新疆兵團二師華山中學(xué)2024屆高二年級上冊數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

新疆兵團二師華山中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.橢圓工+上-=1的一個焦點坐標(biāo)為(0,-1),則實數(shù)7"的值為()

3-m

A.2B.4

CTD.-2

2.已知｛4｝為等比數(shù)歹！J.q=2,%=8,則％=()

A—4B.4

C—4或4D.16

3.如圖，。石是邊長為4的等邊三角形ABC的中位線，將ADE沿。七折起，使得點A與尸重合，平面平

面BCDE,則四棱錐P-6CDE外接球的表面積是()

C」9〃D.28%

4.已知產(chǎn)是直線2x+3y+8=0上的動點，PA,尸5是圓一+丁—2x—2y+1=0的切線，A,B為切點,C為圓心,

那么四邊形協(xié)C8的面積的最小值是（）

A2B.2&

C.3D.2s/3

5.若a<0,-l<b<0,則有（）

A.a>ab>ab1B.a<ab<ab'

C.ab>a>ah1D.ab>ab2>a

6.已知命題P：V%e（2,4）,x2>m｛m>0）；命題q：3x^R,ftx2+mx+-^<0,若“-▽一^”為假命題，則

實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[l,16]B.(2,4]

C.[l,4)D.[l,4]

7.在一ABC中，3=45°,AC=2,A3=0,則邊的長等于（）

A.V3+1B.73-1

C.y/3D.2

8.設(shè)命題PH”：“">2",則「尸為

A.V〃eN,“2〉2"B.3n^N,n2<2n

C.\/neN,n2<2nD.3n&N,n2=2n

9.已知等比數(shù)列｛?,｝的前”項和為S,若%4=2%,且&+%=10,則S3等于（）

A.28B.26

C.28或-12D.26或?10

10.中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3

塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）

22

A—B.—

1133

11

C.一D.-

36

11.已知函數(shù)/（%）=xsinx,/'（X）為/'（x）的導(dǎo)數(shù)，則/院）=（）

A.-lB.l

711冗

c.一D.l+—

22

12.散點圖上有5組數(shù)據(jù)：&,%）,（9,%），（不，%），區(qū)，%），（/，%）據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知玉+々+退+匕+%=55,

由最小二乘法求得回歸直線方程為$=0.76%+45.84,則%+%+%+/+”的值為（）

A.54.2B.87.64

C.271D.438.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,%=%i+2122/cN*）,則數(shù)列4」一的前"項和北=

14.《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春

分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和

是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為__________尺.

15.已知點A。,。），圓爐+丁2=4.若過點A的圓。的切線只有一條，求這條切線方程.

16.在不等邊△ABC（三邊均不相等）中，三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且有竺人=?,則角C的大

cosBa

小為________

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）2020年8月，總書記對制止餐飲浪費行為作出重要指示，要求進一步加強宣傳教育，切實培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣,

在全社會營造浪費可恥、節(jié)約光榮的氛圍.為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣

傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動.現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽

樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動

（1）第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人？

（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？

（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10

天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果.在一個周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：

前10天剩菜剩飯的重量為：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2

后10天剩菜剩飯的重量為：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3

借助統(tǒng)計中的圖、表、數(shù)字特征等知識，分析宣傳節(jié)約糧食活動的效果（選擇一種方法進行說明即可）

18.（12分）已知以點A（—l,2）為圓心的圓與直線m:x+2y+7=0相切，過點8（—2,0）的動直線/與圓A相交于

N兩點

（1）求圓A的方程

（2）當(dāng)=時，求直線/方程

19.（12分）已知數(shù)列滿足41+2=%,+〃56氏〃/1）,neN*，q=1,g=1且％，/+%，/+的成等比數(shù)歹U

（1）求d的值和｛4｝的通項公式；

（〃為奇數(shù)）

(2)設(shè)d=<,求數(shù)列也｝的前2〃項和成

2中?（4+1）2（〃為偶數(shù)）

4

20.（12分）已知函數(shù)/（九）=一2。21n元+（九2

+ax[aeR).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）若，（x）2O恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

21.（12分）已知拋物線C:9=12x的焦點為R,經(jīng)過點R的直線/與拋物線。交于A3兩點，其中點A在第一象

限;

lAF

（1）若直線/的斜率為百，求上3的值；

展I

（2）求線段A3的長度的最小值

22.（10分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新

聞.某機構(gòu)將關(guān)注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，

從參與調(diào)查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：

天文愛好者非天文愛好者合計

女203050

男351550

合計5545100

（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人

中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

附：X、、叫J"_其中,『+“c+d

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】由焦點坐標(biāo)得到-加-3=1,求解即可.

【詳解】根據(jù)焦點坐標(biāo)可知，橢圓焦點在y軸上，所以有-加-3=1,解得7"=T

故選：C.

2、B

【解析】根據(jù)題意先求出公比，進而用等比數(shù)列通項公式求得答案.

【詳解】由題意，設(shè)公比為g,則/=，=4nd=2,則%=qg2=4.

故選:B.

3、A

【解析】分別取的中點M,G,易得MB=MC=ME=MD,則點/為四邊形BCDE的外接圓的圓心，則

四棱錐尸-5C-DE外接球的球心在過點M且垂直平面3CDE的直線上，設(shè)球心為。，設(shè)外接球的半徑為R,

OM=x,利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.

【詳解】解：分別取3CDE的中點M,G,

在等邊三角形ABC中，ZABC=ZACB=60°,OE是中位線，

則CM。，BME,DEM,PDE都是等邊三角形，

所以MB=MC=ME=MD=2,

所以點M為四邊形BCDE的外接圓的圓心，

則四棱錐P-5C-D石外接球的球心在過點M且垂直平面的直線上，設(shè)球心為O,

由G為。石的中點，所以PGLDE,

因為平面平面BC￡>￡,且平面PDE［平面BCDE=DE,PGu平面PDE,

所以PG,平面3C￡>￡,則OM//PG，

設(shè)外接球半徑為R,OM=x,

MG=PG=y/3,CM=2,

貝!1我=r+4,爐=3+(有_4，

所以3+(3—xf=7+4,解得》考，

所以R=Y39,

3

39S27r

所以四棱錐P—5C—。石外接球的表面積是4乃R2=4乃X二=..

93

故選：A.

第II卷

4、D

【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為(1,1),半徑為1,根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形面積等于歸山,

|網(wǎng)=^PCp-l，故求解|PC|最小時即可確定四邊形MC8面積的最小值.

2

【詳解】圓C：X2+J2-2X-2J+1=0即(x-I)+(y-1)?=1,

表示以C(L1)為圓心，以1為半徑的圓，

由于四邊形PACB面積等于2xi-x|PA|x|AC|=|PA|,耐PA|=^|PC|2-1，

故當(dāng)|PC|最小時，四邊形"LC3面積最小，

又|PC|的最小值等于圓心C到直線/：2x+3y+8=0的距離乙而1號1=而，

故四邊形PACB面積的最小值為V13-1=2百，

故選：D

【解析】對待比較的代數(shù)式進行作差，利用不等式基本性質(zhì)，即可判斷大小.

【詳解】因為?！ㄒ弧?=?！ǎ?一〃），又a<。，-l</?<0,故。6>。,1一6>。，則ab—aZ?2>o，即決,〉々〃；

因為。"一a=。伍+1）僅一1）,又a<0,b+l>Q,b—l<0,ab2—a>0>則aZ?2>a；

綜上所述：ab>ab2>a.

故選：D.

6、D

【解析】根據(jù)題意，判斷命題p和q的真假性，結(jié)合判別式與二次函數(shù)恒成立問題，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，由"夕?！?"為假命題可得“PA4”為真命題，即小g都為真命題，

0<m<22

故<1,解得1<機《4

A=zn9-4xlx—>0

I4

故選：D

7、A

【解析】由余弦定理求解

【詳解】由余弦定理，#AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB,即BC?—2BC—2=0，解得3c=1+6（負值舍

去）

故選：A

8、C

【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為42”，即本題的正確選項為C.

9、C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列出方程求解，直接計算S3即可.

3

【詳解】由％%=2%可得。四%/=2%,gpa1q=2,所以（=2,

又&+。4=10，解得。2=8,

a.1,1

所以一「=q,即4=±—，

%42

當(dāng)q=5時，q=16,%=4,所以S3=28,

當(dāng)4=—g時，％=-16,%=-4,所以$3=-12,

故選：C

10、C

【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.

【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有C；+C；=30種情況，

取到3塊月餅都是五仁月餅有C；=10種情況，

所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是—

303

故選：C.

11、B

【解析】由導(dǎo)數(shù)的乘法法則救是導(dǎo)函數(shù)/'(')后可得結(jié)論

(7r\jrjrjr

【詳解】解：由題意，/'(x)=sinx+xcosx,所以/［不［=51115+3853=1.

故選:B

12、C

【解析】通過樣本中心點來求得正確答案.

【詳解】芯+%+%3+*4+/=55,故元=11,

則歹=0.76元+45.84=54.2,

故%+%+%+乂+%=59=271.

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】先求出利用裂項相消法求和.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝滿足的=1,a,=%T+2（"N2,"eN*）,

所以數(shù)列｛4｝為公差d=2的等差數(shù)列，所以a.=q+（“-1）d=2〃-1,

所以藪:一（2n-l）（2n+l）-1-2"+1J

所以1=%1------1-------------

2〃-12〃+1

1

2zz+l

n

2〃+1

n

故答案為:

2n+l

14、6.5

【解析】利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.

【詳解】解：由題意得

從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長

依次成等差數(shù)列｛?！埃?設(shè)其公差為d

q+%+%=3q+9d=37.5

解得d==15.5

q2=4+1H=4.5

%。=q+9d=15.5—9=6.5

故立夏的日影子長為6.5尺.

故答案為：6.5

15、元+百＞-4=0或-4=0

【解析】由題設(shè)知A在圓上，代入圓的方程求出參數(shù)a,結(jié)合切線的性質(zhì)及點斜式求切線方程.

【詳解】因為過A的圓。的切線只有一條，則4（1,。）在圓上，

所以1+片=4,則。=土道，且切線斜率左=一即左=±走,

k0A3

所以切線方程y一6--^y-(x-l)或y+y/3--^-(x-1),整理得x+石,—4=0或%一百,一4=0.

故答案為：x+島-4=0或x-缶-4=0.

兀

16、

2

ab__sinBb_cosAbcosAsinB

【解析】由正弦定理二一=--可得一；二一，又——-=——=二］，

sinAsinBsinAacosBacosBsinA

/.cosAsinA=cosBsinB,sin2A=sinIB,aAw6,

jrTT

■■在二角形中2A+26=7iA+B=一,C——.

22

考點：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、(1)6,4,2；(2)j；(3)答案見解析.

【解析】(1)先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；

(2)先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概率；

(3)可求出平均值進行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.

122

【詳解】解：(1)報名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為F

12621

222

所以高一抽取63x—=6人，高二抽取42x—=4人，高三抽取21x—=2人.

212121

(2)記高二四個學(xué)生為1,2,3,4,高三兩個學(xué)生為5,6,抽出兩人表示為(x,j),

則抽出兩人的基本事件為

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

共15個基本事件，

其中高二學(xué)生都在同一組包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個基本事件.

記抽出兩人都是高二學(xué)生為事件A,則P(A)=^=g，

2

所以高二學(xué)生都在同一組的概率是

(3)法一：(數(shù)字特征)前10天的平均值為23.5,后10天的平均值為20.5,

因為20.5<23.5,

所以宣傳節(jié)約糧食活動的效果很好.

法二：(莖葉圖)畫出莖葉圖

AI0XJUioX

225

51224

8654232

5221：lf>

30246H

1934

[83

因為前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，

所以節(jié)約宣傳后剩飯剩菜明顯減少，宣傳效果很好.

18、(1)(x+1)2+(y-2)2=20；(2)3x—4y+6=0或x=—2.

【解析】(1)利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；

(2)根據(jù)相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點到直線的距離公式確定直線方程

【詳解】(1)由題意知A(—1,2)到直線x+2y+7=。的距離為圓A半徑r,

1-1+4+71

所以r=J—1=2非r,

所以圓4的方程為(x+l)2+(y—2)2=20

(2)設(shè)MN的中點為Q,則由垂徑定理可知NAfQA=90。，且“Q=M，

在Rt/XAMQ中由勾股定理易知AQ=y/AM2-MQ2=1，

設(shè)動直線/方程為：y=左(尤+2)或彳=-2,顯然x=-2符合題意

/、\-k+2k-?\3

由A(-l,2)到直線/距離為1知??=1得左=a

所以3x-4y+6=0或x=-2為所求直線/方程

【點睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題

為奇數(shù)、72?"〃1…-

(2)

19、(1)d=l；an=<為偶數(shù)；丁寸”一

+a

【解析】(1)由于%+2=an+d(dGR,dw1),所以可得用=q=2+3d,〃9=%+4d,再由q,%+a3M89

成等比數(shù)列，列方程可求出d,從而可求出曾"｝的通項公式;

—2"T為奇數(shù))

(2)由(1)可得"才力/⑺為偶數(shù))，然后利用錯位相減法求凡

【詳解】解：（1）數(shù)列｛〃〃｝滿足為+2=4+d（d￡R，dwD，

所以％=q+d,/=4+d=%+3d,佝=%+d=%+4d,

所以〃2+。3=。1+。2+―,

由于。1=1,。2=1,

所以〃2+Q3=2+d,〃8+〃9=2+7d,

且。2+。3,。8+。9成等比數(shù)列,

所以?（%+〃8）=（%+。3）2，

整理得d=l或2(1舍去)

故斯+2=〃"+2,

所以〃奇數(shù)時，an=n,

〃為偶數(shù)時，an=n-1

〃，"為奇數(shù)

所以數(shù)列｛詼｝的通項公式為4=1不佃.

[孔-1,彷偶數(shù)

-至L(〃為奇數(shù))

?(〃為奇數(shù))

⑵由于2=，所以。"=]一2

——色」-5為偶數(shù))1'/(〃為偶數(shù))

I4

2222222-222-22

所以T2n=bi+b2+...+b2n=-2°x1+2°X2-2X3+2X4+...+[-2??(2n-1)]+2??(2n),

=2°X(22-I2)+22X(42-32)+...+22n-2?[(2?)2-(2n-1)2]

=2°X3+22X7+...+22,r2?(4n-1)①，

所以4Q=22x3+24x7+...+22".(4"—1),②，

①-②得：-3T2"=2°X3+22X4+...+22n2X4-22nX(4n-1

=3+4*2）（4’一）一"，，X⑷…），

4-1

所以三

19

(2)—,e4

2

【解析】(1)先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)⑴的結(jié)論，分別求a=0,a>0,a<0時〃尤)的最小值，令/(尤)1m/0,即可求出實數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

易知函數(shù)/(x)=-2a2Inx+g/+儀的定義域為(0,+。),

廣⑺?至+x+a=(x+2a)(x-耳,

XX

當(dāng)a=0時，尸(x)=x>0,所以/(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，x+2a>Q,令/'(x)>0,得x>a；/f(x)<0,得0<%<a,

所以/(九)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，x-a>0,令/'(x)>0,得x>-2a；令/'(x)<0,W0<x<-2a,

所以/(%)在(0,-2a)上單調(diào)遞減，在(-2a,內(nèi))上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

當(dāng)a=0時，〃力=：f20成立，所以a=0符合題意；

當(dāng)a>0時，/(尤)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

要使/⑺20恒成立，則/(x)^=/(?)=-2a2ln?+|a2+a2>0,

3

解得OvaWl；

當(dāng)”0時，〃力在(0,-2a)上單調(diào)遞減，在(-2a,+8)上單調(diào)遞增，

19

22

要使“X)20恒成立，貝!)f[x)mn=/(―2a)=-2aIn(-2a)+-(-2a)'-2a>0,

m--<a<o.

2

一1￡

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是-,,e4.

21、(1)3；(2)12.

【解析】(1)聯(lián)立直線/與拋物線C的方程，求出A和5的橫坐標(biāo)即可得.；

⑵設(shè)直線/方程為尤=7孫+