第1部分 第2章 2.1 圓錐曲線

第2章理解教材新知知識點一2.1把握熱點考向應(yīng)用創(chuàng)新演練知識點二知識點三考點一考點二取一條定長的無彈性的細繩，把它的兩端分別固定在圖板的兩點F1、F2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖．問題1：若繩長等于兩點F1、F2的距離，畫出的軌跡是什么曲線？提示：線段F1F2.問題2：若繩長L大于兩點F1、F2的距離．移動筆尖(動點M)滿足的幾何條件是什么？提示：MF1＋MF2＝L.平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的

的點的軌跡叫做橢圓．

(1)焦點：

叫做橢圓的焦點．

(2)焦距：

間的距離叫做橢圓的焦距.距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)兩個定點F1，F(xiàn)2兩個焦點2011年3月16日，中國海軍第7批、第8批護航編隊“溫州號”導(dǎo)彈護衛(wèi)艦，“馬鞍山”號導(dǎo)彈護衛(wèi)艦在亞丁灣東部海域高船集結(jié)點附近正式會合，共同護航，某時，“馬鞍山”艦哨兵監(jiān)聽到附近海域有快艇的馬達聲，與“馬鞍山”艦哨兵相距1600m的“溫州號”艦，3s后也監(jiān)聽到了馬達聲(聲速340m/s)，用A、B分別表示“馬鞍山”艦和“溫州號”艦所在的位置，點M表示快艇的位置．問題1：“溫州號”艦比“馬鞍山”艦距離快艇遠多少米？提示：MB－MA＝340×3＝1020(m)．問題2：把快艇作為一個動點，它的軌跡是雙曲線嗎？提示：不是．平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的

的點的軌跡叫做雙曲線．

(1)焦點：

叫做雙曲線的焦點．

(2)焦距：

間的距離叫做雙曲線的焦距.距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))兩個定點F1，F(xiàn)2兩焦點如圖，我們在黑板上畫一條直線EF，然后取一個三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動三角板，粉筆會畫出一條曲線．問題1：畫出的曲線是什么形狀？提示：拋物線．問題2：DA是點D到直線EF的距離嗎？為什么？提示：是．AB是Rt△的一條直角邊．問題3：點D在移動過程中，滿足什么條件？提示：DA＝DC.(1)一般地，平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離

的點的軌跡叫做拋物線，

叫做拋物線的焦點，

叫做拋物線的準(zhǔn)線．

(2)

、

、

統(tǒng)稱為圓錐曲線．相等定點F定直線l橢圓雙曲線拋物線1．圓錐曲線定義用集合語言可描述為：

(1)橢圓P＝{M|MF1＋MF2＝2a，2a>F1F2}；

(2)雙曲線P＝{M||MF1－MF2|＝2a，2a<F1F2}；

(3)拋物線P＝{M|MF＝d，d為M到直線l的距離}．

2．在橢圓定義中，當(dāng)2a＝F1F2時，M的軌跡為線段F1F2，在雙曲線定義中，當(dāng)2a＝F1F2時，M的軌跡為兩條射線．

3．過拋物線焦點向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，則FN的中點為拋物線頂點，F(xiàn)N所在直線為拋物線對稱軸．

4．對于橢圓、雙曲線，兩焦點的中點是它們的對稱中心，兩焦點所在直線及線段F1F2的垂直平分線是它們的對稱軸．[例1]

平面內(nèi)動點M到兩點F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)的距離之和為3m，問m取何值時M的軌跡是橢圓？

[思路點撥]

若M的軌跡是橢圓，則MF1＋MF2為常數(shù)，但要注意這個常數(shù)大于F1F2.[一點通]

深刻理解圓錐曲線的定義是解決此類問題的前提，一定要注意定義中的約束條件：

(1)在橢圓中，和為定值且大于F1F2；

(2)在雙曲線中，差的絕對值為定值且小于F1F2；

(3)在拋物線中，點F不在定直線上．1．命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之和PA＋PB＝2a(a＞0，a為常數(shù))；命題乙：P點軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的________條件．解析：若P點軌跡是橢圓，則PA＋PB＝2a(a＞0，常數(shù))，∴甲是乙的必要條件．反過來，若PA＋PB＝2a(a＞0，常數(shù))是不能推出P點軌跡是橢圓的．這是因為：僅當(dāng)2a＞AB時，P點軌跡才是橢圓；而當(dāng)2a＝AB時，P點軌跡是線段AB；當(dāng)2a＜AB時，P點無軌跡，∴甲不是乙的充分條件．綜上，甲是乙的必要而不充分條件．答案：必要不充分2．動點P到兩個定點A(－2，0)，B(2，0)構(gòu)成的三角形的周長是10，則點P的軌跡是________．解析：由題意知：PA＋PB＋AB＝10，又AB＝4，∴PA＋PB＝6>4.∴點P的軌跡是橢圓．答案：橢圓[例2]設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，Q是雙曲線上任一點，從某一焦點引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足是P，那么點P的軌跡是什么曲線？

[思路點撥]

利用雙曲線的定義，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)判斷．[一點通]

當(dāng)點在圓錐曲線上時，點一定滿足圓錐曲線的定義，如本題中，點Q在雙曲線上，則有QF1－QF2＝2a，這是定義的要求．另外利用平面圖形的性質(zhì)解題是解析幾何中很常見的解題思想．3．平面內(nèi)到兩定點F1(－1，0)和F2(1，0)的距離的和為3的點的軌跡是________．解析：F1F2＝2＜3，∴點P的軌跡是橢圓．答案：橢圓4．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，試判斷動圓圓心M的軌跡．解：設(shè)圓M的半徑為r，由題意，得MC1＝1＋r，MC2＝3＋r.∵MC2－MC1＝2<C1C2，∴圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線的左支．5．已知定點P(0，3)和定直線l：y＋3＝0，動圓M過P點且與直線l相切．求證：圓心M的軌跡是一條拋物線．解：∵直線y＋3＝0與圓相切，∴圓心M到直線y＋3＝0的距離為圓的半徑r.又圓過點P(0，3)，∴r＝MP，∴動點M到點P(0