2023-2024學年陜西省漢中市高二年級上冊期末數(shù)學（文）試題（含答案）

2023-2024學年陜西省漢中市高二上冊期末數(shù)學(文)試題

一、單選題

1.自由落體運動的物體下落的距離S(單位：m)關于時間f(單位：S)的函數(shù)S=/⑺=；g/,

?g=IOmZs2,則f=2時的瞬時速度是多少()m/s

A.10B.20C.30D.40

【正確答案】B

【分析】f=2時的瞬時速度是/'(2),求導，代入r=2即可求解.

【詳解】f'(t)=gt,故f=2時的瞬時速度是r(2)=2g=2χlθ=2θm∕s.

故選:B.

2.在等差數(shù)列｛%｝中，設其前〃項和為S“，若4+勺=4,則S,=()

A.4B.13C.26D.52

【正確答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質可得%+即=4+@=4,結合等差數(shù)列的求和公式可得結果.

［詳解］j3+61=4+43=4,

.?.S=13X=13x2=26,

13q'

故選：C.

3.下列函數(shù)的求導運算中，錯誤的是()

A.(χ2+3e')"=2x+3ejtB.(2SilU-3)'=2COSΛ

C(IYD(xcosxy-cosx-xsiar

L?I=X\_).?ΛVC>SΛ)—UUoA—AblIlA

u?i?j

【正確答案】c

【分析】根據(jù)求導法則依次計算得到ACD正確，f?l??,B錯誤，得到答案.

UiuJX(1ΠΛ?)^

【詳解】對選項A：(χ2+3e*j=2χ+3e",正確；

對選項B：(2SinX-3)'=2cosx,正確;

,?

對選項c：(J_1=二Z=___!_，錯誤；

IIrLrJ(InX)-MlnXy

對選項D：(XCOsX)'=cosx-xsinx,正確.

故選：C

4.定義在區(qū)間-；,4上的函數(shù)/(x)的導函數(shù)r(x)的圖象如圖所示，則下列結論正確的

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,3)上單調遞減

C.函數(shù)〃x)在x=l處取得極大值

D.函數(shù)/(x)在X=O處取得極大值

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性和導數(shù)值的正負的關系，可判斷A、B；根據(jù)函數(shù)的極值點和導

數(shù)的關系可判斷C、D的結論.

【詳解】在區(qū)間(1,4)上/'(x)>0,故函數(shù)”x)在區(qū)間(1,4)上單調遞增，故A正確；

在區(qū)間(1,3)上/'(x)>0,故函數(shù)I(X)在區(qū)間。,3)上單調遞增,故B錯誤;

當Xe(0,4)時，∕,(Λ)>0,可知函數(shù)"x)在(0,4)上單調遞增，故x=l不是函數(shù)/(x)的極值

點，故C錯誤；

當x∈(-g,O)時，Γ(x)<O,/(x)單調遞減；當xe(0,4)時，f?x)>O,"x)單調遞增，

故函數(shù)/(x)在X=O處取得極小值，故D錯誤，

故選：A.

5.在等比數(shù)列｛%｝中，q=｝q=2,則生與小的等比中項是()

A.-1B.1C.2D.+1

【正確答案】D

【分析】通過等比數(shù)列的通項公式計算進而可得答案.

【詳解】因為生出=(αM(qd)=gx2=l,

所以生與知的等比中項是±1,

故選：D.

6.已知函數(shù)〃x)=2X-SinX,則下列選項正確的是()

A./(e)<∕(π)<∕(2,7)B./(π)<∕(e)<∕(2.7)

C./(e)<∕(2,7)<∕(π)D./(2.7)<∕(e)<∕(π)

【正確答案】D

【分析】求導，判斷f(x)在(0,+8)上單調性，利用單調性比較大小.

【詳解】因為函數(shù)"x)=2x-siιu,

所以/'(x)=2-cosx>0,

所以/(x)在(0,+巧上遞增，

又因為2.7<e<7τ,

所以"2?7)<"e)<∕(τt),

故選：D

7.已知命題。：“若6<α,則！>L';命題4：ita=x2-x,b=x-2,則α>6”.則下列命

ba

題是真命題的是()

A.P^qB.(-1P)Λ(->^)C.pv(f)D.(f)Vq

【正確答案】D

【分析】先利用特值法和作差法判定命題P,4的真假，再利用復合命題真假的判定方法判

斷即可.

【詳解】當6=T,α=l時，［<~,故命題P是假命題，

ba

因為α-6=f-x-(x-2)=(x-l)2+1>0,則a>b,所以命題4是真命題,

所以P八4是假命題，故A錯誤;

(M)A(F)是假命題,故B錯誤;

PV(「G是假命題，故C錯誤；

(R)Vg是真命題，故D正確，

故選：D.

8.己知S“是等差數(shù)列也｝的前"項和，若邑=15鳥=75,則54=()

A.40B.45C.50D.55

【正確答案】A

【分析】利用等差數(shù)列片段和得性質求解即可.

【詳解】由題可知數(shù)列S2,S4-S2,S6-S4為等差數(shù)列,

m^WS2+(56-54)=2(S4-S2)

得15+(75-50=20-15),解得S,=40,

故選：A

9.下列命題中是真命題的是()

A."(x-l)(x+2)>0"是“言≥(F的必要非充分條件

B.Vx∈f0,—-∣,sirιγ+——的最小值是2

V2)SlnX

C.在一ΛBC中，“SinA〉SinB”是“/>夕的充要條件

D.“若Z√=αc,則"C成等比數(shù)列”的逆否命題

【正確答案】C

【分析】解不等式，根據(jù)充分條件與必要條件的定義可判斷A；令r=sinx,根據(jù)對勾函數(shù)

的性質可判斷B；根據(jù)正弦定理可判斷C；取。=0,6=0,c=l,可得原命題為假命題，根據(jù)

原命題與其逆否命題的真假性相同可判斷D.

【詳解】對于A,解(X-I)(X+2)>0,可得χv-2或x>l,

Y—1

解一7≥0,可得XV—2或x±l,

x÷2

故“(犬-1)(尤+2)>0”是"三二川”的充分非必要條件，故A錯誤；

x+2

對于B,令f=sinx,因為Xe（O,,所以fw（θ,l）.

因為y=f+；在（0,1）上單調遞減，故y=f+1>2,故B錯誤；

對于C,.ABC中，SinA>sin3o2RSinA>2Rsin3θα>6oA>3,其中R為ABC外接圓

的半徑，故C正確；

對于D,取α=0力=0,c=l,滿足〃=αc,但α,dC不成等比數(shù)列，

故命題“若從="c,貝U。，上C成等比數(shù)列''為假命題，故其逆否命題也為假命題，故D錯誤.

故選：C.

10.已知數(shù)列｛4｝中，?=2×3-,則數(shù)列｛叫的前n項和為（)

9"

D.---1

2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)｛4｝的通項公式，可得｛4；｝為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式進行求和

即可.

【詳解】因為嗎■=（4電］=9,且Y=4,

禽I?）l2×3^）

所以｛項是首項為4,公比為9的等比數(shù)列，

所以｛項的前"項和為：4（；；,）=手

故選:B.

11.若α>0力>0,且函數(shù)"x）=2χ3?χ2一法+2在X=I處有極值,則必的最大值等于（）

A.2B.3C.6D.9

【正確答案】D

【分析】求出導函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為。得到。，匕滿足的條件，利用二次

函數(shù)的性質求出必的最值.

【詳解】由題意，求導函數(shù)f'（x）=6x2-〃-數(shù)

在x=l處有極值，所以/'(1)=0,即6—a—b=0,:.a+b=6,

.a>0,Z?>0,

.?ab=a(6-a)=6a-a2=-(a-3)2+9,當4=3,。=3時，4。取得最大值9,

此時∕,(x)=6x2-ax-b=6X2-3X-3=3(X-1)(2X+I),

當χ>l時，∕<χ)>0,當-g<χ<l時，/'(χ)<0,

所以/(χ)在上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

因此滿足χ=l是〃x)的極值點，

所以油的最大值等于9,

故選：D

12.已知定義在R上的函數(shù)"x)滿足/(力―r(x)>O,且有"2)=2,則/(x)>2ei的解

集為()

A.(-∞,1)B.(→3O,2)C.(l,+∞)D.(2,+∞)

【正確答案】B

【分析】構造函數(shù)F(X)=電，應用導數(shù)及已知條件判斷F(X)的單調性，而題設不等式等

e

價于*x)>尸(2),結合單調性即可得解.

【詳解】設F(X)=翌，則F(X)=:，⑸e=∕(x∕(x)<0,

er(ele

二廠(X)在R上單調遞減.

又“2)=2,貝∣JF(2)=y=馬.

Vf(x}>2et^2等價于駕>4,即F(x)>F(2),

ee~

.?.x<2,即所求不等式的解集為(—,2).

故選：B.

二、填空題

13.曲線y='+l∏x在x=l處的切線方程為.

【正確答案】y-ι=0

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，先求導得y'=-!+!，代入χ=l,求得切線斜率，再利用

X~X

X=I時y=l,結合直線方程即可得解.

【詳解】首先求導可得y=-5+1,

所以曲線y='+hw在X=I處的切線斜率％=T+1=O,

X

又X=I可得y=l,

所以曲線y='+l∏χ在χ=l處的切線為y=ι,

X

即yT=0.

故y-1=0

14.當命題“對任意實數(shù)χ,不等式/+履+ι>o恒成立”是假命題時，則k的取值范圍是

【正確答案】(F,-2]U[2,yo)

【分析】由“對任意實數(shù)X,不等式Y+也+l>0恒成立“求得k的取值范圍，再根據(jù)其為假

命題求得上的取值范圍的補集，即為最終所求的k的取值范圍.

【詳解】因為“對任意實數(shù)X,不等式f+fcc+l>O恒成立”，

則A=M2-4<0,即一2<Z<2,

又因為命題“對任意實數(shù)X,不等式/+丘+ι>o恒成立，，是假命題，

所以Z≤-2或后≥2.

故(-∞,-2]U[2,E)

x+y+5>0

15.若X/滿足約束條件τ-y≤0,則z=2x-4y的最大值為.

y≤0

【正確答案】5

【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域(如圖)，

1e

<+八5=0二

把z=2x-4y變形為y=得到斜率為:，在)'軸上的截距為隨Z變化的一組平

2424

行直線.

17

由圖可知，當直線y=：過點A時，截距最小，即Z最大，

244

fx+y+5=0,55

解方程組a,得點A坐標為(-。,-方,

[x-γ=022

所以Za=2X(-∣)-4X(-∣)=5?

故5.

16.寶塔山是延安的標志，是革命圣地的象征，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進

程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，在寶塔山的山坡4處測得NC4。=15。，從A

處沿山坡直線往上前進85m到達B處，在山坡B處測得NC8O=30°,NBCZ)=45。，則寶塔

CQ的高約為m.（√2≈1.4B√6≈2.45.結果取整數(shù)）

【正確答案】44

【分析】根據(jù)題意可得,.ABC為等腰三角形，即可得Aβ=BC=85,然后在ABCD中利用正

弦定理可求得結果.

【詳解】因為NC4。=15。，ZCBD=30o,Z.CBD=ZGW+ZACB,

所以NACB=I5。，

所以NACB=NC40=15。，所以AB=3C=85,

因為NBCo=45。，

所以ZBDC=180?！狽CBD-ZBCD=180。—30?！?5。=105°,

sin105o=sin(45o÷60o)=sin45ocos60o÷cos45osin60o

√2√3√21√6+√2

=×--1--×—二--------

22224

BCCD

在ABCO中，由正弦定理得

SinZBDC一SinNCBD

CDsinABDC=SCsinZCBD，

所以CD?sinlO50=85sin3O0

i√6+√2,1

CD------------=8Q5×-

42

所以CD=85X("-回J5X(2?45T?41)=44,

22

故44.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=X-HnX.

⑴當4=1時，求/(x)的極值；

(2)若/(x)在[l,y)上單調遞增，求。的取值范圍.

【正確答案】(1)極小值為F(I)=I,無極大值

(2)0≤l

【分析】(1)求導得到/(尤)=亍，確定函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)單調區(qū)間計算極值得到答

案.

(2)/'(X)=Iq≥0在xe[l,+∞)上恒成立，得至∣Jα≤x,解得答案.

【詳解】(1)當α=l時，/(x)=x-lnΛ,(X>O),/(χ)=l-i=-,令/。)=。得χ=ι,

XX

當Xe((U)時，r(x)<O,/(x)單調遞減；

當X∈(l,+8)時，.f'(x)>O,/(X)單調遞增.

所以f(x)的極小值為了⑴=1,無極大值.

(2)/'(x)=l-f≥O在xe[L+∞)上恒成立，即α≤x在x∈[l,+∞)上恒成立，所以a≤l.

18.漢中地處秦巴之間、漢水之源，綠水青山，物產豐富，自古就有“漢家發(fā)祥地、中華聚寶

盆”之美稱.通過招商引資，某公司在我市投資36萬元用于新能源項目，第一年該項目維護

費用為6萬元，以后每年增加2萬元，該項目每年可給公司帶來25萬元的收入.假設第〃年

底，該項目的純利潤為“嘰(純利潤=累計收入一累計維護費一投資成本)

(1)寫出的表達式，并求該項目從第幾年起開始盈利？

(2)經過幾年該項目年平均利潤達到最大？最大是多少萬元？

【正確答案】(1)/(〃)=-/+20〃-36,該項目從第3年起開始盈利.

(2)經過6年該項目年平均利潤達到最大，最大是8萬元.

【分析】(1)由題意結合等差數(shù)列求和公式求得小>的表達式，然后由/(〃)>0,解不等式即

可；

(2)求得該項目年平均利潤為g(〃)的表達式，結合基本不等式求解最值即可.

n(n-?]C

【詳解】(1)f(n)=25n-6II+-^-L×2-36=-/+20"36,

由f5)>0即-/+2O"-36>O,解得

所以，該項目從第3年起開始盈利.

(2)設該項目年平均利潤為g(〃)，

則g(〃)=-〃一型+20=-("+迎)+204-2?fl^+20=8,當且僅當〃=生，即n=6

nnHNft及

時取等號.

所以，經過6年該項目年平均利潤達到最大，最大是8萬元.

19.等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且4+6生=1,%="”2，設2=log34,.

⑴求數(shù)列也｝的通項公式;

I

(2)已知數(shù)列g=歹求證：數(shù)列｛c,,｝的前〃項和S“<1.

【正確答案】(1也=-〃

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解，

1111

(2)根據(jù)放縮法得％=77訴<777二八=二一777,即可根據(jù)裂項求和進行求解?

(n+l)〃(枕+1)nn+1

【詳解】（1）設等比數(shù)列｛q｝的公比為q,則4>0,

4+6qq=l1

由題意得22，解得q=q=不

axq-cιxq3

h,i.o11

--n=^n=?o^-=-n

1111

(2)由題意，Cn=/二八2</,八=-----^Γ,

(n+l)〃(〃+1)nπ+l

C111IlI

???S<11一一+----+...+-------=11--------<11

n223nπ÷1幾+1

q尸a(SinC-SinA).-、C?2a-ccosC、、一人

λ2λ0.在①X------------=c-b；@sin2A+sin2C-sin~B=SinAsinC;③一：—=---.這二個

SinC+sιnBbCOSB

條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.

在..ABC中，內角ARC所對的邊分別是α,0,c,.

⑴求8；

(2)若。=4,求一/BC的周長的取值范圍.

【正確答案】(I)W

(2)(8,12]

【分析】(1)選①或②：由正弦定理得到"+￠2-^2=αc,再由余弦定理得到C0S3=；,結

合3e(0,π),求出B=g；

選③：由正弦定理化簡得到2sinAcos3-SinCcosB=SinBcosC,進而得到

1

2sinAcosB=SinA,cosB=-求出B=π7；

2f3

(2)由余弦定理結合基本不等式可得出q+c≤8,從而可求得/RC的周長的取值范圍.

【詳解】⑴選①，MSinC-SinA)-c-b,

sinC+sinB

SinA(SinC-SinA)

----------------------=sinC_SinB

sinC+sinB

.?.SinAsinC-Sin2A=Sin2C-Sin2B

.,.sinΛsinC=sin2Λ+sin2C-sin2β

.,.ac=a2+c2-b2,又，a2+c2-h2=2accosB

?τι

：.cosB=-,又0v3vπ,B=—.

23

選②，sin2A÷sin2C-sin2B=sinAsinC

.,.a2+c2-h2=ac>又,?+c2-?2=2dfccosB

1兀

.,.cosβ=—,乂0v8vπ,:.B――.

23

但42a-ccosC2sinA-sinCcosC

bcosBs?nθCoSB

√.2sinAcosS-sinCcosB=sinBCoSC

/.2sinAcosB=sinCcosB+sin5cosC=sin(B+C)=sinA

QsinA≠O,.?.cosB=-又OvBv兀，:.B=-.

293

(2)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,

?=16=片+c?一αc=(α+④一3αc,N(α+一。)=S；C),當且僅當Q=C=4時，取等

號.

.?.(α+c)~≤64,.?.α+c≤8,又α+c>4,

/.4<a÷c≤8,.?.8<<7÷c+?≤12

ABC的周長的取值范圍為(8,12卜

21.已知數(shù)列｛叫為等差數(shù)列，∕=3,4=2%+l,數(shù)列低｝的前"項和為S,,,且滿足

25“+1=32.

⑴求｛%｝和色｝的通項公式:

⑵若C=".也,求數(shù)列｛q｝的前“項和為卻

i

【正確答案】(IM=2〃-1,bn=3"-

(2)7；=(W-I)-3"+1

fS,,w=l

【分析】(1)列出關于首項和公差的方程組求得%;利用2=二c、.求得“；