河北省衡水中學2018-2019學年高三年級上學期四調考試數(shù)學（理）試卷

2018—2019學年河北省衡水中學高三年級上學期四調考試數(shù)學（理）試題此卷此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數(shù)學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題1．下列命題正確的個數(shù)為①梯形一定是平面圖形；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.A．0B．1C．2D．32．已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{anA．52B．3C．72D3．已知雙曲線my2-A．y=±3xB．y=±3xC．y=±14．如圖，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點C，再由點C沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點B，則它可以爬行的不同的最短路徑有A．40條B．60條C．80條D．120條5．函數(shù)f(x)=xA． B．C． D．6．若tan(xA．-2B．2C．34D．7．某縣教育局招聘了8名小學教師，其中3名語文教師，3名數(shù)學教師，2名全科教師，需要分配到A,B兩個學校任教，其中每個學校都需要2名語文教師和2名數(shù)學教師，則分配方案種數(shù)為A．72B．56C．57D．638．一個簡單幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A．96π+36B．72π+48C．48π+96D．24π+489．已知函數(shù)f(x)=cosA．y=f(x)的圖象關于點(π,0)中心對稱B．y=f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)C．y=f(x)的圖象關于直線x=πD．y=f(x)的最大值為310．如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成，該封閉幾何體內部放入一個小圓柱體，且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為A．2000π9B．4000π27C．81πD11．已知y2=4x的準線交x軸于點Q，焦點為F，過Q且斜率大于0的直線交y2=4x于A,BA．476B．473C12．已知fx=x2,x≤0A．0,ln22∪C．e-1,+∞D．ln二、解答題13．數(shù)列{an}滿足a1=6，（1）求證：數(shù)列{1（2）求數(shù)列{lgan}14．在四棱錐P-ABCD，AB//CD，∠ABC=900,BC=CD=PD=2，AB=4,PA⊥BD，平面PBC⊥平面PCD，M,N分別是（1）證明：PD⊥平面ABCD；（2）求MN與平面PDA所成角的正弦值.15．在ΔABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知b2（1）求角A的大小；（2）若ΔABC的面積SΔABC=253416．如圖，直線AQ⊥平面α，直線AQ⊥平行四邊形，四棱錐的頂點P在平面α上，AB=7，AD=3，AD⊥DB，AC∩BD=O,OP//AQ,AQ=2，M,N分別是AQ與CD的中點.（1）求證：MN//平面QBC；（2）求二面角M-CB-Q的余弦值.17．如圖，橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2，離心率為32，過拋物線C2：x2=4by焦點F的直線交拋物線于M,N兩點，當|MF|=74時，M點在x軸上的射影為F1（1）求橢圓C1和拋物線C（2）求λ的取值范圍.18．已知函數(shù)f(x)=ax32-（1）求實數(shù)a的值；（2）令g(x)=|f(x)+f'(x)|，若存在不相等的兩個實數(shù)x1,x2滿足三、填空題19．已知向量m,n夾角為600，且|m|=120．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=21．某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.22．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，ΔABC為正三角形，外接球表面積為12π，則三棱錐P-ABC的體積VP-ABC的最大值為2018—2019學年河北省衡水中學高三年級上學期四調考試數(shù)學（理）試題數(shù)學答案參考答案1．C【解析】分析：逐一判斷每個命題的真假，得到正確命題的個數(shù).詳解：對于①，由于兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可以確定一個平面，所以該命題是真命題；對于②，兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行或異面或相交，所以該命題是假命題；對于③，兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面，是真命題；對于④，如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，所以該命題是假命題.故答案為：C.點睛：(1)本題主要考查空間直線平面的位置關系，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和空間想象能力.(2)對于類似這種空間直線平面位置關系的命題的判斷，一般可以利用舉反例的方法和直接證明法,大家要靈活選擇方法判斷.2．C【解析】【分析】利用等差數(shù)列前n項和公式，代入S8=4S4即可求出【詳解】∵{an}是公差為1∴8解得a1=12【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式的運用，是基礎題。3．A【解析】【分析】先求出拋物線的焦點，進而知道雙曲線的一個焦點，從而求出m，和雙曲線的漸近線?！驹斀狻俊邟佄锞€x2=8y∴雙曲線的一個焦點為(0,2)，∴1m∴雙曲線的漸近線方程為y=±所以A選項是正確的.【點睛】本題考查了雙曲線和拋物線的標準方程及幾何性質，是基礎題。4．B【解析】試題分析：螞蟻從A到C需要走五段路，其中三縱二豎，共有C52=10條路徑，從C到B共有3×2=6條路徑，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可知，螞蟻從A到B可以爬行的不同的最短路徑有考點：分步計數(shù)乘法原理.5．B【解析】f(x)=x2-f(-x)=則f(x)是偶函數(shù)又f故選B6．C【解析】【分析】將題干所給等式利用兩角和差的正切公式展開，然后利用二倍角的正切公式求出tanx【詳解】tan(x2+π4)+tan(x2-π【點睛】考查了三角函數(shù)公式的運用以及計算能力。7．A【解析】【分析】先將兩個全科老師分給語文和數(shù)學各一個，再將新組成的語文老師和數(shù)學老師分給兩個學校?！驹斀狻肯葘蓚€全科老師分給語文和數(shù)學各一個，有C21種，然后將新的4個語文老師分給兩個學校C32A22種，同樣的方法將新的4【點睛】排列組合中多面手問題，要優(yōu)先考慮多面手。8．D【解析】【分析】該幾何體是由兩部分組成的，左半部分是四分之一圓錐，右半部分是三棱錐，運用錐體體積公式可以求解.?！驹斀狻吭搸缀误w是由左右兩部分組成的錐體，左半部分是四分之一圓錐，其體積V左=14×13π?62×8=【點睛】本題考查了組合體的三視圖問題，以及錐體體積公式，需要平常多強化空間想象能力。9．C【解析】試題分析：對于A中，因為f(π+x)=cos則f(π-x)=cos(π-x)sin2(π-x)=cosxsin2x，所以f(π+x)+f(π-x)=0，可得y=f(x)=sinxsin2x，f(π2-x)=cos(π2-x)=2sinx(1-sin2x)g'(t)=2-6t2=2(1+3t)(1-3t)，所以當t∈(-1,-33)或t∈(33,1)時，g'(t)<0，函數(shù)g(t)為減函數(shù)；當t∈(-33,33)時，g'(t)>0，函數(shù)g(t)為增函數(shù)，因此函數(shù)g(t)的最大值為t=-1或t=33時的函數(shù)值，結合考點：三角函數(shù)的圖象與性質.【方法點晴】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質及三角函數(shù)的最值問題，其中解答中涉及到三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)的奇偶性、三角函數(shù)的單調性和周期性等知識點的綜合考查，著重考查了三角恒等變換公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的圖象的對稱性等知識，體現(xiàn)了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.10．B【解析】【分析】小圓柱的底面半徑為r(0<r<5)，小圓柱的高分為2部分，上半部分在大圓柱內為5，下半部分深入半球內為h(0<h<5)，由于下半部分截面r,h,和球的半徑構成直角三角形，即r2+h【詳解】小圓柱的高分為上下兩部分，上部分同大圓柱一樣為5，下部分深入底部半球內設為h(0<h<5)，小圓柱的底面半徑設為r(0<r<5)，由于r,h,和球的半徑構成直角三角形，即r2+h2=52，所以小圓柱體積V=πr2h+5=π25-h2h+5，(0<h<5)，求導V'=-π（3h-5）(h+5)【點睛】先由幾何關系找出體積表達式，再通過導數(shù)求最值是本題的關鍵。11．B【解析】【分析】首先設出A,B兩點坐標，又A,B,Q三點共線，可以找出其坐標間的關系，然后利用∠AFB=600可以用余弦定理列出關系式，進而求出A,B兩點坐標，即可求出弦長【詳解】設A(x1,2因為kQA=kQB，即|AB|2=(x代入余弦定理|AB|x1+x2=103|AB|=(x【點睛】圓錐曲線題目要注意題中幾何關系，利用余弦定理是解決本題的關鍵。12．D【解析】【分析】由于分段函數(shù)f(x)是減函數(shù)，從而知道當x>0時，f(x)=-x(e1-x+ax2-a)為減函數(shù)，此時導函數(shù)f'(x)≤0恒成立，從而求出a=1。再由于y=f(x)+bx有三個零點，也就是函數(shù)y=f(x)【詳解】當x>0，f(x)=-x(e可得x>0時當0<x<1，e1-x-a≥0恒成立，可得a≤e1-x，而當x≥1，e1-x-a≤0恒成立，可得a≥e1-x，而故a=1.由題意知：y=f(x)與y=-bx圖象有三個交點，當-b≥0時，只有一個交點，不合題意，當-b<0時，由題意知，x=-b和x=0為兩個圖象交點，只需y=f(x)+bx在(0,+∞)有唯一零點。x>0時，f(x)=-bx，即b=e令g(x)=e1-x+x2-1，g'(x)=-所以x∈0,1+ln2時，g'xg(x)minx→0時，g(x)→e-1，x→+∞時，g(x)→+∞，所以要使b=e1-x+只需b=ln22故選D.【點睛】零點問題是近年高考中?？碱}型，常常轉化為構造兩個函數(shù)交點問題，利用數(shù)形結合也是常見的方法。13．（1）見解析；（2）n【解析】【分析】（1）方程兩邊減3后，取倒數(shù)可化簡得1an+1-3-1a【詳解】（1）數(shù)列an滿足：a1=6，a1an+1-3=所以，1a即，數(shù)列1an-3是以1（2）由（1）得1an+1-3所以，lg于是，T【點睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的定義通項公式、對數(shù)的運算及相加相消求和，屬于中檔題.14．（1）見解析（2）10【解析】【分析】（1）要證明直線PD⊥平面ABCD，只需要證明直線PD與平面ABCD內兩條相交直線都垂直，通過題中條件分析證明PD分別垂直于BD和BC即可。（2）建立空間直角坐標系，通過找出平面PDA的法向量，利用空間向量法計算線面角的公式即可。【詳解】（1）取PC中點為Q，則由CD=PD可得DQ⊥PC，因為平面PBC⊥平面PCD，所以DQ⊥平面PBC，故DQ⊥BC，而CD⊥BC，CD交DQ于D，所以BC⊥平面PDC，可得到BC⊥PD連接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD=22,AD=22則AD2+B又BD⊥PA，可得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.又BC⊥PD，BC與BD交于B，所以PD⊥平面ABCD.（2）以D為原點，DA,DB,DP方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖的空間直角坐標系，則D0,0,0，A(22平面PAD的法向量為DB=(0,22,0)，【點睛】在立體幾何題中，二面角、線面角等問題，常?？梢酝ㄟ^建立空間直角坐標系利用法向量方法來做，關鍵在于建立合適的坐標系，找準坐標和法向量，確定所求角。15．（Ⅰ）A=π3；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由余弦定理把已知條件化為2bccosA=accosC+c（Ⅱ）由三角形面積公式求得bc=25，再由余弦定理可求得b2+c2=50，從而得試題解析：（Ⅰ）因為b2+c即2bcosA=acos即2sinBcosA=∴2sinBcos∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=12，∵0<A<π（Ⅱ）∵SΔABC=12∵cosA=b2∴(b+c)2=50+2×25=100，即∴sinB+sinC=b?16．（1）見解析；（2）3【解析】【分析】（1）連接OM,ON，由題意可證得平面OMN//平面QBC，利用面面平行的性質定理可得MN//平面（2）過D作DZ//OP，以DA,DB,DZ所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面MCB的法向量為n1=(0,-1,2)，平面QCB的法向量為n2【詳解】（1）連接OM,ON，底面ABCD為平行四邊形，∵N是CD的中點，O是BD的中點，∴ON//BC∵M是AQ的中點，O是AC的中點，∴OM//QCON∩OM=O，BC∩QC=C，∴平面OMN//平面QBCMN?平面OMN，∴MN//平面QBC（2）由AQ⊥平面α，AQ⊥平行四邊形ABCD，∴平面α//底面ABCD，OP//AQ，∴四邊形PQAO為矩形，且PO⊥底面ABCD，AD⊥DB，過D作DZ//以DA,DB,DZ所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系（如圖），由AB=7，AD=3，AD⊥DB，知DB=2∴D（0，0，0）、A（3，∴MB=（-3，設平面MCB的法向量為n1=(則n1取y1=-1，z1=2，設平面QCB的法向量為n2則n2取y2=-1，z2=1，∴二面角M-CB-Q的平面角θ的余弦cosθ=n1?【點睛】本題考查了立體幾何中的判斷定理和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.17．（I）x24+y2=1，x【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得得M(-c,74-b)，根據(jù)點M在拋物線上得c2=4b(74-b)，又由ca=32，得c2=3b2，可得7b2=7b，解得b=1，從而得c=3，a=2，可得曲線方程。（Ⅱ）設kON=m試題解析：（Ⅰ）由拋物線定義可得M(-c,7∵點M在拋物線x2∴c2=4b(74又由ca=3將上式代入①，得7解得b=1,∴c=∴a=2，所以曲線C1的方程為x24+y2（Ⅱ）設直線MN的方程為y=kx+1，由y=kx+1x2=4y消去y設M（x1則x1設kON=m，則mm'=y所以m'=-14m，設直線ON的方程為y=mx(m>0)，由y=mxx2=4y所以ON=由②可知，用-14m代替可得OM=1由y=mxx24所以OA=用-14m代替m所以λ==2m+12m≥2所以λ的取值范圍為[2,+∞).點睛：解決圓錐曲線的最值與范圍問題時，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．18．（Ⅰ）a=23;（Ⅱ【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設條件借助導數(shù)的幾何意義求解；（2）依據(jù)題設構造函數(shù)h(x)=2（Ⅰ）f'(x)=3a2x設切點坐標為(x0解得{（Ⅱ）g(x)=|23(則h'(x)=(x-1x)+(12h'(x)又可以寫成(x+12x)+1-x因此h'(x)在(0,+∞)上大于0，h(x)在(0,+∞)上單調遞增，又h(1)=0，因此h(x)在(0,1)上小于0，在(1,+∞)上大于g(x)={h(x),x≥1,-h(x),0<x<1,且g(x)在(0,1)上單調遞減，在當x>1時，0<1記G(x)=g(x)-g(1記函數(shù)y=f'(x)的導函數(shù)為y=f''(x)，則G'(x)=f'(x)+f''(x)-1x2f'(1故G(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以G(x)>G(1)=0，所以g(x)-g(1不妨設0<x1<1<而0<x1<1，0<1x點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，設置了兩道問題，旨在考查導數(shù)工具在研究函數(shù)的單調性、極值（最值）等方面的綜合運用。解答本題的第一問時，先對函數(shù)求導，再借助導數(shù)的幾何意義建立方程組，通過解方程組使得問題獲解；求解第二問時，先將問題進行轉化，再構造函數(shù)h(x)=219．7【解析】由已知，根據(jù)向量數(shù)量積定義，得m?n=mncos60°=12n，又20．