人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步壓軸題專題09幾何中種動(dòng)角問題的兩種考法(學(xué)生版+解析)

專題09幾何中動(dòng)角問題的兩種考法類型一、判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系例．如圖所示，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)在圖①，若，直接寫出的度數(shù)_________(用含a的代數(shù)式表示)；(3)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置．①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；②在的內(nèi)部有一條射線，滿足，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由．【變式訓(xùn)練1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)是______；(直接寫出答案)(2)將(1)中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說明理由；(3)若∠AOC是鈍角，請(qǐng)先畫出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．(不用寫探索過程，將結(jié)論直接寫在你畫的圖的下面)【變式訓(xùn)練2】如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(注：)(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則________；(2)如圖②，將直角三角板DOE轉(zhuǎn)到如圖位置，當(dāng)OC恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在的內(nèi)部，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系_________．【變式訓(xùn)練3】已知，，，分別平分，．(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)，度；(2)若將的從圖1的位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，滿足且．①如圖2，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．【變式訓(xùn)練4】如圖，已知，將一個(gè)直角三角形紙片()的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，現(xiàn)將三角形紙片繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，平分斜邊與的夾角，平分.(1)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若，則_______；(2)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若射線恰好平分，若，求的度數(shù);(3)將三角形紙片繞點(diǎn)從與重合位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與重合的位置，猜想在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中和的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.類型二、定值問題例．已知將一副三角尺(直角三角尺和)的兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，(1)如圖1，將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角尺在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開始繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(本題出現(xiàn)的角均小于平角)(1)當(dāng)t=2時(shí)，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；∠MOC的度數(shù)為(2)當(dāng)0＜t＜12時(shí)，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；(3)當(dāng)0＜t＜6時(shí)，探究的值，問：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？【變式訓(xùn)練2】已知將一副三角板()如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上．將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線上時(shí)，_______度；如圖2，若要恰好平分，則_______度；(2)如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．(3)當(dāng)三角板從圖1的位置開始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，保持射線平分、射線平分()，在旋轉(zhuǎn)過程中，(2)中的結(jié)論是否保持不變？如果保持不變，請(qǐng)說明理由；如果變化，請(qǐng)說明變化的情況和結(jié)果(即旋轉(zhuǎn)角度a在什么范圍內(nèi)時(shí)的度數(shù)是多少)．類型三、求值問題例.如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板()的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．)(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，則______秒(直接寫結(jié)果)．(2)在(1)問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求為多少秒？(3)若(2)問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？(直接寫結(jié)果)【變式訓(xùn)練1】如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．(1)若∠DCE＝35°，∠ACB＝；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝；(2)猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；(3)若保持三角尺BCE不動(dòng)，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠BCD．設(shè)∠BCD＝α(0°＜α＜90°)①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說明理由．②三角尺ACD轉(zhuǎn)動(dòng)中，∠BCD每秒轉(zhuǎn)動(dòng)3°，當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了多少秒？【變式訓(xùn)練2】如圖(1)，∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．(本題所涉及的角都是小于180°的角)(1)如圖(2)，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；②______(用含有或的代數(shù)式表示)．(2)如圖(3)，P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；(∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示)(3)如圖(4)，當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？【變式訓(xùn)練3】如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為．(1)用含t的代數(shù)式表示：_______，_______．(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t，使得直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角(大于而小于)？課后訓(xùn)練1．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在的內(nèi)部，且恰好平分．問：此時(shí)直線ON是否平分？請(qǐng)說明理由．(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第n秒時(shí)，直線ON恰好平分，則n的值為______(點(diǎn)接寫結(jié)果)(3)若圖1中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是多少？2．如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，OQ分別與射線OF，OC重合．射線OP從OF處開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1度/秒，射線OQ從OC處開始繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，(射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)停止，射線OP旋轉(zhuǎn)至與射線OE重合時(shí)停止)，兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)速度＝旋轉(zhuǎn)角度÷旋轉(zhuǎn)時(shí)間)．(1)直接寫出射線OP停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間．(2)當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，直接寫山它的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．(3)若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3度/秒，當(dāng)∠POQ＝70°時(shí)，直接寫出射線OP的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．(4)若∠POA＝2∠POB時(shí)，射線OQ旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將∠AOB分成度數(shù)比為1：2的兩個(gè)角，直接寫出射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度．3．已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如圖1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度數(shù)；(2)如圖1，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為(用含有α的式子表示)；(3)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究∠DOE和∠AOC度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．(4)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為(用含有α的式子表示)，不必說明理由．4．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板()的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．)(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，則______秒(直接寫結(jié)果)．(2)在(1)問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求為多少秒？(3)若(2)問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？(直接寫結(jié)果)5．已知:和是直角．(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)射線射線都在外部時(shí)，過點(diǎn)作射線，射線，滿足，，求的度數(shù)．(3)如圖3，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在，求出的度數(shù)．6.已知O為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE＝90°，射線OF平分∠AOE．(1)在圖1中，當(dāng)∠COF＝36°時(shí)，則∠BOE＝，當(dāng)∠COF＝m°時(shí)，則∠BOE＝；以此判斷∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試問(1)中∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)你加以證明；若發(fā)生變化，請(qǐng)你說明理由；(3)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，繼續(xù)探究∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．專題09幾何中動(dòng)角問題的兩種考法類型一、判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系例．如圖所示，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)在圖①，若，直接寫出的度數(shù)_________(用含a的代數(shù)式表示)；(3)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置．①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；②在的內(nèi)部有一條射線，滿足，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由．【答案】(1)14°；(2)；(3)①∠AOC＝2∠DOE；(2)2∠DOE?∠AOF＝90°【詳解】解：(1)∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，∴∠BOC＝180°?∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°．∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD?∠COE＝90°?76°＝14°．即∠DOE＝14°；(2)∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，∴∠DOE＝90°?＝．故答案是：；(3)①∠AOC＝2∠DOE．理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．∴∠AOC＋2(90°?∠DOE)＝180°．化簡，得∠AOC＝2∠DOE；②2∠DOE?∠AOF＝90°．理由：∵，∴2∠AOF＋∠BOE＝(∠AOC?∠AOF)，∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC?∠AOF．又∵∠AOC＝2∠DOE，∴∠AOF＝∠DOE?∠BOE，∴∠AOF＝∠DOB．∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．∴∠AOF＋180°?∠AOC＝90°．∴∠AOF＋180°?2∠DOE＝90°．化簡，得2∠DOE?∠AOF＝90°．【變式訓(xùn)練1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數(shù)是______；(直接寫出答案)(2)將(1)中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說明理由；(3)若∠AOC是鈍角，請(qǐng)先畫出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．(不用寫探索過程，將結(jié)論直接寫在你畫的圖的下面)【答案】(1)60°；(2)，理由見解析(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°【解析】(1)解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案為：60°(2)解：，理由如下：∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC∵OE平分∠BOC，∴∵∠COD=90°，∴(3)：如圖3-1所示，當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；如圖3-2所示，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，∴2∠DOE-∠AOC=180°+2∠COE-90°-2∠COE=90°；如圖3-3所示，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°；如圖3-4所示，當(dāng)OD在△AOB外部時(shí)，同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°；綜上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°．【變式訓(xùn)練2】如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(注：)(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則________；(2)如圖②，將直角三角板DOE轉(zhuǎn)到如圖位置，當(dāng)OC恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在的內(nèi)部，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系_________．【答案】(1)20；(2)25°；(3)∠COE-∠BOD=20°【詳解】解：(1)如圖①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案為：20；(2)如圖②，∵OC平分∠EOD，∠DOE=90°，∴∠COD=∠DOE=45°，∵∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=25°；(3)∠COE-∠BOD=20°，理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD)=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，即∠COE-∠BOD=20°．【變式訓(xùn)練3】已知，，，分別平分，．(1)如圖1，當(dāng)，重合時(shí)，度；(2)若將的從圖1的位置繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，滿足且．①如圖2，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．【答案】(1)；(2)①；②時(shí)，；時(shí)，【解析】(1)，重合，，，平分，平分，，，；(2)①；理由如下：平分，平分，，，，；②由①得：，，當(dāng)時(shí)，如圖2所示：，，，∴當(dāng)時(shí)，如圖3所示：，，；∴綜上所述，時(shí)，；時(shí)，【變式訓(xùn)練4】如圖，已知，將一個(gè)直角三角形紙片()的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，現(xiàn)將三角形紙片繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，平分斜邊與的夾角，平分.(1)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若，則_______；(2)將三角形紙片繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(三角形紙片始終保持在的內(nèi)部)，若射線恰好平分，若，求的度數(shù);(3)將三角形紙片繞點(diǎn)從與重合位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與重合的位置，猜想在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中和的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)，證明見解析【詳解】解：(1)∵平分斜邊與的夾角，平分．∴OM平分∠AOC,ON平分∠BOD∴設(shè)∴，∵∴，∴，故答案為:(2)∵，∴設(shè)∵射線恰好平方，∴∴∵平分斜邊與的夾角，平分．∴OM平分∠AOC,ON平分∠BOD∴，∴∵，∴，∴(3),證明如下：當(dāng)OC與OA重合時(shí)，設(shè)∠COD=x,則∵ON平分∠BOD∴∴，∴當(dāng)OC在OA的左側(cè)時(shí)設(shè)∠AOD=a，∠AOC=b，則∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b∵ON平分∠BOD，∴∵OM平分∠AOC，∴∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON當(dāng)OD與OA重合時(shí)，∵ON平分∠AOB，∴∵OM平分∠AOC，∴，∴綜上所述類型二、定值問題例．已知將一副三角尺(直角三角尺和)的兩個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，(1)如圖1，將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)恰好平分時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角尺在內(nèi)繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．【答案】(1)；(2)不變．【詳解】解：(1)平分，，；

圖1

圖2(2)不變．平分，平分，【變式訓(xùn)練1】如圖，兩條直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時(shí)從OD開始繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM、ON同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(本題出現(xiàn)的角均小于平角)(1)當(dāng)t=2時(shí)，∠MON的度數(shù)為，∠BON的度數(shù)為；∠MOC的度數(shù)為(2)當(dāng)0＜t＜12時(shí)，若∠AOM=3∠AON-60°，試求出t的值；(3)當(dāng)0＜t＜6時(shí)，探究的值，問：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？【答案】(1)144°，114°，60°；(2)t的值為秒或10秒；(3)當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值不是定值；當(dāng)＜t＜6時(shí)，的值是3．【詳解】(1)由題意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，故答案為：144°，114°，60°；(2)當(dāng)ON與OA重合時(shí)，t=90÷12=7.5(s)，當(dāng)OM與OA重合時(shí)，t=180°÷15=12(s)①如圖所示，當(dāng)0＜t≤7.5時(shí)，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3(90-12t)-60，解得t=，

②如圖所示，當(dāng)7.5＜t＜12時(shí)，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3(12t-90)-60，解得t=10，綜上，t的值為秒或10秒；(3)當(dāng)∠MON=180°時(shí)，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=，①如圖所示，當(dāng)0＜t＜時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴(不是定值)，②如圖所示，當(dāng)＜t＜6時(shí)，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=360°-(∠BOM+∠BOD+∠DON)=360°-(15t°+90°+12t°)=270°-27t°，∴=3(定值)，綜上所述，當(dāng)0＜t＜時(shí)，的值不是定值；當(dāng)＜t＜6時(shí)，的值是3．【變式訓(xùn)練2】已知將一副三角板()如圖1擺放，點(diǎn)O、A、C在一條直線上．將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，變化擺放如圖位置．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O、A、C在同一條直線上時(shí)，_______度；如圖2，若要恰好平分，則_______度；(2)如圖3，當(dāng)三角板擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，如果三角板在內(nèi)繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．(3)當(dāng)三角板從圖1的位置開始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，保持射線平分、射線平分()，在旋轉(zhuǎn)過程中，(2)中的結(jié)論是否保持不變？如果保持不變，請(qǐng)說明理由；如果變化，請(qǐng)說明變化的情況和結(jié)果(即旋轉(zhuǎn)角度a在什么范圍內(nèi)時(shí)的度數(shù)是多少)．【答案】(1)60，75；(2)，理由見詳解；(3)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，或120°，③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，或60°；⑤當(dāng)時(shí)，【詳解】解：(1)由題意得：，∴，∵恰好平分，∴，∴；故答案為60，75；(2)的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：∵射線平分，射線平分，∴，∵，∴，∴，∴；(3)設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為，根據(jù)題意可得：，∵射線平分，射線平分，∴，①當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴，②當(dāng)時(shí)，即為平角，可分為：當(dāng)點(diǎn)M在OB上，如圖所示：∴，∴；當(dāng)點(diǎn)M在BO的延長線時(shí)，如圖所示：∴；③當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴，∴，解得：，∴；④當(dāng)時(shí)，則，如圖所示：∴當(dāng)ON平分在∠BOD的左邊時(shí)，則，當(dāng)ON平分在∠BOD的右邊時(shí)，則；⑤當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴，∴．類型三、求值問題例.如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板()的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．)(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，則______秒(直接寫結(jié)果)．(2)在(1)問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求為多少秒？(3)若(2)問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？(直接寫結(jié)果)【答案】(1)，5；(2)，；(3)經(jīng)過秒平分【解析】(1)，∵，∴∵平分，，∴，∴∴，解得：秒(2)度，∵，平分，∴∴，∴解得：秒(3)如圖：∵，由題可設(shè)為，為，∴∵，，解得：秒答：經(jīng)過秒平分．【變式訓(xùn)練1】如圖，將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．(1)若∠DCE＝35°，∠ACB＝；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝；(2)猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；(3)若保持三角尺BCE不動(dòng)，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度∠BCD．設(shè)∠BCD＝α(0°＜α＜90°)①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說明理由．②三角尺ACD轉(zhuǎn)動(dòng)中，∠BCD每秒轉(zhuǎn)動(dòng)3°，當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了多少秒？【答案】(1)∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；(2)∠ACB+∠DCE＝180°或互補(bǔ)，理由見解析；(3)①能；理由見解析，α＝54°；②23秒【詳解】解：(1)∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．故答案為：145°，40°；(2)∠ACB+∠DCE＝180°或互補(bǔ)，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB與∠DCE互補(bǔ)．(3)①當(dāng)∠ACB是∠DCE的4倍，∴設(shè)∠ACB＝4x，∠DCE＝x，∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；②設(shè)當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了t秒，∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°，答：當(dāng)∠DCE＝21°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)了23秒．【變式訓(xùn)練2】如圖(1)，∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．(本題所涉及的角都是小于180°的角)(1)如圖(2)，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)，時(shí)，______，______，______；②______(用含有或的代數(shù)式表示)．(2)如圖(3)，P為∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PQ過點(diǎn)O，點(diǎn)Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；(∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示)(3)如圖(4)，當(dāng)，時(shí)，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點(diǎn)O開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)射線OQ從OB處以相同的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°？【答案】(1)；(2)，；(3)分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°【解析】(1)①OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，當(dāng)，時(shí)，，，②，故答案為：(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，故答案為：，(3)根據(jù)題意OM平分∠POQ，，如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，MON的度數(shù)是40°ON平分∠POA，，，則旋轉(zhuǎn)了分，即分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°如圖，在的內(nèi)部時(shí)，，即，此情況不存在，綜上所述，分鐘時(shí)，∠MON的度數(shù)是40°【變式訓(xùn)練3】如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為．(1)用含t的代數(shù)式表示：_______，_______．(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，求t的值．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t，使得直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角(大于而小于)？【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，或40或80；(3)存在，當(dāng)直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角時(shí)，或36或54或72．【解析】(1)由題意得：射線的運(yùn)動(dòng)路程為，射線的運(yùn)動(dòng)路程為，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴；故答案為，；(2)由題意可得射線與射線相遇的時(shí)間為：，解得：，∴當(dāng)射線與射線相遇前，時(shí)，如圖所示：∴，解得：，當(dāng)射線與射線相遇后，且射線還沒有過直線時(shí)，，如圖所示：，解得：，當(dāng)射線過了直線時(shí)，，如圖所示：，解得：，綜上所述：當(dāng)時(shí)，或40或80；(3)存在，理由如下：由，，，則可分：①若直線平分時(shí)，如圖所示：∴，，∴，解得：；若直線平分時(shí)，如圖所示：∴，∴，解得：；②若直線平分時(shí)，如圖所示：∴，∴，解得：；若直線平分時(shí)，如圖所示：∴，，∴，解得：；綜上所述：當(dāng)直線平分由射線、射線、射線中的任意兩條射線組成的角時(shí)，或36或54或72．課后訓(xùn)練1．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在的內(nèi)部，且恰好平分．問：此時(shí)直線ON是否平分？請(qǐng)說明理由．(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第n秒時(shí)，直線ON恰好平分，則n的值為______(點(diǎn)接寫結(jié)果)(3)若圖1中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是多少？【答案】(1)平分，理由見解析；(2)10或40；(3)30°【解析】(1)解：(1)直線ON平分∠AOC．理由：設(shè)ON的反向延長線為OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON(對(duì)頂角相等)，∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC；(2)解：由(1)得，∠BOM＝60°時(shí)，直線ON恰好平分，即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，ON平分∠AOC，再旋轉(zhuǎn)180°即旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，ON平分∠AOC，由題意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案為：10或40；(3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)＝30°．2．如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，OQ分別與射線OF，OC重合．射線OP從OF處開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1度/秒，射線OQ從OC處開始繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，(射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)停止，射線OP旋轉(zhuǎn)至與射線OE重合時(shí)停止)，兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)速度＝旋轉(zhuǎn)角度÷旋轉(zhuǎn)時(shí)間)．(1)直接寫出射線OP停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間．(2)當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，直接寫山它的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．(3)若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3度/秒，當(dāng)∠POQ＝70°時(shí)，直接寫出射線OP的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．(4)若∠POA＝2∠POB時(shí)，射線OQ旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將∠AOB分成度數(shù)比為1：2的兩個(gè)角，直接寫出射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度．【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)或或或．【解析】(1)∠EOF=180°，射線OP的速度為1°/s，則時(shí)間為180÷1=180s；(2)∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，當(dāng)射線OP平分時(shí)∠AOC，∠AOP=∠POC=∠AOC=35°，此時(shí)OP旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∴旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為：55÷1=55s．(3)∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°，設(shè)射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，由題意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40，射線OQ旋轉(zhuǎn)至射線OF重合時(shí)停止，∴.射線OQ最多旋轉(zhuǎn)30秒，當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)30秒與射線OF重合停止，此時(shí)∠POQ=∠FOP=30°，之后射線OP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，則∠POQ=∠FOP=70°，此時(shí)t=70s，故答案為：5s或70s．(4)①當(dāng)射線OP在∠AOB內(nèi)部時(shí)，∠POA=2∠POB，∠AOB=60°，∴∠POA=40°，∠FOP=60°，故射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為60s，若，則∠BOQ=40°，∠COQ=50°，∴此時(shí)射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為：50÷60=(°/s)，若時(shí)，則∠BOQ=20°，∠COQ=30°，此時(shí)射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為30÷60=(°/s)；②當(dāng)射線OP在∠EOB內(nèi)部時(shí)，∠PDA=2∠POB，∠AOB=60°，∠POA=120°，∠FOP=140°，故射線OP旋轉(zhuǎn)時(shí)間為140秒，若時(shí)，則∠BOQ=40°，∠COQ=50°，∴此時(shí)射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為：50÷140=(°/s)，若時(shí)，則∠BOQ=20°，∠COQ=30°，此時(shí)旋轉(zhuǎn)速度為：30÷140=(°/s)，綜上，符合條件的旋轉(zhuǎn)速度為或或或．3．已知O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如圖1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度數(shù)；(2)如圖1，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為(用含有α的式子表示)；(3)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究∠DOE和∠AOC度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．(4)將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若∠AOC=α，則∠DOE的度數(shù)為(用含有α的式子表示)，不必說明理由．【答案】(1)24°；(2)；(3)∠DOE=∠AOC，理由見解析；(4)180°-【解析】(1)∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-48°=132°∵OE平分∠BOC∴∠COE=∠BOC=66°

又∵∠COD是直角∴∠COD=90°∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-66°=24°(2)由(1)得，故答案為：(3)答：∠DOE=∠AOC．理由如下:

∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°∴∠BOC=180°-∠AOC

∵OE平分∠BOC∴∠COE=∠BOC=(180°-∠AOC)=90°-∠AOC

又∵∠COD是直角∴∠COD=90°∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-(90°-∠A