2023年中考數(shù)學(xué)考前第18講：圓知識(shí)綜合問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第18講：圓知識(shí)綜合問題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

圓的基本性質(zhì)解題要領(lǐng)：①出現(xiàn)垂直于直徑的弦（條件是線段可延長(zhǎng)變?yōu)橄遥紤]垂徑

定理；②過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形，是根據(jù)圓的性質(zhì)計(jì)算時(shí)的重要輔助線；③充

分利用弧或弦的中點(diǎn)這個(gè)條件，往往連接圓心；④特別注意無圖的計(jì)算題，要注意分類討論，

不可遺漏其他的情況.

解題要領(lǐng)：①在同圓中，注意運(yùn)用圓心角、圓周角、弦、弧等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化；②圓的直

徑與直徑所對(duì)的圓周角為直角的轉(zhuǎn)化；③如果題干中無對(duì)應(yīng)圖形時(shí)，避免遺漏符合條件的圖

形的其他情形.

圓內(nèi)特殊角的解題要領(lǐng)：①把握問題中關(guān)鍵點(diǎn)，如弧的中點(diǎn)、弦的中點(diǎn)、直徑、垂直以

及60。角等；②求線段長(zhǎng)度時(shí)，常常用到垂徑定理，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)、相似三角形求

解.

圓內(nèi)二心的解題要領(lǐng)：①三角形的外心是三角形外接圓的圓心，也是三邊垂直平分線的

交點(diǎn)，特別地，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)；②三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，

也是三角形角的平分線的交點(diǎn),特別地，直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=T'：t（C是斜邊）.

切線的解題要領(lǐng)：與圓的切線有關(guān)的三種輔助線，①見切線，連半徑，得垂直；②無公

共點(diǎn)，作垂線段，證d=r,得切線；③有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直，得切線.

正多邊形與圓的解題要領(lǐng)：①正多邊形外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑與半弦組成的直角三角

形，是計(jì)算正多邊形有關(guān)問題的基礎(chǔ)圖形；②解答時(shí)，常常運(yùn)用勾股定理及銳角三角函數(shù)

求解.

弧線長(zhǎng)計(jì)算的解題要領(lǐng)：己知圓的半徑R及弧所對(duì)的圓心角n。，那么這個(gè)弧就是一段

確定的弧，求其長(zhǎng)度除了利用弧長(zhǎng)公式，很多時(shí)候可以通過/=JLXZT/?來計(jì)算，特殊

360

的60。的弧長(zhǎng)/=-.2,τR，45°的弧長(zhǎng)/」■等.

68

扇形面積的解題要領(lǐng)：①已知圓的半徑R及弧所對(duì)的圓心角“°,則這個(gè)扇形就確定了，

求其面積除了利用扇形面積公式，很多時(shí)候可以通過、=」-?了/來計(jì)算，特殊的60。

",'360

第1頁共28頁

的、=l×τ∕?,45。的、=Lχ,τR等；②求陰影部分的面積時(shí)，一是把不規(guī)則圖形,

68

通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，二是通過規(guī)則圖形的面積的和差來求解.

【例題1】如圖，在AABC中，CA=CB,ZACB=90o,AB=2,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D

為圓心作圓心角為90。的扇形DEF,點(diǎn)C恰在弧EF上.，則圖中陰影部分的面積為()

【例題2】如圖，在AABC中，ZABC=90o,以AB為直徑的。O與AC邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)

D的直線交BC邊于點(diǎn)E,ZBDE=ZA.

(1)判斷直線DE與。O的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若(DO的半徑R=5,tanA=,求線段CD的長(zhǎng).

第2頁共28頁

【例題3］已知I：AB是。O的直徑，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，BP=OB=2,點(diǎn)Q在?0

上，連接PQ.

（1）如圖①，線段PQ所在的直線與。。相切，求線段PQ的長(zhǎng)；

（2）如圖②，線段PQ與。。還有一個(gè)公共點(diǎn)C,且PC=CQ,連接0Q,AC交于點(diǎn)D.

①判斷OQ與AC的位置關(guān)系，并說明理由；

②求線段PQ的長(zhǎng).

［例題4］如圖,。0的直徑AB=Ic）,弦AC=6,ZACB的平分線交。0于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE〃AB

交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD,BD.

（1）?ABD的面積是多少

（2）求證:DE是0。的切線:

（3）求線段DE的長(zhǎng).

第3頁共28頁

一、選擇題:

1.如圖，。。中，弦48、Co相交于點(diǎn)P,若乙4=30。，NAPo=70。，則NB等于（）

B.35°C.40oD.50°

2.如圖，在。。中，弦BC=I,點(diǎn)4是圓上一點(diǎn)，且N8AC=30。，則一正的長(zhǎng)是（)

B.i-πC.,工冗D.i-π

A.π

326

3.如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的。P與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)C是i疝匕的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)

重合）如果。=上

O,Btan/BC?,則點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可能為（）

3

A.A(2√3?0)和B(0,2)B.A(2,0)和B(0,2√3)

C.A(√3,0)和B(0,2)D.A(2,0)和B(0,?)

4.如圖，四邊形ABeO內(nèi)接于。。,點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心,NZWC=124。，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)

C.68oD.78°

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5.如圖，已知。。的半徑是2,點(diǎn)4B、C在。。上，若四邊形。ABC為菱形，則圖中陰影

部分面積為（）

二、填空題:

6.如圖，BD是。。的直徑，點(diǎn)A、C在圓周上，ZCBD=20°,則/A的度數(shù)為

7.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)P是。。上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)aAOP與aAPB相似時(shí)，NBAP等

8.如圖，將半徑為4,圓心角為90。的扇形8AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)8、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

分別為點(diǎn)D、E且點(diǎn)。剛好在武上，則陰影部分的面積為.

9.如圖，在。ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,交AD

于點(diǎn)E,延長(zhǎng)加與。八相交于點(diǎn)F.若面的長(zhǎng)為弓，則圖中陰影部分的面積為一.

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10.（2018?四川宜賓?3分）在aABC中，若。為BC邊的中點(diǎn)，則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2

成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,點(diǎn)P在以

DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，則PF?+PG2的最小值為

11.如圖，在aABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓。交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D

作DFJ"AC,垂足為F。（I）求證：DF為。。的切線；

（2）若過A點(diǎn)且與BC平行的直線交BE的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，連接CG,當(dāng)aABC是等邊三角

形時(shí)，求NAGC的度數(shù)。

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12.如圖，等腰4A8C內(nèi)接于半徑為5的。。，AB=AC,tan/ABC=?L求8C的長(zhǎng).

13.如圖，AG是NHAF的平分線，點(diǎn)E在AF上，以AE為直徑的。O交AG于點(diǎn)D,過點(diǎn)

D作AH的垂線，垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B.

(1)求證：直線BC是。。的切線；

(2)若AC=2CD,設(shè)。。的半徑為r,求BD的長(zhǎng)度.

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14.如圖，AB是。。的直徑，ED切。。于點(diǎn)C,AD交。。于點(diǎn)F,NAC平分NBAD,連接

BF.

(1)求證：AD±ED;

(2)若CD=4,AF=2,求。。的半徑.

第8頁共28頁

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第18講：圓知識(shí)綜合問題答案解

析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

圓的基本性質(zhì)解題要領(lǐng)：①出現(xiàn)垂直于直徑的弦（條件是線段可延長(zhǎng)變?yōu)橄遥?，考慮垂徑

定理；②過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形，是根據(jù)圓的性質(zhì)計(jì)算時(shí)的重要輔助線；③充

分利用弧或弦的中點(diǎn)這個(gè)條件，往往連接圓心；④特別注意無圖的計(jì)算題，要注意分類討論,

不可遺漏其他的情況.

解題要領(lǐng)：①在同圓中，注意運(yùn)用圓心角、圓周角、弦、弧等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化；②圓的直

徑與直徑所對(duì)的圓周角為直角的轉(zhuǎn)化；③如果題干中無對(duì)應(yīng)圖形時(shí)，避免遺漏符合條件的圖

形的其他情形.

圓內(nèi)特殊角的解題要領(lǐng)：①把握問題中關(guān)鍵點(diǎn)，如弧的中點(diǎn)、弦的中點(diǎn)、直徑、垂直以

及60。角等：②求線段長(zhǎng)度時(shí)，常常用到垂徑定理，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)、相似三角形求

解.

圓內(nèi)二心的解題要領(lǐng)：①三角形的外心是三角形外接圓的圓心，也是三邊垂直平分線的

交點(diǎn)，特別地，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)；②三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，

也是三角形角的平分線的交點(diǎn),特別地，直角三角形內(nèi)切圓的半徑r="匕（C是斜邊）.

切線的解題要領(lǐng)：與圓的切線有關(guān)的三種輔助線，①見切線，連半徑，得垂直；②無

公共點(diǎn).，作垂線段，證d=r,得切線；③有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直，得切線.

正多邊形與圓的解題要領(lǐng)：①正多邊形外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑與半弦組成的直角三角

形，是計(jì)算正多邊形有關(guān)問題的基礎(chǔ)圖形；②解答時(shí)，常常運(yùn)用勾股定理及銳角三角函數(shù)求

解.

弧線長(zhǎng)計(jì)算的解題要領(lǐng)：已知圓的半徑R及弧所對(duì)的圓心角”。，那么這個(gè)弧就是一段

確定的弧，求其長(zhǎng)度除了利用弧長(zhǎng)公式，很多時(shí)候可以通過/=∕-?2,τ/?來計(jì)算，特殊

360

的60。的弧長(zhǎng)/=1“2,τ∕?，45°的弧長(zhǎng)/=lχ2,TK等.

68

扇形面積的解題要領(lǐng)：①已知圓的半徑R及弧所對(duì)的圓心角”。，則這個(gè)扇形就確定了，

第9頁共28頁

求其面積除了利用扇形面積公式，很多時(shí)候可以通過、，了R,來計(jì)算，特殊的60。

36()

的、1,萬火，45。的、=Jχ,τ∕?等；②求陰影部分的面積時(shí)，一是把不規(guī)則圖形,

“68

通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，二是通過規(guī)則圖形的面積的和差來求解.

【例題1】如圖，在aABC中，CA=CB,ZACB=90o,AB=2,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D

為圓心作圓心角為90。的扇形DEF,點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為()

【解析】連接CD,作DM_LBC,DN_LAC,AAS證明△DMG四△DNH,則S四邊形DGCH=S四

加DMCN，求得扇形FDE的面積，則陰影部分的面積即可求得.

解答：解：連接CD,作DM_LBC,DN±AC.

VCA=CB,NACB=90。，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

DM=叵

ADC=AB=L四邊形DMCN是正方形,

90?！罦π

則扇形FDE的面積是：360=T.

VCA=CB,NACB=90。，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),

ΛCD平分NBCA,

又；DM_LBC,DN±AC,

ΛDM=DN,

YNGDH=/MDN=90°,

ΛZGDM=ZHDN,

則在aDMG和ADNH中，

第IO頁共28頁

rZDMG=ZDNH

-NGDM=NHDN

DM=DN,,

ΛΔDMG^?DNH(AAS),

??S四邊形DGCH=S四邊形DMCN=?

則陰影部分的面積是：.

【例題2】如圖，在aABC中，ZABC=90o,以AB為直徑的OO與AC邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)

D的直線交BC邊于點(diǎn)E,ZBDE=ZA.

(1)判斷直線DE與。O的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若。O的半徑R=5,tanA=,求線段CD的長(zhǎng).

【解析】切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì).(1)連接OD,利用圓周角定

理以及等腰三角形的性質(zhì)得出OD_LDE,進(jìn)而得出答案；

(2)得出ABCDs∕?ACB,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出CD的長(zhǎng).

【解答】解：(1)直線DE與。O相切.

理由如下：連接OD.

VOA=OD

.?.ZODA=ZA

XVZBDE=ZA

/.ZODA=ZBDE

TAB是。O直徑

第11頁共28頁

.?.ZADB=90o

即NoDA+NODB=90°

ΛZBDE+ZODB=90o

/.ZODE=90o

ΛOD±DE

???DE與。O相切；

(2)?.?R=5,

ΛAB=10,

在RtAABC中

BC

β.*tan?=AB=

ΛBC=AB?tanA=10×=—,

2

VAB2+BC2=J102+(^7)2吟

ΛAC=V2，，

?/NBDC=NABC=90。，ZBCD=ZACB

Λ?BCD∞?ACB

.CDCB

??i

CBCA

2(―)2

^__2__9

UCDJ-CA252

.?.~2

【例題3】已知：AB是。O的直徑，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，BP=0B=2,點(diǎn)Q在OO

上，連接PQ.

(1)如圖①，線段PQ所在的直線與。。相切，求線段PQ的長(zhǎng)；

第12頁共28頁

(2)如圖②，線段PQ與。。還有一個(gè)公共點(diǎn)C,且PC=CQ,連接OQ,AC交于點(diǎn)D.

①判斷OQ與AC的位置關(guān)系，并說明理由；

②求線段PQ的長(zhǎng).

圖①圖②

【分析】(1)如圖①，連接0Q?利用切線的性質(zhì)和勾股定理來求PQ的長(zhǎng)度.

(2)如圖②，連接BC.利用三角形中位線的判定與性質(zhì)得到BC〃OQ.根據(jù)圓周角定理

推知BC_LAC,所以，OQ_LAC.

(3)利用割線定理來求PQ的長(zhǎng)度即可.

【解答】解：(1)如圖①，連接OQ.

線段PQ所在的直線與。0相切，點(diǎn)Q在。O上，

ΛOQ±OP.

又?.?BP=0B=0Q=2,

?,?pQ=VoP2^-22=2V3,即PQ=2?；

(2)OQlAC.理由如下：

如圖②，連接BC.

VBP=OB,

點(diǎn)B是OP的中點(diǎn)，

又「PC=CQ,

二點(diǎn)C是PQ的中點(diǎn)，

ΛBC是aPQO的中位線，

ΛBC√OQ.

又?.?AB是直徑，

ZACB=90o,BPBClAC,

ΛOQ±AC.

第13頁共28頁

(3)如圖②,PC?PQ=PB?PA,即工PQ2=2χ6,

解得PQ=2√6?

［例題4］如圖,。0的直徑AB=IO,弦AC=6,ZACB的平分線交。。于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE〃AB

交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD,BD.

（2）求證:DE是。。的切線：

（3）求線段DE的長(zhǎng).

【分析】（I）由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∕ACB=9（Γ,因?yàn)镃D平分NACB,所以AD=BD,

貝IJDO1AB,所以SZiABD='ABDO='XloX5=25：

22

（2）連接OD,由已知可得NACD=45°,由（1）得NAOD=90°,而DE〃AB,所以∕ODE=90°,

即0D1.DE,由且切線的判定可得DE是。。的切線；

（3）在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC=8,過點(diǎn)A作AFLDE于點(diǎn)F,根據(jù)正方形

的判定可得四邊形AODF是正方形，所以AF=0D=FD=5,NEAF=90。-ZCAB=ZABC，

舞一鳴IS

tanNEAF=tan∕CBA,即亂ESfcf,將已知條件代入可求得EF=,所以

4

15平

DE=DF+EF=—+5=4.

4

【解答】（1）解：YAB是直徑，ΛZACB=90o,

「CD平分NACB,ΛAD=BD,

第14頁共28頁

??S∕?ABD=-2×10×5=25；

(2)解：如圖，連接OD,

4∑φ×

;AB為直徑，CD平分NACB,ΛZACD=45o,ΛZA0D=90o,

VDE/7AB,二∕0DE=9CΓ,

ΛOD±DE,二DE是。。的切線：

(3)解：VAB=IO,AC=6,ΛBC=χ∣AB-.1('=8,

過點(diǎn)A作AF±DE于點(diǎn)F,

則四邊形AoDF是正方形，

.?.AF=0D=FD=5,

ΛZEAF=90o-ZCAB=ZABC,

ta∩ZEAF=tanZCBA,

EFAC,即竺=￡,EM,

~AF~~BC58

1535

ΛDE=DF+EF=4+5=4

一、選擇題:

1.如圖，。。中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P,若乙4=30。，∕APD=7（T,則/8等于（）

第15頁共28頁

A.30oB.35oC.40oD.50o

【分析】欲求N8的度數(shù)，需求出同弧所對(duì)的圓周角NC的度數(shù)；AAPC中，已知了/A及

外角NAP。的度數(shù)，即可由三角形的外角性質(zhì)求出NC的度數(shù)，由此得解.

【解答】解：；NAPD是AAPC的外角，

.,.ZAPD=ZC+ZA；

；NA=30°,NAPD=70°,

：.NC=NAPD-ZΛ=40o;

ΛZβ=ZC=40o;

故選：C.

2.如圖，在。。中，弦8C=1,點(diǎn)A是圓上一點(diǎn)，且N8AC=30。，則菽的長(zhǎng)是（）

A.πB.LTTC.?7ΓD.7Γ

326

【分析】連接。B,OC.首先證明aOBC是等邊三角形，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解答】解：連接。B,OC.

YNBOC=2NBAC=60°,

?；OB=OC,

：.^OBC是等邊三角形,

??OB—0C=BC=11

BC的長(zhǎng)=

故選:B.

3.如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的。P與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)C是俞上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)

第16頁共28頁

O,8重合)如果tan∕BC0=*2

則點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可能為（)

3

A.A(2近，0)和B(0,2)B.A(2,0)和8(0,2百)

C.A(?/?,0)和B(0,2)D.A(2,0)和8(0,?/?)

【分析】連接A8,根據(jù)正切的定義得到tanN8AC=W3,得NBAC=30°,可得A,8兩點(diǎn)的

3

坐標(biāo).

【解答】解：連接A8,如圖,

,?,ZAOB=90°,

：.AB是G)P的直徑,

'：ZBCO^ZBAO,

tanZBAO=IanZBCO,

3

.?.ZBAO=30°,

，有可能A(2λ∕3.0)和8(0,2).

故選：A.

4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)/是443C的內(nèi)心，/4C=I24。，點(diǎn)E在4?的延長(zhǎng)

線上，則NCDE的度數(shù)為（）

第17頁共28頁

A.56oB.62oC.68°D.78°

【分析】由點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心知∕BAC=2∕/AC、NACB=2/ICA,從而求得/8=180。-

(ZBAC+ZACB)=180。-2(180o-ZAlO,再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角可得

答案.

【解答】解：；點(diǎn)/是aABC的內(nèi)心，

∕8AC=2∕/AC、ZACB^2Z∣CA,

'：/4C=I24°,

二NB=180°-(.ZBAC+ZACB)

=180°-2CZIAC+ZICA)

=180°-2(180o-ZAlO

=68°,

又四邊形ABCD內(nèi)接于。。,

：.ZCDE=ZB=68°,

故選：C.

5.如圖，已知。。的半徑是2,點(diǎn)48、C在。。上，若四邊形。A8C為菱形，則圖中陰影

C?[…正

?

【分析】連接OB和AC交于點(diǎn)D,根據(jù)菱形及直角三角形的性質(zhì)先求出AC的長(zhǎng)及NAOC的

度數(shù)，然后求出菱形A8C。及扇形A。C的面積，則由Ssi"oc-S如力seo可得答案.

【解答】解：連接。B和AC交于點(diǎn)D,如圖所示：

第18頁共28頁

???圓的半徑為2,

ΛOB=OA=OC=I,

又四邊形0A8C是菱形，

ΛOBlAC,OD=-IOB=I,

2

在中利用勾股定理可知：2J，

RtCD=√2-1^73-AC=2CD=2E

VsinZCOD=-,

OC2

：.ZCOD=60°,ZA0C=2ACOD=UQo,

?'?S變形A8co=）。8XAC=；；x2x2,,q=2,.弓，

2

?-120?π?2.4π

SWΛOC-）

則圖中陰影部分面積為S扇形AOC-S至形48C。=WN^2\巧，

?

故選：C.

二、填空題：

6.如圖，BD是。。的直徑，點(diǎn)A、C在圓周上，NCBD=20°,則/A的度數(shù)為

B

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得NBCD=90。，然后由直角三角形的兩個(gè)銳角互余、

同弧所對(duì)的圓周角相等求得/A=/0=70。.

【解答】解：：8。是。。的直徑，

.?.NBCD=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），

：NCBD=20°,

ΛZD=70"（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），

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.?.∕A=ND=70°（同弧所對(duì)的圓周角相等）；

故答案是：70°.

7.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)P是。。上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AAOP與AAPB相似時(shí)，NBAP等

【分析】需要分類討論：?4PB->?40Pft?ΛPβ∞?APO.利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和

圓周角定理解答.

【解答】解：如圖，YAB是0。的直徑，

ZAPB=90°.

φ??4Pδ∞?40P?,NBAP=NPAO,ZAPB^ZAOP=90°,此時(shí)OPUB,

由垂徑定理知，OP垂直平分A8,此時(shí)AAOP是等腰直角三角形，

ΛZP40=45o.

②當(dāng)aAPBs∕?AP0時(shí)，需要NAPB=/AP。，很明顯■,不成立，舍去.

故答案是：45°.

8.如圖，將半徑為4,圓心角為90。的扇形8AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別為點(diǎn)D、E且點(diǎn)。剛好在余上，則陰影部分的面積為.

【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合扇形面積求法以及等邊三角形的判定與性質(zhì)得出S映=S

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扇形ADE^5弓形4。=S崩形A8C^S弓形40,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：連接BD,過點(diǎn)B作BN，AD于點(diǎn)N,

?；將半徑為4,圓心角為90。的扇形BAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

：.ZBAD=60°,AB=AD,

?,?∕?ABD是等邊三角形，

ΛZABD=60°,

則NABN=30°,

故AN=2,BN=2瓜,

SBlte=-SMiADE~5日杉AD=Sia?ABC^S?βΛO

_9QK×42

-"-360

=?z^π+4√3?

4L

故答案為：T?！?√3-

?

9.如圖，在。ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,交AD

若富的長(zhǎng)為今π

于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BA與。A相交于點(diǎn)F.,則圖中陰影部分的面積為

【分析】求圖中陰影部分的面積，就要從圖中分析陰影部分的面積是由哪幾部分組的.很顯

然圖中陰影部分的面積=AACD的面積-扇形ACE的面積，然后按各圖形的面積公式計(jì)算

即可.

【解答】解：連接AC,

YOC是。A的切線，

：.AClCD,

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y.'：AB=AC=CD,

.?.△AC。是等腰直角三角形，

.?.NCAo=45°,

又Y四邊形A8CD是平行四邊形,

.'.AD//BC,

NCAD=/ACB=45°,

又?.'A8=AC,

.*.ZACB=ZB=AS0,

：.ZFAD=ZB=45°,

的長(zhǎng)為

.π?5π

*'T~isor,

解得：r=2,

,,,

:?SM修=SAACO-5M般4CE=!X2×2'*L2'?

23602

TT

故答案為：2~*r.

10.（2018?四川宜賓?3分）在aABC中，若。為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2

成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，己知DE=4,EF=3,點(diǎn)P在以

DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，則PF?+PG2的最小值為。

【分析】設(shè)點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為FG的中點(diǎn)，連接MN,則MN、PM的長(zhǎng)度是定值，

利用三角形的三邊關(guān)系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PW+2FN2即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為FG的中點(diǎn)，連接MN交半圓于點(diǎn)P,此時(shí)PN

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取最小值.

VDE=4,四邊形DEFG為矩形，

ΛGF=DE,MN=EF,

ΛMP=FN='DE=2,

2

ΛNP=MN-MP=EF-MP=I,

ΛPF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=1O.

三、解答題:

11.如圖，在4ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓。交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D

作DFJ_AC,垂足為F。（I）求證：DF為。。的切線；

（2）若過A點(diǎn)且與BC平行的直線交BE的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，連接CG,當(dāng)^ABC是等邊三角

形時(shí),求NAGC的度數(shù)。

【解答】解：（1）連接AD,OD,

???AB是。O的直徑，

ΛAD±BC,

V?ABC是等腰三角形，

ΛBD=DC,

VAO=BO,

ΛOD√AC,

??DF±AC,

ΛDF±OD,

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???DF是。O的切線；

(2)TAB是。0的直徑，

ΛBG±AC,

V?ABC是等邊三角形，

???BG是AC的垂直平分線，

ΛGA=GC,

又TAG〃BC,ZACB=60o,

???NCAG=NACB=60。，

?*?ΔACG是等邊三角形，

???ZAGC=60oo

12.如圖，等腰4A8C內(nèi)接于半徑為5的。。，AB=AC,IanZABC=-.求8C的長(zhǎng).

【分析】連接A。，交BC于點(diǎn)E,連接8。，求出茄=標(biāo)，根據(jù)垂徑定理得出OALBC,BC

=IBE,設(shè)AE=X,則8E=3x,OE=S-X,根據(jù)勾股定理得出方程(3x)2+(5-χ)2=52,

求出方程的解即可.

【解答】解：連接A。，交BC于點(diǎn)、E,連接8。，

;A8=AC,

AE=AC1

又?.?OA是半徑，

.?OA±BC,8C=2BE,

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在RtA48E中，TtanNABC=L，

3

?..EAl'E1-一1，

BE3

?AE=X,則8E=3x,OE=S-X,

在RtZ?EO中,BE2+OE2=OB2,

：.(3x)2+(5-x)2=52,

解得：Xi=O(舍去)，x2=l,

.?.BE=3x=3,

.?.8C=2