浙江省寧波市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(A)(學(xué)生版+解析)

寧波市2022學(xué)年第二學(xué)期高二期末考試試卷數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的值域是()A. B. C. D.2.設(shè)，則“”是“”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點，若△OFP的面積為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B. C. D.4.已知平面向量，，當(dāng)和垂直時，()A. B.22 C. D.255.已知函數(shù)，若函數(shù)有9個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.6.橢圓：有一特殊性質(zhì)，從一個焦點射出的光線到達(dá)橢圓上的一點反射后，經(jīng)過另一個焦點.已知橢圓的焦距為2，且，當(dāng)時，橢圓的中心到與橢圓切于點的切線的距離為：()A.1 B.C. D.或7.已知函數(shù)，則的解集是()A. B.C. D.8.如圖，直角梯形，，，，是邊中點，沿翻折成四棱錐，則點到平面距離最大值為A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數(shù)據(jù)(單位：)繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是()A.5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)B.9號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C.最高氣溫的眾數(shù)為D.5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大10.已知，且則()A. B.C. D.11.電子通訊和互聯(lián)網(wǎng)中，信號傳輸?處理和傅里葉變換有關(guān).傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)(正弦和或余弦函數(shù))的線性組合.例如函數(shù)的圖象就可以近似地模擬某種信號的波形，則()A.周期函數(shù)，且最小正周期為B.為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的導(dǎo)函數(shù)的最大值為712.已知函數(shù)，若時，有，是圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.的圖象與軸有兩個交點B.C.若，則D.若，，，，，，則最大三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知集合，若，則___________.14.圓心在原點且與直線相切的圓的方程為______________.15.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，若，，則使不等式成立的的最小值是________.16.如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，，以為球心，為半徑作球，則該球的球面與四面體各面交線的長度和為___．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在圖1中，四邊形為梯形，，，，，過點A作，交于．現(xiàn)沿將折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐，在圖2中解答下列兩問：(1)求四棱錐的體積；(2)若F在側(cè)棱上，，求證：二面角為直二面角．18.在平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.19.在中，角，，所對的邊分別為，，若且．(1)求值；(2)若且的面積為，求的周長．20.如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且、、、四點共面．(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21.已知，．若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．22.已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點，證明：．

寧波市2022學(xué)年第二學(xué)期高二期末考試試卷數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的值域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的知識可直接選出答案.【詳解】函數(shù)的值域是故選：B【點睛】本題考查的是指數(shù)函數(shù)的值域，較簡單.2.設(shè)，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解得：，問題得解【詳解】由得：.所以“”不能推出“”，“”“”所以“”是“”的必要不充分條件.故選B【點睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題．3.已知點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點，若△OFP的面積為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，再去求其準(zhǔn)線方程即可解決.【詳解】拋物線的焦點，由，可得，不妨令則，解之得則拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為故選：B4.已知平面向量，，當(dāng)和垂直時，()A. B.22 C. D.25【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，當(dāng)和垂直時，則，解得，所以，，所以.故選：D.5.已知函數(shù)，若函數(shù)有9個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將有9個零點的問題轉(zhuǎn)化成與有9個不同交點問題，再分別畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題意，函數(shù)有9個零點，可轉(zhuǎn)化為與有9個不同交點.因當(dāng)有，所以在上是周期函數(shù)，又當(dāng)時，有，，所以在上的圖象如圖所示要使與有9個不同交點，則只需夾在與之間即可，所以，解得或.故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，處理這類題目要注意，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)交點的問題來處理，利用數(shù)形結(jié)合求解，本題是一道中檔題.6.橢圓：有一特殊性質(zhì)，從一個焦點射出的光線到達(dá)橢圓上的一點反射后，經(jīng)過另一個焦點.已知橢圓的焦距為2，且，當(dāng)時，橢圓的中心到與橢圓切于點的切線的距離為：()A.1 B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)過點的切線為，分別做于點，做交軸于點，設(shè)，入射角和反射角相等得，利用中位線可得，再根據(jù)，可得答案，【詳解】設(shè)過點的切線為，分別做于點，做交軸于點，所得是梯形的中位線，設(shè)，入射角和反射角相等，則，則，因為，當(dāng)為上頂點時，為，因為，，所以，即，，，故選：C.7.已知函數(shù)，則的解集是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，繼而作出的圖象，數(shù)形結(jié)合，求得不等式的解集.【詳解】根據(jù)題意當(dāng)時,，當(dāng)時,,作出函數(shù)的圖象如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖象可得不等式解集為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是正確的作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，求得不等式解集.8.如圖，直角梯形，，，，是邊中點，沿翻折成四棱錐，則點到平面距離的最大值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得在四棱錐中平面．作于，作于，連，可證得平面．然后作于，可得即為點到平面的距離．在中，根據(jù)等面積法求出的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式求解可得結(jié)果．【詳解】由翻折過程可得，在如圖所示的四棱錐中，底面為邊長是1的正方形，側(cè)面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，連，則由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，則平面．又由題意可得平面，∴即為點到平面的距離．在中，，設(shè)，則，∴．由可得，∴，當(dāng)時等號成立，此時平面，綜上可得點到平面距離的最大值為．故選B．【點睛】本題綜合考查立體幾何中的線面關(guān)系和點面距的計算，解題的關(guān)鍵是作出表示點面距的垂線段，另外根據(jù)線面平行將所求距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化也是解答本題的關(guān)鍵．在求得點面距的表達(dá)式后再運用基本不等式求解，此時需要注意等號成立的條件，本題難度較大．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數(shù)據(jù)(單位：)繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是()A.5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)B.9號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C.最高氣溫眾數(shù)為D.5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)最低氣溫以及最高氣溫的折線圖，結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】由5號到11號的最低氣溫的散點分布是從左下到右上可知：最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)，故A正確，由圖可知6號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故B錯誤，最高氣溫出現(xiàn)了兩次，其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)為1次，故是最高氣溫的眾數(shù)，故C正確，5號到15號的最低氣溫的極差小于，5號到15號的最高氣溫的極差約等于，故D錯誤，故選：AC10.已知，且則()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式求解判斷.【詳解】對于選項A，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，故選項A錯誤；對于選項B，(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，故選項B正確；對于選項C，，則，故選項C正確；對于選項D，，故D選項錯誤.故選：BC.11.電子通訊和互聯(lián)網(wǎng)中，信號的傳輸?處理和傅里葉變換有關(guān).傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)(正弦和或余弦函數(shù))的線性組合.例如函數(shù)的圖象就可以近似地模擬某種信號的波形，則()A.為周期函數(shù)，且最小正周期為B.為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的導(dǎo)函數(shù)的最大值為7【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷即可.【詳解】.對于A，，不是的周期，故A錯誤；對于B，的定義域為，為奇函數(shù)，故B正確；對于C，，且為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D，，當(dāng)時，，取最大值7，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)，若時，有，是圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A.的圖象與軸有兩個交點B.C.若，則D.若，，，，，，則最大【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性及與軸的交點和極值可判斷AB選項；由的圖象及，，可知，再根據(jù)和在上單調(diào)遞增可判斷C選項；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和冪函數(shù)單調(diào)性可知，，由及的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】的定義域為，且，當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于時，，且當(dāng)時，，故只有一個零點，所以A選項不正確；由于的單調(diào)性，可得，所以B選項正確；由的單調(diào)區(qū)間，可畫出函數(shù)的簡圖.由，，可知，.因為在上單調(diào)遞減，可知，故有.因為在上單調(diào)遞增，所以.綜上，有，所以C選項正確；因為，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，，；由冪函數(shù)單調(diào)性可知，，，，即有，，故這6個數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中.由及的單調(diào)性，有，即.由，可得，即，所以；同理可得.綜上可得，6個數(shù)中最大數(shù)是，最小數(shù)是，所以D選項正確，故選：BCD.【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵點是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知集合，若，則___________.【答案】{3,4,5}.【解析】【分析】根據(jù)求出m，進(jìn)而求出A,B，最后求出并集.【詳解】因為，所以，即，則，于是.故答案為：.14.圓心在原點且與直線相切的圓的方程為______________.【答案】【解析】【分析】利用圓心到直線的距離為半徑時直線與圓相切，可得半徑，從而求出圓的方程.【詳解】因為所求圓與直線相切且圓心坐標(biāo)為，所以可得半徑，因此可得圓心在原點且與直線相切的圓的方程是.故答案為：．15.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，若，，則使不等式成立的的最小值是________.【答案】11【解析】【分析】由可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式計算，解不等式即可.【詳解】由可得，則()()=0，又?jǐn)?shù)列的各項均為正數(shù)，∴，即，可得數(shù)列{an}是首項為公比為q＝2的等比數(shù)列，∴,則n>10，又，∴n的最小值是11，故答案為11.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的判斷及求和公式，考查了指數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．16.如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，，以為球心，為半徑作球，則該球的球面與四面體各面交線的長度和為___．【答案】【解析】【分析】先求出到平面的距離，判斷球體與各個面的相交情況，再計算求解即可.【詳解】因為，所以是邊長為的等邊三角形，所以邊長為的等邊三角形的高為：，所以，設(shè)到平面的距離為，，所以，所以，解得，則，所以以為球心，為半徑球與平面，平面，平面的交線為個半徑為的圓的弧線，與面的交線為一個圓，且圓的半徑為，所以交線總長度為：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在圖1中，四邊形為梯形，，，，，過點A作，交于．現(xiàn)沿將折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐，在圖2中解答下列兩問：(1)求四棱錐的體積；(2)若F在側(cè)棱上，，求證：二面角為直二面角．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定定理確定高，再用體積公式直接求解；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運算，證明兩平面的法向量數(shù)量積等于0即可.【小問1詳解】在圖1中，∵，∴，又，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為菱形．在圖2中，連接，則，又平面，，∴平面，∵平面，∴∵，平面,∴平面【小問2詳解】在圖2中，以為原點，以所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)面的一個法向量為，由令，則，取設(shè)面的一個法向量為，由令，則，取所以，∴，從而二面角為直二面角18.平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)在中，由正弦定理可得，從而求得.(2)解法一：由(1)求得，

，從而，再利用，即可求得面積的取值范圍；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分別求出，，利用即可求得范圍.【小問1詳解】在中，由正弦定理可得，所以，又，所以.【小問2詳解】解法一：由(1)可知，，因為為銳角，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，，因，且為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以的面積的取值范圍為.解法二：由(1)可知，，因為為銳角，所以，，如圖，作于，作于，交于，所以，，所以，又，所以.由圖可知，僅當(dāng)在線段上(不含端點)時，為銳角三角形，所以，即.所以面積的取值范圍為.19.在中，角，，所對的邊分別為，，若且．(1)求的值；(2)若且的面積為，求的周長．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)，由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到，則，然后由求解.(2)由3得到，從而，又的面積為，結(jié)合(1)求得a，c，再利用余弦定理求得b即可.【詳解】(1)因為，所以由正弦定理得，所以，即．因為且，所以所以(2)因為3，所以，即，所以又，所以，則．由余弦定理，得，即．所以的周長為．【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理和面角公式的應(yīng)用以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20.如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且、、、四點共面．(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)若要證明面面垂直，只要證明其中一個面內(nèi)的直線垂直于另一個平面即可，結(jié)合圖像，利用線面關(guān)系即可得解；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法，求出各個面的法向量，利用向量的夾角公式，即可得解.【詳解】(1)如圖，連接，因為幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，所以，，，因為，，所以四邊形為平行四邊形，，，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為因為平面，所以平