直角三角形全等的判定(HL)（分層作業(yè)）(解析版)docx

PAGEPAGE512.2.4直角三角形全等的判定(HL)夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列條件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A．AC=A′C′，∠B=∠B′B．∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，AC=A′C′D．AB=A′B′，∠A=∠A′【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：A、根據(jù)全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)AAA不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一檢驗(yàn)．2．下面說(shuō)法不正確的是（）A．有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B．有兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等C．有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D．有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，所以另一銳角必然相等，∴符合ASA定理，不符合題意；B、兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，若是兩條直角邊，可以根據(jù)SAS判定全等，若是直角邊與斜邊，可根據(jù)HL判定全等．不符合題意；C、有兩個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似，符合題意；D、有一直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合題意．故答案為：C【分析】直角三角形中已經(jīng)有一個(gè)直角對(duì)應(yīng)相等，需要它們?nèi)鹊脑?，只需要再有一個(gè)角和一組邊對(duì)應(yīng)相等，利用AAS或者ASA判斷出它們?nèi)?；或者只需要兩組邊對(duì)應(yīng)相等，利用HL或者SAS就可判定出它們?nèi)?；根?jù)判定方法即可一一判斷出答案。3．如圖，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，且DE=BF，若利用“HL”證明△DEC≌△BFA，則需添加的條件是()A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，

∵DE=BF，

∴當(dāng)添加斜邊相等時(shí)，即DC=BA時(shí)，可利用“HL”證明△DEC≌△BFA.

故選A.

【分析】利用“HL”證明Rt△DEC≌Rt△BFA時(shí)，已知一對(duì)直角邊相等（DE=BF），只需要添加斜邊相等，據(jù)此判斷即可.4．用三角尺可以按照下面的方法畫(huà)∠AOB的角平分線：在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使OM=ON；再分別過(guò)點(diǎn)M、N畫(huà)OA、OB的垂線，這兩條垂線相交于點(diǎn)P，畫(huà)射線OP（如圖），則射線OP平分∠AOB，以上畫(huà)角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．HL D．ASA【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】在RtOMP和RtONP中，

OM=ONOP=OP，

∴RtOMPRtONP（HL），

∴MOP=NOP，

∴OP是AOB的角平分線.故答案為：C.

【分析】本題考查了全等三角形的判定及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.利用判定方法“HL”證明RtOMPRtONP，進(jìn)而得出答案.5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于點(diǎn)D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=()A．2cm B．4cm C．3cm D．5cm【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】∵DE⊥AB于D，在和中，，∴ED=CE.∴AE+ED=AE+CE=AC=3cm故答案為：C【分析】首先根據(jù)BC=BD，EB=EB利用HL判斷出Rt△BDE?Rt△BCE，根據(jù)猤三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出ED=CE，根據(jù)線段的和差及等量代換即可得出結(jié)論。6．已知：如圖，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC邊上的高，AD＝BD，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，BF＝AC，則∠AFB的度數(shù)為（）A．27° B．37° C．63° D．117°【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵BF=AC，

∵AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，

∴△ADC≌△BDF（HL），

∴∠BFD=∠C=63°.

∴∠AFB=180°-∠BFD=180°-63°=117°.

故答案為：D.

【分析】已知AD和BD相等，BF和AC相等，利用斜邊直角邊定理定理可證△ADC≌△BDF，從而得出∠AFD=∠C=63°，則由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠AFB的度數(shù).7．如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，∠CED=35°，則∠EAB的度數(shù)是()A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F。

∵DE為∠ADC的平分線，EC⊥CD，EF⊥AD

∴EC=EF

∵E為BC的中點(diǎn)

∴EC=EB，

∴EB=EF

在直角三角形ABE和直角三角形AFE中，∵AE=AE，BE=EF，

∴直角三角形ABE≌直角三角形AFE∴∠DAE=∠BAE。

∵∠CED=35°

∴∠ADC=2×（90°-35°）=110°

∴∠EAB=×（180°-110°）=35°。

故答案為：D?！痉治觥扛鶕?jù)直角三角形斜邊和一條直角邊相等，可證明兩個(gè)直角三角形全等；根據(jù)梯形的內(nèi)角和為360°，來(lái)求得∠DAB的度數(shù)，根據(jù)∠DAB對(duì)應(yīng)包含的兩個(gè)角相等，即可求出∠EAB的度數(shù)。二、填空題：8．如圖，E、B、F、C在同一條直線上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．則ΔABC≌，全等的根據(jù)是．【答案】△DFE；HL【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜邊相等【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)由EB＝FC得出EF＝BC，這兩個(gè)直角三角形中有一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，斜邊也對(duì)應(yīng)相等，故可以利用HL判斷出ΔABC≌△DFE。9．如圖，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，則∠EDF＝．【答案】50°【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵∠AFD=140°，∴∠DFC=180°-140°=40°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠FDC=90o，在Rt△BED和Rt△CDF中，∵BD＝CF，BE＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CDF，∴∠EDB=∠DFC=40°，∴∠EDF=∠BDC-∠FDC－∠EDB=180°-90°-40°=50°.

故答案為：50°【分析】根據(jù)∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根據(jù)BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，則∠EDB=∠DFC=40°，則根據(jù)平角的性質(zhì)可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°10．如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥CD于點(diǎn)D，∴∠AEC＝∠D＝90°，在Rt△AEC與Rt△CDB中，∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，∴DE＝CD?CE＝10?4＝6，故答案為：6．

【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再證明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。11．如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．若，則的大小為度．【答案】60【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】∵為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，又，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴，∴∠B=∠C=60°，∠A=180°-60°-60°=60°，故答案為：60°．【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，，可證明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得∠B=∠C=60°，利用三角形內(nèi)角和180°，計(jì)算即可得．12．如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，AB=8cm，則△DEB的周長(zhǎng)是【答案】8cm【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,在△ACD和△AED中AD=ADCD=DE∴△ACD≌△AED(HL),∴AC=AE,∴△BED的周長(zhǎng)=DE+BD+BE,=BD+CD+BE,=BC+BE,=AC+BE,=AE+BE,=AB,∵AB=8cm,∴△BED的周長(zhǎng)是8cm.故答案為:8cm.【分析】利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可證得CD=ED，再利用HL證明△ACD≌△AED，利用全等三角形的性質(zhì)，易證AC=AE，因此可證△BED的周長(zhǎng)就是線段AB的長(zhǎng)。13．如圖，MN∥PQ，AB⊥PQ，點(diǎn)A、D、B、C分別在直線MN與PQ上，點(diǎn)E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，則AB=【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵M(jìn)N∥PQ，AB⊥PQ，∴AB⊥MN，∴∠DAE=∠EBC=90°，在Rt△ADE和Rt△BCE中，∴△ADE≌△BEC（HL），∴AE=BC，∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案為7．【分析】可判定△ADE≌△BCE，從而得出AE=BC，則AB=AD+BC．14．如圖，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，則∠PCA=.【答案】55°【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵PA＝PB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝25°，∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝55°，故答案為：55°.【分析】由“HL”可證Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝25°，由外角可求解.三、解答題：15．已知：如圖，∠C=∠D=90°，AD=BC.求證：∠ABC=∠BAD.【答案】證明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵AB=BA，AD=BC，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠ABC=∠BAD.【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【分析】根據(jù)HL可證Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABC=∠BAD.16．如圖，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE＝CF，過(guò)E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，試證明BD平分EF．【答案】證明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD，AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中∠BFG=∠DEG，∠BGF=∠DGE，BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，由AE＝CF，得出AF＝CE．然后利用HL判斷出Rt△ABF≌Rt△CDE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出BF＝DE．然后再利用AAS判斷出△BFG≌△DEG，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出FG＝EG，即BD平分EF。17．如圖，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求證：BD=EC+ED．【答案】證明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD=∠DAC．∵在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE，EC=AD．∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED．【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【分析】由題中AB=AC，以及AB和AC所在三角形為直角三角形，可以判斷出應(yīng)證明△ABD≌△CAE．能力提升篇一、單選題：1．如圖，在和中，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：解：∵，∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）∴，∠BAC=∠DAE，故A選項(xiàng)不符合題意；∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC，即，故B選項(xiàng)不符合題意；連接AO，∵AE=AC，AO=AO，∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL），∴，故C選項(xiàng)不符合題意；無(wú)法得出，故D選項(xiàng)符合題意；故答案為：D．【分析】利用全等三角形的判定方法和性質(zhì)，再結(jié)合圖形，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。2．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，DE＝DG．若△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為()A．11 B．5.5 C．7 D．3.5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，∵DE=DG，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，∵DN=DF，DM=DE，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面積分別為50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．故答案為：B．【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，由角平分線的性質(zhì)可得DF=DN，結(jié)合題意用HL定理可證Rt△DEF≌Rt△DMN，于是可得∠EDF=∠MDN，則∠ADE=∠ADM，于是用邊角邊易證△ADE≌△ADM，所以結(jié)合圖形的構(gòu)成和已知可得S△MDG=S△ADG﹣S△ADM可求解。3．如圖，于，于，若，平分，則下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的有（）個(gè)A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵平分，于，于，∴，DE=DF，故①符合題意；在Rt△DBE和Rt△DCF中，∵DE=DF，，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴∠DBE=∠C，BE=CF，故②符合題意；∵，∴，故③符合題意；在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵DE=DF，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，∴，故④符合題意；綜上，正確的結(jié)論是：①②③④，有4個(gè)．故答案為：D．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷①；根據(jù)HL可得Rt△DBE≌Rt△DCF，進(jìn)而可得∠DBE=∠C，BE=CF，于是可判斷②；根據(jù)平角的定義和等量代換即可判斷③；根據(jù)HL可得Rt△ADE≌Rt△ADF，于是可得AE=AF，進(jìn)一步根據(jù)線段的和差關(guān)系即可判斷④，從而可得答案．二、填空題：4．如圖，D為Rt△ABC中斜邊BC上的一點(diǎn)，且BD=AB，過(guò)D作BC的垂線，交AC于E，若AE=12cm，則DE的長(zhǎng)為cm．?【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：連接BE．∵D為Rt△ABC中斜邊BC上的一點(diǎn)，且BD=AB，過(guò)D作BC的垂線，交AC于E，∴∠A=∠BDE=90°，∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，BD=AB（已知），BE=EB（公共邊），∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），∴AE=ED，又∵AE=12cm，∴ED=12cm．故填12．【分析】根據(jù)已知條件，先證明△DBE≌△ABE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）來(lái)求DE的長(zhǎng)度．5．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四個(gè)結(jié)論：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正確的是（將你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫(xiě)上）．【答案】①、②、④【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD正確∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ADC=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC正確∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正確而③不能證明，故答案為①、②、④．故填①、②、④．【分析】首先由△AEF與△ADF中分別有兩個(gè)直角及對(duì)頂角得到①是正確的，利用等腰三角形的性質(zhì)及其它條件，證明△CEB≌△ADC，則其他結(jié)論易求，而無(wú)法證明③是正確的．6．如圖，有一個(gè)直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一條線段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：當(dāng)AP=時(shí)，才能使以點(diǎn)P、A、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等．【答案】3或6【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】AC中點(diǎn)或C點(diǎn)時(shí)，△ABC和△PQA全等，理由是：∵，AQ⊥AC，∴①當(dāng)AP=3=BC時(shí)，在Rt△ACB和Rt△QAP中∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)；②當(dāng)AP=6=AC時(shí)，在Rt△ACB和Rt△PAQ中∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，故答案為：3或6【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法HL，當(dāng)AP=BC時(shí)，得到Rt△ACB≌Rt△QAP，當(dāng)AP=AC時(shí)，得到Rt△ACB≌Rt△PAQ.三、解答題：7．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF；（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）求證：AB=CE+BF；（3）若∠CAE=30°，求∠ACF度數(shù)．【答案】（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=CBAE=CF∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）（2）證明：∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴AB=BC，BE=BF，∵BC=BE+CE，∴AB=CE+BF（3）∵AB=CB，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB，∴∠BCA=∠BAC=45°，∴∠EAB=15°，∵Rt△ABE≌Rt△C