蘇科版 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題 專(zhuān)題9.12矩形的性質(zhì)與判定大題專(zhuān)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）（原卷版+解析）

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專(zhuān)題9.12矩形的性質(zhì)與判定大題提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．(2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，BE=2，DE=6，求AD的長(zhǎng)．2．(2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD至E，且AE∥BD．求證：AC=AE3．(2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使得BC=CE，連接AE、DE．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)如果AB=AE=5，BE=4，求四邊形ACED的面積．4．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求證：AC＝CE；(2)若DE＝6，CD＝8，求△AOB的周長(zhǎng)．5．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，D、E、F分別是△ABC三邊中點(diǎn)．(1)求證：四邊形AFDE是平行四邊形；(2)若四邊形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的長(zhǎng)．6．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使DG＝DE，分別連接AE、AG、FG．(1)求證：△BCE≌△FDE；(2)當(dāng)BF平分∠ABC時(shí)，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．7．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN，交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)于點(diǎn)F．給出下列信息：①M(fèi)N∥BC；②OE=OC；③OF=OC．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中一條作為條件，證明：OE=OF；(2)在（1）的條件下，連接AE、AF，當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．8．(2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，CE∥AB，CE=1(1)求證：四邊形CDBE是矩形；(2)若AC=5，CD=3，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且DF⊥BC，求DF長(zhǎng)．9．(2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、AE．(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形；(2)加上條件______（從①三個(gè)條件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中選擇一個(gè)，寫(xiě)序號(hào)），能使結(jié)論_______成立（從兩個(gè)結(jié)論①四邊形ADEF為菱形；②四邊形ADEF為矩形中選擇一個(gè)，寫(xiě)序號(hào)），并加以證明．10．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形EGFH是平行四邊形；(2)結(jié)合以上信息，從①AB=CD；②∠ABC+∠DCB=90°；③∠ABC=∠DCB這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為補(bǔ)充條件，使得四邊形EGFH為矩形，并說(shuō)明理由．你選擇的補(bǔ)充條件是（只填序號(hào)）．11．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AF=DC，連接CF，(1)求證：BD=DC；(2)如果AB=AC，試猜測(cè)四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．12．(2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，O為AC的中點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)至D使OD=OB，連AD、CD．(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)若∠AOB＝60°，E為BC的中點(diǎn)，連OE，OE=2．求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)及矩形的面積．13．(2023春·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在△ABC中，∠ABC=90°，小明想做一個(gè)以AB、BC為邊的矩形，于是進(jìn)行了以下操作：（1）測(cè)量得出AC的中點(diǎn)E；（2）連接BE并延長(zhǎng)到D，使得ED=BE；（3）連接AD和DC．請(qǐng)說(shuō)明四邊形ABCD為矩形的理由．14．(2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接EFGH．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使得四邊形EFGH是矩形，（寫(xiě)出添加的條件即可，不用寫(xiě)證明過(guò)程）．15．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，DE、DF分別是△BDC、△ADC的角平分線(xiàn)．（1）求∠CFD的度數(shù)；（2）求證：四邊形FDEC是矩形．16．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD，AD＝BC，AB＝DC，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是四邊形ABCD外一點(diǎn)．（1）求證：AC、BD互相平分；（2）若∠AEC＝∠BED＝90°，請(qǐng)判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明．17．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB．18．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一點(diǎn)D，以AB、BD為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDE，連接CE．（1）求證：△ABD≌△CAE；（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的什么位置時(shí)，四邊形ADCE是矩形？證明你的結(jié)論．19．(2023春·江蘇徐州·八年級(jí)邳州市新城中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD、EC．(1)求證：△ADC≌(2)若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．20．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，AB∥CD．(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE長(zhǎng)．(3)若∠AOB＝2∠ADB時(shí)，則平行四邊形ABCD為形．21．(2023春·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=90°，AE=2，求矩形ADCE對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．22．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．23．(2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，CE∥BD，EB∥AC，連接OE，交BC于F．(1)求證：四邊形OCEB是矩形；(2)如果設(shè)AC＝12，BD＝16，求OE的長(zhǎng)．24．(2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．25．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，DE是△ABC的中位線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)求證：BC＝DF；(2)連接CD、AF，當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．(2023春·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至G，使EG=AE，連接CG．（1）求證：ΔAOE?ΔCOF；（2）四邊形EGCF是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若四邊形EGCF是矩形，則線(xiàn)段AB、AC的數(shù)量關(guān)系是______．27．(2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線(xiàn)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β°0<β<180，分別交直線(xiàn)BC、AD于點(diǎn)E、F(1)當(dāng)β=______°，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，從A、B、C、D、E、F中任意找4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形．①β=______°，構(gòu)造的四邊形是菱形；②若構(gòu)造的四邊形是矩形，則不同的矩形應(yīng)該有______個(gè)．28．(2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，△ABE關(guān)于AE的軸對(duì)稱(chēng)圖形為△FAE．(1)當(dāng)點(diǎn)F在對(duì)角線(xiàn)AC上時(shí)，求FC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△FCE是直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．29．(2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5在AD上取一點(diǎn)E,AE=2，點(diǎn)F是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EF為一邊作菱形EFMN，使點(diǎn)N落在CD邊上，點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)或其邊上．若AF=x,△BFM的面積為S．（1）當(dāng)四邊形EFMN是正方形時(shí)，求x的值；（2）當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x=時(shí)，△BFM的面積S最大：當(dāng)x=時(shí)，△BEM的面積S最??；（4）在△BFM的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng)：．30．(2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=8．（1）P為邊BC上一點(diǎn)，如圖，將△ABP沿直線(xiàn)AP翻折至△AEP的位置（點(diǎn)B落在點(diǎn)E處）①當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，作出滿(mǎn)足條件的圖形，并直接寫(xiě)出此時(shí)DE=_________；②若點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，連接CE，則CE與AP有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)Q為射線(xiàn)DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADQ沿AQ翻折，點(diǎn)D恰好落在直線(xiàn)BQ上的點(diǎn)D′處，求BQ【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專(zhuān)題9.12矩形的性質(zhì)與判定大題提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．(2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，BE=2，DE=6，求AD的長(zhǎng)．【答案】4【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，證得AE是線(xiàn)段OB的垂直平分線(xiàn)，然后證得△OAB是等邊三角形，求得AB=OB=4，再利用勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE=2，DE=6，∴BD=8，∴OB=4，∴BE=EO=2，∵AE⊥BD于E，∴AE是線(xiàn)段OB的垂直平分線(xiàn)，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等邊三角形，∴AB=OB=4，∴AD=BD2?AB【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，結(jié)合已知條件和等邊三角形的判定方法證明△OAB是等邊三角形是解題關(guān)鍵．2．(2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD至E，且AE∥BD．求證：AC=AE【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD,AB∥CD，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABDE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AE=BD，最后根據(jù)等量代換即可得證．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD,AB∥CD，∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE=BD，∴AC=AE．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．(2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使得BC=CE，連接AE、DE．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)如果AB=AE=5，BE=4，求四邊形ACED的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，根據(jù)BC=CE，可得（2）先證明四邊形ACED是矩形，根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊，∴AD∥BC，∵BC=CE，∴AD=CE，∵E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∴AD∥∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊，∴AB=CD，∵AB=AE=5，∴AE=CD，∵四邊形ACED是平行四邊形；AE=CD，∴四邊形ACED是矩形，∵BC=CE,BE=4，∴CE=2，Rt△ACE中，AC=∴四邊形ACED的面積為CE×AC=21【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求證：AC＝CE；(2)若DE＝6，CD＝8，求△AOB的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)18【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC=BD，CD∥AB，根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形DECB是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BD=CE即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC=DE=6，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，BC∥AD，即BC∥DE，∵CE∥BD，∴四邊形DECB是平行四邊形，∴BD=CE，∴AC=CE；（2）解：∵四邊形DECB是平行四邊形，∴BC=DE=6，∵AB=CD=8，∴BD=BC2+CD2=10，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA+OB=BD=10，∴△AOB【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AC=BD和得出四邊形DECB是平行四邊形．5．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，D、E、F分別是△ABC三邊中點(diǎn)．(1)求證：四邊形AFDE是平行四邊形；(2)若四邊形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)25【分析】（1）證明DE、DF為△ABC的中位線(xiàn)，得出DE∥AB，DF∥AC，可證四邊形AFDE是平行四邊形；（2）求出AC，AB的長(zhǎng)，由矩形的性質(zhì)得出∠A=90°，由勾股定理可得出答案．（1）證明：∵D，E分別為BC，AC兩邊的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥AB，同理可得DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形；（2）解：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AE=1，∴AC=2AE=2，同理，AB=2AF=4，∵四邊形AFDE是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAC中，BC=AC2+AB2【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G，使DG＝DE，分別連接AE、AG、FG．(1)求證：△BCE≌△FDE；(2)當(dāng)BF平分∠ABC時(shí)，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)四邊形AEFG是矩形，詳見(jiàn)解析【分析】（1）由AAS證明△BCE≌△FDE即可；（2）先證四邊形AEFG是平行四邊形，再證∠AEF＝90°，即可得出結(jié)論．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DFE＝∠CBE，∵E為CD邊的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△BCE和△FDE中，∠BEC=∠FED∠CBE=∠DFE∴△BCE≌△FDE（AAS）；（2）解：四邊形AEFG是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，由（1）得：△BCE≌△FDE，∴BC＝FD，BE＝FE，∴FD＝AD，∵GD＝DE，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵BE＝FE，∴AE⊥FE，∴∠AEF＝90°，∴平行四邊形AEFG是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△BCE≌△FDE是解題的關(guān)鍵．7．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN，交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)于點(diǎn)F．給出下列信息：①M(fèi)N∥BC；②OE=OC；③OF=OC．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中一條作為條件，證明：OE=OF；(2)在（1）的條件下，連接AE、AF，當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)選擇①，證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）選擇①M(fèi)N∥BC；根據(jù)CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，可得∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，再由MN∥BC，可得∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，從而得到∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，進(jìn)而得到OC=OE，OC=OF，即可求證；（2）可先證明四邊形AECF是平行四邊形，由（1）得OE=OF=OC，從而得到AC=EF，即可求證．（1）選擇①M(fèi)N∥BC；證明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，∵M(jìn)N∥BC，∴∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，∴∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF；（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如下：∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴OA=OC，∵OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，由（1）得：OE=OF=OC，∴OE=OF=OC=OA，即AC=EF，∴四邊形AECF是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，矩形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定，矩形的判定是解題的關(guān)鍵．8．(2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，CE∥AB，CE=1(1)求證：四邊形CDBE是矩形；(2)若AC=5，CD=3，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且DF⊥BC，求DF長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)DF=【分析】（1）根據(jù)CE=12AB，D是AB的中點(diǎn)，可得BD=CE，根據(jù)CE∥AB，即可得四邊形CDBE（2）勾股定理求得BD=4，進(jìn)而根據(jù)等面積法即可求解．（1）證明∵AC=BC,D是AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB,BD=12∵CE=1∴BD=CE．

∵CE∥∴四邊形CDBE是平行四邊形．

∵CD⊥AB，∴?CDBE是矩形．（2）∵AC=5,AC=BC，∴BC=5．∵CD=3,CD⊥AB，∴BD=52∵DF⊥BC，∴S△CDB=∴DF=12【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．(2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE、EF、AE．(1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形；(2)加上條件______（從①三個(gè)條件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中選擇一個(gè)，寫(xiě)序號(hào)），能使結(jié)論_______成立（從兩個(gè)結(jié)論①四邊形ADEF為菱形；②四邊形ADEF為矩形中選擇一個(gè)，寫(xiě)序號(hào)），并加以證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三種情況任選一種即可）【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可證；（2）若選①∠BAC=90°根據(jù)（1）中ADEF為平行四邊形的基礎(chǔ)，可以證明四邊形ADEF為矩形；若選②AE平分∠BAC，則在（1）中ADEF為平行四邊形基礎(chǔ)上，再證一組鄰邊相等即證明AF＝EF，從而得出四邊形ADEF為菱形；若選③AB＝AC，三角形中位線(xiàn)定理，即可證明EF＝DE，再根據(jù)四邊形AEDF為平行四邊形，即可證明四邊形為菱形．（1）證明：∵D、E、F為AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥AC，DE＝12AC＝AF即DE∥AF，DE＝AF，∴四邊形ADEF為平行四邊形．（2）解：選①∠BAC=90°，證明②四邊形ADEF為矩形，根據(jù)解析（1）可知，四邊形ADEF為平行四邊形，∵∠BAC=90°，∴四邊形ADEF為矩形．選②AE平分∠BAC，證明①四邊形ADEF為菱形，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，又∵ADEF為平行四邊形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四邊形ADEF為菱形．選③AB＝AC證明①四邊形ADEF為菱形，∵EF∥AB，EF＝12AB，DE∥AC，DE＝12又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∵四邊形ADEF為平行四邊形，∴四邊形ADEF為菱形．故答案為：①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三種情況任選一種即可）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)性質(zhì)定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理．認(rèn)真分析圖中的幾何關(guān)系，熟練掌握平行四邊形以及菱形的判定定理是解題關(guān)鍵．10．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形EGFH是平行四邊形；(2)結(jié)合以上信息，從①AB=CD；②∠ABC+∠DCB=90°；③∠ABC=∠DCB這三個(gè)條件選擇一個(gè)作為補(bǔ)充條件，使得四邊形EGFH為矩形，并說(shuō)明理由．你選擇的補(bǔ)充條件是（只填序號(hào)）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)②；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到EG=1（2）根據(jù)矩形的判定定理即可解答．（1）證明：∵E，G分別是AD，BD的中點(diǎn)，∴EG是△DAB的中位線(xiàn)，∴EG=12AB,EG//AB,F，H分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴HF是△ABC的中位線(xiàn)，∴HF=12（2）補(bǔ)充的條件是②理由如下：由（1）可知：HF//AB,GF//DC,∴∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB,∵∠ABC+∠DCB=90°,∴∠HFC+∠GFB=90°,∴∠GFH=180°?∠HFC+∠GFB=180°?90°=90°,由（1）可知四邊形EGFH是平行四邊形，∴四邊形【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形和矩形的判定，三角形的中位線(xiàn)定理，熟練掌握平行四邊形的判定，矩形的判定是解此題的關(guān)鍵．11．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AF=DC，連接CF，(1)求證：BD=DC；(2)如果AB=AC，試猜測(cè)四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形ADCF是矩形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）證明△AEF≌△DEB可得AF=BD由AF=DC等量代換即可得證；（2）先證明四邊形ADCF是平行四邊形，由（1）得BD=DC，根據(jù)AB=AC，BD=DC，可得AD⊥BC即可得證．（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)

∴AE=ED

∵AF∥BC∴∠AFE=∠EBD∵∠AEF=∠BED

∴△AEF≌△DEB

∴AF=BD∵AF=DC

∴BD=DC（2）四邊形ADCF是矩形，理由如下：∵AF∥DC，AF=DC∴四邊形ADCF是平行四邊形，由（1）得BD=DC∵AB=AC，BD=DC

∴AD⊥BC∴∠ADC=90°∴四邊形ADCF是矩形.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線(xiàn)合一，矩形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．(2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，O為AC的中點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)至D使OD=OB，連AD、CD．(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)若∠AOB＝60°，E為BC的中點(diǎn)，連OE，OE=2．求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)及矩形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為8，矩形的面積為16【分析】（1）由O為AC的中點(diǎn)，可得OA=OC，然后根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分可證四邊形ABCD為平行四邊形，又∠ABC＝90°，即可證明四邊形ABCD為矩形；（2）易證OE為△ABC的中位線(xiàn)，可得AB=2OE=4，根據(jù)矩形的性質(zhì)和∠AOB＝60°，可證△AOB為等邊三角形，可得OA=BO=AB，繼而可得對(duì)角線(xiàn)AC=8，在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC=43（1）證明：∵O為AC的中點(diǎn)，∴OA=OC，又∵OD=OB，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD為矩形；（2）解：∵OA=OC，∴E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴OE為△ABC的中位線(xiàn)，∴AB=2OE=2×2=4，∵ABCD為矩形，∴OA=12AC，OB=12BD，∵AC=BD，∴OA=OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形，∴OA=BO=AB=4，∴對(duì)角線(xiàn)AC=BD=2OA=8，∵∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，∴BC=8【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、三角形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，熟記相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.13．(2023春·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在△ABC中，∠ABC=90°，小明想做一個(gè)以AB、BC為邊的矩形，于是進(jìn)行了以下操作：（1）測(cè)量得出AC的中點(diǎn)E；（2）連接BE并延長(zhǎng)到D，使得ED=BE；（3）連接AD和DC．請(qǐng)說(shuō)明四邊形ABCD為矩形的理由．【答案】理由見(jiàn)解析【分析】根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分證四邊形ABCD是平行四邊形，然后結(jié)合直角證明結(jié)論即可．【詳解】證明：∵E為AC中點(diǎn)，∴AE=CE，∵ED=BE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定，矩形的判定，是解題關(guān)鍵．14．(2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接EFGH．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使得四邊形EFGH是矩形，（寫(xiě)出添加的條件即可，不用寫(xiě)證明過(guò)程）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)添加條件AC⊥BD，能使得四邊形EFGH是矩形．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到EH=12BD，EH∥BD，F(xiàn)G=12BD，F(xiàn)G∥BD，進(jìn)而得到EH=（2）由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，添加條件AC⊥BD，根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論．(1)證明：如圖，連接BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EH=12BD，EH∥BD，F(xiàn)G=12∴EH=FG，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；(2)解：添加條件AC⊥BD，能使得四邊形EFGH是矩形，理由如下：如圖，連接AC、BD，由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，∵EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°．∴四邊形EFGH是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線(xiàn)定理、矩形和平行四邊形的判定定理，掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．15．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，DE、DF分別是△BDC、△ADC的角平分線(xiàn)．（1）求∠CFD的度數(shù)；（2）求證：四邊形FDEC是矩形．【答案】（1）∠CFD＝90°；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）由（1）可知DF⊥AC，利用等腰△ADC“三合一”的性質(zhì)證得DE⊥BC，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，證四邊形DECF是矩形．【詳解】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∵DF是∠ADC的角平分線(xiàn)，∴DF⊥AC．∴∠CFD＝90°；（2）證明：如圖，∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵DE是∠BDC的角平分線(xiàn)，∴DE⊥BC．∴∠DEC＝90°，∵∠CFD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四邊形DECF是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊的中線(xiàn)，三線(xiàn)合一定理，矩形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．16．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD，AD＝BC，AB＝DC，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是四邊形ABCD外一點(diǎn)．（1）求證：AC、BD互相平分；（2）若∠AEC＝∠BED＝90°，請(qǐng)判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）矩形，見(jiàn)解析【分析】（1）證四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：四邊形ABCD是平行四邊形，則OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得OE＝12AC，OE＝12BD，則AC＝【詳解】（1）證明：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC、BD互相平分；（2）解：四邊形ABCD是矩形，證明如下：連接OE，如圖所示：由（1）得：四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠AEC＝∠BED＝90°，∴OE＝12AC，OE＝12∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，即DF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形DEBF為平行四邊形，根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出∠DEB=90°，根據(jù)勾股定理求出AD，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四邊形DEBF為平行四邊形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四邊形DEBF為矩形；（2）∵四邊形DEBF為矩形，∴∠DEB=90°，∵AE=3，DE=4，DF=5，∴AD=AE2∴AD=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)定義的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．18．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一點(diǎn)D，以AB、BD為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDE，連接CE．（1）求證：△ABD≌△CAE；（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的什么位置時(shí)，四邊形ADCE是矩形？證明你的結(jié)論．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形ADCE是矩形，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠EAC，AE＝BD，再根據(jù)全等三角形的判定定理即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AE＝BD＝CD，AE∥CD，得出平行四邊形，根據(jù)AC＝DE推出即可．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，AB=AC∠B=∠EAC∴△ABD≌△CAE（SAS）．（2）答：點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形ADCE是矩形，證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AE∥BC，AB＝ED，∵D為邊長(zhǎng)BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AE＝CD，AE∥CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AB＝AC，∴ED＝AC，∴四邊形ADCE是矩形，即點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形ADCE是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定，利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行推理證明．19．(2023春·江蘇徐州·八年級(jí)邳州市新城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD、EC．(1)求證：△ADC≌(2)若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED∠ACD=∠EDC∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個(gè)角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個(gè)角是直角的‘四邊形’是矩形”．20．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，AB∥CD．(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE長(zhǎng)．(3)若∠AOB＝2∠ADB時(shí)，則平行四邊形ABCD為形．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)DE=2；(3)矩【分析】（1）運(yùn)用ASA證明△ABO≌△CDO得AB=CD，根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證得結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠ABE=∠AEB，繼而可得AB=AE，然后根據(jù)已知可求得DE的長(zhǎng)度；（3）由∠AOB=2∠ADB可得∠OAD=∠ADO，由平行四邊形的性質(zhì)可得AC=BD，從而可得結(jié)論．（1）∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，在△ABO和△DCO中，∠BAO=∠DCOAO=CO∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴DE=AD-AE=BC-AB，∵BC-AB=2，∴DE=2；（3）∵∠AOB是△ADO的外角，∴∠AOB=∠OAD+∠ODA，∵∠AOB=2∠ADB，∴∠OAD=∠ODA，∴AO=DO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，DO=BO，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形．故答案為：矩．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．21．(2023春·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=90°，AE=2，求矩形ADCE對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）先證明四邊形ADCE是平行四邊形，由AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，可得∠ADC=90°，可證四邊形ADCE是矩形；（2）根據(jù)∠AOE=90°，證明矩形ADCE是正方形，得CE=AE=2，∠AEC=90°，由勾股定理可得AC=AE2（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD=AE，BD∥AE，∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD=BD，∴CD=AE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形．（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，∠AOE=90°，∴矩形ADCE是正方形，∴CE=AE=2，∠AEC=90°，∴由勾股定理可得AC=A即矩形ADCE對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為22【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形和正方形的判定和勾股定理，熟練應(yīng)用相關(guān)的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵。22．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)75°；(3)43【分析】（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)易證∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）由矩形和角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠CDE＝∠CED＝45°，則EC＝DC，推出∠CDO＝60°，證明△OCD是等邊三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出結(jié)果；（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長(zhǎng)即可．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等邊三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，由（1）可知，∠OCB＝30°，∴AC=2AB=4，∴BC=23∴矩形OEC的面積=BC×AB=43【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．(2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，CE∥BD，EB∥AC，連接OE，交BC于F．(1)求證：四邊形OCEB是矩形；(2)如果設(shè)AC＝12，BD＝16，求OE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】（1）先證明四邊形OCEB是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，即可證明四邊形OCEB是矩形；（2）根據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)可知，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，用勾股定理即可求出【詳解】（1）證明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形．∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四邊形OBEC為矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝6，OB＝OD＝12∴∠BOC=90°，BC＝OC∵平行四邊形OCED為矩形，∴OE＝BC＝10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定以及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24．(2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為邊BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）先判定四邊形ADCE是平行四邊形，再結(jié)合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）證出矩形ADCE是正方形，即可解決問(wèn)題．（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD＝AE，BD∥AE，∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴CD＝AE．∴四邊形ADCE是平行四邊形．又∵AB＝AC，D為邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形．（2）∵四邊形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，∴矩形ADCE是正方形，∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，∴AC=2AE＝22即矩形ADCE對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為22．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．25．(2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，DE是△ABC的中位線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)求證：BC＝DF；(2)連接CD、AF，當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)BC＝AC時(shí)，四邊形ADCF是矩形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）用平行四邊形的定義判定；（2）當(dāng)BC＝AC時(shí)，四邊形ADCF是矩形．用DE是三角形中位線(xiàn)證明BD=AD，用四邊形DBCF是平行四邊形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，從而平行四邊形ADCF是矩形．（1）（1）∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴2DE＝BC，DE∥BC，∵CF∥AB，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴BC=DF；（2）（2）當(dāng)BC＝AC時(shí)，四邊形ADCF是矩形，理由如下：∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴DB＝AD，∵四邊形DBCF是平行四邊形，∴DB＝CF，∴AD＝CF，∵AB∥CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵BC＝AC，BC=CF，∴AC=DF，∴平行四邊形ADCF是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線(xiàn)，平行四邊形，熟練掌上三角形中位線(xiàn)性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．26．(2023春·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至G，使EG=AE，連接CG．（1）求證：ΔAOE?ΔCOF；（2）四邊形EGCF是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若四邊形EGCF是矩形，則線(xiàn)段AB、AC的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）四邊形EGCF為平行四邊形，理由見(jiàn)解析；（3）AC=2AB．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE=OF即可證得結(jié)論；（2）利用ΔAOE?ΔCOF得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可證得四邊形EGCF是平行四邊形；（3）AC=2AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AB=AO，利用點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，得到AG⊥OB，即可得到四邊形EGCF是矩形.【詳解】（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵點(diǎn)E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，∴OE=12OB則OE=OF，在ΔAOE與ΔCOF中OA=OC∴ΔAOE?ΔCOF；（2）∵ΔAOE?ΔCOF，∴∠EAO=∠FCO，AE=CF，∴AE//CF，又∵GE=AE，∴GE=CF，∴四邊形EGCF為平行四邊形；（3）當(dāng)AC=2AB時(shí)，四邊形EGCF是矩形.∵AC=2AB，AC=2AO，∴AB=AO，∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，∴AG⊥OB，∴∠GEF=90°，∴四邊形EGCF是矩形.故答案為：AC=2AB.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，矩形的判定定理，等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用解題是關(guān)鍵.27．(2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線(xiàn)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β°0<β<180，分別交直線(xiàn)BC、AD于點(diǎn)E、F(1)當(dāng)β=______°，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，從A、B、C、D、E、F中任意找4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形．①β=______°，構(gòu)造的四邊形是菱形；②若構(gòu)造的四邊形是矩形，則不同的矩形應(yīng)該有______個(gè)．【答案】(1)90(2)①45或90；②2【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判斷方法即可解決問(wèn)題．（2）①根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形，分兩種情形解決問(wèn)題即可；②根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形，分兩種情形討論求解即可．（1）解：當(dāng)β=90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形．理由：∵AB⊥AC，∴∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴四邊形ABEF是平行四邊形．故答案為：90．（2）①當(dāng)β=45°，即∠AOF=45°時(shí)，四邊形BEDF是菱形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OD=OB，OA=OC，∴∠FDO=∠EBO，在△FDO和△EBO中，∠FDO=∠EBOOD=OB∴△FDO≌△EBOASA∴DF=BE，∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵AC=2AB，∴2AO=2AB，即AO=AB，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴∠BOF=∠ABO+∠AOF=45°+45°=90°，∴BD⊥EF，∴四邊形BEDF是菱形；當(dāng)β=90°，即∠AOF=90°時(shí)，四邊形AECF是菱形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠FAO=∠ECO，在△FAO和△ECO中，∠FAO=∠ECOOA=OC∴△FAO≌△ECOASA∴AF=CE，∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵∠AOF=90°，∴AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．故答案為：45或90．②設(shè)AB=a，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AC，AC=2AB，∴∠BAC=90°，AC=2a，AD=BC，∴BC=a分兩種情況：第一種情況：如圖，當(dāng)EF=AC時(shí)，四邊形AECF是矩形，對(duì)角線(xiàn)EF=AC=2a，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴S△ABC即12∴AE=25a5，即AD與∴EC=A∴矩形AECF的兩邊的長(zhǎng)分別為25a5第二種情況：如圖，當(dāng)EF=BD時(shí)，四邊形BEDF是矩形，∴∠BFA=90°，BF=2∴AF=A∴DF=AF+AD=5∴矩形BEDF的兩邊的長(zhǎng)分別為25a5∴若構(gòu)造的四邊形是矩形，則不同的矩形應(yīng)該有2個(gè)．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，三角形的全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．28．(2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，△ABE關(guān)于AE的軸對(duì)稱(chēng)圖形為△FAE．(1)當(dāng)點(diǎn)F在對(duì)角線(xiàn)AC上時(shí)，求FC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△FCE是直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【答案】(1)FC＝4?23(2)43?6或6?26【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)度，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可得AF=AB，即可求得FC的長(zhǎng)度；（2）分∠CFE是直角、當(dāng)∠FCE是直角、當(dāng)∠CEF是直角三種情況進(jìn)行討論，對(duì)每種不同情況利用勾股定理、等面積法以及正方形的性質(zhì)求解．（1）解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°．∵AB=23,BC=2，∴AC=AB2+BC2=4，∵△ABE（2）解：當(dāng)△FCE是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠CFE是直角時(shí)，如圖所示：由題意可知點(diǎn)F在對(duì)角線(xiàn)AC上，且