2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知經(jīng)過4(0,2),8(1,0)兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為(l,k),那么k=()

A.-2B.-1C.—?D.2

2.圓C：(X-2)z+(y-2)2=4的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()

A.(-2,-2),2B.(2,2),2C.(-2,-2),4D.(2,2),4

3.有一組樣本數(shù)據(jù)X2....Xn的方差為0」，則數(shù)據(jù)Xi+2,X2+2,Xn+2的方差

為()

A.0.1B.0.2C.1.1D,2.1

4.已知m,n是實(shí)數(shù)，若W=(2,2m—3,2),K=(4,2,3n-2)-0-α∕∕K>則?n+n=()

A.-4B.0C.2D.4

5.記錄并整理某車間10名工人一天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量(單位：個(gè))如表所示：

工人趙甲錢乙孫丙李丁周戊吳己鄭庚王辛馮壬陳癸

產(chǎn)品數(shù)

46485153535656565871

量/個(gè)

那么這10名工人一天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的第30百分位數(shù)為()

A.49.5B.51C.52D.53

6.某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪

制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[6,26],樣本數(shù)據(jù)分組為[6,10),[10,14),[14,18),

[18,22),[22,26],己知樣本中產(chǎn)品凈重小于14克的個(gè)數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于10克

并且小于22克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是()

頻率/組距

0.075

0.0625

0.05........................

0.0375.............................................

0.025................

-?-∣~~~~~~~

61014182226竟

A.90B.75C.60D.45

7.已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩道工序，設(shè)事件4="第一道工序加工合格”，事件B="第二

道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才進(jìn)行第二道工序加工，那么事件“產(chǎn)品不合

格”可以表示為()

A.AB.ABC.ABD.A?JAB

8.已知圓M：/+y2=1和N：(χ—2企/+⑶一2口產(chǎn)=r∏2(m>0)存在公共點(diǎn)，則小的

值不可能為()

A.3B.3√2C.5D.4√2

9.已知雙曲線AAI(Q>0,Z?>0)的右支與圓/+y2=02+人2交于/,B兩點(diǎn),。為坐

標(biāo)原點(diǎn).若△。4B為正三角形，則該雙曲線的離心率為()

A.IB.乎C.√2D.2

10.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，方程J(X+3)2+y2?J(X-3)2+y2=13對(duì)應(yīng)的曲線記為C，

給出下列結(jié)論：

①(0,0)是曲線C上的點(diǎn)；

②曲線C是中心對(duì)稱圖形；

③記4(-3,0),B(3,0),P為曲線C上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值為6.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.雙曲線χ2-V=4的漸近線方程為.

12.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，若兩人獨(dú)立譯出密碼的概率都是0.5,則密碼被破譯

的概率為.

13.寫出過點(diǎn)2(2,3)且與圓(X-l)2+y2=1相切的一條直線的方程

14.在空間直角坐標(biāo)系。一XyZ中，已知過坐標(biāo)原點(diǎn)。的平面α的一個(gè)法向量是元=(0,0,-1),

點(diǎn)P(3,-4,5)到平面α的距離為

15.棱長為2的正方體ABCO-4當(dāng)?shù)牧又?，點(diǎn)P滿足前=

xBA+yJC+其中X，y，z∈[0,1]，給出下列四個(gè)結(jié)

論：

①當(dāng)X=0,Z=I時(shí)，ABPDi可能是等腰三角形；

②當(dāng)X=0,y=l時(shí)，三棱錐P-BDOI的體積恒為右

③當(dāng)z=l,且x+y=l時(shí)，ZiBPOi的面積的最小值為企；

④當(dāng)z=l,且X+y=：時(shí)，NBPDl可能為直角.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題(本大題共6小題，共85.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題13.0分)

已知△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)分別是O(0,0),A(2,0),B(4,2).

(I)?<?04B的外接圓C的方程；

(11)求直線1：4x+3y-8=0被圓C截得的弦的長.

17.(本小題14.0分)

如圖，在正四棱柱力BCD-力IBIClDl中，AA1=2AB=2BC=2,M是棱CCl上任意一點(diǎn).

(I)求證：AM1BD；

(∏)若M是棱CCl的中點(diǎn)，求異面直線4M與BC所成角的余弦值.

B

18.(本小題14.0分)

某公司為了了解力，B兩個(gè)地區(qū)用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意程度，從力地區(qū)隨機(jī)抽取400名用戶，從B

地區(qū)隨機(jī)抽取100名用戶，通過問卷的形式對(duì)公司產(chǎn)品評(píng)分.該公司將收集的數(shù)據(jù)按照[20,40),

[40,60),[60,80),[80,100]分組,繪制成評(píng)分分布表如下:

分組4地區(qū)8地區(qū)

[20,40)4030

[40,60)12020

[60,80)16040

[80,100]8010

合計(jì)400100

(I)采取按組分層隨機(jī)抽樣的方法，從4地區(qū)抽取的400名用戶中抽取10名用戶參加座談活

動(dòng).求參加座談的用戶中，對(duì)公司產(chǎn)品的評(píng)分不低于60分的用戶有多少名？

(11)從(1)中參加座談的且評(píng)分不低于60分的用戶中隨機(jī)選取2名用戶，求這2名用戶的評(píng)分

恰有1名低于80分的概率；

(IiI)若A地區(qū)用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為%,B地區(qū)用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均

值為〃2,兩個(gè)地區(qū)的所有用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為的，試比較的和空的大小，

并說明理由.

19.(本小題14.0分)

已知拋物線C：y2=2pχ(p>0)過點(diǎn)A(1,2).

(I)求拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(∏)過點(diǎn)A的直線，與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為若A(MB的面積為2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求

點(diǎn)B的坐標(biāo).

20.(本小題15.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCC中，PD1平面力BCC,AB//CD,Z.ADC=90°,且AD=CD=PD=

2AB.

(I)求證：ABI平面P4D；

(II)求平面PAO與平面PBC夾角的余弦值；

(IIl)在棱PB上是否存在點(diǎn)G(G與P,B不重合)，使得OG與平面PBC所成角的正弦值為|?若存

在，求線的值，若不存在，說明理由.

21.(本小題15.0分)

已知橢圓E：鳥+4=l(α>b>0)過點(diǎn)4(2,0),B((U)兩點(diǎn).

ab

(I)求橢圓E的方程；

(∏)過點(diǎn)P的直線I與橢圓E交于C,D兩點(diǎn).

⑴若點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,1),直線8C,BD分別與X軸交于M,N兩點(diǎn).求證：MMl=MN|；

(ii)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,第,直線g的方程為Bx-6y-2√3=0,橢圓E上存在定點(diǎn)Q,使直線QC,

QD分別與直線g交于M，N兩點(diǎn)，且IaMl=MNI.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，結(jié)論不需證明.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由已知可得直線AB的斜率為k=^=-2,

U-I

則k=-2,

故選:A.

求出直線的斜率，由此即可求解.

本題考查了直線的斜率以及方向向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解:圓C：(%-2)2+S-2)2=4的圓心坐標(biāo)為(2,2),

半徑為：2.

故選：B.

利用圓的定義和性質(zhì)直接求解.

本題考查圓的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：設(shè)數(shù)據(jù)Xi，X2,…，Xn的平均數(shù)為3

則數(shù)據(jù)Xi+2,x2+2,???,Xn+2的平均數(shù)為或+2,

數(shù)據(jù)X],X2<■■■>Xn的方差為52=—κ)2+—x)2+…+(Xn-X)2]=0.1,

又?jǐn)?shù)據(jù)%ι+2,%2+2,…，xn+2的方差為GKXl+2—X—2)?+(泡+2—x—2)2+...+(%九+2—

2222

X-2)]=?[(x1-X)+(x2-X)+...+(xn-X)]=01-

故選：A.

設(shè)數(shù)據(jù)X1，X2，…，Xn的平均數(shù)為3即可求出該數(shù)據(jù)的方差關(guān)系式，然后再求出數(shù)據(jù)與+2,X2+2,

--與l+2的平均數(shù)以及方差關(guān)系式，化簡即可求解.

本題考查了數(shù)據(jù)的方差的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解:根據(jù)題意，若N=(2,2m-3,2),b=(4,2,3n-2)，且五〃石,

(4=2k

設(shè)石=k^3,則有∣2=∕c(2τn—3),解可得Tn=2、n=2,

t?n-2=2k

則m+n=4；

故選：D.

(4=2k

根據(jù)題意，設(shè)E=k%則有2=k(2m-3),解可得加、n的值，計(jì)算可得答案.

3n-2=2k

本題考查空間向量的平行，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：將10個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：

46,48,51,53,53,56,56,56,58,71,

10X30%=3,

所給數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)據(jù)與第4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，等于昆羅=52.

故選：C.

將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，然后由百分位數(shù)的定義求解即可.

本題考查了百分位數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是掌握百分位數(shù)的定義，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由頻率分布直方圖可知樣本中產(chǎn)品凈重小于14克的頻率為(0.025+0.05)×4=0.30,

設(shè)樣本總體個(gè)數(shù)為n,則逅=0.3,解得TI=I20,

n

又樣本中凈重大于或等于10克并且小于22克的頻率為(0.05+0.075+0.0625)×4=0.75,

所以樣本中凈重大于或等于10克并且小于22克的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為120X0.75=90,

故選：A.

根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本中產(chǎn)品凈重小于14克的頻率，然后設(shè)樣本總體個(gè)數(shù)為n,則即可建

立方程求出n的值，進(jìn)而可以求解.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生的識(shí)圖能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由題意可知要使產(chǎn)品不合格，

需第一道工序不合格或者第一道工序合格且第二道工序不合格，

則“產(chǎn)品不合格”可以表示為Tu4后，

故選：D.

根據(jù)和事件以及積事件的性質(zhì)即可求解.

本題考查了事件的關(guān)系與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：圓M:χ2+y2=1的圓心M(0,0),半徑T]=1,

圓N:(x—2√Σ)2+(y—2√Σ)2=τn2(7n>0)的圓心N(2√^,2√Σ),半徑萬=m,

若圓M與圓N存在公共點(diǎn)，則Im-Il≤∣MN∣≤zn+l,

22

f∣m-l∣≤λ(2√2)+(2√2)

即《；_____________，解得3≤m≤5.

[m+1≥J(2√2)2+(2√2)2

結(jié)合選項(xiàng)可得，m的值不可能為4√Σ

故選：D.

由兩圓的方程可得圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距與半徑的關(guān)系列式求得Tn的范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答

案.

本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：如圖所示，設(shè)α2+b2=c2

'x2+y2=c2I-------

聯(lián)立/y2,解得丫_業(yè)*,

???△OAB為正三角形，

QJb?+c2π+匕2=

-........=c?COS-

C6

化為3e‘一8e2+4=0,e>1,

解得e2=2,即e=√∑,

故選：C.

'x2+y2=c2

如圖所示，設(shè)α2+b2=c2,c>0,聯(lián)立χ2y2,解得X,根據(jù)AOAB為正三角形，利用邊

(混_/=1

角關(guān)系可得關(guān)于α,b,C的方程，進(jìn)而得出離心率.

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的方程、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：對(duì)于①，把(0,0)代入J(X+3)2+y2?J(X一3)2+y2=13不成立,得(0,0)不是曲

線C上的點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，以-K替換X,以-y替換y,方程J(X+3)2+y2.J(X一3)2+y2=13不變,可知曲線C是

中心對(duì)稱圖形，故②正確；

對(duì)于③，在方程J(X+3)2+y2.J(X—3)2+y2=13中，取X=0,可得9+y2=13,即y=±2,

；.△PAB面積的最大值為S=6X2=6,故③正確.

???正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程判斷①；由中心對(duì)稱的概念判斷②；取x=0求得y的最值，再由三角

形面積公式求面積判斷③.

本題考查切線方程，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】y=+χ

【解析】解：把雙曲線/—y2=4轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：?-?=i,

二雙曲線/一y2=4的漸近線方程為

?-?=0.

44

整理，得y=±x.

故答案為：y=±κ.

把雙曲線/一丫2=4轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：殳一些=1，得到雙曲線/一丫2=4的漸近線方程為老一

A=O,由此能求出結(jié)果.

4

本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意把雙曲線方程轉(zhuǎn)化為

標(biāo)準(zhǔn)方程.

12.【答案】0.75

【解析】解：密碼被破譯的概率為1-(I-0.5)(1-0.5)=0.75.

故答案為：0.75.

求得密碼沒有被破譯的概率，用1減去沒有被破譯的概率，即為密碼被破譯的概率.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的靈活運(yùn)

用.

13.【答案】X=2或4x—3y+1=0

【解析】解：根據(jù)題意,4(2,3)在圓(X-l)2+y2=1外，

???過點(diǎn)4(2,3)與圓。-l)2+(y-2)2=1相切的直線有兩條.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k,

則切線方程為y-3=∕c(x-2),即kx-y+3-2fc=0,

∣fe+3-2fe∣_,

???k=京切線方程為4x-3y+l=0,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線方程為X=2.

綜上，所求的切線方程為％=2或4%-3丫+1=0.

故答案為；X=2或4x-3y+1=0.

根據(jù)題意,4(2,3)在圓(Y-I)2+y2=1外,過點(diǎn)4(2,3)與圓(X-I)2+y2=1相切的直線有兩條，

考慮斜率存在和斜率不存在，分情況討論即可.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握

此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】5

【解析】解：根據(jù)題意，點(diǎn)P(3,-4,5),則赤=(3,-4,5),

平面α的一個(gè)法向量是元=(0。-I),

則點(diǎn)P(3,—4,5)到平面。的距離d=寄=1=5,

故答案為：5.

根據(jù)題意，求出向量訶的坐標(biāo)，由點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算可得答案.

本題考查空間向量的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】①②③

【解析】解：對(duì)于①：當(dāng)X=O,Z=I時(shí)，點(diǎn)P是線段BICl上的動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)P是線段BICT的中點(diǎn)

時(shí)，BP=D1P,故①正確；

對(duì)于②：當(dāng)X=O,y=1時(shí)，點(diǎn)P是線段CCl上的動(dòng)點(diǎn)，?；BB1∕∕CCτ,又BBlU平面二CCJ/

平面BDD1，

P到平面BDDl的距離為定值TAC=√Σ,.?.三棱錐P-BDDi的體積V=∣×i×2×2√2×√2=p

故②正確；

對(duì)于③：當(dāng)z=l,且X+y=1時(shí)，點(diǎn)P在線段AIG上的動(dòng)點(diǎn),

顯然P為aQ與BlDI的交點(diǎn)時(shí)，△BPDl的面積的最小,

最小值為SABB逮-SABBF=∣×2×2√2-^×2×√2=√2,故③正確;

對(duì)于④：當(dāng)z=l,且x+y=g時(shí)，M,N為A[Bi，BlCl的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn),

以B為原點(diǎn)，BA,BC,BBl為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則P(%y,l),B(0,0,0),Di(LLl),

???麗=Qy,1)，D1P=Q-Ly-1,0),

22222

：■BP?D1P={x,yt1)?(x—l,y—lz0)=x-x÷y-y=x-x+y-y=(x+y)—2xy—

Cχ+y)=^-^~2χy=~l-2χy<0'

故々BPD1不可能為直角，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

利用空間幾何的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查空間幾何體的體積問題，考查三角形形狀的判斷，考查空間角問題，屬中檔題.

22

16.【答案】解：(I)設(shè)4OAB的外接圓C的一般方程為χ2+y2+Dx+Ey+F=0,D+E-4F>

0,

F=O

把O(0,0),4(2,0),B(4,2)代入可得［22+2。+F=O,

42+22+4。+2E+F=0

解得D=-2,E=-6,F=0,

.???OaB的外接圓C的一般方程為/+y2-2x-6y=0.

(U)由(/)可得:(X-I)2+0—3)2=10,

圓心C(1,3),半徑r=√IU,

.∣4+9-8∣

圓心C到直線用勺距離d=^∏=T=1,

y∣42+32

.?.直線h4x+3y-8=0被圓C截得的弦的長=2X√10→L=6.

【解析】(I)設(shè)ACMB的外接圓C的一般方程為/+y2+Dχ+Ey+F=O,o2+E2-4f>0,

把O(0,0),A(2,0),8(4,2)代入可得關(guān)于O,E,F方程組，解得D,E,F,即可得出的外接

圓C的一般方程.

(H)由(/)可得：(％-1)2+⑶_3)2=10,可得圓心C(l,3),半徑r=√TU,利用點(diǎn)到直線的距離

公式可得圓心C到直線，的距離d,即可得出直線A4%+3y-8=O被圓C截得的弦的長=2K

本題考查了圓的方程、直線與圓相交弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(I)證明：在正四棱柱ABCD-AlBIClDI中，AA1=2AB=IBC=2,

M是棱CCl上任意一點(diǎn)，

5

RClBD,AA1IPffiylBCD,

5

?.?BDCFffizlBCD,.?.BD1AA1,

AC∩AA1=A,BD_L平面ACCI

?.YMu平面ACClaI,.??4M1BD;

(Il)以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

???時(shí)是棱”1的中點(diǎn)，；.做0,0,0),M(l,l,l),B(LO,0),C(l,l,0),

AM=(1,1,1).BC=(0,1,0)，

設(shè)異面直線AM與Be所成角為仇

則異面直線AM與BC所成角的余弦值為：

n_l≡?BC∣,1.√3

cr°ns?θ-WWi-√3-T?

【解析】(I)ACIBD,44ι1平面4BCC,從而3。_144「進(jìn)而BDI平面力CClA「由此能證明

AM1BD；

(Il)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線4M與BC所成角的余弦值.

本題考查線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成角的定義及其余弦值的求法等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【答案】解：(I)設(shè)從A地區(qū)抽取的用戶中抽取的10名用戶參加座談的用戶中，對(duì)公司產(chǎn)品的

評(píng)分不低于60分的用戶有m名，

C=W解得m=6;

(∏)將從(I)中參加座談的且評(píng)分不低于60分的6名用戶中，評(píng)分為［60,80)的4名編號(hào)為1,2,3,

4,評(píng)分為［80,100)的兩名用戶編號(hào)為a,b,

則從6人中隨機(jī)選取2名用戶的樣本空間0={(1,2),(1,3),(1,4),(l,α),(Lb),(2,3),(2,4),(2,a),

(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,6),(a,b)},

設(shè)M=''這兩名用戶的評(píng)分恰有一名低于80分“，則M={(l,a),(l,b),(2,a),(2,b),(3,a),

(3,b),(4,a),(4,b)},

則P(M)=喘=也

(In)無法判斷的和緯”的大小，

理由：因?yàn)闃颖镜某闃泳哂须S機(jī)性，樣本不一定能完全代表總體，所以無法比較.

【解析】(I)按照分層抽樣的規(guī)律，即抽樣比相等，列出方程求解；

(II)利用列舉法表示出所有的樣本點(diǎn)，再求出要求事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，套用公式求出結(jié)論；

(III)根據(jù)抽樣具有隨機(jī)性的特點(diǎn)，可得總體的〃。和””的大小關(guān)系無法確定.

本題考查分層抽樣的性質(zhì)，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：(I)把點(diǎn)4(1,2)代入拋物線C：y2=2px(p>0)方程，

則4=2p,解得P=2.

???拋物線。的方程為f=4%,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(M)).

(II)設(shè)過點(diǎn)A的直線⑵程為τn(y-2)=x-l,/出必)，直線I與％軸相交于M(I-2皿0),

聯(lián)乂I*_軌，化為必—4my+8m-4=0,

則2+yo=4τn,可得2m=等2

則^OAB的面積2=i∣l-2m∣?∣2-y0∏

??.|1-TQl?|2_Vol=4,

化為：yo-2y0±8=0,

詔一2y0+8=0,J=4-32=-28<0,無解，舍去.

yo~2Yo-8=0,解得Vo=-2,4,

由yo=-2,可得4=43,解得&=1,???8(1,-2)；

由Vo=4，可得16=4%o,解得%。=4,???B(4,4).

綜上可得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,一2),(4,4).

【解析】(I)把點(diǎn)4(1,2)代入拋物線C：V=2px(p>0)方程，解得p,進(jìn)而得出拋物線C的方程

及其焦點(diǎn)坐標(biāo).

(H)設(shè)過點(diǎn)4的直線2方程為m(y-2)=%-1,8(%。,y。)，直線，與X軸相交于M(I-2m,0),把直

線/的方程代入拋物線方程化為y2-4τny+8/n-4=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得M與y0的關(guān)系,

代入AOAB的面積2=T∣l-2nι∣?∣2-yo∣,解得M)，可得點(diǎn)B的坐標(biāo).

本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)

系、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)證明：?.?48∕∕CD,"DC=90°,

???AB1ADf

???PD1平面48CD.48U面/8CO,

???PD1/8,

VPDU面P4。，ADU面Pi4。，AD(ΛPD=Df

??AB，平面PaD；

(Il)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)力。=CD=PD=2AB=2,

則D(Oo0),A(2,0,0),P(OO2),B(2,l,0),C(0,2,0),

.?.ΛB=(0,1,0).PB=(2,1-2).BC=(-2,1,0).

由AB，平面PA。，可得平面P4D的一個(gè)法向量為沆=AB=(0,1,0)-

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為元=(X,y,z),貝曲,空=°，即IamC=°,則可取元=(1,2,2),

5?BC=0(ZX-ry-u

m?n2_2

:?cos<mn>=

f?m?-?n?l×√l+4+4—3,

???平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為|；

(IIl)設(shè)G(X,y,z),設(shè)福=X而，(O<A<1),

?**(2-X,1—y,—Z)=4(2,1,—2),

可得％=2-2九y=1—λfz=2A,

.?.G(2-2λ,l-∕l.2λ),

ΛDG=(2-2λ,l-λ.2λ)f

_^________2-24+2-2/1+4/1_________2

.?.COS<"G'√l+4+4j(2-2λ)2+(l-λ)2+4Λ2?)

解得A=?

y

PG118

?'?^=1-λ=9?

【解析】(I)證明PDlAB,說明ADICD,14B,即可證明AB1平面PAD；

(Il)以。為原點(diǎn)，分別以04,DC