新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)(理)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí):考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合M={x∣x2-4x-5≤θ},N={R-3<X<1},則MUN=()

A.(—3,5]B.[—1,1)C.(―3,—1]D.(1,5]

2.復(fù)數(shù)z=2i+3+34Wi(i是虛數(shù)單位)，貝IJZ的共規(guī)復(fù)_數(shù)W對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量”,b，C滿(mǎn)足α=(2,l),?=(-l,l),β?c=10,hc=l,則ICI=()

A.3B.√∏C.2√5D.5

4.中國(guó)最早的天文觀測(cè)儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測(cè)臺(tái)是西周初年在陽(yáng)城建立

的周公測(cè)景(影)臺(tái).“圭”就是放在地面上的土堆，"表”就是直立于圭的桿子，太陽(yáng)光

照射在“表”上，便在“圭”上成影.到了漢代，使用圭表有了規(guī)范，規(guī)定“表”為八尺長(zhǎng)(1

尺=10寸).用圭表測(cè)量太陽(yáng)照射在竹竿上的影長(zhǎng)，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈

量土地.同一日內(nèi)，南北兩地的日影長(zhǎng)短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂

“影差一寸，地差千里記"表''的頂部為A,太陽(yáng)光線通過(guò)頂部A投影至U“圭”上的點(diǎn)為

B.同一日內(nèi)，甲地日影長(zhǎng)是乙地日影長(zhǎng)的?，記甲地中直線A3與地面所成的角為凡

O

且sinθ=g.則甲、乙兩地之間的距離約為()

A.10千里B.12千里C.14千里D.16千里

5.偶函數(shù)f(x)在區(qū)間+8)上是增函數(shù)，且〃1)=0,則不等式“2x-3)>0的解集為

()

A.(-2,-1)B.(―00,—2)D(T,÷∞)c.(1,2)

D.(-∞,1)(2,+oo)

6.已知“l(fā)og"3=2,貝∣J3-"=()

A.-B.9C.—D.16

916

7.從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1),可以得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)的平面圖形，如圖2所示，籃球

的外輪形狀為圓0,將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙

曲線與圓。的交點(diǎn)將圓。的周長(zhǎng)八等分，AB=BC=CD=2,視AD所在直線為X軸，

8.下圖為2012年-2022年我國(guó)電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速情況折線

2012年201柞2014^2015^201碑2017年201海2019^2020年2021年2022年

T-電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速T-工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速

A.2012年-2022年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額逐年遞增

B.2017年-2022年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額逐年遞增

C.2012年-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額均較上一年實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)，且其增速均快

于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速

D.2019年-2022年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增

速的均值

9.已知函數(shù)〃X)=Sin2x+2SinX,下列說(shuō)法中，正確的是()

A.函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)

B.函數(shù)f(x)的最大值為孚

C.直線X=；是函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

D.函數(shù)/(x)的增區(qū)間為2?π-^,2H+y(AeZ)

10.甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知:

(1)甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A,8,C；(2)乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)

枝O,E,F；(3)丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝G,A,C；(4)丁在下落的

過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝8,D,H-,(5)戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝/,B,C,

E,則下列結(jié)論正確的是()

A.最高處的樹(shù)枝一定是GB.這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有

24種

C.最低處的樹(shù)枝一定是FD.這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有

21種

11.如圖，在棱長(zhǎng)為。的正方體ABC。-AsGR中，M,MP分別是M,CG,CQ的

中點(diǎn)，。是線段AA上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題:

①不存在點(diǎn)。，使尸。〃平面用BN；

②三棱錐B-CNQ的體積是定值；

③不存在點(diǎn)Q，使B1D1平面QMN；

④B,C,D,M,N五點(diǎn)在同一個(gè)球面上.

其中正確的是()

D.②④

12.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是4,b,c,acosC+√3asinC-?-c=0,3?+c=4,

點(diǎn)。在邊BC上，且3D=3E>C,則線段4D長(zhǎng)度的最小值為()

A.—B.避C.1D.叵

222

二、填空題

13.函數(shù)/(X)=2xe，的圖象在X=O處的切線方程為

14.已知0sin[α+=2cosacosβ-cos^a-,則tan(α+0=.

22

15.設(shè)F∣,F?分別為橢圓,+齊=1(。>〃>0)的左、右焦點(diǎn)，A為下頂點(diǎn)，M,N為

橢圓上關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，若M,F1,A在一條直線上，NF2IAM,則此橢圓的離

心率是.

16.晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個(gè)重要方面在如圖(1)

所示的體心立方晶胞中，原子A與2(可視為球體)的中心分別位于正方體的頂點(diǎn)和體

心，且原子8與8個(gè)原子A均相切已知該晶胞的邊長(zhǎng)(圖(2)中正方體的棱長(zhǎng))為26,

則當(dāng)圖(1)中所有原子(8個(gè)A原子與1個(gè)8原子)的體積之和最小時(shí)，原子A的半

徑為_(kāi)___________

三、解答題

17.某校用隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查學(xué)生參加校外補(bǔ)習(xí)情況，得到的數(shù)據(jù)如下表:

分?jǐn)?shù)等級(jí)

不及格[°'60)及格歐W良好［75,90)優(yōu)秀［90/00］

人數(shù)

學(xué)生人數(shù)8522911

參加校外補(bǔ)習(xí)人數(shù)51573

(1)從中任取一名學(xué)生，記A="該生參加了校外補(bǔ)習(xí)”，B="該生成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀求P(B)

及P(BiA)；

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀或良好與校外補(bǔ)習(xí)有關(guān)？

附：K'=----\/人/，其中n=a+b+c+d.

(α+bS)(cu+dC)(α)+c)(6+d)

P(K?≥鼠)0.100.050.010.0050.001

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

k。2.7063.8416.6357.87910.828

18.若數(shù)列｛q,｝的前n項(xiàng)和S11滿(mǎn)足Sn=2all+n.

⑴證明：數(shù)列｛%7｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)d=log2(l-q+J,記數(shù)列，"的前〃項(xiàng)和為1,證明：Tn<?.

19.如圖，在三棱柱ABC-AI4G中，AA?L平面AMc-AB=AC,尸是BC的中點(diǎn),

點(diǎn)E在棱CG上.

(1)證明：?FtBlE.

⑵若NBAC=I20。，AAt=2AB,直線AF與平面AqE所成的角為60。，求CE:EG的

值.

20.拋物線C：V=2px(p>0)上的點(diǎn)"到X軸的距離為21，到焦點(diǎn)的距離為g.

(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M在第一象限，過(guò)M作直線/交拋物線C于另一點(diǎn)N,且直線/與直線

x-2y+3=0交于點(diǎn)尸，過(guò)尸作軸的垂線交C于Q.證明：直線QV過(guò)定點(diǎn).

21.已知函數(shù)f(x)=曲詈.

(1)求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若“為整數(shù)，且函數(shù)g(x)=l+αe∣τ-/(x)有4個(gè)零點(diǎn)，求”的最小值.

,1

X=IH---1

2

22.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中,直線/的參數(shù)方程為C為參數(shù)),以。為

極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為0=2Sin9.

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程；

(2)若曲線C和直線/相交于例，N兩點(diǎn)，。為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)P(l,2),求IPQ∣.

23.已知α,b,C都是正數(shù)，且α+"c=l,證明:

⑴；

abc

bjt-cc+aa+h

⑵≥?Sy∣ahc.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.A

【分析】先解一元二次不等式得集合M，然后與集合N取并集即得答案.

【詳解】求解不等式/-4x-5≤0,得XWT,5],即集合M=[T,5],

所以MUN=(-3,5]；

故選：A.

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)可得z,利用共癇復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得出

結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閦=2i+S+*=2i+—~~—=2i+4-3i=4-i,貝∣Jz=4+i，

ii

所以，復(fù)數(shù)三對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限.

故選：A.

3.D

【分析】設(shè)出向量C=(X,y),根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模的公式，即可求出向量∣c∣.

【詳解】設(shè)C=(X,y),因?yàn)棣?(2,1),?=(-l,l),

所以q?c=2x+y=10①，??c=—x+?=1②，由①②解.得X=3,)=4,

22

所以c=(3,4),∣C∣=√3+4=5.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)給定條件，求出甲地、乙地的日影長(zhǎng)，即可計(jì)算甲、乙兩地的距離作答.

QA

【詳解】依題意，甲地中線段AB的長(zhǎng)為A^=IoO寸，貝】甲地的El影長(zhǎng)為JlOo2_802=6θ

寸，

竺=72

于是乙地的日影長(zhǎng)為工一寸，甲、乙兩地的日影長(zhǎng)相差12寸，

6

所以甲、乙兩地之間的距離是12千里.

故選：B

5.D

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，在區(qū)間［o,y)上單調(diào)遞增，且/⑴=0,

所以/(2x-3)>0,gp∕(2x-3)>∕(D,∣2x-3∣>l

所以2x-3>l或2x-3<-l,即x>2或x<l,

故選：D.

6.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化，及指數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.

【詳解】因?yàn)椤發(fā)og,3=2,則log”"=2,因此3α=42=l6,

所以3一"=占=???

316

故選：C

7.A

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出雙曲線方程并求出實(shí)半軸長(zhǎng)。，再求出雙曲線過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo),

代入方程求解作答.

【詳解】依題意，設(shè)雙曲線方程為W-I=Im>0,b>0),貝IJa=1,

a-b-

顯然圓O的半徑為3,雙曲線與圓。交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)為(爰,鬢)，

(?)29

于是j)2B=1，解得

所以雙曲線的方程為χ2-ZZ=L

9

故選:A

8.C

【分析】根據(jù)給定的折線圖，逐項(xiàng)分析、計(jì)算即可判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速為負(fù)數(shù)，從2017年到2018年

利潤(rùn)總額下降，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,2019年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速為負(fù)數(shù)，從2018年到2019年潤(rùn)總額下降，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,2012年-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速均為正數(shù)，因此利潤(rùn)總額均較上

一年實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)，

且其增速均快于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速，C正確；

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

—3.3+4.1+34.3+3.4C(Gq

對(duì)于D,2019年-2022年工業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速的均值為

4

3.1+17.2+38.9+7.6-

2019年-2022年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤(rùn)總額增速的均值為------------------------------=10.7,

4

9.625<16.7,D錯(cuò)誤.

故選：C

9.B

【分析】A.利用周期函數(shù)的定義判斷；B.利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；C.判斷/(O),/1])的關(guān)系;

D.令/'(x)≥0求解判斷.

【詳解】因?yàn)?(x+2;τ)=sin2(x+2π)+2sin(x+2π)=sin2x+2sinx=∕(x),所以T=21是

函數(shù)/(力的一個(gè)周期，所以函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

/(x)=sin2x÷2sinx=2sinx(cosx+1),要求函數(shù)/(x)的最大值，則/(x)>0,

不妨取x∈(0,π),Xff(χ)=2cos2x+2∞sx=2(2cos2x+∞sx-1)=2(2COSX-I)(COSX+1),

則Xe(O彳)時(shí)，f?x)>0,Λ∈fy,π‰,∕,(x)<0,

則/(x)在M上遞增，在刖)遞減，則函數(shù)/(x)的最大值為=當(dāng)故B正確;

因?yàn)?'(，()$皿兀+布

0)=°/5=255=2,所以直線X=(不是函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸,

故C錯(cuò)誤;

由選項(xiàng)B知:令j"(x)=2(2coSX-I)(COSX+1)>0,得CoSX〉；,則2?π-1<x<2E+；,Z∈Z,

所以函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(2kγ,2AY)(ZeZ),故D錯(cuò)誤，

故選：B

10.D

【分析】先判斷出部分樹(shù)枝由高到低的順序?yàn)镚48CE尸，再討論￡),H,/位置，判斷選

項(xiàng)A與選項(xiàng)C,根據(jù)/的位置不同分類(lèi)討論，求得這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共21種

【詳解】由題意，可判斷出部分樹(shù)枝由高到低的順序?yàn)镚ABCEF,還剩下。，H,/,且

樹(shù)枝/比8高，

樹(shù)枝。在樹(shù)枝5,E之間，樹(shù)枝H比。低，最高可能為G或/,最低為F或H,故選項(xiàng)A

錯(cuò)誤，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

先看樹(shù)枝/,有3種可能，則。有2種可能，若。在B,C之間，則H有4種可能，

若。在C,E之間,則H有3種可能,此時(shí)樹(shù)枝的高低順序有3x(4+3)=21(種)可能，

故這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有21種，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.

故選:D

II.D

【分析】當(dāng)。為。A的中點(diǎn)時(shí)，證明PQ//MN判斷①，證明用力，MQ判斷③；利用等體積

法分析判斷②；構(gòu)造長(zhǎng)方體判斷④作答.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)。為AA的中點(diǎn)時(shí)，連接P2,4G,因?yàn)镻是CQ中點(diǎn)，則PQ〃AC，

而“，N分別是AA，CG的中點(diǎn)，有AM∕gN,AM=GN,即四邊形AaMW是平行四邊

形，

因此"N∕∕AG∕∕PQ,MNU平面BMN,PQa平面N,所以PQ〃平面N,①錯(cuò)

誤；

DlPG

對(duì)于③，當(dāng)。為。A的中點(diǎn)時(shí)，連接MQ,A0,AC,8O,因?yàn)槠矫?8CO,AeU平

?ABCP,

貝∣JBB∣L4C,而8。LAC,BOBBI=B,BD,BB∣u平面BDB∣,于是AC_L平面BOB∣,

又用。U平面BOB∣,則用力八AC,同理BlO_LAR,因?yàn)镸N3AC,MQiiAD、,

從而MNLBP,MQ工BQ,而MNMQ=M,MN,MQu平面QMN,所以BQ，平面QMN,

③錯(cuò)誤；

對(duì)于②，?BCN面積是定值，而點(diǎn)。到平面8CN的距離為棱長(zhǎng)α,

三棱錐8-。7。的體積%￡膛=%-36=%SBCN為定值，②正確；

對(duì)于④，取BB/A的中點(diǎn)瓦尸，連接EM,EN,FM,FN,則幾何體A88-MEN/是長(zhǎng)方

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

體，

所以B,C,D,M,N五點(diǎn)在長(zhǎng)方體ABa)-MEN/的外接球球面上，④正確,

所以正確命題的序號(hào)是②④.

故選：D

12.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求出CoSA,再借助平面

向量運(yùn)算及均值不等式求解作答.

【詳解】在ABC中，由αcosC+J5αsinC-O-C=O及正弦定理得：

sinAcosC+V3sinΛsinC-sinB-sinC=0>

K1JsinAcosC+V3sinAsinC-sin(A+C)-sinC=0,整理得

>∕3sinAsinC-cos4sinC-SinC=0,

而SinC>0,于是GSinA=I+cosA,兩邊平方得:(1+cosA)2=3sin2A=3(1-cos2A),

而0vAvπ,I+cosA>0,解得CoSA=因?yàn)辄c(diǎn)。在邊8C上，且BD=3DC,

2

BD=-BC,因此A。=AB+B。=AB+二BC=AB+'(AC-AB)=-(A8+3AC),

4444

ArfiJI+9AC2+6ABAC)=-(c2+9b2+3bc)=—[(3b+c)2-3bc]

161616

222

≥?[(3?+c)-(^±^)]=?.?(3?+c)=?,當(dāng)且僅當(dāng)％=c?=2時(shí)取等號(hào)，

1621644

所以當(dāng)方=:,c=2時(shí)，線段AO的長(zhǎng)度取得最小值走.

32

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三角形中線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，主要方法有兩種，一是找到邊之間的關(guān)

系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想

求最值.

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

13.y=2x

【分析】求出函數(shù)外幻的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義即可求解作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=2xe1求導(dǎo)得：∕,(x)=2(x+l)ev,則廣(0)=2,而/(0)=0,

所以函數(shù)/(x)=2xe,的圖象在x=0處的切線方程為y=2x.

故答案為：y=2χ

14.2

【分析】由于要求α+夕的正切，等式左邊就將其看成整體，按照兩角差的正弦公式展開(kāi),

等式右邊直接利用兩角和差的余弦公式整理化簡(jiǎn)即可.

【詳解】由兩角差與和的余弦公式cos(α-0=cosacos∕?+SinaSin

等式右邊變?yōu)椋?cosacosβ-cos(α-∕?)=cosacos∕7-sinasin∕7=cos(?+/?),

等式左邊將α+尸看作整體，按照兩角差的正弦公式展開(kāi)，左邊得到:

乎sin(a+￡)-*CoS(α+/?)

近=sin(α+/?)-cos(cr+/?).

于是根據(jù)左邊等于右邊得到：sin(α+0-cos(α+0=cos(0+0,即

sin(?+/?)=2cos(?+/?),顯然CoS(α+⑶≠0,否則sin(α+尸)=0,這與

sin2(α+0+cos2(α+0=l矛盾，于是等式兩邊同時(shí)除以cos(α+⑶，得到tan(ɑ+/?)=2.

故答案為：2

15.避

5

【分析】設(shè)用(加,〃)，則有N(m,-〃)，根據(jù)AA的坐標(biāo)求出直線AM,與橢圓聯(lián)立即可求

出點(diǎn)M(加,〃)，由Ng_LAM的性質(zhì)即可得出關(guān)于α,c的齊次式，即可求離心率.

【詳解】依題意，

耳(-c,0),6(c,0),A(0,-b),設(shè)則N(m,τι),

77h

所以大稱(chēng),=」^，L=-3,因?yàn)镹K_LAM，

-c—inc

bn

mi”//1orlbc-m

所以k?&NF,--------=,即一=-----,

AM~cc-mcn

設(shè)直線AM為y=-2(x+c),

c

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

消y整理得(a2+c2)x2÷2a2cx=0,

所以/+1何=0+∕n=--，2；r，,，所八以八〃"=一/((〃，，2*■+ILcJ)=,->"匕―〃，

a-+c~ca-+c

2a2c

代入2=山得：2=0=1,+c［結(jié)合/=C?+戶(hù)整理得:

cncn2a~b.

—=7>即e==，獷e=—

a2555

故答案為：官.

6√2-3

7

【分析】根據(jù)給定的幾何體，用原子A的半徑/表示8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和,

再借助導(dǎo)數(shù)求解作答.

【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2百，則該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2√5X√5=6,

設(shè)A原子的半徑為r,B原子的半徑為R,依題意，2r+2R=6,即R=3-r,0<r<3,

于是8個(gè)A原子與1個(gè)B原子的體積之和

V=8?yr3+yΛ3=y[8r3+(3-r)3]=y(7r3+9∕?2-27r+27),

32,2

^/(r)=7r+9r-27r+27,0<r<3,求導(dǎo)得：∕(r)=21r+18r-27,

由/"(r)=0得z?=64二3,當(dāng)o<,.<逑二2時(shí)，/(r)<0,當(dāng)鼠1二2<z?<3時(shí)，/(r)>0,

777

因此函數(shù)/S)在(0,誓二3)上單調(diào)遞減，在(生了,3)上單調(diào)遞增，即當(dāng)5鏟時(shí)，

/⑺取得最小值，

所以8個(gè)4原子與1個(gè)8原子的體積之和最小時(shí)，原子A的半徑為a1V.

故答案為：

7

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及幾何體的體積最值問(wèn)題，可以引入一個(gè)變量，把體積建立為該變量

的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討求解.

17.(I)P(S)=OJl,P(BIA)=O.1；

(2)不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)為0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀或良好與校外補(bǔ)習(xí)有關(guān).

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】(I)根據(jù)給定的數(shù)表，利用古典概率及條件概率公式計(jì)算作答.

(2)根據(jù)數(shù)表完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算K?的觀測(cè)值并比對(duì)作答.

113033

【詳解】⑴由給定的數(shù)表得：尸(B)="時(shí)W'W)=而FP(AB)=旃，

3

所以P(BIA)=需=號(hào)亮=。」.

10

(2)由已知得2x2列聯(lián)表：

參加校外不參加校外合計(jì)

成績(jī)優(yōu)秀或良好IO3040

成績(jī)不為優(yōu)秀且良好204060

合計(jì)3070100

六的觀測(cè)值為K2J°°x0°x4°-20x30)2=50

≈0.794<2.706，

30×70×40×6063

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)為0」的前提下認(rèn)為學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀或良好與校外補(bǔ)習(xí)有關(guān).

18.(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】Q)先求出首項(xiàng)，利用q,S,的關(guān)系可得見(jiàn)=2?τ-l(〃N2),進(jìn)而可以證明結(jié)論;

(2)先求出口,利用放縮和裂項(xiàng)相消法求和可證結(jié)論.

【詳解】(1)證明：由S“=2a“+〃，當(dāng)〃=1時(shí)，可得4=-1；

當(dāng)〃22時(shí),Sn-1=2an-l+(n-l),所以q,=2%τ-l("≥2),

.?.〃22時(shí)，4.-l=2(α,τ-1),

數(shù)列｛4,7｝構(gòu)成以4-1=-2為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列；

(2)證明：由(1)知4-1=-2"=1-2",.也=IOg式1-4“+])=〃+1

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

--1---------1-------------1--------1------1--

b：(rt+l)2M(M+1)nn+?

即工,<1成立.

19.(1)證明見(jiàn)解析

(2)CE:EC}=3:13

【分析】（1）先根據(jù)條件證明線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)可證結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABIE的法向量，利用線面角確定點(diǎn)E的位置，然后可

得CE:EG的值.

【詳解】（1）證明：在直三棱柱ABC-ABC中，CC,±ΛlF,

又AS=AC,F為BG中點(diǎn),

.-.AtFlBlCl,又CGB1C1=C1,CGU平面BCC8,BlGU平面4C∣C8,

.?.A1FB1C1CB,8∣Eu平面4GC8,AtF1B1E.

(2),ZBAC=120o,M=2AB

以f為原點(diǎn)，F(xiàn)G所在直線為X軸，尸A所在直線為丫軸的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=2α,GE=Z>,則AA∣=4",

于是尸(0,0,0),A(O4θ),B1(-√3a,0,θ),E(√3α,0,?),A(OM,4a),

.*.AB1=(-Gα,-α,-4o),4〃=(2Ga,0,b),E41=(θ,α,θ),

/、in?AB.=0[?∕3ax+ay+4az=0

設(shè)平面4BE的一個(gè)法向量為加=(χ,y,z),有'，即廠.

B1E=O2√3ατ+?z=0

?-(∕τ24。C6。)

令X=Gr，<AΠ=I√3,-y-3,一~—I,

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

,???*,

又sin60o=

4

133

.?.EC,--a,.,.CE=—a

'44

20.⑴拋物線。的方程為y2=2x,點(diǎn)河的坐標(biāo)為（2,土2）

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M（X。,幾），根據(jù)己知條件可得出帆1=2/，求得/，然后利用拋物線

的定義可求得P的值，即可得出拋物線C的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

/2\（2、

（2）設(shè)直線QV的方程為X="+〃，設(shè)點(diǎn)點(diǎn)Q件,乂、N^-,y2,將直線QN的方程與

拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P在直線x-2y+3=0上以

及韋達(dá)定理可得出團(tuán)、〃所滿(mǎn)足的關(guān)系式，再將直線。N的方程變形，即可求得直線QN所

過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】⑴解：設(shè)點(diǎn)M（Xo,幾），則∣為∣=2），X=磬=2,

ZP

又∣=X°+勺2+個(gè).?.p=l,即拋物線C的方程為V=2x,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,±2）.

（2）解：由（1）知M（2,2）,可設(shè)直線QN的方程為工=如+”,

、[x=my+n."

聯(lián)立V,C可得y2-Imy-2〃=0,?=4∕zι2+8n>0-

[y=2χ

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

/,

yi

設(shè)點(diǎn)。，乂、N-?-,j則X+必=2m，乂,必=-2",

2(2-2

k=必-2_22

且MN-￡~y+2,則直線MN的方程為y-2=-^（X-2），

-y-22%T+，

將y=X代入直線MN的方程可得X=）1%+?-2），2,

所以，點(diǎn)Peg-H2+2ZyJ,

由點(diǎn)P在直線x-2y+3=0上，可得妙考士生_2y+3=0,

即Xy2-2（乂+%）+6=°，所以，一2〃一4m+6=0，即2/%+〃-3=。，

將直線QN的方程變形可得X=叫+3-2加，即x-3-〃z（y-2）=0,

x—3=0fκ=3

{），一2二0可得二2,因此，直線QN過(guò)定點(diǎn)（3,2）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

（1）”特殊探路，一般證明“：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一

般性證明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系

或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為

坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)（為,%）,常利用直線的點(diǎn)斜式方程丁-%=MX-Ao）或截距式y(tǒng)=h+b

來(lái)證明.

21?（l）∕（x）的極大值為人,/（x）無(wú)極小值

e

⑵4

【分析】（1）由函數(shù)的定義域及/'（X）=上與皿，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)/（X）

的極值；

（2）將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系和零點(diǎn)存在性定理，

求得“的范圍，結(jié)合。為整數(shù)，求出求”的最小值.

【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,

答案第Il頁(yè)，共15頁(yè)

1aln

/(x)=~J-,令f'(x)=O,即X=e~,/'(x),f(x)的關(guān)系如下表:

X(0,e'")el^α(e,^?+oo)

“X)+O—

?(?)/極大值

.?.x=e?時(shí),/(x)的極大值為/(e~)=±，〃x)無(wú)極小值.

e

(2)由題意得，8(》)=1+。招--生?￡有4個(gè)零點(diǎn)，

即方程x+αr?ei-InX-Q=O在(。,+⑹有4個(gè)不相等的實(shí)根.

令〃(X)=X+"?9一”-lnx-a,(x)=1+α(e""—Xej)-L.?,“(工)=__,

令Ga)=j一依，可知要使MX)有四個(gè)零點(diǎn)，則/⑺至少應(yīng)有三個(gè)零點(diǎn)，Ar(I)=O,

.?.*(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，φf(shuō)(x)=ex~l-a,其中χ>0,

①當(dāng)α≤1時(shí)，√(x)≥0,則8(力在(0,+巧上單調(diào)遞增，O(X)至多只有一個(gè)零點(diǎn)不合題意;

②當(dāng)白>，時(shí)，x∈(0,lnα+l)時(shí)，”(x)vO；%∈(lna+l,÷∞),^,(x)>0,

e

.?.ρ(x)在(O,Ina+1)上遞減,在(Ina+1,÷∞)上遞增，

要使O(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，O(Ina+l)=ehl"+ι—q(ln4+l)=—αlnα<O,解得α>l

-αfe-<ΛUL41匚T

此時(shí)°(1)=1一α<0,0<—<1,:.φ—=ea-a?一e^rt=ew-e^α

a?aJa

e-(ea｝匚T_

—1<------1<O>—ci<—1,φ?—=ca-ea>O,

aI。J

??.p(x)在—,1存在一個(gè)零點(diǎn)X1,且dT-αη=0

下面證明當(dāng)x>l時(shí)，er>X2>%

當(dāng)x>l時(shí)，/一X=X(X-1)>。

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

令制x)=e*-X2,加(x)=e*-2x,令p(x)=e*—2x,p,(x)=et-2；

當(dāng)x>l時(shí),p'(x)>O,P(X)在(l,?κo)上遞增,p(x)>p(l)=e-2>0

.?.m(x)在(l,+∞)上遞增，/n(x)>w(l)=e-l>0,即e*>f

Qa>1,ew+2-l>l,

ca+2β+22α+2a+2fl+2a+2

.?.e(e"+2)=e"-'-a?e>(e-1)-α?e>e?(e-2-a)>e?(α+2-2-a)=0,

e(x)在(Ie*)存在一個(gè)零點(diǎn)巧，且e^-'-αr2=0,

,+co

.?.x∈(0,xl)(1,切時(shí)，A(x)<O,.?.x∈(xl,l)_(x2,)>"'(x)>0,

在和單調(diào)遞減,和單調(diào)遞增,

.?.∕z(x)(0,ΛI(xiàn))(Lx2)(XI,1)(J?,+∞)

eIee

+a-----e-In------a>----Fα+l