特殊的平行四邊形-2023年中考數(shù)學一輪復習（全國通用）

考向25特殊的平行四邊形

【考點梳理】

L矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。

2.矩形的性質：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線互相平分且相等；矩形是軸對有兩稱圖形，即經過對邊

中點的兩條直線是對稱軸。（也是中心對稱圖形）

3.矩形判定定理：

①.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

②.對角線相等的平行四邊形是矩形。

.有三個角是直角的四邊形是矩形。

4菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

5.菱形的性質：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對

稱圖形，兩條對角線所在的直線是對稱軸。（也是中心對稱圖形）

6.菱形的判定定理：

①.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

C）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

?四條邊相等的四邊形是菱形。

7.S菱形=~ab（a、b為兩條對角線）=底X高

8.正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

9.正方形的性質：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

10.正方形判定定理：

（1）鄰邊相等的矩形是正方形。

（2）有一個角是直角的菱形是正方形。

或者先證一個四邊形是矩形，再證一個四邊形是菱形。反過來證也行

技巧、（D順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的中點四邊形是矩形；

（2）順次連接對角線互相等的四邊形四邊中點所得的中點四邊形是菱形。

【題型探究】

題型一：矩形的性質

1.（2023?廣東深圳??？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCZ）中，對角線4C與8。相交于點。，已知NACe=25。，則NAoB

C.50oD.250

2.（2022.廣東佛山.校考一模）如圖，在矩形438中，BC=I2,點E為Ao的中點，點F為Co邊上一點，DF=2,

將線段EF繞點E順時針旋轉90。得到點”恰好在線段BF上，過H作直線HW_LAD于點M,交Be于點N,

則CF的長為（）

C.6D.8

3.（2022.山東荷澤?統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形A8CO中，點E是BC邊上的點AE=3C,DFlAE,BE=2,EC=I,

2

垂足為F下列結論：①Z?AD尸絲Z?fi4B;?AF=EBi③。尸平分工AOC；④SinNCz）F=I其中正確的結論有

C.3個D.4個

題型二：矩形的判定

4.（2022.河南鄭州.鄭州外國語中學校考模擬預測）如圖，YABc。中的對角線AC,B。相交于點O,點E、F在BD

上，且BE=DF,連接AE,EC,CRE4,下列條件能判定四邊形AECF為矩形的是（）

D

A.BE=EOB.EO=-ACC.ACA.BED.AE=AF

2

5.（2022.湖北襄陽.統(tǒng)考中考真題）如圖,。ABCD的對角線AC和BD相交于點。，下列說法正確的是（)

B.若AC=B。，則CABCQ是菱形

C.若CM=O￡>,則□A8CO是菱形D.若AC_LB。，貝心4?CZ）是菱形

6.（2022.湖北恩施.統(tǒng)考中考真題）如圖,在四邊形ABC。中，ZA=ZB=90o,AZ)=10cm,8C=8cm,點尸從點O

出發(fā)，以ICm/s的速度向點4運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當其中一個動點到達端點

時，兩個動點同時停止運動.設點P的運動時間為f（單位：s）,下列結論正確的是（）

A.當r=4s時，四邊形ABMP為矩形

B.當f=5s時，四邊形CZ）PM為平行四邊形

C.當CD=HW時，z=4s

D.當CD=CW時，r=4s或6s

題型三：矩形的判定和性質綜合問題

7.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，菱形ABa）中，AC、8。相交于點0,過點B作且BE=OC,

連接CE.

D

（1）求證：四邊形OCEB是矩形;

3

(2)連接。E,當AB=5,SinNe48=M，求IanNBr)E的值.

8.（2022?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABC。中，AB=?5,BC=9,E是CO邊上一點（不與點C重合）,

作AFLBE于F,CGLBE于G,延長CG至點C，，使CG=CG,連接CF,AC：

（1）直接寫出圖中與AAFB相似的一個三角形；

（2）若四邊形AFeC是平行四邊形，求CE的長；

（3）當CE的長為多少時，以C，，F(xiàn),B為頂點的三角形是以C，F(xiàn)為腰的等腰三角形？

9.（2022?黑龍江佳木斯?統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCo的邊OC與X軸重合，與y軸重合,

BC=2,。是OC上一點，且0。，Z）C的長是一元二次方程V-5X+4=0的兩個根（OD>L>C）

（2）在線段AB上有一動點P（不與A、B重合），點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB方向勻速運動,

到終點B停止，設運動的時間為f秒，過P點作PE〃%）交A。于E,PF〃AD交BD于F,求四邊形Z）EPF的面

積S與時間/的函數(shù)關系式；

（3）在（2）的條件下，在點P運動的過程中，X軸上是否存在點Q,使以A、D、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若

存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.

題型四;菱形的性質

10.（2022?貴州銅仁??？寄M預測）如圖，菱形ABC。的面積為120cn√,正方形AEb的面積為50cn√,則菱形的

邊長是（）

A.13cmB.15cmC.17cmD.20cm

11.（2022?廣東佛山?校考三模）如圖，在平面直角坐標系XOy中，菱形AOBC的一個頂點。在坐標原點，一邊。8

在X軸的正半軸上，sinNAOB=^,反比例函數(shù)工三在第一象限內的圖象經過點A,與BC交于點F,則4。尸的

面積等于（）

A.30B.40C.60D.80

12.（2022?山東濟南??？家荒＃┤鐖D,菱形ABCQ的邊長為8,E、尸分別是AB、AO上的點，連接CE、CF、EF,

AC與EF相交于點G,若BE=AF=2,ZBAD=UOo,則FG的長為（）

一-D

二7

BC

A.巫B.√33

C.2D.—

題型五：菱形的判定

13.（2022?河南信陽?統(tǒng)考模擬預測）關于菱形的判定，以下說法不正確的是（）

A.兩組對邊分別平行且相等的四邊形是菱形B.四條邊相等的四邊形是菱形

C.對角線垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形

14.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，平移△4BC到△BOE的位置，且點。在邊AB的延長線上，連接EC,CD,

若AB=BC,那么在以下四個結論：①四邊形ABEC是平行四邊形；②四邊形EC是菱形；@AClDC；④。C平

分NBDE,正確的有（）

C.3個D.4個

15.（2022?河南南陽?統(tǒng)考一模）如圖（1）,點P從平行四邊形ABCO的頂點A出發(fā)，以ICm/s的速度沿A—8—C

一。路徑勻速運動到力點停止.圖（2）是△/?D的面積S（c∕）與運動時間心）之間的函數(shù)關系圖象.下列說法：①平

行四邊形ABCD是菱形；②S平行四邊形AB8=50C〃/；③BC上的高∕?c=10a”;④當"24s時，S=16α√.其中正確的

個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

題型六：菱形的判定和性質的綜合問題

16.（2022?北京海淀?中關村中學?？寄M預測）如圖，在-43C中，8。平分/ABC,3。的垂直平分線分別交A8,

BD,BC于點E,F,G,連接。E,DG.

（1）求證：四邊形BGDE是菱形；

⑵若NA8C=30。，NC=45°,ED=G,求CG的長.

17.（2023?山東泰安?新泰市實驗中學?？家荒＃┮阎?，如圖（1）在平行四邊形ABeZ）中，點E,尸分別在BC,CD

上，且AE=AF,ZAEC=ZAFC.

（1）求證：四邊形ABCO是菱形.

（2）如圖（2）,若AD=AT,延長AE,OC交于點G,求證：AF2=AGDF.

（3）在第（2）小題的條件下，連接80,交AG于點H,若HE=4,EG=I2,求A”的長.

題型七：正方形的性質

18.（2023,廣東深圳??？家荒＃┤鐖D，已知正方形ABCO的邊長為4,E是AB邊延長線上一點，BE=2,尸是AB

邊上一點，將△CEF沿CF翻折，使點E的對應點G落在Ao邊上，連接EG交折痕CF于點H,則在H的長是（）

C.1d?T

19.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，正方形ABCr）的邊長為2,點E、尸分別為邊A。、BC上的點，點GH

分別為邊A8、Co上的點，線段G”與E尸的夾角為45。，GH=2叵.則EF=（）

3

AYb??c?￥DY

20.（2022?湖北省直轄縣級單位??？级＃┤鐖D，已知正方形A8C。的邊長為“，E為C。邊上一點（不與端點重

合），將Δ4OE沿AE翻折至A4FE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.則下列給出的判斷：①NE4G=45。；

②若CE=%，則tanNGFC=2;③若E為8的中點，則GFC的面積為\"；④若CF=FG,則OE=（√Σ-l）α,

)

B.①②④C.②③④D.①?@④

題型八：正方形的判定

21.（2022秋?九年級課時練習）四邊形ABCC的對角線AC、BO相交于點O,AD∕∕BC,AD=BC,使四邊形ABCo

為正方形，下列條件中：?AC=HD；②AB=AD；③AB=C￡＞；?ACVBD.需要滿足（）

A.①②B.②③C.②④D.①②或①④

22.（2021?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模）已知，在□ABC。中，NBAC=90。，AC的中點為。，點E,F是對邊BC,AD±.

的點，則下列判斷不正確的是（）

B.當AE=C/時，四邊形AEb是平行四邊形

C.當AE_LBC,EF經過點。時，四邊形AECU是矩形

D.當E,尸是8C,A。的中點，且EF=Ae時，四邊形AEC尸是正方形

23.（2022秋?遼寧遼陽?九年級校考階段練習）如圖，以ABC的三邊為邊分別作等邊ACD.ABE,ABCF,

則下列結論正確的是（）

A..EBFADFC

B.四邊形ADFE為矩形

C.四邊形ADFE為菱形

D.當AB=AC,NBAC=120。時，四邊形Ar)FE是正方形

24.(2022.廣東東莞?可園中學校考一模)如圖1,YABCD的邊長A8=5,對角線AC平分-8s，點E從A點出

發(fā)沿AB方向以1個單位/秒的速度運動，點F從C點出發(fā)沿C4方向以2個單位/秒的速度運動，其中一點到達終

點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為r秒.

圖1圖2

(1)求證：四邊形ABa)是菱形；

(2)若對角線BD=6,當f為多少秒時，AAE尸為等腰三角形；

(3)如圖2,若NBA。=60。，點G是。E是中點，作G4,DE交AC于H.點E在48邊上運動過程中，線段G”存

在最小值，請你直接寫出這個最小值.

題型九：正方形的性質和判定綜合

25.(2022?四川德陽?模擬預測)已知：四邊形A8C。是正方形，點E在CO邊上，點F在Ao邊上，且/3=Z)E.

(1)如圖1,AE與SF有怎樣的關系.寫出你的結果，并加以證明;

(2)如圖2,對角線AC與8。交于點0.BD,AC分別與HE,BF交于點G,點H.

①求證：OG=OH-,

②連接OP,若AP=4,OP=近,求AB的長.

26.(2022?吉林長春?統(tǒng)考模擬預測)在四邊形ABCD中，AB^AD=?,Z5=ZD=90。，點E為BC上一點(不與點

3,點C重合)，連接4E,將，A8E沿AE翻折得到，ABE,延長EB'交CD于點F.

(1)如圖①，當NC=9O。時，四邊形ABCo的形狀為；

(2)在(1)的條件下，隨著點E位置的變化，ACEF的周長是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求

出它的值：

(3)如圖②，當NC=60。時，請直接寫出ACEF的周長.

27.(2022?貴州黔西?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在正方形ABCO中，E,尸分別是BC,8邊上的點(點E不與點8,

C重合)，且ZEAF=45。.

(1)當8E=Z)F時，求證：AE=AFi

(2)猜想BE,EF,三條線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(3)如圖2,連接AC,G是C8延長線上一點，6〃，4萬，垂足為乂交4(7于點"且6"=4￡.若"'=。，CH=b,

請用含m6的代數(shù)式表示EF的長.

題型十：特殊平行四邊形的綜合

28.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCO中，AB=6,BC=IO,E是AB上一點，BE=2.F是BC上

HF

的動點，連接EF,H是CF上一點且==無（&為常數(shù)，Z≠0）,分別過點尸，H作EF,BC的垂線，交點為G.設

CF

M的長為*,G”的長為y.

⑵若％=ι時，求y的最大值.

（3）在點尸從點B到點C的整個運動過程中，若線段AO上存在唯一的一點G,求此時人的值.

29.（2023?江蘇徐州?徐州市第十三中學校考一模）如圖，矩形ABs中，A8=6.3C=8,點E是CO的中點，P是

射線DA上一點，延長EP交直線AB于F，過戶作PGLEE,分別交射線CB、直線A3于G、H.

②點P在AD上取不同位置，力的值是否變化？若不變，求出它的值，若改變，請說明理由;

PG

（2）連接FG,當APFG是等腰直角三角形時，求尸。的長；

（3）直接寫出CG的最小值.

30.（2023?山東泰安?東平縣實驗中學校考二模）在正方形ABCO中，E是邊8上一點（點E不與點C、。重合）,

連結BE.

DAGDGD

感知：如圖①，過點A作A∕<LβE交BC于點求證二AfiFmBCE.

探究：如圖②，取BE的中點M,過點M作FGLBE交BC于點F,交Ao于點G.

（1）求證：BE=FG.

（2）連結CM,若CN=I,求尸G的長.

應用如圖③，取8E的中點M,連結CM.過點C作。6,85交4。于點6,連結EG、MG.若CM=3,求四邊

形GMCE的面積.

【必刷基礎】

一、單選題

31.（2023?四川成都?統(tǒng)考一模）下列說法中，正確的是（）

A.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

32.（2023?云南?校考一模）如圖，菱形45CD對角線交點與坐標原點。重合，點A（T,10）,則點C的坐標是（）

A.(IoT)B.(4,-10)C.(4,10)D.(T,T0)

33.（2023?山東棗莊?校考模擬預測）如圖所示,正方形ABC。的面積為12,&ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCZ）

內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

AD

A.4百B.2√3C.√6D.√3

34.（2023?河南??？寄M預測）如圖，菱形ABCD的對角線AC,8。相交于。點，E,F分別是AB,BC邊的中

點，連接EF.若EF=氐BD=A,則菱形ABC。的周長為（）

A.4B.?C.4√7D.28

35.（2022?江蘇無錫?模擬預測）如圖，D、E、尸分別是√1BC各邊中點，則以下說法中不正確的是（）

A.△友組和：。CF的面積相等B.四邊形AaF是平行四邊形

C.若NA=90。，則四邊形A互＞尸是矩形D.若AB=BC,則四邊形A皮歷'是菱形

36.（2022?廣東佛山.?？家荒＃┤鐖D，點E,F,G,H分別為四邊形ABCQ四條邊AB,BC,CD,D4的中點，則

關于四邊形E尸GH,下列說法正確的是（）

A.不一定是平行四邊形B.當4C=BO時，它為菱形

C.一定是軸對稱圖形D.不一定是中心對稱圖形

37.（2023?廣東江門?江門市華僑中學?？家荒＃┤鐖D，己知四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點O,。是的

中點，E,尸是Bz）上的點，且BE=DF,AF//CE.

AD

O

⑴求證；OEC會.OFA；

(2)若。A=OB,求證：四邊形48CC是矩形.

38.(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)如圖，在RtABEZ)中，ZBDE=90°,點0、C分別是3。、8E邊的中點.過點。

作49BE交Co的延長線于點A,連接力8、CD.

(1)求證：四邊形ABS是菱形；

⑵若Aβ=5,AC=6,求Z?6Z)E的面積.

39.(2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學?？家荒?如圖(1),已知正方形ABcD,對角線AC、Q交于點。，點

E是線段上的點，以AE為邊作等邊AAEF(點/在點E上方)，連接CECF、DF.

⑴求NACF的度數(shù)：

(2)如圖(2),當成〃CZ)時，設AD分別交CREF于點、G、H.

①求證：?ADF^ΛCDE-

PP

②求行的值

FG

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

40.(2022?湖北省直轄縣級單位??？级?如圖，矩形ABC。的邊CO上有一點E,ZDAE=22.5°,EF1AB,垂

足為凡將aAEF繞著點尸順時針旋轉，使得點A的對應點M落在E尸上，點E恰好落在點B處，連接BE.下

列結論：①3M,ΛE；②四邊形EmC是正方形；③4EBΛ∕=30°；④SBg邊形βcβw:SVBFM=Q√2+l)：1.其中結

論正確的序號是()

DE

A.①②B.Φ?③C.①②④D.③④

41.（2022?遼寧營口??？寄M預測）如圖，在正方形ABcD中，E是BC邊上的一點，BE=4,EC=8,將正方形

邊AB沿AE折疊到AF,延長EF交DC于G,連接AG,FC,現(xiàn)在有如下4個結論：①NE4G=45°;②FG=FC；

③FC"AG；④SA,。=14.其中正確結論的個數(shù)是（)

C.3D.4

42.（2022?內蒙古包頭?模擬預測）如圖，在正方形ABcO中，E是對角線8。上一?點，且滿足B￡=">,連接CE并

延長交Ao于點F,連接4E,過B點作BG_LAE于點G,延長BG交A。于點H.在下列結論中：?AH=DF;

②ZAEF=45。；③SIM形EFHG=S即+S匐”；④5〃平分/ABE?其中不正確的結論有（）

C.3個D.4個

43.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在正方形ABCq中，AB=BAB與直線/所夾銳角為60,延長CBl交

直線/于點A，作正方形ABCIB2，延長G4交直線/于點為，作正方形4與6鳥，延長C/3交直線/于點4,作正

方形AJ3C∕4…，依次規(guī)律，則線段4gA2g=（）

.4：.4;<4

/z-?20l9/L'2020/∣-?2O2l/r-?2Q22

?2、圖≡2停C.2俘O,2×[4J

二、解答題

44.(2023?湖南衡陽?衡陽市華新實驗中學?？家荒?已知：如圖，矩形ABC。中和RtZ?E8尸中，點C在8尸上，

/￡BF=90。，AB=BF=Scm,AD=BE=6cm,連接8￡>,點例從點。出發(fā)，沿。B方向勻速運動，速度為ICm∕s,

同時，點N從點E出發(fā)，沿E戶方向勻速運動，速度為ICm∕s,過點M作GH_LAB交AB于點H,交8于點G.設

運動時間t(s)為(0<t<10).

解答下列問題：

⑴當/為何值時，MF工BD?

⑵連接MN,作NQ工BE交BE于Q,當四邊形“"QN為矩形時，求，的值：

⑶連接NC,NH,設四邊形NCG”的面積為S(CmD,求S與f的函數(shù)關系式.

45.(2023?湖南湘潭?湘潭縣云龍中學?？家荒?如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點。落在對角線上的點E處.過

點E作EG〃CD交所于點G,連接￡>G.

(1)判斷四邊形EEDG的形狀，并說明理由；

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關系，并說明理由:

(3)若GF=2,DF=2√3,求AG的長.

46.(2023?陜西西安??？家荒?(1)如圖1,A的半徑為2,AB=5,點P為A上任意一點，則B尸的最小值為

（2）如圖2,已知矩形438,點E為AB上方一點，連接AE,BE,作EFLAS于點F,點尸是的內心,

求/BPE'的度數(shù).

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AP,CP,若矩形的邊長AB=6,BC=A,BE=BA,求此時CP的最小值.

三、填空題

47.（2023?山東東營?校考一模）如圖，在邊長為4的菱形A8C3中，ZA=60o,M是Ao邊上的一點，且

4

N是48邊上的一動點，將AMN沿MN所在直線翻折得到ZVTMN,連接A'C,則AC長度的最小值是

48.（2023?山東泰安??？家荒＃┤鐖D，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（8,0）,點C的坐標為（0,4）,把矩形OABC

沿OB折疊，點C落在點。處，則點。的坐標為.

49.（2023?江蘇徐州?徐州市第十三中學?？家荒＃┤鐖D，在菱形ABa）中，M、N分別為48、AC的中點，若MN=2,

則菱形ABCD的周長為.

50.（2023?山東泰安?新泰市實驗中學?？家荒＃┮阎庑蜛8C。的邊長為1,ZZMS=60o,E為A。上的動點，F(xiàn)

在CD上，且AE+C尸=1,設ΔBEF的面積為V,AE=x,當點E運動時，則V與X的函數(shù)關系式是

51.（2023?山東泰安?新泰市實驗中學校考一模）如圖，把一個矩形紙片。ABC放入平面直角坐標系中，使。4OC

分別落在X軸，y軸上，連接。8,將紙片OABe沿OB翻折，點A落在點H位置，若08=6，tan/BOC=；,直線

52.（2023?山東泰安?新泰市實驗中學?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OABC的兩邊在

坐標軸上，以它的對角線。與為邊作正方形。與孫今，再以正方形。8也6的對角線。與為邊作正方形OBEC3,以

此類推…、則正方形。825/239639的頂點B刈9的坐標是

53.（2023?浙江寧波??？家荒＃┤鐖D，正方形ABC。中，P為邊A短上一點，點E與B關于直線CP對稱，射線EO

與C尸的延長線相交于點足若AE>=4PE>,EF=I6近,則Be的長為.

BC

54.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形ABCO中，E為邊AB上一點,,將VAr）E沿OE折疊，使點A的對

應點尸恰好落在邊BC上，連接AF交OE于點G.若BF?AD12,則AF的長度為—

參考答案：

1.C

【分析】根據矩形的性質，等腰三角形的性質以及三角形外角的性質，即可求解.

【詳解】解：?.?矩形ABa)的對角線AC,BQ相交于點0,

ΛOA=OC=-AC,OB=OD=-BD,AC=BD,

22

/.OB=OC,

：.NoBC=ZACB=25。,

：.ZAoB=NoBC+ZACB=25O+25°=50°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，等腰三角形的性質以及三角形外角的性質，熟練掌握

矩形的性質是解題的關鍵.

2.C

【分析】過H點作MNlA則MN〃CD,設B=x?先證明..MEH注。EE(AAS),則

ME=DF=2,MH=DE=6,得至IJ例=x+2-6=x-4,則BN=AM=6—2=4,證明

BNHSBCF,即可得到答案.

【詳解】解：過H點、作MN上AD,則MN〃CO,設Cr=L

VAB=CD=DF+CF=2+x,BC=12,E為邊AO的中點,

：.AE=ED=6,

?//FEH=90。

；?ZMEH+NDEF=90。,

ZDEF+NDFE=90°,

：?ZMEH=ZDFE9

在JWEH和△。尸E中，

NMEH=/DFE

<NEMH=ND=90。,

EH=EF

：..MEH^iDFE(AAS)1

???ME=DF=2,MH=DE=6,

：.HN=x+2-6=x-4,

.*.BN=AM=6-2=4,

9：NH∕∕CF,

：?BNHSSBCF,

.BNHN4x-4

??-----=------，即ππ—=----

BCCF12X

解得x=6,

???C》的長是6,

故選：C.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、矩形的性質、旋

轉的性質等知識，熟練掌握相似三角形和全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

3.B

【分析】根據矩形的性質證明EΛB^ΛADFf/CDF=ZAEB,利用勾股定理求出AB,

然后逐一進行判斷即可解決問題.

【詳解】解：四邊形ABCQ是矩形，

：.AD=BC,AD/7BC,IB90?,

BE=2,EC=I,

?,???==BC=3,=?/AE2—BE2=?/?，

AD?BC,

.?ZDAF=ZAEB,

DFLAE,

??.NAFQ=NB=90。，

.?^EAB^ΛADF9

.?.AF=BE=2,DF=AB=后,故①②正確，

不妨設。尸平分NAOC,則F是等腰直角三角形，這個顯然不可能，故③錯誤，

ADAF+ZADF=9Qo,NCDF+ZADF=90。,

:.ΛDAF=ACDF,

:.ΛCDF=ZAEB9

SinNCDF=SinNAEB=—,故④錯誤，

3

正確的結論有①②共2個.

故選：B.

【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、解直角三角形、勾股定理、銳角

三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.B

【分析】先證四邊形AEb是平行四邊形，再根據矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項

進行推理論證即可.

【詳解】解：四邊形43CO是平行四邊形，

.-.OA=OC=-AC,OB=OD,

2

BE=DF,

..OB-BE=OD-DF,即OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

A、BE=EO時,不能判定四邊形AEb為矩形；故選項不符合題意；

B、Eo=JAC時，EF=AC,

2

四邊形AEb為矩形；故選項符合題意；

C、ACLBE時，四邊形AEC尸為菱形；故選項不符合題意；

D、AE=AF時，四邊形AEcF為菱形；故選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的判定與性質等知識；熟練掌

握矩形的判定和菱形的判定是解題的關鍵.

5.D

［分析］由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【詳解】解：A、Y四邊形ABeZ）是平行四邊形，

：.OB=OD,故選項A不符合題意；

B、；四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD,

.?.□ABC。是矩形，故選項B不符合題意；

C、?.?四邊形ABCQ是平行四邊形，

.?OA=OC=AC,OB=OD=gBD,

OA=OD,

：.AC=BD,

.?.□ABC。是矩形，故選項C不符合題意；

D、?.?四邊形ABC。是平行四邊形，ACLBD,

：.-ABCD是菱形，故選項D符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質，熟練掌握菱形的判定

和矩形的判定是解題的關鍵.

6.D

【分析】計算”和BM的長,得到判斷選項A；計算PD和CM的長,得到PD≠CM,

判斷選項B；按PM=CD,且PM與CZ)不平行，或PM=CZ),且PM〃C。分類討論判斷選

項C和D.

【詳解】解：由題意得尸Q=f,AP=AD-PD=IO-I,BM=t,CM=S-t,NA=NB=90°,

A、當∕=4s時?，AP=10-/=6cm,BM=4cm,AP≠BM,則四邊形4BMP不是矩形，該選項不符

合題意；

B、當∕=5s時，PD=5cm,CM=8-5=3cm,PD≠CM,則四邊形CDPM不是平行四邊形，該

選項不符合題意；

作C于點E,則NeEA=NA=NB=90。，

???四邊形ABCE是矩形，

.*.BC=AE=Scm,

DE=2cm,

當PM=CD,且PM與CO不平行時，作M尸，4。于點尸，CEL4D于點E,

，四邊形CEFM是矩形，

：.FM=CE-,

,RtAPFM取RtADEC(HL),

：.PF=DE=2,EF=CM=8-t,

ΛAP=10-4-(8√)=10√,

解得t=6s；

當PM=CD,且尸M〃CO時?，

???四邊形CQPM是平行四邊形，

IDP=CM,

.*.z=8√,

解得t=4s；

綜上，當PM=C。時，U4s或6s；選項C不符合題意；選項D符合題意；

故選：D.

【點睛】此題重點考查矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是正確地

作出解題所需要的輔助線，應注意分類討論，求出所有符合條件的f的值.

7.⑴見解析

*

【分析】(1)證ACBE,再證四邊形OCEB是平行四邊形，然后由NQBE=90°即可得出

結論；

(2)由銳角三角函數(shù)定義得OB=3,則BD=2OB=6,再由勾股定理得OC=。4=4,然

后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結論.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCO是菱形，

.?.AC±BD,

.-.ZDOC=90°,

BEA.BD,

NOBE=NDoC=90°,

.-.AC//BE,

BE=OC,

四邊形OcEB是平行四邊形，

又NoBE=90°,

平行四邊形OCEB是矩形；

(2)解:如圖,

D

四邊形ABCo是菱形，

:.OA=OC1OB=ODfAClBDf

在Rt∕?A08中，AB=5?SinNCA6=-=,

5AB

...0B=3,

.?.BD=2OB=6,

.?OC=OA=y∣AB2-OB2=√52-32=4,

由（1）可知，四邊形OeEB是矩形，

.?.Z0BE=90o,BE=OC=4,

BE42

ImZBDE=——=-=

BD63

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的性質、銳角三角

函數(shù)定義、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質和菱形的性質是解題的關鍵.

8.⑴答案不唯一，如"FBszXBCE

（2）CE=7.5

（3）當CE的長為長為蓑或3時，以C,F,8為頂點的三角形是以C4為腰的等腰三角形

【分析】（1）因為AAFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三個直

角三角形和AAFB相似，解答時任意寫出一個即可；

ApARAp,15S

（2）根據AAFBS∕J5GC,得訴=黑，即0=9=9,設A尸=5x,BG=3x,根據

D（JOCDCJ93

&AFBs∕?BCEs∕?BGC,列比例式可得CE的長：

（3）分兩種情況：①當CF=BC時，如圖2,②當C尸=B尸時，如圖3,根據三角形相似

列比例式可得結論.

【詳解】（1）解：（任意回答一個即可）；

①如圖1,?AFB^?BCE,理由如下：

圖1

???四邊形ABCD是矩形,

o

：.DC//AB9ZBCE=ZABC=90f

：.ABEC=ZABF,

λ:AFLBE,

：.NAFB=90。,

/.NAFB=NBCE=90。,

.*.AAFBs∕?BCE;

②XAFBsXCGE,理由如下:

?；CGtBE,

.?.ZCGE=90o,

：.ZCGE=ZAFB9

?：/CEG=NABF,

：.XAFBsRCGE-

③XXFBsXBGC,理由如下:

'."ZABF+ZCBG=ZCBG+ZBCG=90°,

.*.NABF=NBCG,

o

'：ZAFB=ZCGB=90f

：.AAFBs^BGa

(2)Y四邊形AfrC是平行四邊形,

：.AF=CC9

由（1）知：2AFBsABGC,

.AFAB,即這3二,

~BG~~BCBG93

設A∕7=5x,BG=3x,

：.CC=AF=Sx9

?：CG=CG

,CG=CG=2.5%,

β.?AAFBSdBCES∕?BGC,

.CGCE2.5xCE

??=，艮ππIJ—-

BGBC3x9

.?CE=7.5;

（3）分兩種情況：

①當C/=Be時，如圖2,

圖2

VCGlBE,

IBG=GF,

VCG=CG,

???四邊形8CR7是菱形，

ICF=CB=O,

由（2）知：設A/=5x,BG=3x,

.*.BF=6x,

YXAFBsRBCE,

.AFBF5x6x

??=，πLπJ=,

BCCE9CE

.5x9

??CE-?-；

②當CF=B尸時，如圖3,

圖3

由（1）知：“FBsABGC,

.ABBF\5_5

"SC-CG-T-3'

設BF=5a,CG=3a9

.?.CF=5a,

?：CG=CG,BELCC9

：?CF=CF=5cι,

22

；?FG=y∣CF-CG=4tz,

.CE=3a

??94g+5α'

.?.CE=3;

綜上，當CE的長為長為日或3時，以C，，F(xiàn),8為頂點的三角形是以C尸為腰的等腰三角

形.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質，菱形的判定和性質，相似三角形

的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題，屬于中考壓軸題.

9.(1)4,5,2√5;

9

Q)S.形DEPF=-V+2t(0<r<5);

3

⑶(5,0)或(4+2"θ).

【分析】(1)解出方程，求出O。、OC的長，再根據勾股定理求4。的長：

(2)通過AD、80、AB的長證明AABD是直角三角形，NAOB是直角，可證明四邊形DEP尸

是矩形，面積等于PEPE,通過相似三角形對應線段成比例，求出PE、PF用/表示的長

度，根據面積公式即可求出S與/的關系式；

(3)區(qū)分A。是菱形的邊和是菱形的長兩種情況，分別求出，的值，從而求出OQ的長度，

即可以確定點。的坐標.

(?)

解方程必-5x+4=0

因式分解得(XT(X-4)=0

解得41或戶4,

OD,OC的長是一元二次方程--5χ+4=0的兩個根且OD>QC,

.?.0D=4,DC=I,

：.OC=OD+DC=4+↑=5,

四邊形ABCO是矩形，BC=2,

：.AO=BC=2,

?^?AD=y∣AO2+OD2=√22+42=2√5，

所以線段0。長為4,OC長為5,Ao長為26；

(2)

■：DC=\,BC=2,OC=5,AD=2非,四邊形ABC。是矩形,

.?.AB=0C=5,

；?BD=-JDC2+BC2=√l2+22=√5，

AD2+BD2=(2√5)2+(√5)2=25=AB2,

...△AOB是直角三角形，ZADB=90o,

VPE//BD,PF//AD,

/.四邊形OE尸尸是平行四邊形，

,.?ZΛDB=90o,

四邊形OEP尸是矩形，

.EPAPPFPB

S座"DEPF=PEPF,

'~DB~~AB~AD~~?B

根據題意，AP=t,則PB=5-t,

2石=乎(5—),

：.PE=-×DB=-×45=-t,*條39

AB55

；?S西邊/DEPF=PE?PF=冬上梟5-t)=-g+2t,

：點尸在AB上，且不與A、B重合,

Λ0<∕<5,

7

四邊形DEPF的面積S與時間f的函數(shù)關系式為SM9OEPF=-/+2/(0<r<5);

(3)

根據題意，有AD是對角線和AD是邊兩種可能,

①若4。是對角線，則四邊形APDQ是菱形，

AP-PD=DQ=AQ=t,

0Q=0D-DQ=4-t,

?..AQ2=AO2+OQ2=22+(4-/)2=t2,

解得f=|;

53

O(2=4-∕=4-∣=∣,

???點Q的坐標為（；，0）,

②若AZ）是邊，則四邊形AP。。是菱形,

AP=PQ=QD=AD=t,

??t=AD=2亞，

/.OQ=OD+DQ=4+t=4+2yf5,

點Q的坐標為（4+2"θ）.

【點睛】本題考查數(shù)形結合，解題關鍵是對矩形、菱形、勾股定理和相似三角形等相關知識

靈活運用.

10.A

【分析】根據正方形的面積可用對角線進行計算解答即可.

【詳解】解：如圖所示，連接8D,EF,AC,線段BD和AC的交點為O,

因為四邊形A8C。是菱形，

所以點O是AC和8。的中點，

因為四邊形AEC尸是正方形，

所以點。也是E尸的中點，

所以線段82EF,AC交于一點O,

因為正方形AECF的面積為50cπ√,

所以AC=√2×50=IOcm,

因為菱形ABeO的面積為120cnf,

所以B。=—^=24Cm,

所以菱形的邊長==13cm.

故選:A.

【點睛】此題考查正方形的性質，關鍵是根據正方形和菱形的面積進行解答.

H.B

【分析】過點A作AMLX軸于點M,設Q4=",通過解直角三角形找出點A的坐標，結合

反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征即可求出”的值，再根據四邊形QAC8是菱形、點廠在邊BC

上，即可得出5,8=gs菱形（MCA,結合菱形的面積公式即可得出結論.

【j詳解】?解：過點A作AAf_LX軸于點M,如圖所示.設OA=