陜西省藍(lán)田縣焦岱中學(xué)北師大版高中數(shù)學(xué)必修五2.1正弦定理與余弦定理導(dǎo)學(xué)案

《余弦定理》教學(xué)設(shè)計【三維目標(biāo)】知識與技能（1）掌握余弦定理的證明方法，牢記公式.（2）掌握余弦定理公式的變式，會靈活應(yīng)用余弦定理.過程與方法（1）使學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S.（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.（3）培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.情感態(tài)度價值觀經(jīng)歷余弦定理的推導(dǎo)過程，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)美，通過比較余弦定理公式感受數(shù)學(xué)公式的對稱美，通過比較勾股定理以及余弦定理體會一般與特殊的關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點】通過對三角形邊角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理(向量法等)，并能應(yīng)用其解三角形．【學(xué)習(xí)難點】余弦定理的證明及其基本應(yīng)用，以及結(jié)合正弦定理解三角形．【教法學(xué)法】教法：一、多媒體情景教學(xué)法：利用多媒體創(chuàng)設(shè)問題情境，以學(xué)生感興趣的，并容易理解的情景為開端，讓學(xué)生在各自熟悉的場景中輕松、愉快地學(xué)習(xí).二、啟發(fā)式講練結(jié)合，師生互動探究法：教師通過引導(dǎo)、分析、講解和提問，充分給學(xué)生提供交流與歸納的空間，并及時對各個知識點進(jìn)行演練，使整個數(shù)學(xué)活動生動活潑和富有個性的學(xué)習(xí).三、分層教學(xué)：提問分層、評價分層，注意面向全體學(xué)生，充分調(diào)動不同層次學(xué)生的積極性。學(xué)法：根據(jù)新課程理念，結(jié)合學(xué)生自身年齡特點和思維特點，引導(dǎo)學(xué)生利用向量的積來獲得余弦定理的證明指導(dǎo)學(xué)生分析三角形中邊和角的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生知識體系的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的形成，注意面向全體學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神，提高學(xué)生分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。通過分組討論，匯報交流，歸納總結(jié)等方式進(jìn)行學(xué)習(xí)．教學(xué)過程流程師生活動學(xué)情分析與設(shè)計意圖知識回顧1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類問題的三角形？鞏固舊知，為學(xué)習(xí)新知識做準(zhǔn)備。提出問題實際問題隧道工程設(shè)計，經(jīng)常需要測算山腳的長度，工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A，量出A到山腳B、C的距離，再利用經(jīng)緯儀（測角儀）測出A對山腳BC的張角，最后通過計算求出山腳的長度BC。（用PPT投影出小山丘）學(xué)生思考討論通過實際問題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。給出技術(shù)人員的解決辦法，引起學(xué)生的疑問。提出問題，激起學(xué)生求知欲。充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。工程設(shè)計工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A，量出A到山腳B、C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC的張角，最后通過計算求出山腳的長度BC。提出問題技術(shù)人員是怎么得到山腳BC的長度的呢？分析問題問題化歸問題轉(zhuǎn)化為在在中已知AC=b，AB=c和A，求a。將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題。探索問題問：這是一個解三角形的問題，那么我們可以用已學(xué)的解三角形知識解決嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。你能夠有更好的具體的量化方法嗎？讓學(xué)生覺得已學(xué)知識已經(jīng)不夠用，需要新的理論依據(jù)。引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識入手，積極討論，選擇簡潔的工具。解決問題定理推導(dǎo)在中，設(shè)，那么，則，問題轉(zhuǎn)化為已知：和與的夾角A且，求.ABcABcbaC即：學(xué)生對向量知識可能遺忘，注意復(fù)習(xí)；在利用數(shù)量積時，角度可能出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學(xué)生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。自主探究（1）在中已知：求（2）在中已知：即學(xué)即用，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗向量作為工具的強(qiáng)大作用。歸納總結(jié)在中：引導(dǎo)學(xué)生文字總結(jié)：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。思考：余弦定理與勾股定理有何聯(lián)系，余弦定理有何作用。歸納總結(jié)，觀察定理特點，樹立知三求一得方程思想。由類比思想，類比勾股定理發(fā)現(xiàn)余弦定理是勾股定理的延續(xù)，理解數(shù)學(xué)中一般和特殊之間的關(guān)系。觀察推論特征，再次明確知三求一的方程思想，運(yùn)用推論可以解決“邊，邊，邊”的問題。解決問題例1如圖4所示，有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點是O.甲、乙兩人同時從點O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h,4.5km/h.3時后兩人相距多遠(yuǎn)(結(jié)果精確到0.1km)?圖4活動：經(jīng)過3時，甲到達(dá)點P，OP＝4×3＝12(km)，乙到達(dá)點Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)．問題轉(zhuǎn)化為在△OPQ中，已知OP＝12km，OQ＝13.5km，∠POQ＝80°，求PQ的長．解：經(jīng)過3時后，甲到達(dá)點P，OP＝4×3＝12(km)，乙到達(dá)點Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)．依余弦定理，知PQ＝eq\r(OP2＋OQ2－2OP·OQcos∠POQ)＝eq\r(122＋13.52－2×12×13.5cos80°)≈16.4(km)．答：3時后兩人相距約16.4km.通過實際問題的解決，樹立學(xué)生的信心，使得學(xué)生都有一種躍躍欲試的感覺，急于想試一試定理的威力。進(jìn)一步調(diào)動學(xué)生的積極性。問題探究例2圖5是公元前約400年古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯用來構(gòu)造無理數(shù)eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…的圖形．試計算圖中線段BD的長度及∠DAB的大小(長度精確到0.1，角度精確到1°)．圖5活動：本例可讓學(xué)生自己探究完成，對有困難的學(xué)生，教師可點撥其找出所求量(BD或∠DAB)所在的三角形．解：在△BCD中，BC＝1，CD＝1，∠BCD＝135°.因為BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝12＋12－2×1×1cos135°＝2＋eq\r(2)，所以BD≈1.8.在△ABD中，AB＝1，BD＝eq\r(2＋\r(2))，AD＝eq\r(3).因為cos∠DAB＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝≈0.1691，所以∠DAB≈80°.點評：(1)對較復(fù)雜的計算可使用計算器．(2)有些問題既可應(yīng)用正弦定理，也可應(yīng)用余弦定理，要體會兩種方法存在的差異．當(dāng)所求的角是鈍角時，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定．鞏固新知，加深對余弦定理的理解。理論創(chuàng)新探索若a，b，c是△ABC的三邊，且eq\f(c,\r(a2＋b2))＞1，則△ABC一定是()．A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．鈍角三角形學(xué)生思考或者討論，若有同學(xué)答則順勢引出推論，若不能作答則由老師引導(dǎo)推出推論，然后返回解決該問題。由探索引出推論，能帶動學(xué)生思考，讓學(xué)生參與其中，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體。定理推論讓學(xué)生觀察推論的特征，討論該推論有什么用。觀察推論特征，再次明確知三求一的方程思想，運(yùn)用推論可以解決三角形形狀判定的問題。理論提升備選例題例3：在△ABC中，已知，a=2,b=，解三角形。分層教學(xué)，提高課堂教學(xué)效果小結(jié)1.定理的證明2.定理和推論3.定理的應(yīng)用通過知識回顧，使學(xué)生各自體會收獲。作業(yè)復(fù)習(xí)2．課本習(xí)題2—1A組6,7，B組2.3．預(yù)習(xí)鞏固知識多角度看待問題板書設(shè)計余弦定理投影幕布一：定理及推論二：應(yīng)用定理推導(dǎo)及例題教學(xué)理念學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，要因材施教對癥下藥，具體情況具體分析，不能照搬照抄。教無定法，關(guān)鍵是學(xué)生能不能有所思，能不能有所得。在本節(jié)課的教學(xué)中，我始終本著“教師是課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者”的原則，讓學(xué)生通過分析、觀察、歸納、推理等過程建構(gòu)新知識，并初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣。同時，以學(xué)生作為教學(xué)主體，設(shè)計可操作的數(shù)學(xué)活動，使每個同學(xué)都參與其中，降低了學(xué)數(shù)學(xué)的門檻，從而帶動和提高全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性。師生共同體驗發(fā)現(xiàn)探索的快樂，感受合作交流的愉悅。新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求