安徽省江淮十校2024屆高三第二次聯(lián)考試題數(shù)學

江淮十校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題2023.11命審單位：安慶一中命審人：洪汪寶吳禮琴陳晨注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則A. B. C. D.2.已知集合，集合，則A. B. C. D.3.已知點是的重心，，，則A. B. C. D.4.已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則使成立的的最大值為A.16 B.17 C.18 D.196.已知角為第二象限角，且滿足，則A. B. C. D.7.在正四棱臺中，，點是底面的中心，若該四棱臺的側(cè)面積為，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有四個不同的零點，，，且，則的取值范圍是A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知且，則下列不等關(guān)系一定成立的是A. B.C. D.10.在正四棱柱中，，，分別為棱，的中點，則下列判斷正確的是A.直線與直線互為異面直線B.平面C.平面截該四棱柱得到的截面是五邊形D.平面與棱的交點是棱的中點11.將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)有最值，則實數(shù)的取值范圍可能為A. B. C. D.12.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列判斷正確的是A.B.當為奇數(shù)時，C.當為偶數(shù)時，D.數(shù)列的前項和等于三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為______.14.已知，且，則的最小值為______.15.內(nèi)接于球的四棱錐的底面是等腰梯形，四條側(cè)棱均相等，，，，，側(cè)棱與底面所成角的大小為，則球的表面積為______.16.設(shè)正整數(shù)滿足不等式，則的最小值等于______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知集合，函數(shù)的值域為集合.（1）當時，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求正數(shù)的取值范圍.18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中且）是奇函數(shù).（1）求，的值并判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知二次函數(shù)滿足，且其最小值為.若對，都，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿分12分）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，為其外接圓的圓心，，.（1）求的大??；（2）若，求邊長的最值.20.（本小題滿分12分）如圖（1），在邊長為4的菱形中，，點是邊的中點，連交對角線于點，將沿對角線折起得到如圖（2）所示的三棱錐.（1）點是邊上一點且，連，求證：平面；（2）若二面角的大小為，求二面角的正弦值.圖（1） 圖（2）21.（本小題滿分12分）各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個零點且，求證：.江淮十校2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題參考答案題號123456789101112選項BDDBBCACBDACACDBCD一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.B【解析】由條件可知，所以，故選B.2.D【解析】由已知得，，則，故選D.3.D【解析】由條件知，所以，所以，故選D.4.B【解析】由條件知解得或，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，，，其對稱軸方程為，根據(jù)條件可知，解得，故選B.5.B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件得，解得，又，解得，于是，顯然，，所以，，當時，，故選B.6.C【解析】由條件可知，整理得，因角為第二象限角，所以，于是兩邊同除以，得，因，解得，故選C.7.A【解析】由已知條件得該四棱臺的斜高為，側(cè)棱長為，根據(jù)得，又，所以四邊形是平行四邊形，于是，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角，根據(jù)余弦定理可知，故選A.8.C【解析】作出函數(shù)的大致圖象，可知，，于是，所以，，即，所以，于是，故選C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.9.BD【解析】由條件知，又，所以B，D正確.10.AC【解析】根據(jù)條件作出圖形得到A正確，B錯誤，C正確，平面與棱的交點是棱的一個三等分點，D錯誤.故選AC.11.ACD【解析】由條件可知，由，解得，于是，解得，因，所以當時，；當時，；當時，.故選ACD.12.BCD【解析】由條件知，，當為奇數(shù)且時，，也符合，所以當為奇數(shù)時，，B正確；當為偶數(shù)時，，A錯誤，C正確；于是，，所以數(shù)列的前項和為，D正確.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】【解析】由已知得，由得，所以，于是.14.【答案】6【解析】由知，所以，當且僅當，時等號成立，最小值為6.15.【答案】【解析】作于點，則根據(jù)條件可得，，設(shè)四邊形的外接圓半徑大小為，圓心到的距離為，則，解得，，根據(jù)側(cè)棱與底面所成角的大小為知點到平面的距離為.設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的表面積為.16.【答案】6【解析】對所給不等式兩邊同時取自然對數(shù)，則，于是.構(gòu)造函數(shù)，，求導得，令，，求導得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以，于是，又是正整數(shù)，所以的最小值等于6.四、解答題：本大題共6小題，共70分.17.（本小題滿分10分）解：因所以（1）當時，，解得，所以于是（2）由條件知集合是集合的真子集，又所以且兩等號不能同時成立，解得又，所以正數(shù)的取值范圍為18.（本小題滿分12分）解：（1）由條件可知函數(shù)的定義域為，由是奇函數(shù)知，即，解得，所以，又，于是對任意的恒成立，即對任意的恒成立，解得，所以，又，因在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知當時，函數(shù)的值域為又根據(jù)條件得且，當時，，則函數(shù)的值域為，于是，所以，解得，因此實數(shù)的取值范圍為.19.（本小題滿分12分）解：（1）延長交外接圓于點，則，所以由，得，解得，因，所以，（2）在中，由正弦定理得，于是，因，所以，于是所以邊長的最大值為，最小值為4.解：（1）連，由條件知點是的重心，則，又，所以，于是.因平面，平面，所以平面.（2）設(shè)，以點為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間坐標系，如圖所示，因，，則為二面角的平面角，于是，因，，所以，所以，，，，，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，不妨取，則又平面的法向量為則，所以二面角大小的正弦值為.21.（本小題滿分12分）解：（1）由得，兩邊同除以，得，即，于是，因，所以，因此即，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以，于是，所以，，上述兩式相減得所以.22.（