九年級中考數(shù)學練習-圓的綜合題

中考數(shù)學專項突破——圓的綜合題

一、綜合題

1.如圖，AB為。。的切線，B為切點,過點B作BC_LOA,垂足為點E,交。O于點C,連接Ce）并延長CO與AB的延長線交于點D,連接AC.

（1）求證：Ae為。0的切線：

（2）若。O半徑為2,OD=4.求線段AD的長.

2.在平面直角坐標系Xoy中，（DO的半徑為1,對于直線1和線段AB,給出如下定義：若將線段AB關于直線1對稱，可以得到。O的弦AT'（AMB，分別為A,B的對應點），則稱線段AB是Θθ的關于直

線1對稱的“關聯(lián)線段”.例如：在圖1中，線段AB是。。的關于直線1對稱的“關聯(lián)線段

（1）如圖2,4,B,.Λ2,B2,AV鳥的橫、縱坐標都是整數(shù).

①在線段4用.4名，A片中，OO的關于直線y=x+2對稱的“關聯(lián)線段”是：

②若線段A舔4&，A與中，存在OO的關于直線y=-χ+m對稱的“關聯(lián)線段”，則m=；

(2)已知直線y=-乎工+伙加＞0)交X軸于點C,在ZkABC中，AC=3,AB=I,若線段AB是。0的關于直線)，=-乎彳+雙心。)對稱的“關聯(lián)線段”，直接寫出b的最大值和最小值，以及相應的BC長.

3.如圖，LABC中，NABC=90。，以AB為直徑的。。交AB于點D,點上為BC的中點，連接OD、DE.

(1)求證：0D±DE

(2)若ZBAC=30o,8C=8,求陰影部分的面積

4.已知：如圖,00內(nèi)兩條弦AB.CD,且ABYCD于E,OA為Oo半徑，連接AC、BD.

(2)作EN±BD于N,延長NE交AC于點H.求證：AH=CH:

(3)在(2)的條件下，作ZEWF=60°交AB于點F,點P在?FE上,連接PC交HN于氤L當EL=HF=2√7CL=8,BE=2PF時，求Oo的半徑.

5.一個玻璃球體近似半圓QAB為直徑，半圓。上點C處有個吊燈EF,EF∕/ABCoj.AB,即的中點為DOA=4.

圖①圖②圖③~

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在。8上，OM=I6。尸=0.8,求CD的長度.

3

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，〃為切點，M為OB上一點,為入射光線，M/為反射光線，No"M=NOHN=45。，S〃NC。"=；，求ON的長度.

(3)如圖③，M是線段OB上的動點，為入射光線，NHoM=50°,HN為反射光線交圓。于點N,在M從0運動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

6.如圖，已知^ABC,以AC為直徑的。。交邊AB于點E,BC與Oo相切.

(2)點D是。。上一點，點D,E兩點在AC的異側.若Z.EAC=rIZACD,AE=3,CD=5√2.求Oo半徑的長.

7.如圖，在平面直角坐標系中，OM經(jīng)過原點0.分別交X軸、?軸于4(2,0),B((),8),連結AB.直線CM分別交OM于點O,E(點。在左側)，交X軸于點C(17,0),

連結AE.

(1)求OM的半徑和直線CM的函數(shù)表達式.

(2)求點。，E的坐標.

(3)點P在線段AC上，連結PE.當/AEP與-OBD的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的OP的長.

8.如圖，在RJABC中，ZASC=90°,以AB為直徑的。O交AC于點D,AE與過點D的切線互相垂直,垂足為E.

(2)若CD=DE,求SinZftAC的值.

9.已知：AABC內(nèi)接于。O,NBAC的角平分線AD交OO于點D.

B≡?

Dd

圖①圖②圖③

(1)如圖①，以點D為圓心，DB長為半徑作弧,交AD于點L求證：點I是AABC的內(nèi)心；

(2)如圖②，在(1)的條件下，若AD與BC交于點E.求證：y=要:

DECE

〈3)探究：如圖③，AABC內(nèi)接于ΘO,若BC=8,ZBAC=120%求AABC內(nèi)切圓半徑的最大值.

10.已知:點C、。在OO上,弦ABLCD,垂足E,弦AFlBC,垂足為G,弦AF與CD相交于點H；

FBB

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：DE=EH;

(2)如圖2、連接OC,當CD平分ZBCO時,求證:弧AD=弧FD:

(3)如圖3,在⑵的條件下,半徑OC與AF相交于點K,連接BH,若sinZBHD=|,5=√5,求線段OK的長.

H.在平面直角坐標系Xoy中，給出如下定義：點P為圖形G上任意一點，將點P到原點O的最大距離與最小距離之差定義為圖形G的“全距”.特別地，點P到原點O的最大距離與最小距離相等時，規(guī)定圖

形G的“全距”為0.

?

(1)如圖,點A(-√5,1),β(√3,l).

①原點O到線段AB上一點的最大距離為__________________▲___________________，最小距離為__________________?__________________

②當點C的坐標為(O,，")時，且AλθC的“全距”為1,求m的取值范圍:

(2)已知0M=2,等邊△DEF的三個頂點均在半徑為1的;M上.請直接寫出△DEF的“全距”d的取值范圍.

12.如圖，點A、B分別在NDPE兩邊上，且PA=PB,以AB為直徑作半圓O,點C是半圓O的中點.

(1)連接AC、BC,求證：APAU≤Z?PBC:

(2)若/APB=60。，PA=4,通過計算比較PO與劣弧AC哪個更長：

(3)若點O是APAB的外心，請直接寫出四邊形APBC的形狀.

13.如圖，半圓O的直徑AB=I0,有一條定長為6的動弦CD在弧AB上滑動(點C、點D分別不與點A、點B重合)，點E、F在AB匕EC±CD,FD±CD.

(2)聯(lián)結OC,如果AECO中有一個內(nèi)角等于45。，求線段EF的長；

(3)當動弦CD在弧AB上滑動時，設變量CE=x,四邊形CDFE面積為S,周長為1,問：S與1是否分別隨著X的變化而變化？試用所學的函數(shù)知識直接寫出它們的函數(shù)解析式及函數(shù)定義域，以說明你的

結論.

14.如圖1,在AABC中，I是內(nèi)心，AB=AC,O是AB邊上一點，以點O為圓心，OB為半徑的OO經(jīng)過點L

圖1圖2

(1)求證：Al是OO的切線；

1BE

(2)如圖2,連接Cl交AB于點E,交。。于點F,若tan/IBC=一，求——.

2AE

15.問題探究：

①新知學習

若把將一個平面圖形分為面積相等的兩個部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）.

②解決問題

圖一圖二圖三

已知等邊三角形ABC的邊長為2.

（1）如圖一，若AD_LBC,垂足為D,試說明AD是AABC的一條面徑，并求AD的長：

（2）如圖二，若ME〃BC,且ME是AABC的一條面徑，求面徑ME的長；

（3）如圖三，已知D為BC的中點，連接AD,M為AB上的一點（O<AM<1）,E是DC上的一點，連接ME,ME與AD交于點O,且SΔMOA=SADOE.

①求證：ME是AABC的面徑；

②連接AE,求證：MD//AE：

（4）請你猜測等邊三角形ABC的面徑長1的取值范圍（直接寫出結果）

16.在平面直角坐標系XOy中，點P的坐標為（X1,）,點Q的坐標為（x2,J2）,且x,≠x2,乂*%，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點

P,Q的“相關矩形下圖為點P,Q的“相關矩形”的示意圖.

OlIJ）4Γ?

（I）已知點A的坐標為（1,0）.

①若點B的坐標為（3,1）求點A,B的“相關矩形”的面積：

②點C在直線x=3上，若點A,C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；

（2）（DO的半徑為0,點M的坐標為（m,3）.若在。0上存在一點N,使得點M,N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍.

17.如圖，4B為的直徑，C為QO上一點，連接AC.BC,D為AB延長線上?點，連接CO,且ZBCD=ZA.

（1）求證：C。是IO的切線:

（2）若00的半徑為√5，LABC的面積為2布，求CD的長:

FF1

（3）在（2）的條件下，E為QO上一點，連接CE交線段QA于點F,若—=-,求BF的長.

18.如圖，QO的直徑AB=26,P是AB上（不與點A、B重合）的任一點，點C、D為。。上的兩點，若NAPD=/BPC,則稱NCPD為直徑AB的“回旋角”.

（1）若/BPC=NDPC=60。，則/CPD是直徑AB的“回旋角”嗎？并說明理由;

（2）若CD的長為—π,求"回旋角''NCPD的度數(shù):

4

（3）若直徑AB的“回旋角”為120。，且APCD的周長為24+13石，直接寫出AP的長.

答案解析部分

1.【答案】（1）證明：連接OB,

D

??,AB是。O的切線，

Λ0B±AB,

即/ABO=90。，

2BC是弦,0A±BC,

ΛCE=BE,

ΛAC=AB,

在乙AOB和4AOC中,

AB=AC

AO=AO,

BO=CO

Λ?AOBAOC(SSS),

：.NACo=NABc)=90。，

即AClOC,

???AC是。O的切線：

(2)解：在RtABOD中，由勾股定理得，

BD=√OD2-OB2=20，

VsinD=-=—,G)O半徑為2,0D=4.

ODAD

.?AC

**4^AC+2√3’

解得AC=2g,

ΛAD=BD+AB=4√3.

2.【答案】（1）A∣B∣;2或3

(2)b的最大值為g√5,此時BC=JB：b的最小值為∣G,此時BC=√7

3.【答案】(1)證明：連接BD、AE

VAB為OO直徑，點。在OO上

ΛZΛDB=90o

???NeOB=90。

又Y點E為BC中點

ΛDE=BE=-BC

2

OD=OB,OE=OE

.,.二ODE=OBE

.*.NoDE=NOBE

VZABC=90°

：?NODE=90。

LoDLDE

（2）解：過。作DHLAB干H

在此^ABC中，NABC=90。

ZBAC=30o,BC=S

ΛIanZCAB=-

AB

.??AB=8√3

：.DO=AO=4√3

：.ZADO=ZCAB=30°

.??NAQ3:12（）。

2

.C120Λ?×(4√3)IA

??sMiAOD=---τ∑λ------=16兀

JOU

在此AoDH中

ZAHD=90。

ΛDOH=2ΛDAB=60o

???DH=6

：.SΛOD=^AODH=?2>∕3

????ι=S網(wǎng)形Ag-SAoD=i6Λ7-12√3

4.【答案】(1)解：證明：如圖I,連接CO,

圖1

VOA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

???ZOAC+ZOCA+ZAOC=180°,

Λ2ZOAC+ZAOC=180o,

VZA0C=2ZABC,

ΛZOAC+ZABC=900,

VABlCD,

ΛZABC+ZBCD=90σ,

：.ZOAC=ZBCD:

(2)解：VEN±BD,AB±CD,

ΛZDEN+ZCDN=90o,ZAEH÷ZDEN=90o,

：.ZAEH=ZCDN,

又???ZCDB=ZCAB,

：,ZCAB=ZAEH,

ΛAH=HE,

?：ZCAB+ZACE=ZAEH+ZCEH=90o,

.?.ZACE=ZCEH,

ΛCH=HE,

ΛAH=CH;

(3)解：如圖3,延長HF至Q,使HQ=HE,連接EQ,在AF上取點T,使QT=QF,過點L作LR_LCD于R,

圖3

VAH=CH=HE=HQ,NFHE=60°,

???ZkHEQ是等邊三角形，

.,.HQ=HE=QE,ZHQE=ZHEQ=ZQHE=60o,

VEL=HF=2√7,

ΛFQ=HL,

設ZAHQ=2α，則ZCHE=180o-2a-60°=120o-2a,

：.ZAEH=ZHAE=60-a,

ΛNAEQ=60。-NAEH=a,

/.NAFQ=60。+a,

VTQ=FQ,

：.NETQ=NAFQ=600+a,

ΛZTQE=180o-a-(60o+a)=120o-2a:

ΛZTQE=ZCHL,

XVQE=CH,QF=HL,

Λ?ETQ等ZXCLH(SAS),

ΛCL=ET=8,NHCL=NTEQ=a,

VHC=HE,ZCHE=120o-2a,

ΛNHCE=NHEC=30。+%

：.ZPCE=30o,

VLR?CD,

ΛLR=-CL=4tCR=43LR=4y∣3,

2

?RE=y∣LE2-LR2=√28-16=2√3，

/.CE=6√3,

VZPCE=30o,CE±AB,

ΛEC=√3PE,CP=2PE,

ΛPE=6,CP=12,

ΛPL=CP-CL=4,

VCH=HE,HG±CE,

.?CG=GE=3√3，

VHG∕/LR,

.RELE

??-----=------,

GEHE

.2√3_2>/7

,?麗=市’

ΛHE=3√7=AH=HC,

YNCPE=NEHF=60。，ZPEL=ZHEF,

Λ?PELS^HEF,

.EFLE

??-----=------，

HEPE

.EF2√7

.?訪=T'

/.EF=7,

.,.PF=1,

VBE=2PF,

ΛBE=2,

???BC=7CE2+BE2=√108+4=4√7

VAH=CH,

ΛOHlAC,

CEAH

：.cosZCAO=COSZBCE=—=——，

CBAO

?6√33√7

??訪?A0

ΛAO=M.

3

5.【答案】（1）解：VDF=0.8,OM=L6,DF?OB

???。尸為:CoM的中位線

???D為Co的中點

??CO=AO=4

ΛCD=2

<2）解：過N點作M）J交。”于點D,

YNoHN=45°,

???4NHD為等腰直角三角形,即ND=DH,

3

又?：tcιn4COH=—，

4

3

：.ian∕NoD=—,

4

.?tanZNOD≈-=-,

OD4

ΛNEhOD=M

設ND=3X=DH,則OD=4X,

VOD+DH=OH,

：.3x+4x=4,

4

解得X=1,

ΛND=—OD=-,

77t

???在RILNOD中，ON=《ND?+OD2=J仔j+（與）=y

(3)解：如圖，當點M與點O重合時，點N也與點O重合.當點M運動至點A時，點N運動至點T,故點N路徑長為：OB+

HH

5"N)

?:乙NHO=44H0,ZTHO=ZMHO,ZHOΛ√=50O.

：.ΛOHA=ΛOAH=650.

???/77/0=65。，Z7υ∕∕=50o.

???ZBOT=SOo,

,、.80。16

',..=2π×4×------=—π,

mr360°9

???N點的運動路徑長為：08+∕ff7,=4+yπ,

故答案為：4+—π.

連按CE,

BC與。。相切,

/.ZACB=90°，

,NABC=45。，

:.ZACT=ZCAB=45°，

:.CA=CB，

:...ABC為等腰直角三角形,

Y以AC為直徑的。。交邊AB于點E,

/.ZCEA=90°,即CElAB,

:.CE是AB邊的中線（三線合一）,

..AE=BE.

（2）解：連接DO并延長，交CE于點M,交。。于點G,

由(1)可知，ZCEA=90°,

???NAOD和NACD分別是Ao所對的圓心角和圓周角，

ΛZAOD=IZACD,

VΛEAC=IZACD,

???ZEAC=ZAOD,

/.DG//AE,

.?.NDMC=ZAEC=90。,

:.DGlCE,

..EM=CM,

,AE=S,OA=OC,

Λ0M為AAEC的中位線，

：.OM=-AE=4,

2

設圓的半徑為r,則DM=r+0M=r+4,

在RtQMC中，CM2=T-A1,

在RUDAZC中，CM2=(5&丫一(廠+4)2,

/.r2-42=(5√2)2-(r+4)2,

解得：∕j=√29-2或/^=-√29-2(舍去)，

???0。半徑的長為√29-2.

7.【答案】(1)解：NAO8=90。,

二?AB為OM的直徑.

A(2,0),3(0,8),

??點M為(1,4),

22

???半徑為MA=λ∕(2-l)+4=√Γ7.

設直線CM的函數(shù)表達式為y=kx+b.

把C(17.0),M(l,4)代入得\k+h=~，解得l7.

I-b--

4

117

?.?直線CM的函數(shù)表達式為y=--χ+-:

44

.?.ΘM的半徑為J萬，直線CM的函數(shù)表達式為y=--x+-

44

(2)解：過點M作X軸平行線，點D作軸平行線交于點”，作MN_Lx軸于點N(如圖1),

/DMH=NECA，ZDHM=4MNC=驕，

ADHMSjMNC,

DH_HM

~MN~~NC

DHNM4_1

~HM~~NC~

DM=后，且DM2=DH2+HM'

MH=4，DH=I，

點。為(-3,5).

點E,D關于點M對稱，

點E為(5,3)

8(0,8),D(-3,5).

DK=BK=3,

NOBD=NBDK=45。.

分三種情況(如圖2)：

①作EPlLx軸于點Pt,

A(2,0),￡(5,3),

/.APi=EPi=3,

.?.NAEq=NE4”45。，

.?.N4%=NOAO=45。，

即點Pl為符合條件的一個點.

???OPx=S.

②當NAERI=NODB時，

ZAME=ZBMD,

AE=BD.

NEAA=NOBo=45。，

.?.AAEP20JBDO(ASA),

.?.AP1=BO=S,

:.OP2=0Λ÷ΛA5=2+8=10.

③當ZAEPy=ZBOD時，

NEAR=NoBD=45。,

,

..^AEP3S`BOD,

AEAP.

「?一=―i.

BOBD

BD=AE，

AEAR

...——一、

BOAE

2

：.AE=APiBO,

???(3√2)2=8Λ^,

917

.?.OA=OA+AA=2+-=U.

44

綜上所述，當幺EP與J9BD的一個內(nèi)角相等時，OP的長為5,IO或—

4

8.【答案】（1）解：如圖，連接OD

由圓的切線的性質(zhì)得：ODLDE

AELDE

.'.ODHAE

'.ZDAE=ZADO

又,.OA=OD

.?.ΛDAO=ZADO

..ZDAE=ZDAO

則AD平分ZBAE；

(2)解：如圖，連接BD

由圓周角定理得：NAr>3=90。

:.ZBDC=90°

ZABC=90。

.?.ZZMO+ZC=90°

ZZME+ZADE=90°

/.ZADE=ZC

NE=NBDC=90。

在AADE和^BCD中，DE=CD

NAoE=NC

IjADEvBCD(ASA)

:.AD=BC

設AD=BC=a,CD=x,則AC=AD+CD=a+x，且a>0,x>0

ZC=ZC

在^ACB和二BCD中,

ZABC=ZBDC=90o

.?<.ACB~￡BCD

ACBCanfl+xa

BCCDax

解得X="舄或X=WZ叵<0（不符題意，舍去）

22

經(jīng)檢驗，X=二a+'是所列分式方程的解

2

一一α+?∣5aa+y∣5a

:.AC=a+------------=------------

22

?∕DA-BCa

則在Rt。ABC中，SmC一就-瓦忘^-="

故SinZEAC的值為正二?.

2

9.【答案】⑴解:連接BI,

YAD是NBAC的角平分線，

：.ZCAD=ZBAD,

由圓周角定理得：ZCAD=ZDBC,

ΛZDBC=ZBAD,

由作圖知：DB=DI,

ΛZDBI=ZBID,

NDBI=NDBC+/CBL

NBlD=NBAD+NABl,

ΛZABI=ZCBI,

，BI是NABC的角平分線，

???點I是AABC的內(nèi)心;

(2)解：VZDBC=ZCAD,ZBED=ZAEC,

：.△BED~ΔAEC,

.DBDEDBCA

?.-=----,即ππ-----=---,

CACEDECE

由(1)得：DB=DL

.DICA

??=；

DECE

（3）解：由題意知，當A在BC中點時，AABC內(nèi)切圓最大，

如圖，AABC內(nèi)切圓I與AB切于點D,與BC切于點E,連接ID,AO,

〈A在BC中點，

Λ0A±BC,且AABC是等腰三角形，

,OA是NBAC的平分線，

???點A、I、E、O在同一直線上，

VZBAC=120°,

ΛZBAl=60o,ZABC=30o,

設AABC內(nèi)切圓I的半徑為?,則ID=正=X,

在AAID中，sinZBAI=-??=-,

AIAI2

2x2√3

ΛAI=—^r=---------X

√33

HA匚Λ?/?4>/3

在AABE中,tanZABE=----即rIAE=4×—=—?-

BE33

TAE=AHIE,

.??空x+x=巫

33

4√3

解得:=8-4√3.

Λ^2^÷3

10?【答案】（1）證明：連接AD

ABLCIλAFLBC：.Z.AEH=ZAED=ACGH=90

.?ZHAE+ZAHE=NGCH+/CHG=%

.NCHG=ZAHE:.NGCH=ZEAH

弧BD=弧BD:.ABCD=QAB

.'.ZHAE=ZDAENAET/=ZAEo=90

.?ZAHD=ZADH

.?AH≈AD

ZHAE=ZDAE.?.DE=HE

（2）證明：連接半徑DO并延長DO交AF于點/

CD平分ZBCO..ZOCD=ZDCB

OC=OD:.ZOCD=ZODC

:"DCB=/ODC

:.BCIIDI

.?./CGH=NGID=90

.?DILAF:.弧AD=弧FD

（3）解：連接DA,DF,DBQD,DO與AB相交于點M

弧AD=弧DF.?AD=DF.?ADAF=ZAFD

由（1）（2）可知ZBCD=ZDCO=ZFAB=ZODC

設NoDC=（X則ZOCB=ZAFD=ZFAD=2a

弧AD=弧AD:.ZAFD=ZABD=2a

?.?AAED=90.?.ZBDE=90-2a,NEMD=90

.?.ZBDM=90-a=/BMD

.?.BM=BD

DE=HE,ZAEH=ΛAED=90

.?AE是HD的垂直平分線.-.BH=BD

.?.ZBHE=NBDE,NHBE=ZDBE=2a

.2.BEBE2

:.SmNBHE=—SinZBDE/.----=-----="

3HBBD3

設BE=Ix則HB=BD=3x=BM:.ME=X

在Rt.BDE中DE=-JBD1-BE2=√5%則HE=DE=亞X

/AS口MEX1/DenIBE2x-.

MMDEFF忑"BCBW??CE=2I"CH=&r

2

SdCHB=?=gcHXBE=g>βx×2x.?χ=?,?χ=↑或X=-I（舍）.?.CH=χ∕5x=45x=3?[5

Io∕ξIOP3

過O點作OPLCD垂足為點P:.PD=CP=-CD=-■tanZODP=-==—.-.OP

22√5DP2

1

.?.OC=OD=^OP-+PD=;COSNOCP=O=MXj=畫=COSNBCD=空

2OC23√66CH

??√30/T,√305√6

.?.CG=CH×-----=√5×1×------=------

666

BE2CG

CoSNKeG=coaZDBE=----=—=-----

BD3CK

?3CG35√65√6

2264

,CK3√65√6√6

..(JK=nOCr-CrKκ=--------------=-----

244

11.【答案】(1)解：①2；1

②當點C的坐標為(0,〃。時，且-ABC的“全距”為1

,有兩種情況討論如下：

當點C在線段AB上方時

三角形上一點到原點的最大距離為點C到原點的距離

d—m

三角形上一點到原點的最小距離為線段AB中點(0,1)到原點的距離

:.d=\

此時若“全距”為1,即m-l=l

則m=2

當點C在線段AB下方時，

三角形上一點到原點的最大距離為線段AB上點A或點B到原點O的距離

22

.?.t∕=λ∕(√3)+l=2

三角形上一點到原點的最小距離為點C到原點的距離

/.d=∣∕n∣

此時若“全距”為1,即2?∣m∣=l

解得m=±l

假設m=l,則A,B,C三點不構成三角形，

故m=-1

綜上所述，m的取值范圍是一ISmW2且m≠l

（2）解：OM=2,等邊ADEF的三個頂點均在半徑為1的OM上

.?.等邊ADEF的三個頂點與OM的交點不存在O、M、D（或E或F）三點共線的情況

???原點O到等邊ADEF上一點的最大距離為原點O到M與線段OM延長線的交點的距離

即d=l+2=3

???原點O到等邊ADEF上一點的最小距離為原點O到JM與線段OM的交點的距離

即d=2-l=l

綜上，“全距”d的取值范圍為l≤d≤3.

12.【答案】（1）證明：Y點C是半圓O的中點，

???AC=BC，

ΛAC=BC,NAOC=NBoC=900,

又YPA=PB,OA=OB,

：.ZPOA=90o,

.?ZA∞+ZPOA=180o,

???P、0、C在一條直線上，

XVPC=PC,

Λ?PAC絲ZXPBC（SSS）

⑵解：VPA=PB,OA=OB,NAPB=60。，

???△APB是等邊三角形，ZAPC=ZBPC=30o,OP_LAB于0,

VPA=4,

ΛPA=PB=AB=4,A0=B0=C0=2,ZAOC=90o,

ΛPO=√PA2-AO2=2^,

劣弧AC的長為加,

1oU

V2√3>π,

???PO比劣弧AC更長；

（3）解：四邊形APBC是正方形.

13.【答案】（1）解：證明：過點0作OH_LCD于H,如圖所示：

EOB

則CH=DH,

VEClCD,FD±CD,OH±CD,

ΛEC/7OHZ/FD,

VCH=DHf

ΛEO=FO;

(2)解：VOHlCD,OC=-AB=5,

2

ΛCH=-CD=3,

2

?,?0H=χ∣OC2-CH2=√52-32〃，

VEC/7OH,

ΛZECO=ZCOH≠45o;

①當NEOC=45。時，過點E作EMXOC于M,

則^OEM是等腰直角三角形，

ΛEM=OM,

VZECM=ZCOH,NCME=NOHC=90。，

Λ?ECM^ΔCOH,

ΛEM:CM=CH:OH=3：4.

在RtAECM中，設EM=3m,CM=4m.則OM=3m,EO=√2OM=3√2m,

VCM+OM=OC,

Λ4m+3m=5,

解得：m=I,

ΛEO=,

7

EF=2EO=.

7

②當NCEO=45。時，過點O作ON_LEC于N；.

在RSEoN中，E0=3√2.

ΛEF=2OE=6收.

綜上所述，線段EF的長等于迎色或6正

7

(3)解.：四邊形CDFE的面積S不隨變量X的變化而變化，是一個不變量：

四邊形CDFE的周長I隨變量X的變化而變化.理由如下：

由①得：EO=FO,CH=DH,

ΛOH是梯形EFDC的中位線，

ΛEC+FD=2OH=8,

，四邊形CDFE面積為S=-(EC+FD)?CD=OH?CD=4×6=24(0<x<8)(是?個常值函數(shù))；

2

作FG_LEC于G,則GC=FD=8-X,GF=CD=6,

???EG=EC-GC=x-(8-x)=2x-8,

22222

???EF=JEG+FG=√(2X-8)+6=2√Λ-8Λ+25，

?二四邊形CDFE周長1=EF+EC+CD+FD=EF+2OH+CD=2&_&t+25+兇(0<x<8),

即1=2λ∕√-8χ+25+14(0<x<8).

14.【答案】(1)證明：延長Al交BC于D,連接01.

圖1

Tl是AABC的內(nèi)心，

JBI平分NABC,AI平分NBAC

ΛZ1=Z3,

VAB=AC,

ΛADlBC.

XVOB=OI,

ΛZ3=Z2.

ΛZ1=Z2.

ΛOI√BD,

ΛO1±AI,

???AI為Oo的切線；

(2)解：連接BF,過B作BMl.CF于M,

由(I)得AD垂直平分BC,

ΛBI=Cl,

ΛZ1=Z4

故Nl=N2=N3=N4=α,

ΛZBOI=180o-2α,

ΛZF=-NBOl=90。-a,

2

ΛZF+Z4=90o,

ΛZFBC=ZAIX:=90o,

ΛFB/7AD,

Λ?BEF-ΔAEI,

.BEBF

**AE-A?

VDI/7BF,BD=CD,

ΛCl=Fl,

ΛBF=2ID,

JBE21D

故—=--，

AEAI

設ID=a,

*.*tanZI=?,

2

?\BD=CD=2a,Bl=IC=√∕D2+BD2

r+ιJ≡?l在Γ*?<BC?ID4#>

由面積法：BM=----------=-------a,

IC5

?IM=√BI2-BM2=—a，

5

又NMIB=2N1=NABD,

：.tanZMIB=（anZABD,

.BMAD4

Λ'~MI~~BD~3,

8

：.A4Drx=-a,

3

ΛAI=AD-ID=-a,

3

BE2ID2a6

?ΛE~~AZ^^5^^5?

—a

3

15.【答案】（1）解：如圖一中，

VAB=AC=BC=2,AD±BC,ΛBD=DC,ΛSΔABD=SΔADC,，線段AD是△ABC的面徑.?.?∕B=60°,Λsin60°=—,Λ2^1=—,/.AD=6.

AB22

(2)解：如圖二中,

-A

BC

圖二

SNME1ME_l_

VME/7BC,且ME是AABC的一條面徑,ΛΔAME<^?ABC,-----=一

SgBC2BC~√2*

ΛME=√2.

(3)解：如圖三中，作MN_LAE于N,DF_LAE于F.

BDEC

圖三

???SAMS=S".?.Se=Si.?*?AE?MN=??AE?DF,

ΛMN=DF,VMN√DF,工四邊形MNFD是平行四邊形，ΛDM√AE.

(4)解：如圖四中，作MF_LBC于F,設BM=X,BE=y,

BDX∕√3?o^^Γ^7

o22zz22

,Λxy=2,在RsMBF中，?.?∕MFB=90°,ZB=60,BM=x,ΛBF=-x,MF=—x,ΛME=y∣ME+EFλ∣x+y-xy>

BA~BE2