2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高一年級下冊冊第3學(xué)段數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高一下冊第3學(xué)段數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

注意事項：

1.本試卷共3頁，共3道大題，21道小題.

2.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個

選項中，選出符合題目要求的一項.

1.已知向量“(,),(,),ci-L.b,貝IJX=()

A.1B.-1C.2D.-2

【正確答案】C

【分析】因則7E=o,后由數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則可得答案.

【詳解】因)7.6，則Q.B=-X+2=0,得x=2.

故選：C

(1、

2.化簡SinXCoSXtanx+----的結(jié)果是()

卜tanx√

A.cos2xB.-1C.1D.sin2x

【正確答案】C

【分析】根據(jù)商數(shù)關(guān)系切化弦，再利用平方關(guān)系即可化簡.

…5…?l11(sιnxCosx.

【詳解】解：sinXCoSXtanx+-------=SmXCOSX-------+———=Sm2x+cos2X=1,

ltan%)lkcosxSinXj

故選：C.

3.如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30,此時時針與分針的夾角為α]θ<α≤H].若一個

I2)

扇形的圓心角為〃，弧長為10,則該扇形的面積為()

【正確答案】D

【分析】先求出α,再由弧長公式求出扇形半徑，代入扇形面積公式計算即可.

.?/ATI.I-∣_,C2ττ2ττ65TT

【詳解】由r圖κ可知，α=3x-----------×———>

12121212

I24

則該扇形的半徑尸=一=—，

aπ

-1,1s24120

故面積S=-Ir=—×10×—=-----.

22ππ

故選：D

4.古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯(Theaetems,約前417.前369)通過如圖來構(gòu)造無理數(shù)

√2,√3,√5,...,記NB4C=α,ΔDAC=β,則cos(α+0=()

√6√2Ov?巫Λ∕3?∣6

L5.---------

~3Γ3633

√6√2

--------1--------

32

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角和余弦公式，求得cos(α+")的

值，即可求解.

【詳解】由題意知COSa=-M=交,smα=3=也,

√22√22

c°sp=崇卓SinaW=冬

所以cos(α+P)=cosacosP一SinaSin'=XX=

v7232336

故選：B.

-IJ冗3π

5.已知。=CoS-CoS——-sin—sin——,h=2sin-cos—,c=l-2sin2—,那么a,b,c

88881212C8

的大小關(guān)系為（)

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.a<c<b

【正確答案】A

【分析】利用兩角差的余弦公式求。，利用二倍角的正弦公式求b,利用二倍角的余弦公式

求C,然后比較大小即可.

兀3兀.兀.3兀π3兀πC

【詳解】Ta=COS-COS------sin—sin—=cos=COS-=O，

8888882

π.π1

6=2sin?cos?=sin2x±=s?n—=—

12121262

π、π√∑

c=l-2sin2-=Cos2×-=cos-=

88J42

:.a<b<c

故選：A

_,π—，則sinπ-α］的值為

6.已知CoS—+a()

(44

3344

A.一B.--C.一D.——

5555

【正確答案】C

7171?Tπl(wèi)?

【分析】將一一二轉(zhuǎn)化成彳一7+。，在用誘導(dǎo)公式化簡，代入求值即可.

42UJ4

fTt、4

【詳解】由cos[1+0

75

故選：C

7.已知1211%1211。是方程612一5工+1=0的兩個根，且α,夕為銳角，則α+/的值為

()

3ππππ

A.——B.C.D.

4234

【正確答案】D

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可,

【詳解】因為1@11。/2口僅是方程612_51+1=0的兩個根，

所以tana+tanβ=—,tanatanB=L

66

5

/c、tan(2+tanβA

因此有tan(α+0)=-----------------=-?-=1I,

I-tanatanβ?_

6

7Γ

因為α,夕為銳角，所以0＜二+夕＜兀，因此α+尸=一，

4

故選：D

8.在平面直角坐標(biāo)系XQy中，角α以O(shè)X為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓O交于

點尸，PM_LX軸，垂足為M.若AOΛ∕P的面積為一，貝IJSin2α=()

25

6121824

A.—B.—C.—D.—

25252525

【正確答案】D

【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合三角形面積列出方程，再由倍角公式求出答案.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：。河=cosa,PΛ∕=Sina,

故LθΛ∕?∕5Λ∕=LCoStZSinaf=,故LSin2α=,

2225425

解得.sin2a=—

25

故選：D

9.某地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規(guī)律，因此第"個月的月平均

最高氣溫G（〃）可近似地用函數(shù)6（〃）=/35（0〃+勿）+左來刻畫，其中正整數(shù)〃表示月份

且〃e[1,12],例如〃=1表示1月份，A和后是正整數(shù)，ω>0,9e（o,兀）.

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫有以下規(guī)律：

①該地區(qū)月平均最高氣溫最高的7月份與最低的1月份相差30攝氏度；

②1月份該地區(qū)月平均最高氣溫為3攝氏度，隨后逐月遞增直到7月份達到最高；

③每年相同的月份，該地區(qū)月平均最高氣溫基本相同.則G（〃）的表達式為（）

A.G(")=30cos尋+削+33B.G(〃)=30cos(R〃+^^]+33

π5ππ2π

C.G(〃)=15cos-n-?----+18D.G⑺=15cos—n-----+18

6663

【正確答案】C

—A+k=3

【分析】結(jié)合題意可得，CCC，即可求得A,左的值，利用周期公式可求得。的

4+左=3+30

值，結(jié)合〃=7時，G（〃）取最大值33,即可求得少的值，進而得出G（〃）的表達式.

—4+k—3

【詳解】由題意，可得V,，二2，解得/=15,攵=18,

Z+左=3+30

由二=7—1=6,所以T=12,即G==2^?=—；

2T126

當(dāng)〃=7時，G(7)=15cosf-^-+^j+18=33,即CoS[卷+9)=1,

7兀7ττ

所以——+^=2?π(Λ∈Z),即*=——+2kπ(keZ),

66

5兀

又因為Oe(O,兀)，所以Q=—■,

6

π5π

故Ge)=I5cos-n-?----+18.

66

故選：C.

10.已知函數(shù)/(x)=Sin((υx+(卜。>0)在區(qū)間［0,兀］上有且僅有4條對稱軸，給出下列四

個結(jié)論：

①/(x)在區(qū)間(0,乃)上有且僅有3個不同的零點；

TT

②/(X)的最小正周期可能是一；

2

■1317、

③。的取值范圍是一，:；

［44)

④/(χ)在區(qū)間(0,總上單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①④B.②③C.②④D.②③④

【正確答案】B

【分析】令。x+工=X+Aτr,%∈Z,則x=］+4.7r,ZeZ,由函數(shù)"刈在區(qū)間［0,汨上有

424(y

且僅有4條對稱軸，即0≤"+f"≤%有4個整數(shù)k符合,可求出口€［；,［］判斷③，

4a)L44J

再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可依次判斷①②④.

【詳解】由函數(shù)/(x)=Sin(5+：卜0>0),

ππ(1+4女)〃

令ωx+-=-+kπ,keZ,則X=--------,kwZ

424G

函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,π］上有且僅有4條對稱軸，BP0<0+≤萬有4個整數(shù)上符合，

4(υ

由0≤(+4")乃≤乃，得O<^4^41nO≤l+4Ar≤40,則左=0,1,2,3,

4a>4ω

1317

即l+4x3≤4o<l+4x4,「.一≤G<一，故③正確；

44

兀TrTT

對于①，?.?χ∈(0,"),/.69X+-∈—4+一

444

一πΓπ7兀、,

當(dāng)"x+ze[],l^j時'/（X）在區(qū)間（0,兀）上有且僅有3個不同的零點;

TlTTO71?

當(dāng)0x+；e?,/（χ）在區(qū)間（（U）上有且僅有4個不同的零點；故①錯誤;

4L42J

對于②，周期T=Z三，由U?4<υ<U,則&<,4生，.?.包<7≤9,

ω4417ω131713

又^6（指，浮，所以/a）的最小正周期可能是工，故②正確；

2V17?32

TLX八IπIππωππ∣?1317

對于④，Q?∈θλ>77,,,?T,TΓ+T,又6yW~79~7

[15)414154)44

又需?事，所以“，）在區(qū)間（。,看）上不一定單調(diào)遞增，故④錯誤?

故正確結(jié)論的序號是：②③

故選：B

方法點睛：函數(shù)y=Zsin（3x+夕）+8（2>0,0>0）的性質(zhì)：

(?)Λ≡=Z+8ymin=A-B.

(2)周期T=@.

ω

(3)由3x+e=至+Aπ(左∈Z)求對稱軸，由Λ>X+9=?(左eZ)求對稱中心.

(4…………;由

jr3兀

--?-2kπ<ωx-?-φ<--?F2Λ?；蔤)求減區(qū)間.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

??-sin200cos400+sin70sin400=?

【正確答案】回

2

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和與差的正弦公式即可得到答案.

【詳解】sin200cos40o+sin70°sin40o

sin20ocos40o+cos20csin40。=sin(20°+40°)=sin60o=?，

故答案為.也

2

12.函數(shù)y=tan∣2x+?)的對稱中心是

fjrIcTT、

【正確答案】一^—+,0,%eZ

I84J

【分析】直接根據(jù)正切函數(shù)的對稱性結(jié)合整體思想即可得出答案.

【詳解】解：令2x+生=把,％eZ,則X=-&+紅,ZwZ,

4284

(j['?(4k4、

所以函數(shù)y=tanI2x+：ZU的對稱中心1是8一—4丁，°；,%EZ.

故答案為?(一J+”,O],左CZ

I84J

13.已知COSX=―*，x∈[0,2π],則X的解集為

5兀7兀

【正確答案】

~6,~6

【分析】根據(jù)CosX=-立求得x=2E±^,左∈Z,結(jié)合X∈[0,2兀],確定答案.

5兀

【詳解】由COSX=—可得X=2kπ±—,k∈Z，

26

5π,7π5π7π

因為x∈[0,2兀],故當(dāng)左=0,X=—；左=1時，X=—，則X=—,—

6666

5π7π

故答案為.

^6^,^6^

14.如圖，正六邊形/8C。EF的邊長為1,^AB+^BC+Cb?~DE=

BA

【正確答案】-1

【分析】由正六邊形性質(zhì)，結(jié)合向量線性運算及數(shù)量積運算即可

【詳解】由正六邊形性質(zhì)，ZADE^60o,AD=2DE,

（JB+BC+CD）-^DE^JD-DE=-?DA??DE?COS<DA,^DE>^-2×1×COS600=-?.

故-1.

（1π?

15.已知函數(shù)/（x）=3CoSiJX+wj，則函數(shù)/（x）的圖象的對稱軸方程為.

設(shè)直線/是函數(shù)/（X）的圖象在N軸右側(cè)第一條對稱軸，直線/與/（X）的圖象交于點A,設(shè)

函數(shù)/（X）的圖象在V軸右側(cè)第一、二個對稱中心分別為點8、C,點P是函數(shù)/（X）的圖

UUiuum

象上位于A、C之間的動點，則尸8?8C的取值范圍為.

【正確答案】①x=2kπ--(keZ)②.(-4后,_2%2)

,2

【分析】解方程gx+?=版"（左∈z）可得出函數(shù)/（X）的圖象的對稱軸方程；求出點8、C

的坐標(biāo)，設(shè)點尸%,3cos-x+-?,其中把<χ<3,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運

（124JJ22

UULULU

算結(jié)合一次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得PRBC的取值范圍?

(1π?IJT

【詳解】對于函數(shù)/")=3,1COS_XH---,由-x-?--=kπ{Jc∈Z)解得

(24J

x=2kπ-^[k∈Z),

所以，函數(shù)/(x)的圖象的對稱軸方程為x=2A?-'(kez),

,1Ti_費3π,可得點偌「3

由一XH----=乃可r得X

242

,1ππ—小π可得點

由一X~\—二—可得X—p8[g,θJ,

2422

由Jχ+工=3*可得X=2,可得點Cl

2422

、一」C(1乃、%5π

設(shè)點尸X,3COSl-X+—9其中--VXV—,

I124722

71

PB-----x,-3COSl-XH—,8C=(2%,0),

2CI24

所以，PBBC=π2-2πx∈(-4τr2,-2π2).

故X=2fkπ-^(k∈Z)；(-4/,-2/).

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知向量a、B滿足Ial=1，B=(—2,1),JLIα—?∣=2.

(1)求向量由及；

(2)求向量企=Z+B與很的夾角的余弦值.

【正確答案】(I)IBI=若，a-b=?

⑵嚕

【分析】Q)根據(jù)復(fù)數(shù)模的坐標(biāo)運算即可得I司，再把模平方后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算求得結(jié)論;

（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算律和向量模的坐標(biāo)計算公式得m彳=6，W∣=2√∑,再利用

向量夾角的計算公式即可.

【小問1詳解】

22

由已知得I=λ∕（-2）+l=√5，

?a-b^（a-b）2=a2-2a-b+b2=1-2萬石+5=4,解得展B=I

【小問2詳解】

m?h=^a+b^?b-a?b+h=1+5=6,

M=J（ɑ+B）=y∣a^+2a?b+b2=《+2x1+5=2逐,

/一八m?b63Vw

c°÷'3用=匹環(huán)二丁?

3

17.已知Sina=-《，且α是第限角.

從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當(dāng)?shù)倪x項填在上面的橫線上,

并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：

（1）求COSα,tana的值；

3

，?！龅?估sm(萬一a)c°s(—a)sm(z"+a)

(2)化簡求值：2

COS(2023萬+a)tan(2023i-a)

【正確答案】（1）見解析（2）-一

【分析】（1）由已知可得a為第三象限或第四象限角，分類討論，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)

系式即可求解.

（2）利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化筒即可計算得解.

【小問1詳解】

3

因為Sina=-《，所以a為第三象限或第四象限角；

「、二—4sina3

若選③，CoSa=-Ul-Snra=——，tana=?------=—；

5cosa4

「、----=4Sina3

右選④，coscz=√1-sm^a=—,tana=-------=—.

5cosa4

【小問2詳解】

SinaCoSa(-cos0SinaCoSa(-cos016

原式=-cos2a=-1+

COS(Tr+0)tan(π-a一CoSa(-tana)25

ω>Q,?φ?<的部分圖象如圖所示,

(2)求圖中a/的值;

(3)直接寫出不等式/(x)2√Σ的解集.

【正確答案】⑴/(x)=2sin(2x+J)

6

、7π

(2)Q=-------,h7=I1

12

.,TC,7兀_.

(3)f{x?kτιλ----<x<kκΛ-----,k∈Z}

2424

【分析】⑴由函數(shù)/(X)的圖象，可得力=2,T=π,得到<υ=2,再由/(一至=一2,

Tl

求得夕=一，即可求解；

6

5Ji

(2)根據(jù)T=五一。，求得。的值，再由b=∕(0),求得b的值；

(3)由不等式/(x)NJ5,得到sin(2x+工)2日，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【小問1詳解】

3ττ.TT.3TE

解：由函數(shù)/(x)的圖象，可得/=2,—T-—■—(---)=—,

2兀

可得7=兀，所以。=Ir=2,即/(工)=25由(2》+9)，

ππ2π2π

又由?(-?-)=2sin[2×(-y)+^]=2sin(--—+??)=-2,即sin(---+￠))=-1,

2TTJTTT

可得-----卜φ=-----?-2kπ.k∈Z,即夕=一+2Λπ,左∈Z,

326

因為10<[，可得S='，所以/(x)=2sin(2x+F).

266

【小問2詳解】

5H771

解：因為函數(shù)的周期T=——a=π,解得α=——，

1212

又因為6=/(0)=2Sin'=2χJ=l.

62

【小問3詳解】

解：由不等式"x)≥√∑,可得2sin(2x+四)2萬，可得sin(2x+巴)2也，

662

TrTr37ΓTr7TT

所以2Λπd≤2x+-≤2hcd----,Λ∈Z，解得EH-----≤x≤kτι-?-----,k∈Z,

4642424

所以不等式/(x)2√∑的解集為{x∣Λπ+^≤x≤E+2,k∈Z}.

2

19.已知α=(；,SinXCOSX),e=(4sinX-2,2Λ∕3)./(x)=Z?B

(1)求函數(shù)/(x)的對稱軸；

(2)求函數(shù)/W的最小值，并寫出/U)取得最小值時自變量X的取值集合；

兀π

(3)若Xe,直接寫出函數(shù)/(χ)的單調(diào)減區(qū)間.

jτJζTT

【正確答案】(1)x=—+—,左∈Z

32

π

(2)/(x)的最小值—2,取得最小值時自變量X的取值集合為《XX=一二+標(biāo),左GZ卜

1

ππ兀π

(3)和

26^3,2

【分析】⑴先求出/(x)=2sin[2x.J,再由2x-∏+伍左eZ可求出對稱軸；

(TT?TTTT

(2)當(dāng)Sin2x--=T時，函數(shù)取得最小值，再由2x--=一一+2左JaWZ可求出X的

k6；62

取值；

TTTr3JTTrTr

(3)先由一+2E≤2x-一≤-+2E,左eZ求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，再與-7,7求交

26222

集即可.

【小問1詳解】

因為α=(5,sinxcosx),?=(4sin2x-2,2y∣3)，

所以/(x)="?B=2sin?x-l+2百sinxcosx

=Visin2x-cos2x

=2Sin(2%一己),

.7Γ7T.,JrZiTt.

由2x----———Fkτι,k∈Z!得X———I-----,左∈Z,

6232

TtZTT

所以函數(shù)/(χ)的對稱軸為直線》=—+—,左∈Z,

32

【小問2詳解】

當(dāng)Su時,f(χ)取得最小值—2,

JlJlJI

此時2x----=------?-2kπ,k∈Z,得X=-----?~kτι,kwZ,

626

TT

即/(X)取得最小值時自變量X的取值集合為Ixx^--+kπ,keZ[,

【小問3詳解】

由巴+2kπ≤2x--≤-+2kπ,%∈Z,

262

^-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,

33

兀兀TCJTTC71

所以/(X)在XE上的單調(diào)減區(qū)間為一;7，一二和

20.如圖，在"8C中，CA=I,CB=2,ZACB=60°.

D

B

ucu

(1)求I粉；

（2）已知點。是18上一點，滿足ZD=2力8，點E是邊CB上一點，滿足8E=48C?

①當(dāng)4=5，求荏.西；

②是否存在非零實數(shù)/1,使得次J_而？若存在，求出/1的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】（1）√3

12

（2）①一；②存在，λ——

43

【分析】（1）由I萬|=|醞一西=辰^-兩2，然后根據(jù)向量數(shù)量積的運算律即可求

解;

(2)①由題意，JE-?=?JC+^CB^~(CA+CB),由向量數(shù)量積的定義及運算律

即可求解；

②由題意，CD=λCB+(?-λ)CA,AE=(I-A)CB-CA,假設(shè)存在非零實數(shù)；I,使得

____________UULflULHJl2

AElCD'則由ZE?CQ=O即可求得4=可?

【小問1詳解】

解：'?AB^CB-CA^且赤2=4，CA2=1>C5?C4=2×l×cos60o?l>

?IASI=ICfi-C4I=y](CB-CA)2=>]cβ2-2CBCA+CA=√3-

【小問2詳解】

解：①；I=L時，AD^-7B,BE^-BC,

222

：.D、E分別是邊48、BC的中點，

：.AE=AC+CE+^CB,CD=-(CA+CB),

荏.麗=(就+；可?；?+函

1—"]—,—?1——"1—?2

=-ACCA+-ACCB+-CBCA+-CB

2244

=」x「+'x1x2xcos120。+—×2×l×cos60°+-×22-；

22444

②存在.理由如下：假設(shè)存在非零實數(shù)2,使得云，函，

UUUlULU---------------------------

由4。=λAB<得力。=MCB-CA)，

ΛCD=CΛ+ΛD=CΛ+Λ(Cβ-CA)=λCβ+(l-λ)CΛ.

又前=癡：,

：.1E=7B+~BE=(CB-CA)+ΛJC=(\-XSCB-CA,

??AE-CD=λ(↑-λ)CB-λCBCA+(1-Λ)2C5?C4-(1-Λ)C4

2

=4Λ(l-Λ)-λ+(l-Λ)2-(l-Λ)=-3Λ2+2λ=0,解得；1=§或4=0(不合題意，舍

去)，

2_,—

所以存在非零實數(shù);I=§,使得/EJ.CZ).

21.定義向量OXf=(a1)的“相伴函數(shù)”為/(x)=αsinx+bcosx,函數(shù)

/(x)=αsinx+bcosx的“相伴向量”為Q^=(a/)，其中。為坐標(biāo)原點，記平面內(nèi)所有

向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.

⑴設(shè)函數(shù)/(x)=-2Sin(X-,求證：/(x)∈S；

(∏)記向量B√=(l,2)的相伴函數(shù)為g(?x)，當(dāng)g(?x)=2且Xelo,]?時，求SinX的值;

(III)將(I