2023-2024學年浙江省丁蘭區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年浙江省丁蘭區(qū)高二下冊期中數(shù)學試題

一、單選題

1.己知集合A={x∣log2X<0},?B={y∣∣yT<2},則ADB=()

A.(0,1)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(-∞,3)

【正確答案】C

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及絕對值不等式化簡集合A8,再根據(jù)集合并集的定義

求解即可.

【詳解】由bg2X<0解得0<x<l,所以A={x∣0<x<l},

由|y_"<2可得一2<y-l<2,解得T<y<3,所以3={y∣T<y<3},

所以AB=(-l,3),

故選：C

2.若復數(shù)Z滿足z-i=fG為虛數(shù)單位)，則IZl=()

1

/7

A.—B.1C.√2D.G

2

【正確答案】A

【分析】利用復數(shù)除法法則得到z=；+；，，求出模長.

/、11+i11.

【詳解】由題意得zi—i?=z，故z(l-i)=l,即Z=匚;=(I)而)=[+>

故IZI=

故選：A

3.已知單位向量OA,OB滿足IOA+。4=百，則(M在08方向上的投影向量為()

A.-OBB.OBC.—OBD.-OB

22

【正確答案】A

【分析】求出040B后，再由投影向量的定義得結(jié)論.

【詳解】OAOB是單位向量,

由題意IOA+O8(=(OA+OB)2=0^+2OAOB+OB2=↑+2OAOB+l=3,

OAOB=-,

2

所以04在。B方向上的投影向量為gθB.

故選：A.

4.已知直三棱柱ABC-ABG的所有棱長都相等，M為AG的中點，則AM與BC所成角的

正切值為()

?√15r√15?√6n√10

3544

【正確答案】B

【分析】取線段AC的中點0,則3。工AC,設直三棱柱A8C-AgG的棱長為2,以點。

為原點，OB、OC、AA的方向分別為X、V、Z的正方向建立空間直角坐標系，利用空間

向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】取線段4C的中點。，則80工AC,設直三棱柱A8C-AAG的棱長為2,

以點。為原點，08、OC、AA的方向分別為X、》、Z的正方向建立如下圖所示的空間直

角坐標系,

則A(0,T,0)?M(0,0,2)、β(√3,O,θ),C1(0,1,2),

AM?BC?5W

所以，AM=(0,1,2),BC=(-√3,l,2),cos<AM,BC>=

11∣AM∣?∣BC,∣-√5×2√2-4-

2

所以，sin<AM,BC1>=φ-cos<AM,BCi>=當

√6

則tan<AM,BCt>EfMMc=口=近

cos<AM1BC1>√W5

?

故選：B.

5.已知y=∕(χ)為奇函數(shù)，y=∕(χ+l)為偶函數(shù)，若當XW0』時，/(χ)=log2(x+α),

則f(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出。的值，再根據(jù)奇偶性求出函數(shù)的周期，最后利用函數(shù)的周

期進行代入求值即可.

【詳解】因為y="x)為奇函數(shù)，所以/(O)=Iogza=Ona=I,

因此當x∈[0,l]時，/(x)=log2(x+l),.

因為y=y(χ+i)是偶函數(shù)，所以"χ+l)=∕(τ+l),而y=∕(χ)為奇函數(shù)，

所以y(x+ι)=∕(τ+ι)T(XT)=/(x+ι)-D,

因此有/(x+1+1)=—/(x+1—i)=/(x)=—/(X+2),

因此有/(X+2)=-f(x+2+2),所以/(x)=f(x+4),

因此的周期為4,

/(2023)=/(4x506-1)=/(-1)=-/(?=-log2(l+l)=-l,

故選：A

6.如圖所示,一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和4,球的表面積為100π,

則該圓臺的體積為()

175π238π259π

B.75π

【正確答案】D

【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體

積.

【詳解】因為圓臺外接球的表面積S=4π∕?2=1007t,所以球的半徑r=5,

設圓臺的上、下底面圓心分別為Q,α,在上、下底面圓周上分別取點AB,

連接。。2,0。1，OAOROZA,O∣8,如圖,

因為圓臺上、下底面的半徑分別為3和4,

所以IOBl=IQ4∣=4,IqBHo=3,

所以IoOJ=JowTq=3,IoaI=JIOA∣2-∣o√ι∣2=4,

所以IaO2∣=7,

1750π

所以圓臺體積V=1x(9π+16兀+12π)x7==?-.

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)=6sin<υX-COS3x(<y>0),則/(x)在區(qū)間[0,2兀]上有且僅有2個零點和2

條對稱軸，則。的取值范圍是()

^513、(513]<513^∣<513λ∣

A.B.C.D.

612)[612J136J136J

【正確答案】A

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式為"x)=2Sin(S-弓)，由OWXW2萬可求得

OX-F的取值范圍，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，解之即可.

O

π

【詳解】因為r(x)=GSinGX-COSGX=2sinωx——

6

因為69>0,當OWXW2乃時，—≤cox—≤2coκ—,

666

因為函數(shù)/(同在區(qū)間［0,2可上有且僅有2個零點和2條對稱軸，

3兀Tt513

則二≤2mc-2<2π,解得巳≤G<H,

26612

故選：A.

8?a=Λ∕2,?=3?c,=e≡,則()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

【正確答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(X)=叱，由導數(shù)確定單調(diào)性比較Ae)J(3)J(4)的大小后可得結(jié)論.

X

【詳解】設/(X)=叱，則/'(X)=上學，

XX

x〉e時，Γ(x)<O,/O)單調(diào)遞減，

4>3>e,則f(4)v∕(3)v∕(e),

LL八Jn4In3Inel∏2In3Ineι??

所以丁<亍<三，α即rη廳<亍<三，ln22<ln33<lnQ

所以2：<3久￡，即α<8<c?

故選：D.

二、多選題

9.已知α>0,b>0,α+6=l,貝IJ()

工+

A.'≤4B.2a+2b≥2y∣2C.Iogtz+Iog?≤-2D.cr+?2≥-

ah22

【正確答案】BCD

【分析】利用基本不等式及重要不等式，結(jié)合指數(shù)的運算、對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即

可求解.

【詳解】對于A,因為α>0,b>0,a+b=?,所以

%∕(α+%+W=2+河爾2舟，當且僅當常，即"J時,等號成

立，故A錯誤；

對于B,因為a>0,b>0,a+h=?,所以2"+2,≥2522"=2Λ∕F^^=2&，當且僅當

2a=2h>即時，等號成立，故B正確；

對于C,因為α>0,b>O,α+b=l,所以

Iog2a÷Iog2b=Iog2(t7?)≤Iog2=IogzJ=-2,當且僅當〃=力=；時，等號成立，故

C正確；

對于D,因為α>0,b>0,a+b=l,所以≤2∕+27?,即層當且僅當

a=6=g時，等號成立，故D正確.

故選：BCD.

10.己知直線/：〃a+y+2〃7-3=OOeR)與圓C:(x+4>+(y-5『=12交于A、B兩點，則下

列說法正確的有()

A.直線/過定點(-2,3)B.當IABl取得最小值時，ZW=T

C.當/ACB取得最小值時，其余弦值為TD.ABAC的最大值為24

【正確答案】ABD

【分析】對于A項，整理/的方程為加(x+2)+y-3=0求解即可，對于B項、C項，直線/

恒過定點M,當時，IABl取得最小值，ZACB最小，由ZCMX砥P=T、

IA8∣=2回兩F計算即可，對于D項，運用向量加法及數(shù)量積運算得

UUUUlIU

AB-AC=12-I2cos<CB,CA>,當<C8,CA>取得最大值時，ABAC取得最大值.

【詳解】由題意知，圓C的圓心C(-4,5),r=2√3,

對于A項，因為直線/的方程為m(x+2)+y-3=0,

[x+2=O[x=-2

所以Q°，解得：.，

Iy-3=0[y=3

所以直線/恒過定點(-2,3),故A項正確；

對于B項，因為直線/恒過定點M(-2,3),且(—2+4尸+(3-5)2=8<12,

所以點M在圓C內(nèi)，

所以當CV_L四時，∣A8∣取得最小值，即：％xg=T,

又因為ZCM=t?=T,

所以kλa=1,

又因為直線/的方程為y=THL2m+3,

所以機=T,故B項正確；

對于C項，因為直線/恒過定點M(-2,3),

所以當CVI4?時，/ACB最小，

又因為IeMl="(Y+2)2+(5-3)2=2&,所以此時∣AB∣=2√r2-∣CM∣2=2√12-8=4,

12+12-421

所以在AABC中，由余弦定理得：coSNAa=2x2氏2b=§，故C項錯誤；

對于D項，因為A3?AC=(AC+?CB)?AC=Ac2-C7^C4=12-12cos<C氏C4>，

又因為<CB,C4>max=兀，

所以cos<CB,C4>mill=T，

UUUUUU一八

所以(12-12cos<CB,C4>)ImX=24,即：ABMC的最大值為24,故D項正確.

故選：ABD.

11.已知數(shù)列滿足％=1，4用='：二;二置鬣，則下列說法正確的是()

=223

A.ai=1B.fl2022=a2C.O20232"

2n+3

D.352π+,=2-6n-5

【正確答案】ABD

2t+12t+l

【分析】A選項直接由遞推關(guān)系式即可求出?3:B選項由a2k+2=α2*+,-2.?+1=a2k+2

2025

即可判斷；C選項由4?！??2+2=-l+225即可判斷；D選項由分組求和及等比數(shù)列求

和公式即可判斷.

【詳解】生=α∣-2=-1,4=%+2、=7,故選項A正確；

=a2+l2t+1

對于Z∈N*,有?*+22k+t~2*,a2jt+1=a2k+2,

兩式相加，得出*+2=(?,則Z?2=6?2O=,=%，故選項B正確;

1

由“2*+2=。2*，知02。22="202。==?=--

則?2023=?2022÷2^=-1+2∞3,故選項C錯誤；

由偶數(shù)項均為T,可得〃為偶數(shù)時，。向=-l+2,,+l,

則$2”+|=4+%+G+%+6?++6?utl=1+(-1)+(-1+2')+(—1)+(-1+25)++(—1+2^)(H)

=1+(-1)×(2∕J)+23+25+,+22e=—2〃+]+8：-j：)=2""一5,

則3%M=2"'+3-6"-5,故選項D正確.

故選：ABD.

12.如圖，正方體ΛBCO-A8'C'。'的棱長為3,點M是側(cè)面ADZyA上的一個動點（含邊

界），點P在棱CC'上，且IPel=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為2何

B.BD'_L平面A'C7）

C.若保持IPMl=屈，則點M的運動軌跡長度為（π

D.三棱錐3'-Aa）'外接球的半徑為逆

2

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；建立空間直角坐標系，求出平面ACD的法向量，利用

向量法判斷B；利用向量坐標表示模長可得軌跡為圓即可判斷C；利用點到平面的距離公式

結(jié)合勾股定理判斷D.

【詳解】選項A：將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接小，則IAPI=J|4.2+忸P「=α<2屈,故A錯誤;

選項B：因為正方體ABcD-AB'C'D,D4.DC,。。兩兩垂直，

所以以。為原點，DA,OC,OD'分別為X軸，）軸，Z軸建立如圖所示坐標系,

則8(3,3,0),D(0,0,3),4(3,0,3),C(0,3,3),￡>(0,0,0),

所以BZy=(―3,-3,3),DA=(3,0,3),DC,=(0,3,3),

設平面A1CD的法向量〃=(x,y,Z),

n-DA'=3x+3z=0

則取”=(1,1,-1),

n-DC'=3y+3z=0

因為BD=-3”，所以胡，與“共線，則BDl.平面AC'。，B正確;

選項C：由選項B得P(0,3,2),設"(x,0,z),

2212

則IPM=λ∕x+9+(z-2)=√13,整理得X+(z-2)=4,

所以點〃在側(cè)面ADoA'內(nèi)的運動軌跡是以（0,0,2）為圓心，2為半徑的圓,

軌跡如圖所示,

設圓心為O,軌跡交AD于O',

因為W[=2,∣O0=1,所以NOO=1,ZO,OD=y,

兀

則軌跡長度為W2x2=?4^π,C正確；

選項D：因為IAq=Q'C∣=IAZ）I=30,所以三棱錐8'-ACD是正三棱錐,

過點B'作BR_L平面ACD',交平面ACD,于F，

則三棱錐"-ACD的外接球球心E在BN上，且Q'同=√6,

設三棱錐B1-ACD'的外接球半徑為R,

由選項B得A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,3),Q(3,3,3),

則AC=(-3,3,0),AD,=(-3,0,3),B'A=(0,-3,-3),

設平面ACD'的法向量加=(x,y,z),

tn`AC=-3x+3v=0

則］mAZT=-3x+3z=0MX/H=(l,1,1),

?m?BA?6L

il

則點B'到平面ACD'的距離忸M=-∣-π=K=26，

/77√3

所以在直角ZyE尸中由勾股定理可得+|。/「=|。'吁,

即(26-/?丫+("『=斤，解得R=乎，D正確；

故選：BCD

三、填空題

13.已知二項式(OX+l)3(a∈R)的展開式所有項的系數(shù)之和為8,則(丁—云)的展開式中

的常數(shù)項為.

【正確答案】45

【分析】利用二項式(Or+I)?(αeR)的展開式所有項的系數(shù)和可求得〃的值，寫出

10

的展開式通項，令X的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.

【詳解】已知二項式(Or+l)3(αeR)的展開式所有項的系數(shù)之和為(α+l)3=8,解得α=l,

卜-2)=(X2-9)的展開式通項為

G=CM(巧"<一9=c*,?(-ι)t?√u^?(?=o,ι,2,,10),

由20-二=0可得a=8,

2

所以，展開式中的常數(shù)項為C：o.(T)L45.

故答案為.45

14.浙大附中高二年級某班元旦活動有唱歌、跳舞、小品、相聲、朗誦、游戲六個節(jié)目制成一個

節(jié)目單，其中游戲不安排在第一個，唱歌和跳舞相鄰，則不同的節(jié)目單順序有

種(結(jié)果用數(shù)字作答)

【正確答案】192

【分析】根據(jù)唱歌和跳舞相鄰和游戲不安排在第一個，先將唱歌和跳舞進行捆綁看作一個與

除游戲外的三個進行全排，然后將游戲進行插空即可求解.

【詳解】先將唱歌和跳舞進行捆綁看作一個與除游戲外的三個進行全排，則有A：種排法，

然后

將游戲插入這4個排好的空中(不排第一個)，有C：種，

由于唱歌和跳舞的位置可以互換，所以不同的節(jié)目單順序有A：C；A；=192種，

故答案為.192

22

15.已知橢圓G：1+與=l(0<b<7)的左、右焦點分別為不入,且尸2是拋物線

Cz-2=2px(p>0)的焦點，若尸是橢圓G與拋物線C2的交點，且ImI=8,貝IJCOSNPT轉(zhuǎn)的

值為.

3

【正確答案】-##0.75

4

【分析】由橢圓定義得到IP用=6,作出輔助線，利用拋物線定義結(jié)合角度相等，求出余弦

值.

【詳解】由橢圓定義可知I尸用+∣P周=2α=14,

因為|尸聞=8,所以IP圖=6,

過點P作PM垂直于拋物線的準線于點M,則NP=,

由拋物線定義可知:IPM=IPKl=6,

63

故COSN尸耳g=cosNf;PM=扁IPMI=w=a?

W3

故二

4

16.若直線y=A∣(χ+l)T與曲線y=e,"相切，直線y=&(x+l)-l與曲線y=lnx相切，貝IJkl自

的值為.

【正確答案】1

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(X)=短，設切點為(Xl,%),設g(x)=lnx,設切點為(馬，丫2)，結(jié)合條件

得到xl,x2是函數(shù)/(x)=e*和g(x)=InX的圖象與曲線y='交點的橫坐標，利用對稱性得出

X

(Xl,y),(々，%)關(guān)于直線y=x對稱,從而得出W=e'1,XI=InX2，然后計算出"2.

【詳解】設f(x)=e*,則f'(x)=e*,設切點為設,％),則匕=。，

vxjt,

則切線方程為y-y∣=e'(x-x,),BPy-e'=e(x-x1),

直線y=勺(χ+i)-ι過定點(-1,-1),

所以-1-eW=e"(T-x∣),所以書”=1,

1,1

設g(x)=lnx,則g'(x)=—，設切點為(%,%),則白

則切線方程為y-，2=L（X-Z）,即y-ln%=L（X-W）,

X?X?

直線y=4G+DT過定點（T，-1），

所以一I-InX2=」（-1一工2）,所以/InX2=1，

xι

則X"?是函數(shù)/（x）=e'和g*）=lnx的圖象與曲線y」交點的橫坐標，

X

易知F（X）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=χ對稱，而曲線），=」也關(guān)于直線y=x對稱,

X

因此點（陽,M）,（士，％）關(guān)于直線y=X對稱，

r

從而X2=e',Xl=InX2,

所以KN=J=1.

X2

故1.

四、解答題

17?如圖,在平面四邊形ABCZ）中，ZBCD=l，AB=VZABC=

(1)當BC=板,CD=Zi時,求OAcD的面積.

JT

(2)當NA。C=―,AO=2時，求tanZACβ.

6

【正確答案】(D=√iZ

4

⑵正

2

【分析】（1）利用余弦定理求出AC,cosZACB,再利用誘導公式、三角形面積公式計算

作答；

(2)在A8C和一ACD中用正弦定理求出AC,再借助同角公式及誘導公式求解作答.

【詳解】(1)當BC=&時，在/3C中，AB=LNABC=手，

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-SCcosAABC,

即AC2=3-2&COS—=5,解得AC=?,

AC2+BC2-AB263√10

所rcι以qCoSZACS=-----------------------=-T==——,

IAC-BC2√1010

因為NBCZ)=三，貝IJSinN4C￡)=CoSNAC8=之也。

210

又CD=不，

所以.A8的面積是SAS=LAC?COsinN4CZ)=L√^χ√7χ^^=3√ΓJ.

acd22104

ABAC

(2)在_48。中，由正弦定理得

sinZACBsinZABC

0l.ABsin電6

即ac=4=C

sinZACB2cosNACO

ADACΛDsin-

在，ACD中，由正弦定理得即]

sinZACDsinZADCAC=______6_

SinZACDsinZACD

則云是5--------,整理得sinZACD=√2cosZACD,

sinZACD

因為NAa><],

所以tanNAC力=&，

Tl

因為/Be。=,,所以

、sin∣π-ZACD

tanZACB=tan∣?-ZACD\=—￡-----------:cosZACD1=&

(2'Cosf--ZACDSinZACDtanZACD~~2

18.己知數(shù)列｛4｝的前"項和為S”，且gs,,+l=4.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑵在4和。,山之間插入〃個數(shù),使得這(?+2)數(shù)依次組成公差為4的等差數(shù)列,求數(shù)列

的前“項和卻

【正確答案】⑴。"=2”

(2)7；,=3-^

【分析】(1)根據(jù)為與S“的關(guān)系，利用相減法即可求得數(shù)列｛4｝的通項公式;

2〃1〃+1

(2)由題意可得4,=J,所以丁=干按照錯位相減法即可求得前〃項和&

∏+1an2

【詳解】(I)因為;S,+l=%,

當"≥2時，；S,i+l=%,兩式相減得：=即;整理

當M=I時，∣5,+l=β1,所以4=2

所以數(shù)列｛4｝是以4=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故4=2”；

(2)由題可得4用—《,=("+1)4,即2""一2"=(〃+1)4,所以4,=

n+1

1n+?234n+i/

則不=亍，mτ,=-+-+-++—?,

EJT234〃+1小

則57L=齊+聲+>++尹②，

J___1_

，乙o?A∕∣=ιITll111n+1222,l+1〃+13幾+3

故CD得：-?=1H---∑?H——d----÷-H-------------=1H---------------------=---------r-

234nn+l,l+l,,+l

2222221—1222

2

所以(=3-嚶?

19.已知函數(shù)/S)滿足/(X)=2f(-x)+3x-l.

(1)求函數(shù)Ax)的解析式;

(2)若關(guān)于X的方程∣∕(χ)∣=%∣χ2-χ-“恰有四個不同的實根，求實數(shù)Z的取值范圍.

【正確答案】(I)∕(χ)=χ+1

⑵(OT),(1,+8)

【分析】(I)構(gòu)造等式/(r)=2/(X)-3x-l,即可解得F(X)的解析式;

⑵對A的符號分類討論，其中Q。時，由參變分離可得在(X+D+擊-3恰有四個不

相等的實根，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)數(shù)形結(jié)合討論即可.

【詳解】(1)由題意得：F(T)=2C(x)-3尤-1,Λ/(x)=2[2∕(x)-3x-l]+3x-l,

解得/(x)=x+l;

(2)i.當上＜0時，明顯無解；

ii.當Z=O時?，∣x+l∣=0只有一個實根，不符合條件；

+一恰有四個不相等的實根.

當時,=(x+D+3

iii.QO^k~x+?

.?.(X+1)+—1=3+?與(x+l)+-1=3-!共有四個不相等的實根.

x÷lκx+lk

3+工>2

∣?111

.??解得—>5或0<—<1,?,.()<&<—或人>1,

Cl-Ak5

3——>2

k

實數(shù)&的取值范圍是(Od)<+⑹.

20.如圖，將長方形OAAa(及其內(nèi)部)繞。。旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中OA=1,OQ=2,

劣弧ABl的長為9,A3為圓。的直徑.

⑴在弧A8上是否存在點C(CS在平面OA4。的同側(cè))，使BCLAq,若存在，確定其位

置，若不存在，說明理由;

(2)求平面A1O1B與平面B1O1B夾角的余弦值.

【正確答案】(1)存在，當BC為圓柱。。的母線，BCIAB1

Q）也

17

【分析】(1)當BC為圓柱。01的母線，證明3C1平面ABC，從而得出BC_LAB|；

(2)以。為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法得出平面AaB與平面BQf夾角的余

弦值.

【詳解】(1)存在，當BC為圓柱Oa的母線，BC1ABx.

連接BC,AC,4C,因為BC為圓柱Oa的母線，所以AC，平面ABC,

又因為BCu平面ABC,所以BC，BC.

因為48為圓。的直徑，所以8C±AC.

BCA.AC,B1CYBC,ACnBiC=C,所以8CJ,平面4?C,

因為Agu平面ABC,所以BCLAg.

(2)以。為原點，OA,OO∣分別為y,z軸,垂直于V*軸直線為X軸建立空間直角坐標系,

如圖所示.

A(0,1,2),Q(0,0,2),8(0,-1,0),

ZM

矛，:

/√*I\

/:尸一「…、、、'、

承二一一一也一一%

g,日,2,OlB=(0,-1,-2),

因為A片的長為所以NAoM=",與

66j

?4=［，^，0

\/

設平面。耳B的法向量機=(x,y,z),

-y-2z=0,

√3

,1√3令％=-3,解得y=百,Z=-------,

—x+——y=0,2

122

所以機=-3,

因為X軸垂直平面AQ8,所以設平面AOiB的法向量,=(ι,o,o).

cos(m,n

所以

所以平面AaB與平面BQJ3夾角的余弦值為氈I.

17

2,?

?,r,其左焦點為

21.已知桶圓C：7V=1(。>/?>0)經(jīng)過點K(-G,o).

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)橢圓C的右頂點為4若點P,。在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，，

證明：直線尸。過定點.

【正確答案】⑴立+>2=1；

4-

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)橢圓所過點和左焦點的坐標，列出關(guān)于a,6,c的方程組，解之可得；

(2)直線PQ的方程為y=h+m,設P(Xq1),。區(qū)，％)，直線方程代入橢圓方程后應用韋達

定理得x∣+ZJW，代入心PKO=，后化簡得相次的關(guān)系，此關(guān)系代入直線方程可得定點坐

標.

-311

-T7=?

a2*44b-

/=4

【詳解】(1)由題意可得C=G,解得

b2=I

a-2-,b2-=C2

2

橢圓方程為工+V=I；

4

(2)由(1)知A(2,0),

由已知直線ARA。斜率同號，因此直線尸。的斜率存在且不為0,設直線PQ的方程為

y=kx+m,設P(XI,y),。(私＞2)，

----1-?'~=1CCC

由“4"得(l+4Z~)jr+8攵〃a+4m--4=0,

y=kx+m

?=Mk2ιn1-4(1+4公)(4"/-4)>O,4?2÷1>m2，

4∕n2-4

由韋達定理得%+%=-言TNX2

1+4公

12

My2(fct∣÷tn)(kx2+ιri)kxxx2+lan(xl+x2)+m1

x1-2X2-2(x1-2)(X2-2)(XI-2)(X2-2)x1x2-2(XI+X2)÷420

8bn4/-4

Ax+x=-，xx=

121+4公121+4公

4攵2(4加2一4)-8公病+病(1+4公)?，整理得m=3左或m=-2k,

倚—W-4+16?W+4(1+4?2)

m=-2Z時，滿足4