2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)2-6函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用習(xí)題

2.6函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)篇固本夯基

考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)

1.(2021云南頂級名校檢測,4)函數(shù)f(x)=lnχ-Z的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

X

A.(1,2)B.(2,e)

C.(e,3)D.(3,+∞)

答案C

2.(2022屆湖北襄陽五中10月月考,3)下列函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增且存在零點(diǎn)的是

()

A.y=x2-χ-3B.y=-0.2'

C.y=sin2xD.y=x」

X

答案D

3.(2020四川石室中學(xué)月考,7)已知函數(shù)f(x)=Q)'-log2x,設(shè)0<a<b<c,且滿足

f(a)?f(b)?f(c)<0,若實(shí)數(shù)X。是方程f(x)=0的一個(gè)解,那么下列不等式中不可能成立的是

()

A.x0<aB.x0>cC.x0<cD.x0>b

答案B

4.(2018課標(biāo)I,9,5分)已知函數(shù)f%g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，

則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+∞)

C.[-1,+8)D.[1,+8)

答案C

5.(2022屆黑龍江八校期中聯(lián)考，11)已知f(x)=eF-InX-2x,若X。是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),則

Xo+lnx0的值為()

答案Λ

6.（2021遼寧鐵嶺一模,6）若關(guān)于X的方程6Q?-mx-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是（）

?-(-

β?(一

答案D

7.（2021河南焦作二模,15）若函數(shù)f（x）=∣e*-a∣-l有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

答案（l,+∞）

8.（2020寧夏石嘴山三中三模，16）已知函數(shù)f（x）=管+2,3,XW1,則函數(shù)y=f?（f（X））的圖

象與直線y=4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

答案3

考點(diǎn)二函數(shù)模型及應(yīng)用

1.（2021全國甲,4,5分）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通

常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿

足L=5+lgV?已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為

（'VTθ≈l.259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案C

2.（2021合肥質(zhì)監(jiān),6）2019年1月1日起,我國個(gè)人所得稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速

算扣除數(shù)據(jù)確定,計(jì)算公式為:個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額X稅率-速算扣除數(shù).應(yīng)納稅所得額的

計(jì)算公式為:應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用-專項(xiàng)扣除-專項(xiàng)附加扣除-依法

確定的其他扣除.其中，“基本減除費(fèi)用"（免征額）為每年60000元.部分稅率與速算扣除數(shù)

見下表：

2

全年應(yīng)納稅所得速算

級數(shù)稅率(%)

額所在區(qū)間扣除數(shù)

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

若某人全年綜合所得收入額為249600元,專項(xiàng)扣除占綜合所得收入額的20%,專項(xiàng)附加扣除

是52800元,依法確定其他扣除是4560元,則他全年應(yīng)繳納的個(gè)人所得稅應(yīng)該是()

Λ.5712元B.8232元

C.11712元D.33000元

答案A

3.(2020課標(biāo)HI,4,5分)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者

根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的LogiStiC模

型：I(t)~,^-p其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t,)=0.95K時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情，

]ι+00U.4,U??tM53?J∕

則t*約為(1E9七3)()

A.60B.63C.66D.69

答案C

4.(2019課標(biāo)II,4,5分)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面

軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問

題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著

圍繞地月拉格朗日L點(diǎn)的軌道運(yùn)行.Lz點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為

M“月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定

律,r滿足方程：

T?t>(R+r凈

設(shè)α吟由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中竺加??Q^3a3,則r的近似值為()

R(l+a)”

3

A?信B.攝RC.件Dq都

答案D

5.(2022屆云南大理統(tǒng)測,4)牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型:t=——ln?g(t

為時(shí)間,單位為分鐘，θ。為環(huán)境溫度，θI為物體初始溫度，。為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開水

溫度θ,=90°C,環(huán)境溫度θ(I=IOe常數(shù)，，大約經(jīng)過一分鐘水溫降為40℃(參考數(shù)

據(jù)iln2=?0.7,ln3≈=≈l.1)()

A.8B.7C.6D.7

答案C

6.(2020陜西咸陽二模，15)為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)

(A-t,O<t<i

實(shí)驗(yàn)表明，該藥物釋放量y(∏ιg∕m3)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系為y=∣I如圖所示,實(shí)驗(yàn)

表明，當(dāng)藥物釋放量y<0.75(mg∕m*)時(shí)對人體無害.

(Dk=;

(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過_

分鐘人方可進(jìn)入房間.

答案(1)2(2)40

7.(2020北京，15,5分)為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,

排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為gf(t),用-*

b-a

的大小評價(jià)在［a,b］這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污

水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在［t“t］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);

②在G時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在G時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

4

④甲企業(yè)在[O,tJ,t』這三段時(shí)間中，在[0,t]的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

答案①②③

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法一判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間和零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1.(2021山西呂梁一模,9)函數(shù)f(x)=2JI+∣X-5的零點(diǎn)Xoe[aT,a],a∈N',則a=()

4

A.1B.2C.3D.4

答案C

2.(2021江西八所重點(diǎn)中學(xué)4月聯(lián)考,6)定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足

f(6-χ)=f(x),(χ-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)?f(l)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(5,6)內(nèi)()

A.沒有零點(diǎn)B.有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

C.至少有2個(gè)零點(diǎn)D.可能有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)

答案B

(2x-l'x<2

3.(2021東北三省四市教研聯(lián)合體二模，11)若函數(shù)f(x)=3',,'則函數(shù)

x》2,

g(x)=f[f(x)]-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

答案B

4.(2022屆四川攀枝花統(tǒng)考一,7)方程f(x)=f'(x)的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)f(x)的“新駐點(diǎn)”.如

果函數(shù)g(x)=lnx+2的“新駐點(diǎn)”為a,那么a的取值范圍是()

N*)B?G-1)CM)D-(?2)

答案B

5.(2022屆蘭州西北師大附中期中，⑵設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且

f(x+2)=f(2-χ),當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=(γ)-l,則在區(qū)間(-2,6)上關(guān)于X的方程

f(x)-IOgB(X+2)=0的解的個(gè)數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

答案B

6.(2021北京，15,5分)已知函數(shù)f(x)=∣lgx∣-kχ-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

5

①當(dāng)k=0時(shí),f(X)恰有2個(gè)零點(diǎn)；

②存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

③存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)；

④存在正數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

答案①②④

考法二已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(或取值范圍)

L(2017課標(biāo)ΠI,11,5分)已知函數(shù)f(x)=χZ-2x+a(e*τ+e-巧有唯一零點(diǎn),則a=()

11

C

B.3-2-D.

答案C

2.(2020天津,9,5分)已知函數(shù)￡@)=仔*亍2若函數(shù)83=￡6)-?％|(k∈R)恰有4

(一乂x?0.

個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.(-∞,-θU(2√2,+∞)

B.(-∞,-0U(0,2√2)

C.(-∞,0)U(0,2√2)

D.(-8,0)U(2√2,+o0)

答案D

3.(2022屆山西長治第八中學(xué)階段性測評，10)已知函數(shù)f(x)Jf-x,x函數(shù)

Unx-X,x)0,

y=f(x)+2x+a有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為()

A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)

C.(-∞,1)D.(-∞,1]

答案B

4.(2022屆河北衡水第一中學(xué)調(diào)研一,8)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2r)=f(2+x),且當(dāng)

x∈[0,2]時(shí),f(X)=P?!,?"o若關(guān)于X的不等式m∣x∣Wf(x)的整數(shù)解有且僅有9

個(gè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

√v>?]B?[3??]

c

?(τ-τ]D?[T?T]

6

答案C

g2(X_1)1<x<3

5.(2020吉林延邊自治州4月模擬,12)已知函數(shù)f(x)=(1°>>若方程f(x)=m

IΛ2-8X+16,X>3,

有4個(gè)不同的實(shí)根X∣,X2,X3,X?t,且X,<X2<X3<X4,則(U(X3+X4)=()

A.6B.7C.8D.9

答案C

6.(2022屆贛州十七校期中聯(lián)考，15)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0

時(shí),f(x)=e"x+l),若關(guān)于X的方程f(x)=m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

為.

答案(^?'?)

7.(2018浙江，15,6分)已知λ∈R,函數(shù)f(χ)d［4；/λ,當(dāng)λ=2時(shí)，不等式

f(x)<O的解集是.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是.

答案(1,4);(1,3］U(4,+8)

8.(2019江蘇,14,5分)設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的

---------------(A(X+2),0VX≤1,

周期為2,且f(x)是奇函數(shù).當(dāng)x∈(0,2］時(shí),f(x)=√l-(\I/,g(χ)=.其

「51,l<x?92,

中k>0.若在區(qū)間(0,9］上,關(guān)于X的方程f(x)=g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍

B

ZE.

答案［pτ)

應(yīng)用篇知行合一

應(yīng)用函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

1.(2020新高考I,6,5分I模型應(yīng)用)基本再生數(shù)R。與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基

本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均

時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型：I(t)=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間

t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R。,T近似滿足R0=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出

R°=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為

(1∏2^O.69)()

A.1.2天B.L8天

C.2.5天D.3.5天

7

答案B

2.（2021昆明質(zhì)量檢測二，11I生活實(shí)踐情境）飲酒駕車、醉酒駕車是嚴(yán)重危害《道路交通安

全法》的違法行為,將受到法律處罰.檢測標(biāo)準(zhǔn)：“飲酒駕車:車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量

大于或者等于20mg∕Iooml,小于80mg∕100ml的駕駛行為;醉酒駕車:車輛駕駛?cè)藛T血液中的

酒精含量大于或者等于80mg∕100ml的駕駛行為.”據(jù)統(tǒng)計(jì),停止飲酒后,血液中的酒精含量

平均每小時(shí)比上一小時(shí)降低20%.某人飲酒后測得血液中的酒精含量為100mg∕100rnl,若經(jīng)過

n（n∈N*）小時(shí),該人血液中的酒精含量小于20mg∕IOOm1,則n的最小值為（參考數(shù)

據(jù)：lg2*0.3010）（）

Λ.7B.8C.9D.10

答案B

3.（2021河北衡水五校模擬,4I模型應(yīng)用）要測定古物的年代,可以用放射性碳法:在動(dòng)植物

的體內(nèi)都含有微量的放射性“C,動(dòng)植物死亡后,停止新陳代謝,“C不再產(chǎn)生,且原有的“C會(huì)自

動(dòng)衰減.經(jīng)科學(xué)測定,“C的半衰期為5730年（設(shè)HC的原始量為1,經(jīng)過X年后JC的含量

f（x）=a",即f（5730）^）.現(xiàn)有一古物,測得“C為原始量的79.37%,則該古物距今約一年（參

考數(shù)據(jù)：，七0?7937,δ"["0.9998）（）

Λ.1910B.3581C.9168D.17190

答案A

4.（2022屆長春重點(diǎn)高中第一次月考,9I生活實(shí)踐情境）2020年12月17日凌晨,嫦娥五號

返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如

此高的再入精度,主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?實(shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整,這與

“打水漂”原理類似（如圖所示）.現(xiàn)將石片扔向水面，

假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為IOOm∕s,這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次

“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于60m∕s,則至少

需要“打水漂”的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù):取InO.6^-0.511,InO.9公-0.105）（）

A.4B.5C.6D.7

答案C

8

5.（2022屆山東濰坊安丘等三縣10月測試,6I生活實(shí)踐情境）某投資機(jī)構(gòu)從事一項(xiàng)投資，先

投入本金a（a>0）元,得到的利潤是b（b>O）元,收益率為士燃），假設(shè)在第一次投資的基礎(chǔ)上,此

a

機(jī)構(gòu)每次都定期追加投資χ（χ>0）元,得到的利潤也增加了X元,若使得該項(xiàng)投資的總收益率

是增加的,則（）

A.a2bB.a≤b

C.a>bD.a<b

答案C

6.（2022屆山東德州期中,6I生活實(shí)踐情境）聲音大?。▎挝粸榉重悾┤Q于聲波通過介質(zhì)時(shí),

所產(chǎn)生的壓力變化（簡稱聲壓,單位為N∕m,已知聲音大小y與聲壓X的關(guān)系式為

y=10Xlg（S∕）,且根據(jù)我國《城市區(qū)域環(huán)境噪音標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定,在居民區(qū)內(nèi),戶外白晝噪聲

容許標(biāo)準(zhǔn)為50分貝，夜間噪聲容許標(biāo)準(zhǔn)為40分貝，則居民區(qū)內(nèi)，戶外白晝噪聲容許標(biāo)準(zhǔn)的聲

壓是戶外夜間噪聲容許標(biāo)準(zhǔn)的聲壓的（）

A.√TU倍B.2√TU倍C.10倍D.20倍

答案A

7.（2021北京西城一模，15I生活實(shí)踐情境）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低

了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn),發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際,為保證防洪需要、降低防

洪風(fēng)險(xiǎn),水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度,統(tǒng)一蓄水,用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=水

庫實(shí)際蓄水量÷水庫總蓄水量XlOo）來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如

下：

（1）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間［0,100］；

（2）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；

（3）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.

記X為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù),y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù),給出下面四個(gè)y關(guān)于X的函

數(shù)解析式：

φy=-^x2+6x;②y=1OyJx;③y=］0而;④y=1OOsi臉x.

則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是.

答案②④

9

8.(2022屆河南期中聯(lián)考,21I生產(chǎn)生活)如圖所示是一個(gè)長方體容器,長方體的上、下底面

為正方形,容器頂部有一個(gè)圓形的蓋子，圓與上底面四條邊都相切,該容器除了蓋子以外的部

分均用鐵皮制作,共使用鐵皮的面積為16dπΛ假設(shè)圓形蓋子的半徑為rdm,該容器的容積為

Vdm',鐵皮厚度忽略不計(jì).

(1)求V關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該容器的高AA1為多少分米時(shí),V取最大值？

解析⑴設(shè)AALadn).由題意得(2r)ir2+(2r)2+8ar=16,可得a—匕所以

V=(2r)2a=8r+(y-4)r3.由a>0,得R4>0,解得0<r<^.

KV=8r+(∣-4)r3,r∈(0,?).

⑵V'=8+3(/4卜,