定義點P(X0,到直線/：Or+切+。=0(次+匕2#))的有向距離為d=.己知點H,尸2到直線

?∣a2+b2

/的有向距離分別是4/,4.以下命題正確的是()

A.若d∣=d2=l,則直線P/P2與直線/平行

B.若4=1,ch=T,則直線P/P2與直線/垂直

C.若d∕+<?=0,則直線P/P2與直線/垂直

D.若辦d2W0,則直線P/P2與直線/相交

【答案】A

【分析】由有向距離的定義可知B中直線P√>2不一定與直線/垂直，C和D中直線P/P2與直線/有可能重

?口?

【解析】設(shè)PG/,y∕),P2(x2,y2),

對于A,若d∕=d2=1,

則附+bχ+c=αx2+by2+c=Jq2+y，

所以直線P/P2與直線/平行，正確；

對于B,點修，尸2在直線/的兩側(cè)且到直線/的距離相等，

直線尸/尸2不一定與直線/垂直，錯誤；

對于C,若山=d2=0,滿足d∕+d2=O,

即“x∕+by∕+C=OX2+6y2+c=O,

則點匕，P2都在直線/上，所以此時直線P/P2與直線/重合，錯誤;

對于D,若d.<?≤0,

即(αr∕+by∣+C)(OJC2÷by2+C)WO,

所以點P/,P2分別位于直線/的兩側(cè)或在直線/上，

所以直線P/P2與直線/相交或重合，錯誤.

故選：A

11.過點P(-3,O)作直線2x+(2+l)y+22=O(2∈H)的垂繚垂足為M,已知點N(3,2),則當4變化時，

IMNl的取值范圍是()

A.[θ,5+√5]B.[5-√5,5+√5]C,[5,5+√5]D.[5-√5,5]

【答案】B

【分析】化已知直線為(2x+y)+/l()，+2)=0,即有2x+y=0且y+2=0,解方程可得定點Q,可得M在

以PQ為直徑的圓上運動，求得圓心和半徑，由圓的性質(zhì)可得最值.

【解析】解：直線2x+(X+l)y+2∕l=0(∕lGR),即(2x+y)+4(y+2)=0,

2x+y=0(x=l

{y+2=0,求得y=-2,直線經(jīng)過定點Q(l,-2).

由-PQM為直角三角形，斜邊為P。，M在以P。為直徑的圓上運動，

可得圓心為PQ的中點”(TT),半徑為；IPQI=百，

則N(2,3)與例的最大值為NH+r=√(2+l)2+(3+1)2+√5=5+√5，

則N(2,3)與M的最小值為M7T=J(2+1)2+(3+1)2-6=5-√^，

故MN的范圍為：[5-√5,5+√5],

故選8.

【點睛】本題考查直線恒過定點，以及圓的方程的運用，圓外一點與圓上的點的距離的最值求法，考查運

算能力，屬于中檔題.

12.設(shè)集合C=卜x,y)[X-Z)2+卜-廿『=4網(wǎng)/ez}①存在直線/,使得集合Q中不存在點在/上，而存在

點在/兩側(cè)；②存在直線/,使得集合Ω中存在無數(shù)點在/上：()

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【答案】B

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系一一判斷即可；

【解析】解：若①成立，則相鄰兩圓外離，

不妨設(shè)相鄰兩圓方程為(XT)2+卜_/)2=4閨，圓心為化公)，半徑4=2炳，

(x-?-l)2+[y-(?+l)2]2=4∣?+l∣,圓心為k+l,(%+l))半徑4=27^Tlj,

貝U"+(2k+I)?>2麗+7∣ΓΓιi)

當％=4時(屈)2-[2(2+6)，=82—36-16石=7^?^-71^5>0,

即J1+(2Z+1)2>2函+^M)成立,所以結(jié)論①成立；

對于②，設(shè)直線/的方程為y=w+f,則圓心(太好)到直線/的距離d=∣,I

?∣l+m2

當％.8時4=>2炳=r，

√l+w2

所以直線/只能與有限個圓相交，所以結(jié)論②不成立；

故選：B

二、多選題

13.已知直線∕∣:XSina+y=0與4：3x+y+c=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線4與直線4可能重合

B.直線4與直線4可能垂直

C.直線4與直線4可能平行

D.存在直線4上一點P,直線4繞點P旋轉(zhuǎn)后可與直線4重合

【答案】BD

【分析】分別求出直線4，4的斜率，根據(jù)兩直線平行和垂直斜率滿足的關(guān)系即可逐一求解.

【解析】直線4:XSina+y=0的斜率為Al=-Sinα,

直線/∕3x+y+c=0的斜率&=-3,

,?-l≤sina≤l,?-??∣,⑥不可能相等，

???直線4與直線4不可能重合，也不可能平行，故A,C均錯誤；

當Sina=-g時，k#2=T，∕∣J?4,：?直線∕∣與直線4可能垂直，故B正確；

直線4與直線4不可能重合，也不可能平行，

???直線4與直線4一定有交點尸，

二存在直線4上一點尸，直線4繞點P旋轉(zhuǎn)后可與直線重合，故D正確.

故選：BD.

14.下列說法正確的是()

A.點斜式y(tǒng)-y=Nχ-±)可以表示任何直線

B.過(為,%)、(巧,九)兩點的直線方程為ST=Ff

Z2??Λ2Λ?

C.直線x-2y-4=0與直線2x+y+l=0相互垂直.

D.直線y=4x-2在y軸上的截距為一2

【答案】CD

【分析】利用點斜式方程可判斷A選項；利用兩點式方程可判斷B選項；利用兩直線垂直的斜率關(guān)系可判

斷C選項；利用截距的定義可判斷D選項.

【解析】對于A選項，點斜式y(tǒng)-M=Mx-X,)不表示與X軸垂直的直線，A錯；

對于B選項，過(公,外)、(巧，％)兩點且斜率不為零的直線方程為三￥=三§，B錯；

μyχ2χ]

對于C選項，直線x-2y-4=0的斜率為K=；,直線2x+y+l=0的斜率為8=一2,

所以，klk2=-l,故直線x-2y-4=0與直線2x+y+l=0相互垂直，C對；

對于D選項，直線y=4x-2在>軸上的截距為一2,D對.

故選：CD.

15.己知方程V+y2-4x+8y+2α=O,則下列說法正確的是()

A.當α=l()時，表示圓心為(2,T)的圓

B.當4<10時，表示圓心為(2,Y)的圓

C.當α=0時，表示的圓的半徑為2逐

D.當α=3時，表示的圓與V軸相切

【答案】BC

【分析】將方程化為(x-2)2+(y+4)2=20-2α,討論。的取值，逐一判斷即可.

【解析】解：由x2+∕-4x+8y+2α=0,得(x-2/+()，+4尸=20-20,

當α=10時，方程V+y2-4x+8y+20=0表示點(2,-4),故A錯誤；

當α<10時,方程/+>2-4才+8〉+2“=0表示圓心為(2,-4)的圓，故B正確；

當α=0時，方程d+V-4x+8y+24=0表示的圓的半徑為20，故C正確；

當a=3時，方程W+yJ4x+8y+%=0表示的圓的半徑為V,與＞軸相交，

故D錯誤.

故選：BC.

16.已知圓Q：x~+y?—2x—3=0和圓。2：X?+V—2y—1=()的交點為A、B,則()

A.兩圓的圓心距IaO/=夜

B.圓。|上存點P,圓。2上存在點2,使得IPQI=3+0

C.圓U上存在兩點P和。使得|「。＞|明

D.圓。上的點到直線A8的最大距離為2+√Σ

【答案】ABD

【分析】求出兩圓圓心距，可判斷A選項；計算出IPQl的取值范圍，可判斷B選項；求出IAB可判斷C

選項；求出圓。|上的點到直線AB的最大距離，可判斷D選項.

【解析】對于A選項，圓Oi的標準方程為(X-I)2+V=4,圓心為?(1,0),半徑為4=2,

圓。2的標準方程為f+(y-l)2=2,圓心為Q(O,1),半徑為4=&，

所以，IaQl=J(1_0/+(0_】)2=0，A對；

對于B選項，因為k一引ClaO2卜4+4，則兩圓相交，

所以，Ipanm=IaO2∣+{+u=2+20,.?.0≤∣Pβ∣≤2+2√L

因為3+√Σ∈[θ,2+2√Γ∣,所以，圓α上存點P,圓。2上存在點Q,使得IPa=3+后，B對；

對于C選項，將兩圓方程作差可得χ-y+i=0,即直線A3的方程為χ-y+i=0,

圓心。倒直線A3的距離為4=*=所以，IABl=2汗丁=20,

對于圓。2上的任意兩點P、Q，∣Pe∣≤2^=∣ΛB∣,C錯；

對于D選項，圓心。|到直線AB的距離的最大值為&+彳=2+0,D對.

故選：ABD.

17.已知圓M:(x+2y+V=2,直線/：x+y-2=0,點戶在直線/上運動，直線尸4可分別于圓M切于

點A,8.則下列說法正確的是()

A.四邊形∕>AM8的面積最小值為2g

B.|尸山最短時，弦AB長為幾

c.|/訓(xùn)最短時，弦AB直線方程為χ+y-ι=o

D.直線AB過定點(-?∣,;)

【答案】ABD

【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)切線長與圓心到定點距離d和半徑,之間關(guān)系，即切線長

=√7=7可知當PM時，IPAl最小，可確定四邊形面積最小值，同時利用面積橋可求得∣AB∣，由此可

知AB正確；設(shè)尸伍,九)，可知AB方程為：(%+2)(x+2)+%y=2,由PM_L/可求得P點坐標，由此可

得AB方程，知C正確；將％=2-x。代入AB方程，根據(jù)直線過定點的求法可知D正確.

【解析】由圓的方程知：圓心M(-2,0),半徑r=夜，

wO.

Jt÷y-2H)

對于AB,四邊形P4W3的面積S=2SMM=2×^∣PA∣?r=√2∣PA∣,

則當IPAl最短時，四邊形Ru仍的面積最小，

點M到直線/的距離d=∣∣y∣d2-r2

H1二?=2√2,.?.PΛmjn==√6,

止匕時SmhI=26，A正確；

又SM=；|叫「=#MTAM,???此時/=何B正確：

2

對于C,設(shè)A(X,%),8(Λ2,%),P(XO，/)，

則過A作圓的切線，切線方程為：(?xl+2χx+2)+yy=2;過B作圓的切線，切線方程為:

(Λ2+2)(x+2)+%y=2,

(x+2)α>+2)+y%=2

又尸為兩切線交點,l

(?+2)(x0+2)+j2y0=2

則4,8兩點坐標滿足方程：(毛+2乂》+2)+%丁=2,即48方程為：(%+2)(x+2)+%y=2;

當IPAl最小時，PMjJ,，直線方程為：y=x+2,

y=x+2X=O/、

由得:尸2'即尸(OB)，

χ+y-2=0

.?.AB方程為：2(x+2)+2y=2,即x+y+l=O,C錯誤;

對于D,由C知：A8方程為：(Λn+2)(x+2)+%y=2;

又??+%-2=0,即%=2-%，

.?.AB方程可整理為：(x-y+2)xo+2x+2y+2=O,

3

X

￡；；L得:[2,.?.AB過定點,],]),D正確.

由

2

故選：ABD.

【點睛】結(jié)論點睛：過圓(x+af+(y+匕Y=/上一點(七,為)作圓的切線，則切線方程為：

(Λυ+α)(x+α)+(yo+6)(),+3=/;過圓卜+力+仃+3匕戶外一點伍劣開乍圓的兩條切線，切點弦所

在直線方程為：(Λo+α)(x+α)+(yo+6)(y+6)=r2.

18.如圖所示，M,N是圓。：f+/=4上的兩個動點，線段Mo的延長線與直線/：χ+>-3=0交于點

P,若NMPN=45。，則下列結(jié)論正確的是()

C.ZMOTV≠90o

D.∣MN∣的最大值為26

【答案】ABC

【分析】點。到直線/上的點的距離即為IoPl的最小值，過點P作圓。的切線PT(T為切點)，則有

IoPF≤2∣OTF,可判斷出選項AB的正誤；假設(shè)NMON=90。，可推出IoH=ION不符題意，故選項C

正確；取IoPI=20,此時NMON=I35。，可得到IMNl>JoM)+|。N『-2∣OMloNlCoSI20。=2√J,故

選項D錯誤.

【解析】如圖所示，

過點P作圓。的切線PT(T為切點)，則有ZOPT≥ZOPN=45。，所以IoP∣2=∣PΓI2+?OT∣2≤2∣OTI2=8,

則|?！?20,又因為尸為直線/：x+y-3=0上的動點，所以點O到直線/上的點的距離的最小值為

∣0+0-3∣3√2一”

—I---------=~，故A,B正確：

若NMoN=90。，則ZPCN=90。與NoPN=45。=>∣O"=IoM=2，不合題意，故NMONW90。，故C正確;

當IoPl=2夜時，∣PN∣=IoM=2,NMoN=I35。,

?MN?=JOMf+∣ON∣2-21。MIoMCOSl35。>JlOM『+|。N『-2∣OMIoMCoS120。=2√3,故D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

19.經(jīng)過A(x,2),8(3,-4)兩點的直線的一個方向向量為(1,3),則X=__________

【答案】5

【分析】根據(jù)直線方向向量即可計算.

-4-2

【解析】由條件可知，--=3,解得x=5.

3-x

故答案為：5.

20.在平面直角坐標系中，已知42,0),伙-3,4)兩點，。為坐標原點，則NAOB的平分線所在直線的方程

為___________.

【答案】y=2χ

【分析】設(shè)NAOB的平分線的傾斜角為凡根據(jù)斜率公式結(jié)合ZCTJ=tan2?？傻胻an。，由，的范圍即可求解.

【解析】由題意，可設(shè)NAO8的平分線的傾斜角為8,如圖，

則tan6=2或—，又0<2θ<π,故0<，<一,

22

故A=tan6=2,

故NAOB的平分線所在直線的方程為y=2x,

故答案為：y=2x

21.已知圓C/：x2+∕-6Λ+4y+12=O?0Cι?.x2+y2-6x-2^+a=O,若圓C/與圓C2有且僅有一個

公共點，則實數(shù)。的值為___________.

【答案】6或-6

【分析】根據(jù)兩圓是外切或者內(nèi)切，由圓心距和半徑的關(guān)系即可求解.

【解析】Ci：f+y--6x+4y+12=O的圓心為(3,—2),半徑為r=l,圓C2：x?+y2—6x—2y+α=。的圓

心為(3,1),半徑為R=TiU=,由于兩圓只有一個公共點，則兩圓外切或者內(nèi)切，因此

2222

λ∕(3-3)+(-2-l)=√10-c+1或A∕(3-3)+(-2-1)=∣√10-α-1|,解得α=6或α=-6,

故答案為：6或-6

22.如圖1,等腰直角三角形ABC,AB=BC=S,。為AC中點，/為平面A8C內(nèi)過。點的一條動直

線，沿直線/作如圖2的翻折，點C在翻折過程中記為點C',C'在直線/上的射影為C∣,C'在平面A6C上

的射影C,落在直線AB上，則當沿取得最小值時，G到直線AB的距離為_______.

cC

.c

n

/A

Az------------------'B

【答案】6-2√2**-2√2+6

【分析】由給定條件證得GC可得G是過一ABC頂點C作直線/的垂線的垂足，再在

平面ABC內(nèi)建立直角坐標系，利用點到直線距離結(jié)合均值不等式推理、計算作答.

,

【解析】如圖，C'C?，平面ABC,/u平面A8C,則C'G，/，而C'G?L∕,CC,nC1C2=C1,

CC,Cgu平面C'GG,于是得GG^/,因此，點C2,G,C三點共線，∣cc∣Hcc∣>∣cc∣,

以直線A8,8C分別為X軸、)，軸建立平面直角坐標系，如圖，

則A(-8,0),C(0,8),f>(<4),依題意，直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為：y=-x+4)+4,直線CG的方程：y=-Jx+8,則C2(8k,O),

K

.,.∣4?-4∣,∣8?2+4?+4∣IIll、

ll1

CC1I=ICG=,1CGl=--I,，由ICCl>∣GG∣得12公+Z+11<|%]I,解得T<Z<O,

√?~÷1√?÷1

22

∣C,C2∣2?+?+l2(1-?)+5(?-1)+4

因此=2(l-?)+-^--5≥2∕2(l-?)?-^--5=4√2-5.

,__

ICClI^1≡I―?-kI-KV1—Λ

4-

當且僅當2(—)=匚P即時取f此時，直線/：.=(1-√2)(X+4)+4,

直線CG：>>=(√2+l)x+8,

y=(l-√2)(x+4)+4L,1L

由,'-(√2+l)+8解得x=-2,y=6-2√Σ,則點G到直線AB距離IGEI=6-2夜,

故答案為：6-2√2

【點睛】思路點睛：平面圖形翻折問題，在翻折過程中，始終位于同一平面內(nèi)的點線位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

不變，否則將可能發(fā)生變化.

四、解答題

23.在平面直角坐標系Xoy中，設(shè)直線/：(2"l)x+("l)y—7&+4=0(?∈R).

(1)求證：直線/經(jīng)過第一象限；

(2)當原點。到直線I的距離最大時，求直線I的方程.

【答案】(1)證明見解析

⑵3x+y-10=0

【分析】(1)求出直線/過定點M(3,l)即可；

(2)當時?，原點。到直線/的距離最大，然后可算出答案.

(1)

方程(2Z-I)X+(左-1))，-7々+4=0可化為%(2x+y-7)-x-y+4=0,

∫2x+γ-7=0,∫x=3,

由，“八解得V,

[-x-y+4=0,[y=1.

所以直線/過定點M(3,1),

因為M(3』)在第一象限，所以直線/經(jīng)過第一象限.

(2)

由題意可得，當∕?LOΛ∕時，原點。到直線/的距離最大，

因為從M=g，所以直線/的方程為y-ι=-3(χ-3),

即3x+γ-10=0.

24.已知,ABC頂點A(3,0)、8(—1,—3)、C(l,l),邊AB上的高為CE且垂足為E

(1)求邊BC上中線AD所在的直線方程;

(2)求點E的坐標.

【答案】⑴xf-3=0

【分析】(1)求得。點坐標，根據(jù)兩點式求得An的方程、

(2)根據(jù)CELAB求得E點的坐標.

(1)

O(Z號,萼)，即D(O,-1)，

所以直線AD的方程為察=身,3y+3=x,x-3y-3=0.

0÷l3-0

(2)

直線AB的方程為"^=^1,-4)=-3^+9,3^-4^-9=0,

依題意CEj

3cι-9.3a—9

所以^-一?1-44,

Q-I4a-?3

113。一93

a——,--------=—,

545

25.已知圓C:/+/-2y_4=0,直線/：ax-y+l-∕n=θW∈R).

(1)寫出圓C的圓心坐標和半徑，并判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；

⑵設(shè)直線/與圓C交于A、6兩點，若直線/的傾斜角為120。，求弦A8的長.

【答案】⑴圓心(0.1)，半徑有,/與圓相交；

(2)√17.

【分析】(1)將圓的方程化為標準方程即可求其圓心C和半徑r,求出直線/經(jīng)過的定點，判斷定點與圓

的位置關(guān)系即可判斷/與圓的位置關(guān)系；

(2)求出圓心到直線的距離“，根據(jù)IAM=2√T二F即可求弦長.

(1)

由題設(shè)知圓C:x2+(y-l)2=5,

.?.圓C的圓心坐標為C(0,l),半徑為r=6.

又直線/可變形為：y-l=m(x-1),則直線恒過定點M(1,1),

VI2+(1-1)2=1<5,

.?.點M在圓C內(nèi)，故直線/必定與圓相交.

(2)

由題意知m≠0,

.?.直線/的斜率Z=m=tanl20o=->Λ,

/、Lr-j∣-√3∣√3

二圓心C(0,1)到直線I：√3x+y-√3-l=0的距離ci=J(W)?1=?，

ΛIAB∣=2√√-J2=2J5-^=V∏.

26.已知圓Uχ2+y2-4x-2y+l=0,動直線/:Q"-I)X+(2m+l)y-7，*+I=O

(1)判斷直線/是否過定點？若過定點，請求出該定點；

(2)動直線/與圓C所成的弦中，求以最長弦和最短弦為對角線的四邊形ABCz)的面積.

【答案】(1)過定點，定點(3,2)；(2)4√2?

【解析】⑴將直線的方程化為Mx+2y-7)+(-x+y+l)=0,然后可得答案；

(2)最長弦為直徑，最短弦過P點且與直徑AC垂直，然后求出答案即可.

【解析】(1)l：m(x+2y-7)+(-x+y+l)=0

x+2y-7=0JX=3

-x+y+l=01y=2

直線恒過定點P(3,2)

22

(2)Cr(x-2)+(y-l)=4,ΛC(2,l),r=2

最長弦為直徑，即IACl=4,

最短弦過P點且與直徑Ae垂直，

2i22

?lBol=2y∣r-?PC?=2^2-(>∣2)=2√2，

.??Ss=；|AC|.|町=S

27.已知點P(f,T-1),圓C:(X—3)^+y2=4.

(1)判斷點尸與圓C的位置關(guān)系，并加以證明；

(2)當f=5時，經(jīng)過點P的直線”與圓相切，求直線〃的方程；

(3)若經(jīng)過點P的直線與圓C交于A、B兩點，且點A為總的中點，求點尸橫坐標的取值范圍.

【答案】⑴點P在圓外.

⑵x=5或4x+3y-2=0

(3){“1-√I?}1+√M}

【分析】(1)把點尸的坐標代入圓的方程的左邊計算結(jié)果大于4知點尸在圓外；

(2)分類討論斜率是否存在時，利用圓心到直線的距離等于其半徑求出切線方程；

(3)由經(jīng)過點P的直線與圓C交于A、8兩點，且點A為PB的中點，得到IeH”6,代入可求f的范圍.

(1)

把點P的坐標代入圓的方程的左邊計算，

(r-3)2+(-∕-l)2=2f2-4f+10=2(r-l)2+8>4,

所以點P在圓外.

(2)

當f=5時，點尸的坐標為(5,-6),

由圓C:(X-3)2+V=4.知圓心為(3,0),r=2,

①當直線”的斜率不存在，方程為x=5,圓以到直線x=5的距離為2,

所以x=5是圓的切線；

②當直線”的斜率存在時，設(shè)直線”的方程為y+6=k(x-5),即h-y-5"6=0,

由題意有1~/,∣=2,解得％=

√*2+l3

所以直線”的方程為y+6=-g(x-5),即4x+3y-2=0,

綜上所述，過點P與圓相切的直線方程為x=5或4x+3y-2=0

(3)

若存在經(jīng)過點尸的直線與圓C交于A、B兩點，且點A為尸8的中點，

由圓的半徑為2,所以IA印,4,

則有∣P8∣,,8,?CP?,,6,當A8為直徑時，ICPl有最大值6,

所以有J"-3)2(T-I)2,,6,

解得1-√?∣)l+√14,

所以橫坐標的取值范圍為{∕∣1-√?∣)1+√14}.

28.已知點P(2,0)及圓C：X2+y2-6x+4y+9=0.

(1)若直線/過點P且與圓C相切，求直線/的方程；

(2)設(shè)過P直線(與圓C交于M、N兩點，當IMNI=時，求以MN為直徑的圓的方程；

(3)設(shè)直線ox-y+l=0與圓C交于A,B兩點，是否存在實數(shù)。，使得過點P(2,0)的直線4垂直平分弦

AB2若存在，求出實數(shù)。的值.

【答案】(1)4x—3y—8=0或y=0；(2)(X-2)2+(J+2)2=3^(x-y)2+(j+?2=3；(3)不存在.

【分析】(1)設(shè)直線/的斜率為底用點到直線的距離公式得P”2[2Z∣=2,即求；

y∣k2+\

√(^-3)2+(?+2)2=1

(2)設(shè)MN的中點為Q(a,b),由題可得

(α—2)(。-3)+S-O)S+2)=0

(3)假設(shè)存在，則圓心C(3,-2)必在/2上，由乙的斜率M,C=-2,“=再由直線與圓的位置關(guān)系可得

∣34+3∣

d=H<2,即可得出結(jié)果.

√02+l

【解析】(1)由V+y2-6χ+4y+9=0得(x-3y+(y+2)2=4

設(shè)直線/的斜率為％,則方程為y-0=Mx-2).

又圓C的圓心為(3,-2),半徑r=2,

?3k+2-2k?4

由'=2,解得A=三或k=0.

y∣k2+?

4

所以直線方程為y=](x-2)或y=0,

即直線/的方程為4x-3y-8=0或y=0.

(2)設(shè)MN的中點為Q(a,b),則=7=1，

又PQLCQ,所以PQCQ=O,

.∕√(α-3)12+(?+2)2=1

"∣(α-2)(α-3)+(?-O)(?+2)=θ'

18

?Cl=—

”25

；°或17

b=-2.O

D-——

5

以MN為直徑的圓的方程為(X-2)2+(y+2>=3或(X-￡)2+(y+§2=3.

(3)由直線以-y+l=0與圓C交于A,B兩點，

∣3a+3∣

則圓心C到直線的距離d=<2,

√a2+l

設(shè)符合條件的實數(shù)。存在，

由于4垂直平分弦AB,故圓心C(3,-2)必在4上.

所以4的斜率即C=-2,而心H="=一/-,所以

KPC2

1∣3(2+3∣

由于不滿足d=?=~<2,

2√a2+l

故不存在實數(shù)“，使得過點P(2,0)的直線6垂直平分弦A8.

29.在直線/上任取不同的兩點A,B,稱AB為直線/的方向向量與直線/的方向向量垂直的非零向量稱為

/的法向量，在平面直角坐標系中，已知直線4是函數(shù)y=2x-4的圖象，直線4是函數(shù)y=-]+4的圖象.

(1)求直線/,和直線4所夾成的銳角的余弦值；

(2)已知直線4平分直線4與直線4所夾成的銳角，求直線A的一個方向向量的坐標；

(3)已知點P(3,4),A是4與y軸的交點，〃是4的法向量.求AP在〃上的投影向量的坐標(求出一個即可)，

并求點P到直線4的距離.

【答案】⑴—;(2)(-1+√2,1);(3)

【分析】(I)求得4和4相交點的坐標，以及6和與y軸相交點的坐標，再根據(jù)直線方向向量的定義,

向量的余弦公式求解，并判斷夾角是否為銳角即可.

(2)4平分直線4與直線4所夾成的銳角，所以4和乙所夾的銳角等于4和4所夾的銳角，根據(jù)直線的夾角

公式求出心，寫出一個方向向量的坐標即可.

(3)求點尸到直線《的距離，寫出過A點垂直于4的直線方程(方向向量為〃)，并根據(jù)這兩點聯(lián)合解出

點P在該直線上的投影，則AP的投影向量得出.

(1)設(shè)4和Q相交點的坐標為M,ll和y軸相交點的坐標為4,12和y軸相交點的坐標為B,則A(0,-4),5(0,4),

y=2χ-4

由直線4和4的方程式聯(lián)立X,解得Mk,虧.

V=——+4k77)

3

則MA==分別為直線4和I2的方向向量.

DMAMB√2

由向量的余弦公式cos<"AMB>=,F=—.

MAMB]U

由NAM8∈(0,"),而COS<ΛM,M8>=X2>0,所以向量MAMB形成的角NAMB為銳角.

10

所以直線4和直線/,所夾成的銳角的余弦值為它.

10

(2)直線4平分直線4與直線4所夾成的銳角，所以直線4和直線4所夾成的銳角與直線4和直線％所夾成

的銳角相等，根據(jù)直線的夾角公式，則

2-?&T

K—A?k、—k`，H，2)，

1+K%31+21+2%ι+（-l）fc3

（2-&3）（l-*）=（l+2%）（&+g），

∣M+*j=o,

后+2e一1=0.

-2±#-4xlx(-l)=_1±^

2

又：匕e[-3,2],%=-i+Q.

，直線4的一個方向向量的坐標為(-1+忘,1).

∣2×3—4—4∣2.?∣5

-

(3)??P(3,4),4為y=2x-4,則點P到∕∣的距離為“=M+(])2=?-

過A點做直線AN交X軸于N,則AN為直線AN的方向向量.

又1F的法向量亢垂直于4,則〃〃AN.

因為K=2,則k.=-；

：A(OT),則加為y=-；x-4.

設(shè)點尸在4V上的投影坐標為Q(XO，%)，則為+gx<>+4=0①，

/_|2%0--4∣_2√5

易知點。到4的距離為d=j22+([J=y一②，

由①②解得Q為((一母)或

、、

由M(l廳24,亍20J和尸(3,4)點，3<2寧4可知，點P在《的左邊，點P在4V上的投影坐標。為(卜?4-丁18力

.?.AP在"上的其中一個投影向量為AQ=?∣)?

30.已知圓C的圓心在直線x-3y=0上，與y軸正半軸相切，且截直線/：2x-y=0所得的弦長為4.

⑴求圓C的方程；

(2)設(shè)點A在圓C