中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略（全國通用）19 平行四邊形中的分類討論

第19講平行四邊形中的分類討論

【應(yīng)對方法與策略】

平行四邊形中的動點問題是一類非常重要的問題，它將三角形和平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)

合在一起進行考察。

一、解題基本思路

解決動點問題的思路，要注意以下幾點：

1、設(shè)出未知數(shù)

動點問題一般都是求點的運動時間，通常設(shè)運動時間為t

2、動點的運動路徑就是線段長度

題目通常會給動點的運動速度例如每秒兩個單位，那么運動路程就是2t個單位。而2t也就是這個點

所運動的線段長。進而能表示其他相關(guān)線段的長度。

所以我們在做動點問題的時候，第一步就是把圖形中的線段都用含t的代數(shù)式來表示。

3、方程思想求出時間

動點問題通常都是用方程來解決，根據(jù)題目找到線段之間的等量關(guān)系，然后用含有t的代數(shù)式表示出

來，列出方程求解出t的值。

4、難點是找等量關(guān)系

這種題的難點是找到等量關(guān)系。這個等量關(guān)系往往不是題目中用語言敘述出來.的，而是同學(xué)們根據(jù)題

型自己挖掘出來的等量關(guān)系，所以對同學(xué)們圖形分解的能力以及靈活運用知識的能力要求非常高。

5、注意分類討論

因為點的運動的位置不同，形成的圖形就不同，符合結(jié)論的情況可能就不止一種，所以做動點問題要注意分類討論。.

【多題一解】【一題多解】

一、填空題

1.（2022春?四川巴中?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=Scm,AD=I2cm,點戶

在Ao邊上以每秒ICm的速度從點、A向點。運動，點。在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在

CB間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點尸到達點。時停止（同時點。也停止）在運動以后，當f=

時以尸、D、Q、8四點組成的四邊形為平行四邊形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定可得當CP=8Q時，以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，然后分情

況討論，再列出方程，求出方程的解即可.

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過f秒，以點尸、D、。、B為頂點組成平行四邊形，

.-.DP=BQ,

分為以下情況：①點。的運動路線是C-8,方程為12-4f=12τ,

此時方程f=O,此時不符合題意；

②點。的運動路線是C-8-C,方程為4r-12=12-入

解得：Z=4.8s；

③點。的運動路線是C—B-C-B,方程為12—（4—24）=127,

解得：f=8s；

④點。的運動路線是C—B—C—B—C,方程為4—36=12—,

解得：t=9.6s;

綜上所述，4.8s或8s或9.6s時，以P、。、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，

故答案為:4.8s或8s或9.6s.

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定.解題的關(guān)鍵是求出符合條件的所有情況，注意分類討論思想的應(yīng)

用.

二、解答題

2.（2022秋?山東濟寧?九年級嘉祥縣第四中學(xué)?？计谀┮阎?，如圖拋物線、=奴2+3辦+°色＞0）與），軸交

于點C,與X軸交于A,B兩點，點A在點B左側(cè).點8的坐標為(1,0),OC=308.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形AOCD面積的最大值；

(3)若點E在X軸上，點P在拋物線上.是否存在以A,C,E,尸為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若

存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

39

【答案】(l)y=3f+Jχ-3

44

3+

⑶存在P/(-3,-3),P2(士巫，3),Pj(~^,3)

22

【分析】(1)根據(jù)OC=302,B(1,0),求出C點坐標(0,-3),把點B,C的坐標代入y=αr2+3ax+

c,求出〃點坐標即可求出函數(shù)解析式；

(2)過點。作OE〃y軸分別交線段AC于點E.設(shè)D(m,∕M2+2W-3),然后求出Z)E的表達式，把S四.

於ABCZ)分解為SZABC+SMCQ,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；

(3)①過點C作CP/〃X軸交拋物線于點P/,過點尸/作P/E/〃AC交X軸于點?,此時四邊形ACP/日為

平行四邊形.②平移直線AC交X軸于點E,交X軸上方的拋物線于點巳，P.;,由題意可知點尸2、P3的縱

坐標為3,從而可求得其橫坐標.

【詳解】(1)解：(1)YB的坐標為(1,0),

二OB=1.

?.?OC=3OB=3,點C在X軸下方，

：.C(0,-3).

Y將B(1,0),C(0,-3)代入拋物線的解析式得:

3

(4。+c=0a=——

〈Q,解得：4,

C=-3?

39

...拋物線的解析式為產(chǎn)產(chǎn)+尸3.

(2)解：如圖1所示：過點。作。交AC于點￡

9

..b430/1八、

.X=--=—^-=--,B(l,0),

2a2x32

4

ΛA(-4,0).

：.AB=5,

J.SΔABC=^AB?OC=?×5×3=7.5.

設(shè)AC的解析式為y=kx+b.

:將A(—4,0)、C(0,—3)代入得：

3

4k+b=0Jt=--

?，解得：\4,

=-3(?=-3

3

???直線AC的解析式為γ=--χ-3.

3Q3

設(shè)。(4,-a2-?—?！?),則E(a,—a-3).

444

3393

*?*DE=-a~3~(—a2~?—a—3)=—(。+2)2+3,

4444

???當。=-2時，OE有最大值，最大值為3.

二ΔADC的最大面積=/DE?AO=I×3×4=6.

.".SABCD=SΔABC^?^SΔACD=1.5+6=13.5,

二四邊形ABC。的面積的最大值為13.5.

(3)解：存在.

①如圖2,過點C作CP/軸交拋物線于點P”過點P/作C交X軸于點臼，此時四邊形ACP/臼

為平行四邊形.

圖2

39

VC(O,-3),令-f+-χ-3=-3,

44

??X]~0,X2~~—3?

?*.Pi(-3,-3).

②平移直線AC交X軸于點員，E3,交X軸上方的拋物線于點P2,PJ,當AC=P2E2時，四邊形AC&P2為

平行四邊形，當AC=P3E3時，四邊形ACE32為平行四邊形.

VC(0,-3),

：.P2,P3的縱坐標均為3.

令y=3得：^x2+y^3=3,解得；Xi—.-31^,及=二°+5.

4422

：.P2(土?3),P3(-3+標,3).

22

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是：P1(-3,-3),P2(土畫，3),P3(-3+α,3).

22

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊

形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，在解答(3)時要注

意進行分類討論.

3.(2022春.廣東湛江?八年級吳川市第一中學(xué)?？计谀?如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線

y=^+15(Zκθ)經(jīng)過點C(3,6),與X軸交于點A,與y軸交于點B.線段Cz)平行于X軸，交直線y=%

于點。，連接OC,49.

y

(1)求證：四邊形。4。C是平行四邊形；

(2)動點P從點。出發(fā)，沿對角線。。以每秒1個單位長度的速度向點。運動，直到點O為止：動點Q同

時從點。出發(fā)，沿對角線。O以每秒1個單位長度的速度向點O運動，直到點O為止.設(shè)兩個點的運動時

間均為1秒，當r=l時，求=CPQ的面積.

(3)在(2)的條件下，當點P,Q運動至四邊形CR4Q為矩形時，求/的值.

【答案】(1)見解析

⑵12

(3)當點P,。運動至四邊形C7XQ為矩形時f的值為5-布或5+癡

【分析】(1)代入C點坐標即可得出左值確定直線的解析式，進而求出A點坐標，再求出點。的坐標，根

據(jù)CD=Q4,OA//CD,即可證四邊形OAf)C是平行四邊形；

(2)作CHLOD于H,設(shè)出，點的坐標，根據(jù)勾股定理計算出CH的長度，根據(jù)運動時間求出PQ的長度

即可確定ACPQ的面積；

(3)根據(jù)對角線相等確定PQ的長度，再根據(jù)P、Q的位置分情況計算出r值即可.

【詳解】(1)解：直線y="+15伙xθ)經(jīng)過點C(3,6),

32+15=6,

解得％=-3,

即直線的解析式為y=-3x+15,

當y=°時，x=5f

:.A(5.0),

.線段。平行于X軸，

.:O點的縱坐標與C點一樣，

又。點在直線y=彳X上，

當y=6時，χ=8,

即0(8,6),

.?.CD=8-3=5,

04=5,

.,.OA=CD,

?：OA∕∕CDt

???四邊形OA。C是平行四邊形;

(2)作C”,OD于“，

3

H點在直線y=：X上，

一?設(shè)”點的坐標為(m,Im),

4

33

.?.CH'=(∕H-3)2+(-∕H-6)2,QH2-8)2+(］機-6)2,

由勾股定理，得W+W=CD?,

2222

即(m-3)2+(2wι-6)+(,M-8)+(-w-6)=5,

44

24

整理得m=M或8(舍去)，

/.CH=3,

OD=√82+62=10,

當/=1時，PQ=O￡>—/—/=10—1—1=8,

.?.SAWo=gpQ?C"=gχ8*3=12；

(3)8=10,

當(1?5時，PQ=W-It,

當5都10時,PQ=It-XO,

當點尸，。運動至四邊形CPAQ為矩形時，PQ=AC,

AC=√(5-3)2+62=2√10,

當怎作5時，10-2r=2√10,

解得r=5-√IU,

當5麴110時，2r-10=2√10,

解得r=5+√I6,

綜上，當點P,Q運動至四邊形CPAQ為矩形時r的值為5-JiU或5+JiG.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

4.(2022春?江蘇蘇州?八年級蘇州市立達中學(xué)校校考期中)如圖，YABCO中，Zβ=2ZA,動點RQ、

M、N分別從點A、B、C、。同時出發(fā)，沿平行四邊形的邊，分別向點8、C、。、A勻速運動，運動時間

記為3當其中一個點到達終點時，其余各點均停止運動，連接P。，QM,MN,NP.已知Aβ=6cm,

BC=4.5cm,動點P、M的速度均是2cm∕s,動點Q、N的速度均是ICm∕s,

BQ?

NND

(I)AP=cm,CQ=cm(用含f的代數(shù)式表示)

(2)在點尸、Q、M、N的整個運動過程中，四邊形PQMN一定會是一種特殊的四邊形嗎？如果是，指出并

證明你的結(jié)論，如果不是，說明理由.

(3)在點P、。、M、N的運動過程中，四邊形PQMN能成為菱形嗎？如果能，求出f的值，如果不能，說

明理由.

【答案】⑴2")

(2)四邊形PQMN是平行四邊形，理由見解析

(3)四邊形P。MN能成為菱形，t=也

【分析】(1)根據(jù)速度X時間求解即可；

(2)根據(jù)題意和平行四邊形的性質(zhì)可得AP=CM,BP=DM,BQ=DN,CQ=AN,ZA=ZC,NB=ND,證

明^APN絲ACMQ和aPBQ絲ZXMCN得到PN=MQ,PQ=MN,利用平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

(3)過P作PE_LA。于E,PFLCB,交CB延長線于F,根據(jù)平行線的性質(zhì)和含30。的直角三角形的性質(zhì)

可求得PQ=^PF-+QF-=√3(3-f)2+32cm,PN=PE2+EN2=√3∕2+(4.5-2/)2cm,再根據(jù)菱形的判定知

PQ=PN,進而求解f值即可解答.

(1)解：由題意，AP=CM=Itcm,BQ=DN=tcm,貝IJCQ=BC-BQ)Cm,故答案為：2〃)；

(2)解：四邊形PQMN是平行四邊形，理由為：：四邊形ABC。是平行四邊形，.?.AB=CZλAD=BC,

BC//AD,ZA=ZC,ZB=ZD,：.AB-AP=CD-CM,BC-BQ=AD-DN,：.BP=DM,CQ=AN,

：.?APN^^CMQ,ΔPBQ^∕?MDN,：.PN=MQ,Pβ=MN,四邊形PQMN是平行四邊形；

(3)解：四邊形PQMN能成為菱形.過P作尸EL4O于E,PFLCB,交CB延長線于凡則

ZAEP=ZBFP=90o,"：BC//AD,；.NA+NABC=180°,又NABC=2NA,，/4+2NA=180°,ΛZΛ=60o,

NABC=I20°,；./APE=NBPF=30°,則4E=；4P=/cm,BF=gfiP=g(6-2r)=(3√)cm,

?'?PE=?∣AP2-AE2=√3∕cm,PF=BP1-BF2=73(3-/)cm,QF=BF+BQ=3-t+t=3cm,EN=AD-AE-DNt)

122

cm,PQ=QPF?+QR=y∣3(3τ)?+3?Cm,PN=PE+EN=√3r+(4.5-2r)cm,Y四邊形PQWN是平

行四邊形，，當PQ=PN時，四邊形PQwV是菱形，√3r2+(4.5-2/)2≈√3(3-z)2+32,解得：匚迎或

/=-邁(舍去)，；當其中一個點到達終點時，其余各點均停止運動，且6÷2=3s,4.5÷l=4.5s,Λ0<r<3,

4

又去3,"乎’故當仁乎時'

四邊形PQMN是菱形.

【點睛】本題考查特殊四邊形的動點問題，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱

形的判定、含30。的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，根據(jù)動點的運動的速度

和時間表示線段的長度是解答的關(guān)鍵.

4

5.(2023春?遼寧大連?九年級專題練習(xí))已知M、N為雙曲線y=:(x>0)上兩點，且其橫坐標分別為

“，α+2,分別過M、N作V軸、X軸的垂線，垂足分別為C、A,交點為B.

(1)若矩形OABC的面積為12,求。的值；

(2)隨著。的取值的不同，M、N兩點不斷運動，判斷M能否為BC邊的中點，同時N為AB中點？請說明

理由；

(3)矩形OSC能否成為正方形？若能，求出此時〃的值及正方形的邊長，若不能，說明理由.

【答案】(l)α=l

(2)能，理由見解析

(3)能，α=-l+√5,正方形的邊長為石+1,祥見解析

【分析】(I)用含〃的代數(shù)式表示OC、OA,因為矩形04BC的面積=Q4?OC=12,得出含。的方程即

可；

(2)當M為5C邊的中點時，即α+2=2α,計算驗證此時N是否為A8中點即可；

(3)當矩形。鉆C為正方形，即OC=OA,用含。的代數(shù)式表示OC、建立含。方程，求解檢驗即

可.

【詳解】(1)解：因為股、N橫坐標分別為“，a+2,

4

所以。。=一，OA=a+2

af

由矩形Q4BC的面積為12得：OAOC=12

4

即一?(α+2)=12,

解得：a=l.

(2)解：若M為BC邊的中點，根據(jù)題意有：a+2=2af

解得，a=2,

則M的坐標為(2,2),此時N的橫坐標為α+2=4,

44

則縱坐標為一-=-=1,即AN=I,

。+24

而ΛB=2,即N是A3中點，

故當α=2時〃為BC邊的中點同時N是AB中點.

（3）解：若矩形Q43C為正方形，則OC=OA,

4

因為OC=-,OA=Q+2,

a

.4C

??一=。+2,

a

整理得：“2+2a-4=0,

2

,2+72+16=_1+^）土區(qū)逵=TM（舍去），

22

故α=-1+逐時矩形OABC為正方形，

正方形邊長為“+2=K+l.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵要掌握用代數(shù)的方法解決幾何問題技巧，把幾何問題轉(zhuǎn)化為

方程求解問題.

6.（2022春?廣東?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,在平面直角坐標系XO），中，有長方形OABC,其中點C坐標

為（0,6）,NC4O=30。，點。是邊OC的中點，點P是射線CA上的一個動點，請回答下面的問題：

（1）若點尸是線段AC的中點，直接寫出PD=.

（2）如圖2,過點尸作PELX軸，垂足是點E,若以C、D、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點P

的坐標.

（3）連接3P,若aCPB是等腰三角形，求CP的長度.

3

【答案】（1）］;

⑵（I，專）或《，孝；

⑶6或3或36.

【分析】(1)根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得0A=3,根據(jù)三角形中位線定理得出答

案；

(2)由PEJ軸得PE〃CC,若以C、D、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，則PE=Cf)=立.點P

2

縱坐標的絕對值是立，求出直線AC的解析式為>=-且x+g,分兩種情況：若點P在線段AC上，縱

23

坐標是正；若點P在線段。的延長線上，縱坐標是-且，分別求出點P的坐標即可；

22

(3)分三種情況：①當PB=PC時，②當CP=CB時，③當BP=BC時.，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解直角三

角形即可求解.

(1)

解：VC(0,&),ZAOC=90o,ZCAO=30°,

ΛΛC=2OC=2√3.

OA=√AC2-OC2=3，

點。是Oe的中點，點尸是線段AC的中點，

.?.PD是AAOC的中位線，

.'.PD-^-OA—-,

22

3

故答案為：—：

(2)

???PEJ_x軸，

.?PE∕∕CD,

若以C、D、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，則PE=CZ)=；OC=走.

22

???點P的縱坐標絕對值是更，

2

設(shè)直線AC的解析式為y=fcr+Z?(?≠0),

3k+h=0

把A(3,0)、C(O,√3)代入得，\b_^，

解得：一3,

b=?/?

直線AC的解析式為y=S+6,

若點P在線段AC上，縱坐標是電，

2

則且=_@X+G，

23

3

解得：X=P

此時，點P的坐標為（W，3）；

22

若點P在線段C4的延長線上，縱坐標是-立，

2

貝!）一3=—■^-X+Λ∕3,

23

9

解得：x=∣,

此時，點P的坐標為（g,-B）,

22

綜上所述，點P的坐標為（g,%或*-4）；

（3）

①當尸B=PC時，如圖：過點P作PQLBC于點Q,

TPB=PC,

.?.點P在線段BC的垂直平分線上,

?-CQ=BQ=?BC=q,

丁BC//OAf

.??NPC。=NcAO=30。，

.?.PQ=BCQ=B,

32

：?CP=2PQ=6；

②當CP=Cg時，CP=3；

③當BP=BC時，過點B作8H_LCP于點H,如圖:

3

:?BH=一,

2

ΛC∕∕=√3BW=-,

2

：.CP=2CH=3?.

綜上，若ACPB是等腰三角形，CP的長度為：G或3或3百.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理，三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題.

7.(2022春?重慶開州?八年級統(tǒng)考期末)如圖，直線4經(jīng)過《方018(2,-5)兩點，直線/?：y=-χ+3與直

線4交于點C,與X軸交于點。.

圖1備用圖

⑴求點C的坐標；

(2)點尸是y軸上一點，當四邊形P。CB的周長最小時，求四邊形POCB的面積；

(3)把直線乙沿y軸向上平移9個單位長度，得到新直線4與直線4交于點E,試探究在X軸上是否存在點

Q,在平面內(nèi)存在點尸使得以點。，Q,E,尸為頂點的四邊形是菱形(含正方形)？若存在，直接寫出符

合條件的點。的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】(1)點C的坐標為(4,-1)

⑵S四邊形戶/>8=9

(3)存在，點Q的坐標為：(1,0),(3-2√2,θ),(3+2√2,θ),(-1,0)

【分析】(1)由待定系數(shù)法求出直線4的解析式為y=2x-9,然后聯(lián)立直線乙與直線L即可求出點C的

坐標；

(2)如圖，作點。關(guān)于y軸的對稱點D￠,連接瓦7交y軸于點P,連接。P,當P、B、D0三點共線時，

四邊形尸DCB的周長最小，求出直線BO的解析式為y=-X-3,則可求P(0,-3),進而由

S西邊形POCT)=S4ABiy-S4PDt>?—SA.CD求解即可;

(3)由題意可知直線"的解析式為y=2x,聯(lián)立線/3與直線12,求出E(l,2),設(shè)QQ”,O),分三種情況，①

當為菱形對角線時，利用QE=Q?？傻命c。坐標；②當E。為菱形對角線時，利用。E=DQ可得點。

坐標；③當EF為菱形對角線時，利用EQ=ED可得點Q坐標.

(1)

解：設(shè)直線4的解析式為y=米+3由直線乙經(jīng)過A1],。)、8(2,-5)兩點可得：

9

-k+b=O.k=2

2,解得

b=-9'

2k+b=-5

，直線4的解析式為y=2χ-9,

又??直線4h=r+3與直線《交于點C,

-x+3-2x-9,解得x=4,

當x=4時，則y=T,

；?點C的坐標為(4,-1)；

(2)

解：如圖，作點。關(guān)于y軸的對稱點D0,連接交y軸于點P,連接OP,根據(jù)兩點之間“線段最短”可

知，當尸、B、QC三點共線時，四邊形Pz)CB的周長最小，

直線∕Z4=-X+3與X軸的交點為D(3,0),

又點。和點M關(guān)于y軸對稱，

點D,(-3,0),

.?.DD,=∣-3-3∣=6,

-3k+b=0“,Jt=-I

設(shè)直線BD的解析式為y="+),可得2k+b=-5,解得

b--3,

直線BD的解析式為y=τ-3,

令X=0,則產(chǎn)-3,得點P(O「3),

5,

Δ∕>DD-=?βi>?∣yp∣=-×6×3=9,

C9

—C915_3

又AD'-3—一AD=3--=，

2222

CIEIlll5u75

,5

??SAABU=∕AO?∣>β∣=-×y×=-，

ɑIAClll33

?^?SΔACD=∕A?HyCl=5χ5χi=7，

753

四邊形一=;

??SPDC8=S>ABD-S^PDD^ΔACD

(3)

解：由題意可得直線4的解析式為y=2χ,

fy=2x[x=l

聯(lián)立線4與直線4,即,，解得c，???E(1,2),

[y=-x+3[y=2

設(shè)。(肛0),

①當EO為菱形對角線時，QE=QD,

即(m-l)2+(0-2)2=(3-m)2,

解得m=l,

Q(LO);

②當EQ為菱形對角線時，DE=DQ,

22

DE=λ∕(3-l)+(0-2)=2√2,

.?.Dρ=∣3-∕∏∣=2√2,

解得w=3-2√Σ或3+2夜，

.?.β(3-2√2,0),β(3+2√2,0):

③當E尸為菱形對角線時，EQ=ED,

即(l-m)2+(2-0)2=(2√2)2,

解得，〃=-1,

.?.β(-l,O),

綜上：存在，點Q的坐標為：(1,0),(3-2√2,0),(3+2√2,0),(-1,0).

【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，分類討

論是解題的關(guān)鍵.

8.(2022春?河北唐山?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在矩形ABC。中，AB=3√3,NC4B=30。，點尸從點A出

發(fā)，每秒后個單位長度的速度沿43方向運動，點。從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿對角線

C4方向運動.已知點產(chǎn)、。兩點同時出發(fā)，當點。到達點A時，尸、。兩點同時停止運動，連接PQ,設(shè)

運動時間為，秒.

(2)當r為何值時，AP=AQ.

(3)在運動過程中，是否存在一個時刻，，使所得aAPQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊

形為菱形？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

(4)當點P關(guān)于點。的對稱點P落在JICO的內(nèi)部(不包括邊上)時，請直接寫出f的取值范圍.

【答案】⑴3,6

⑵12-6G

(3)12-6石或I或2

⑷止

23

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和含30。角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可；

(3)分三種情況，利用翻折的性質(zhì)解答即可；

(4)以AB所在的直線為X軸，AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則點網(wǎng)4,0),點Q(0,

3),β(3√3,θ),c(3√3,3),過點Q作QNLAB于點N,可得點Q(3百-6,3τ),根據(jù)中點坐標可得點

P'(6√3-3^f,6-2r),然后根據(jù)點P關(guān)于點。的對稱點/落在“A8的內(nèi)部(不包括邊上)，得到關(guān)于r

的不等式組，即可求解.

(OW：在矩形ABC。中，/8=90。，VZC4B=30o,：.AC=2BC,-：AB=3^,

ΛAC2-BC2=3BC2=AB-=(3√3)?,解得：BC=3或-3(舍去)，：.AC=6；故答案為：3,6

(2)解：根據(jù)題意得：AA=√3f,CQ=2t,：.AQ^6-2t,'：AP=AQ,Λ√3∕=6-2r,解得

∕=12-6√3;

(3)解：存在，根據(jù)題意得：AP=Ct,AQ=6-2t,①當AP=AQ時，沿PQ折疊，所得四邊形為菱

P￡

形.1/由(2)得：∕=12-6√L②當AP=PQ時，沿4。折疊，所得四邊形為菱

APB

IiD^^^(

1

過點P作PML4C于點則AM=;A。=3

APB

221

：.PM=^AP=^-,VAM+PM=AP,.?.(3-f)2+(亭)=(4)\解得：『=：或-6(舍去)；③當

PC

[

AQ=P。時，沿AP折疊，所得四邊形為菱形.過點。作QMLAB于點M,則

KX?

1Fi1

AM=-AP=-t,?/ZBAC=30o,ΛQM=-AQ=3-t,VAM24-QM2=AQ2,

222

2

.?.(3τf+(0)=(6-2/),解得：f=2或6(舍去).綜上所述，f的值為12-66或I或2；

C

D-----------------------

；P'/

(4)解：根據(jù)題意得：AP=y∣3t,AQ=6-2t,如圖，以AB所在的直線為X

A/A!!_______

IPN~rx

軸，AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則點尸(①,0),點D(0,3),β(3√3,θ),c(3√3,3),過

點。作QNLAB于點N,,/ZBAC=30o,：.QN=^AQ=3-t,，AN=3百-回，；?點

Q(3g-G,3τ),.?.點尸'(66-3后,6-2。，?；點P關(guān)于點Q的對稱點P，落在：AeD的內(nèi)部(不包括邊

0<6-2r<3

±),Λ0<6√3-3√3r<3√3,解得：生逆</<2.

23

6-2r>6√3-3√3r

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

9.(2022春?山西呂梁?八年級統(tǒng)考期末)綜合與實踐

問題情境：

矩形ABC。中，AB=2,ZADB=30°,將△BCD沿著對角線B。所在的直線平移，得到△B9。，連接

AB',DC'.

圖2

操作探究:

⑴如圖1,當△BCD沿射線的方向平移時,請判斷A股與。。的長度有何關(guān)系？并說明理由;

(2)如圖2,當ABCf)沿射線的方向平移時,四邊形AQCO能成為菱形嗎？若能，求出平移的距離；若

不能，說明理由;

(3)當ABCC平移距離為2時，請你在備用圖中畫出平移后的圖形(除圖2),并提出一個問題，直接寫出

結(jié)論.

【答案】(I)AB'=OC,理由見解析

⑵能，2

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)證明四邊形A8'C7)是平行四邊形，即可解決問題，

(2)利用菱形的性質(zhì)可得AB'=AD,進而可以解決問題，

(3)結(jié)合(2)當ABCZ)沿射線OB的方向平移，平移距離為2時，利用菱形的性質(zhì)可得AC'與8。的位置關(guān)

系.

(1)

解：AB,^DC',理由如下：

?；四邊形ABCf)是矩形，

ΛAD//BC,AD=BC,

'.'VBCD是由ABCD平移得到的，

ΛβC//BC,B'C'=BC,

：.B'C'〃AD,BC=AD,

四邊形ASCD是平行四邊形，

二AB,=DC'.

(2)

能，理由如下：

四邊形48Cr)是矩形，

ZBAD=90°,

?.?ZAD5=30°,

.?.ZABr>=60°,

???四邊形ABZT)是菱形，

.,?AB1=AD,

：.ZAffD=ZADB=XP,

"."ZABD=ZAB'D+ZB'AB=60°,

ZAB'D=ZffAB=30°,

.??B'B=AB=2,

則平移的距離為2.

⑶

如圖，問題：當ABS沿射線Q8的方向平移，平移距離為2時?，AC'與30的位置有何關(guān)系？

結(jié)論：AClBD.

證明：；四邊形ABC。為矩形，AD=BC,AD//BC,

■：Z?3CD沿射線DB的方向平移，平移距離為2,

ΛBC=BC,BC//BC,

：.AD=B'C',AD∕7B'C',

；?四邊形ABZCo為平行四邊形,

,?,ZADB=30°,

.?.ZAB￡>=60。，

?：AB=BB=2,

：.ZAB,B=30°,

：■AB=AD,

???平行四邊形AB'C7)為菱形,

...ACXB1D,

即AC'VBD

【點睛】此題考查了平移變換，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì).

10.(2022春?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在矩形ABCo中，4B=4,BC=5,延長BC到點E,使

CE-3,連接OE.動點P從點8出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線BC—CO向終點。運動，設(shè)點P運

動的時間為f秒.(》0)

(I)DE=；

(2)連接AR當四邊形APED是菱形時，求菱形APEZ)的周長；

(3)連接BP、PD,設(shè)四邊形48P。的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式;

(4)直接寫出點P到四邊形ABED相鄰兩邊距離相等時/的值.

【答案】⑴5；

(2)20；

(3)5=

313

(4)f=2或］或W.

【分析】(1)直接利用勾股定理計算即可；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)：四邊相等，可得答案；

(3)分類討論，當O<f<W和;≤r<，時，分別計算梯形的面積即可；

222

(4)當點P在BC上,若點P到AB、AO的距離相等時，則BP=4；當點尸到A。、DE距離相等時，則

PH=CD=A,利用AAS證明△ECO絲ZXEHP,得EP=DE=5；當點P在CQ上時，若P至IJBE、DE距離

相等時，則PH=PC,利用面積法求出尸C,進而解決問題.

(1)

解：Y四邊形ABC。是矩形，

.'.AB=CD=4,NBCQ=90。，

2

在RtADCE中，由勾股定理得，DE=√32+4=5,

故答案為:5；

(2)

Y四邊形APEf)是菱形，且AD=5,

二菱形APED的周長為4x5=20；

(3)

當0<fV∣■時，由題意知，BP=2t,

.?.S=g(5+2f)x4=10+4f,

59

當一≤fv—時,貝!∣PO=9-2f,

22

(4)

當點P在BC上，若點P到A5、A。的距離相等時，則8P=4,

?*?f=2；

當點尸到A。、OE距離相等時，則尸"=CD=4,

?；NDCE=∕PHE,ZE=ZEfPH=CD.

Λ?fiCD^?EHP(AAS),

：?EP=DE=5,

."P=3,

???T

當點P在Cn上時，若尸至IjBE、OE距離相等時，IjIlJPH=PC,

222

綜上：f=2或13或?qū)?3.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查矩形的性質(zhì)，梯形的面積公式，勾股定理，全等三角形的判定與性

質(zhì)，三角形的面積等知識，運用分類思想是解題本題的關(guān)鍵.

11.(2021春?四川瀘州?八年級統(tǒng)考期末)如圖(a),直線∕∣:y="+3經(jīng)過點A、B,OA=OB=3,直線

3

4：y=1x-2交y軸于點C,且與直線4交于點D,連接。D

(1)求直線4的解析式;

(2)求4OCD的面積;

(3)如圖")，點P是直線∕∣上的一動點，連接CP交線段OO于點E,當AeoE與△OEP的面積相等時,

求點P的坐標；

(4)在(3)的條件下，若點H為坐標平面內(nèi)任意一點，在坐標平面內(nèi)是否存在這樣的點H,使以C、

R”為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請稟段寫出點，的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)4：y=-χ+3

(2)2

【分析】(1)由己知可以得到A、B的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求得直線4的解析式;

(2)聯(lián)立/八/2的解析式可以得到。的坐標，在/2的解析式中令Λ=0,可以得到C坐標，然后可以得到

?OCQ的面積;

(3)△COE與△OEP的面積相等，貝USZCDO=LPCZ),則點P、。到CO的距離相等，故OP所在的直

線與S平行，即可求解;

(4)分別按照以入PC、DC為對角線三種情況分類討論即可得解.

(1)

由已知可得A、B的坐標分別為：A(3,0)、B(0,3),

0^3k+b

.?.可得

3=b

解得：IC=-Lb=3,

，直線4的解析式為：產(chǎn)-x+3；

(2)

聯(lián)立小/2的解析式可以得到：

y=-X+3

-3?，

V=-X-Z

I2

Cx=2

解之可得：，，

Iy=I

：.D為(2,1),

在/2的解析式中令FO,可以得到尸-2,

：.C(0,-2),

.?./XOCD底邊OC上的高為2,

在y=,x-2中令X=O可得尸-2,

...OC=2,

J.SΔOCD=^×2×2=2?

(3)

,.?/XCOE與^DEP的面積相等，

：.SACDO=SACDE+SAOCE=SAPED+SACED=SJ3CD,

：.點P、。到Cf)的距離相等，故OP所在的直線與CD平行,

3

二直線OP的表達式為：y^-x,

(?6

y=-x+3X=-

二由｛3可得：｛?.

y=-x

I29

則點p(]6,|9).

(4)

如圖，可以畫出圖形如下,

設(shè)使以。、C、P、〃為頂點的四邊形是平行四邊形的點H坐標為(x,y),則:

當對角線是PD時，由題意可得：

當對角線是PC時，由題意可得:

(x-0)2÷(y+2)2=f∣-2^∣+f∣-l

4

X-——

解之可得：

.?.此時H為酎，]；

當對角線是CZ)時，由題意可得：

3+(

(χ-o)2+(y+2)2=(Q)+[∣^1

4

X二-

5

解之可得：,

14

???此時H為

1624

綜上所述，使以。、C、P、，為頂點的四邊形是平行四邊形的點，坐標為τ,τ或

46

5,^5

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積的計算等，綜合性強，難

度適中.

12.（2022春?浙江舟山?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1,四邊形ABCZ）為正方形，點A在，軸上，點B在X

（1）求點C的坐標和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）如圖2,將正方形ABCD沿X軸向右平移加個單位長度得到正方形A'B'C'O',點A恰好落在反比例函數(shù)

的圖象上，求m值.

（3）在（2）的條件下，坐標系內(nèi)是否存在點P,使以點。，A"B',尸為頂點的四邊形為平行四邊形，若

存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）點C的坐標為（6,2）；y=?

（2）3

（3）存在，點P坐標為（-2,4）或（2,-4）或（8,4）

【分析】（1）過點C作CE,X軸于點E,證明AAOB絲Z?BEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分別求出BE、

CE,求出點C的坐標，進而求出反比例函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點A橫坐標，根據(jù)平移的性質(zhì)解答;

(3)根據(jù)題意畫出圖形，然后分三種情況討論.

(1)

Y四邊形43CQ為正方形，

：.AB=BC,ZABC=90o,

，ZOBA+ZEBC=90o,

?.βN03A+NOAB=90。，

，ZOAB=ZEBCf

在^AOB和4BEC中,

∕OAB=∕EBC,NAOB=/BEC,AB=BC,

：.?AOβ^ΔβEC(AAS),

ΛBE=0A=4,CE=OB=2,

：.OE=OB+BE=6,

???點C的坐標為(6,2),

將點C的坐標為(6,2)代入y=

X

得?=12,

1?

???反比例函數(shù)的關(guān)系式為y="；

X

(2)

解：???。4=4,

，點H縱坐標為4,

；?點A，橫坐標為9=3,

4

?'?m=3；

(3)

當四邊形POBz'為平行四邊形時，由(2)可得：t=4,OE=OB+3=5,

.?.s=3-5=-2,

,此時點P的坐標為(-2,4),

當四邊形AoBP為平行四邊形時，由(2)可得：t=4,5=3+5=8,

二點P'的坐標為(8,4),