2022年湖北省荊州市沙市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022年湖北省荊州市沙市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，，n∈N，則

（

）A.

B.－

C.

D.－

參考答案：A略2.某校要從1080名學(xué)生中抽取90人做問(wèn)卷調(diào)查，采取系統(tǒng)抽樣的方法抽?。畬⑺麄冸S機(jī)編號(hào)為１,２,３,…,1080，編號(hào)落入?yún)^(qū)間［1,330］的同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷Ⅰ的調(diào)查,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[331,846]的

同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷Ⅱ的調(diào)查,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[847,1080]的同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷Ⅲ的調(diào)查．若分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到５號(hào)，則進(jìn)行問(wèn)卷Ⅲ的同學(xué)人數(shù)為（）Ａ．19

Ｂ．20

Ｃ．21

Ｄ．22參考答案：A3.若滿足，滿足，函數(shù)，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是(

)A． B． C． D.參考答案：C略4.已知拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣8x﹣9=0相切，則p的值為（）A．2 B．1 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得圓心及半徑，由題意可知：拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣8x﹣9=0相切，丨4+丨=5，解得：p=2．【解答】解：圓x2+y2﹣8x﹣9=0轉(zhuǎn)化為（x﹣4）2+y2=25，圓心（4，0），半徑為5，拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為x=﹣，∵拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣8x﹣9=0相切，∴丨4+丨=5，解得：p=2，∴p的值為2，故選A．5..已知f(n)＝+＋＋＋…＋，則()A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1+＋＋C．f(n)中共有n2－n+2項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1+＋+D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1+＋＋參考答案：C略6.雙曲線x2-y2=1右支上一點(diǎn)P（a,b）到直線y=x的距離為，則a+b的值是（▲）

A．-

B．

C．-或

D．2或參考答案：B略7.“a+b=2”是“直線x+y=0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)直線與圓相切的充要條件，可得“直線x+y=0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的等價(jià)命題“a+b=±2”，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可得答案．【解答】解：若直線x+y=0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切則圓心（a，b）到直線x+y=0的距離等于半徑即=，即|a+b|=2即a+b=±2故“a+b=2”是“直線x+y=0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要條件故選A8.設(shè)集合I＝{1，2，3，4，5}．選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有(

)A．50種

B．49種

C．48種

D．47種參考答案：B略9.命題，則命題的否定是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.

參考答案：解析：對(duì)于A：e=，a=b，漸近線y=±x互相垂直，真命題.對(duì)于B：設(shè)所求直線斜率為k，則k=－2，由點(diǎn)斜式得方程為2x+y－3＝0,也為真命題.對(duì)于C：焦點(diǎn)F（，0）,準(zhǔn)線x=－

,

d=1真命題.對(duì)于D：a=5，b=3，c=4，d=2·

假命題，選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______參考答案：412.已知集合，則=

．參考答案：13.奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋ī仸校?）∪（0，π），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．當(dāng)0＜x＜π時(shí)，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，則關(guān)于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．參考答案：【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．可得函數(shù)g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋ī仸校?）∪（0，π），因此函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化為：＜，利用單調(diào)性即可解出；x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化為：＞=，利用單調(diào)性即可得出．【解答】解：令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．∴函數(shù)g（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋ī仸校?）∪（0，π），因此函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化為：＜，∴π＞x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化為：＞=，∴．綜上可得：x∈：．故答案為：．14.已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，則sin（α﹣β）=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】把已知的兩等式左右兩邊平方，利用完全平方公式展開(kāi)后，分別記作①和②，然后將①+②，左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，右邊計(jì)算，整理后即可求出sin（α﹣β）的值．【解答】解：∵sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，∴（sinα+cosβ）2=，（sinβ﹣cosα）2=，即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=①，sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=②，①+②得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=（sin2α+cos2α）+（cos2β+sin2β）+2（sinαcosβ﹣sinβcosα）=1+1+2sin（α﹣β）=2+2sin（α﹣β）=，則sin（α﹣β）=﹣．故答案為：﹣15.復(fù)數(shù)(i為復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位)的模等于___________.參考答案：略16.“命題‘’為假命題”是“”的

A.充要條件

B.必要補(bǔ)充條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A17.在△ABC中，，角A的平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O，，則的值________．參考答案：【分析】由角平分線定理可得，，則有，將代入化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，在中，，角的平分線與邊上的中線交于點(diǎn)，由角平分線定理可得，，則，即有，，解得.所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，利用基底向量表示目標(biāo)向量是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某小區(qū)為解決居民停車難的問(wèn)題，經(jīng)業(yè)主委員會(huì)協(xié)調(diào)，現(xiàn)決定將某閑置區(qū)域改建為停車場(chǎng).如圖，已知該閑置區(qū)域是一邊靠道路且邊界近似于拋物線的區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃改建為一個(gè)三角形形狀的停車場(chǎng)，要求三角形的一邊為原有道路，另外兩條邊均與拋物線相切.（1）設(shè)AB，AC分別與拋物線相切于點(diǎn)，試用P，Q的橫坐標(biāo)表示停車場(chǎng)的面積；（2）請(qǐng)問(wèn)如何設(shè)計(jì)，既能充分利用該閑置區(qū)域，又對(duì)周邊綠化影響最小？

參考答案：（1）因?yàn)榉謩e與拋物線相切于不妨設(shè)<0<則直線：直線：可得所以停車場(chǎng)的面積=其中（2）=

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立令，則（），，令當(dāng)<<時(shí)，<,單調(diào)遞減；當(dāng)1>>時(shí)，>,單調(diào)遞增所以，所以當(dāng)分別與閑置區(qū)的拋物線的邊界相切于點(diǎn)時(shí)，既能充分利用該閑置區(qū)域，又對(duì)周邊綠化影響最小19.設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn),滿足，橢圓的離心率短軸長(zhǎng)為,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)若直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)(為半焦距),求直線的斜率的值.參考答案：略20.共享單車是指企業(yè)為校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是一種分時(shí)租賃模式，某共享單車企業(yè)為更好地服務(wù)社會(huì)，隨機(jī)調(diào)查了100人，統(tǒng)計(jì)了這100人每日平均騎行共享單車的時(shí)間（單位：分鐘），將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為：六個(gè)小組，得到右側(cè)頻率分布直方圖，已知騎行時(shí)間在[60，80），[20，40），[40，60）三組對(duì)應(yīng)的人數(shù)依次成等差數(shù)列.

（1）求頻率分布直方圖中a，b的值；（2）估計(jì)這100人每日平均騎行共享單車時(shí)間的中位數(shù)；（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位小數(shù)）

（3）若將日平均騎行時(shí)間不少于80分鐘的用戶定義為“忠實(shí)用戶”，將日平均騎行時(shí)間少于40分鐘的用戶為“潛力用戶”，現(xiàn)從上述“忠實(shí)用戶”與“潛力用戶”的人中按分層抽樣選出5人，再?gòu)倪@5人中任取3人，求恰好1人為“忠實(shí)用戶”的概率．

參考答案：（1）由…（1分）

解得，又．…（3分）（2），所以中位數(shù)大約是…（6分）

（3）“忠實(shí)用戶”“潛力用戶”的人數(shù)之比為：，所以“忠實(shí)用戶”抽取人，“潛力用戶”抽取人，…（8分）

記事件：從5人中任取3人恰有1人為“忠實(shí)用戶”

設(shè)兩名“忠實(shí)用戶”的人記為：，三名“潛力用戶”的人記為：，

則這5人中任選3人有：，，，共10種情形，符合題設(shè)條件有：共有6種．…（10分）因此恰好1人為“忠實(shí)用戶”的概率為．…（12分）21.海島B上有一座海拔1000米的山，山頂A處設(shè)有一觀測(cè)站,上午11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東，俯角的C處；11時(shí)20分又測(cè)得該輪船在海島北偏西，俯角的D處問(wèn)：（Ⅰ）此輪船的速度是多少？（Ⅱ）如果輪船的航向和速度不變，它何時(shí)到達(dá)島的正西方？參考答案：（Ⅰ）如圖，由題意知:

∵，

∴

又，∴

∴

∴．

（Ⅱ）如圖，延長(zhǎng)與正西線交于，作于，則，∴，∴在中，

∴

則輪船從到耗時(shí)10分鐘（到耗時(shí)20分鐘），故此輪船11時(shí)30分到達(dá)島的正西方．22.（14分）今有甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用7局4勝制．假設(shè)甲、乙兩隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率都是．并記需要比賽的場(chǎng)數(shù)為ξ．（Ⅰ）求ξ大于5的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（Ⅰ）依題意可知，ξ的可能取值最小為4．當(dāng)ξ＝4時(shí)，整個(gè)比賽只需比賽4場(chǎng)即結(jié)束，這意味著甲連勝4場(chǎng)，或乙連勝4場(chǎng)，于是，由互斥事件的概率計(jì)算公式，可得P（ξ＝4）＝2＝．……………..2分當(dāng)ξ＝5時(shí)，需要比賽5場(chǎng)整個(gè)比賽結(jié)束，意味著甲在第5場(chǎng)獲勝