2022年浙江省衢州市湖南鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年浙江省衢州市湖南鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在如圖所示的知識結(jié)構(gòu)圖中：“求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”的“上位”要素有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：C【考點(diǎn)】結(jié)構(gòu)圖．【分析】先對所畫結(jié)構(gòu)的每一部分有一個深刻的理解，從頭到尾抓住主要脈絡(luò)進(jìn)行分解；再將每一部分進(jìn)行歸納與提煉，形成一個個知識點(diǎn)并逐一寫在矩形框內(nèi)；最后按其內(nèi)在的邏輯順序?qū)⑺鼈兣帕衅饋聿⒂镁€段相連，從而形成知識結(jié)構(gòu)圖．“求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”是建立在熟練掌握“基本求導(dǎo)公式”，“函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則”和“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則”基礎(chǔ)上的，故三者均為其上位．【解答】解：根據(jù)知識結(jié)構(gòu)圖得，“求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”是建立在熟練掌握“基本求導(dǎo)公式”，“函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則”和“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則”基礎(chǔ)上的，故“基本求導(dǎo)公式”，“函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則”和“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則”均為“求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”的“上位”要素，共有3個．故選：C．2.若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.圓（x﹣2）2+（y+3）2=1的圓心坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）參考答案：D【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】直接利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心坐標(biāo)即可．【解答】解：圓（x﹣2）2+（y+3）2=1的圓心坐標(biāo)是：（2，﹣3）．故選：D．4.若不等邊銳角三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則最大的邊與最小的邊的邊長比值的取值范圍為（）A．（1，2） B．（1，3） C．（2，+∞） D．（3，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，因為銳角△ABC三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列得到B為60°，然后利用余弦定理表示出cosB得到一個關(guān)系式，根據(jù)三角形為銳角三角形得到a2+b2﹣c2＞0，把求得的關(guān)系式代入不等式即可求得最大邊c與最小邊a比值即m的范圍．【解答】解：設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，因為三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，所以2B=A+C，則A+B+C=3B=180°故可得B=60°，根據(jù)余弦定理得：cosB=cos60°==，于是b2=a2+c2﹣ac，又因為△ABC為銳角三角形，故a2+b2﹣c2＞0，于是2a2﹣ac＞0，即＜2，∵c＞a，即：＞1，則m=∈（1，2）．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及鈍角三角形三邊的平方關(guān)系，靈活運(yùn)用余弦定理化簡求值，是一道中檔題．5.設(shè)，若恒成立，則k的最大值為

A．2 B．4

C．6 D．8參考答案：D略6.若＜＜0，則下列結(jié)論正確的是

A.b

B.

C.

-2

D.參考答案：A略7.相交成60°的兩條直線與一個平面α所成的角都是45°，那么這兩條直線在平面α內(nèi)的射影所成的角是（

）ks*5uA．30°

B．45°

C．60°

D．90°

參考答案：D略8.已知兩條直線y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，則a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0參考答案：C【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】計算題；規(guī)律型；直線與圓．【分析】直接利用平行線的充要條件列出方程求解即可．【解答】解：兩條直線y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，可知：1=，解得a=1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平行線之間的關(guān)系，考查計算能力．9.有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其隨機(jī)的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率 A．

B．

C．

D參考答案：B略10.設(shè)向量，，若向量與同向，則x=（

）A.2 B.-2 C.±2 D.0參考答案：A【分析】由與平行，利用向量平行的公式求得x,驗證與同向即可得解【詳解】由與平行得，所以，又因為同向平行，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量共線（平行）的概念，考查計算求解的能力，屬基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則________________

參考答案：212.已知兩個向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z1=3和z2=5+5i，求向量與的夾角

．參考答案：【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用兩個向量的數(shù)量積公式以及兩個向量的數(shù)量積的定義，求得cosθ的值，可得向量與的夾角θ的值．【解答】解：設(shè)向量與的夾角為θ，θ∈[0，π]，由題意可得=（3，0），=（5，5），∴=3?5+0=15=3?5?cosθ，∴cosθ=，∴θ=，故答案為：．13.設(shè)雙曲線﹣=1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得a、b的值，進(jìn)而可得c的值，可以確定A、F的坐標(biāo)，設(shè)BF的方程為y=（x﹣5），代入雙曲線方程解得B的坐標(biāo)，計算可得答案．【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A（3，0），F(xiàn)（5，0），不妨設(shè)BF的方程為y=（x﹣5），代入雙曲線方程解得：B（，﹣）．∴S△AFB=|AF|?|yB|=?2?=．故答案為：．14.在中,若,則

參考答案：因為在△ABC中，，由余弦定理，可知，cosA=，則考點(diǎn)：余弦定理．點(diǎn)評：本題考查余弦定理的應(yīng)用，余弦定理的表達(dá)式的應(yīng)用，考查基本知識的應(yīng)用．15.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)滿足，則______；______.參考答案：

(1).

(2).【分析】設(shè)出根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得到相應(yīng)的參數(shù)值，由模長公式得到結(jié)果.【詳解】設(shè)故得到故答案為：(1).；(2).【點(diǎn)睛】向量的模叫做復(fù)數(shù)的模，記作或;如果，那么是一個實(shí)數(shù)，它的模等于（就是的絕對值）;由模的定義可知：．16.下面的程序運(yùn)行后的結(jié)果為__________(其中：“（a+j）mod

5”表示整數(shù)(a+j)除以5的余數(shù)）參考答案：017.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．參考答案：【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】復(fù)數(shù)的分母實(shí)數(shù)化，然后求出共軛復(fù)數(shù)即可．【解答】解：因為復(fù)數(shù)===，它的共軛復(fù)數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)評】他考查復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的化簡，考查計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4．（1）設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，求證：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】LY：平面與平面垂直的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得AD⊥BD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出BD⊥平面PAD，故而平面BDM⊥平面PAD；（2）過P作PO⊥AD，則PO⊥平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱錐的高PO，代入棱錐的體積公式計算即可．【解答】（1）證明：在△ABD中，∵AD=4，AB=4，BD=8，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．（2）解：過P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO?平面PAD，∴PO⊥面ABCD，即PO為四棱錐P﹣ABCD的高．又△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO=2．過D作DN⊥AB，則DN==．∴S梯形ABCD=×（2+4）×=24，∴VP﹣ABCD==16．19.某校高二年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中男生的人數(shù)．(1)請列出X的分布列；(2)根據(jù)你所列的分布列求選出的4人中至少有3名男生的概率．參考答案：（1）X

0

1

2

3

4

P

（2）試題分析：（1）本題是一個超幾何分步，用X表示其中男生的人數(shù)，X可能取的值為0，1，2，3，4．結(jié)合變量對應(yīng)的事件和超幾何分布的概率公式，寫出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）選出的4人中至少有3名男生，表示男生有3個人，或者男生有4人，根據(jù)第一問做出的概率值，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．解：（1）依題意得，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，隨機(jī)變量X表示其中男生的人數(shù)，X可能取的值為0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列為：X

0

1

2

3

4

P

（2）由分布列可知至少選3名男生，即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=．點(diǎn)評：本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望，考查超幾何分步，考查互斥事件的概率，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力．20.已知在等比數(shù)列{an}中，.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.參考答案：(1)(2)【分析】（1）求出公比后可得的通項公式.（2）利用錯位相減法可求.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，得，得，所以，解得.故數(shù)列的通項公式是.（2），則，①，②由①-②，得，，故【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，.參考答案：(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)見解析分析：（1）把代入，取導(dǎo)函數(shù)，因而判斷導(dǎo)數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間。（2）將函數(shù)變形，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)。構(gòu)造函數(shù)，則，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求其最值，即可證明不等式。詳解：函數(shù)的定義域為，（1）函數(shù)，當(dāng)且時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）問題等價于.令，則，當(dāng)時，取最小值.設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴，∵，∴，∴，故當(dāng)時，.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)不等式證明等綜合應(yīng)用，在高考中導(dǎo)數(shù)是重點(diǎn)、難點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，對分析解決問題能力要求很高，屬于難題。22.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資某種新能源產(chǎn)品，研發(fā)小組經(jīng)過初步論證，估計能獲得10萬元到100萬元的投資效益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對研發(fā)小組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過投資收益的20%且不超過9萬元，設(shè)獎勵y是投資收益x的模型為y=f（x）．（1）試驗證函數(shù)y=+1是否符合函數(shù)x模型請說明理由；（2）若公司投資公司采用函數(shù)模型f（x）=，試確定最小的正整數(shù)a的值．參考答案：（1）判斷y=的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值與9的大小關(guān)系，判斷﹣x≤0在[10，100]上是否恒成立；（2）令f（x）﹣≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范圍，再令f函數(shù)y=+1是增函數(shù)，當(dāng)x=100