第六章彎曲應(yīng)力1

第六章梁的應(yīng)力§6-1梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件§6-2梁橫截面的切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件§6-3薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力的進(jìn)一步分析§6-4提高梁承載能力的措施１.純彎曲

梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力的彎曲（橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力的彎曲）。剪力“Fs”——切應(yīng)力“t”；彎矩“M”——正應(yīng)力“s”2.橫力彎曲（剪切彎曲）aaFBAFMxFsxFaFF

梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力的彎曲）。一、純彎曲和橫力彎曲的概念§6-1梁橫截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）變形幾何關(guān)系：

由純彎曲的變形規(guī)律→縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。1、觀察實(shí)驗(yàn)：abcdabcdMM2、變形規(guī)律：(2)、橫向線：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度且仍與縱向線正交。(1)、縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長(zhǎng)。3、假設(shè)：（1）彎曲平面假設(shè)：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長(zhǎng)

根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長(zhǎng)區(qū)，中間必有一層縱向無(wú)長(zhǎng)度改變的過(guò)渡層--------稱(chēng)為中性層

。中間層與橫截面的交線－－中性軸（2）縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無(wú)擠壓。

梁的彎曲變形實(shí)際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。ＢAabcd4、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律

（縱向線段的變化規(guī)律）dxyoo1abcd中性層中性層曲率半徑——橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變與它到中性軸的距離成正比ＢAabcd4、縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律

（縱向線段的變化規(guī)律）dxyoo1在彈性范圍內(nèi)，（二）物理關(guān)系：

abcd中性層由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律正應(yīng)力的分布規(guī)律?！獧M截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化中性層曲率半徑梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布圖：MZyσmaxσmax中性軸的位置？中性層——橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化yxMZ（中性軸z軸為形心軸）（y、z軸為形心主軸）yzdAsdA——彎曲變形計(jì)算的基本公式（三）、靜力平衡條件由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系→正應(yīng)力的計(jì)算公式。M梁橫截面上內(nèi)力已知：純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。

彎矩可代入絕對(duì)值，應(yīng)力的符號(hào)由變形來(lái)判斷。當(dāng)M>0時(shí)，下拉上壓；當(dāng)M<0時(shí)，上拉下壓。梁的抗彎剛度。TzEIyxMZyzAσ將上式代入式得：——彎曲變形計(jì)算的基本公式反映梁變形的劇烈程度中性軸

z

為橫截面的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)稱(chēng)為截面的抗彎截面系數(shù)yzzybh梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的地方純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式中性軸z不是橫截面的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)OzyytmaxycmaxM純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：幾種簡(jiǎn)單截面的抗彎截面系數(shù)⑴矩形截面⑵圓形截面zybhyzd⑶空心圓截面(4)型鋼截面：參見(jiàn)型鋼表式中DOdyz幾種簡(jiǎn)單截面的抗彎截面系數(shù)三、純彎曲理論的推廣橫力彎曲時(shí)1、由于切應(yīng)力的存在，梁的橫截面發(fā)生翹曲；2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。

平面假設(shè)和縱向線之間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。1m2mBA還能用嗎？純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式實(shí)驗(yàn)和彈性理論的研究結(jié)果表明：對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁（跨高比l/h>5），剪力的影響可以忽略，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。Fl4lF彎曲正應(yīng)力公式可推廣應(yīng)用于橫力彎曲和小曲率梁（曲率半徑大于5倍梁截面高度的曲桿)三、純彎曲理論的推廣例：厚為t=1.5mm的鋼帶，卷成直徑D＝3m的圓環(huán)。。求：鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力解：1）研究對(duì)象：?jiǎn)挝粚挆l2）曲率公式：3）求應(yīng)力：例：求圖示懸臂梁的最大拉、壓應(yīng)力。已知：№10槽鋼解：1）畫(huà)彎矩圖2）查型鋼表：3）求最大拉、壓應(yīng)力應(yīng)力：σcmaxσtmax例圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力sa。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作彎矩圖2、查型鋼表得56號(hào)工字鋼3、最大正應(yīng)力為

12.521166560za

M375kN.mB5

m10

mAF

Ca點(diǎn)處的正應(yīng)力sa例圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力sa。也可根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系來(lái)求

12.521166560zaa點(diǎn)處的正應(yīng)力sa

M375kN.mB5

m10

mAF

C四、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件材料的許用彎曲正應(yīng)力中性軸為橫截面對(duì)稱(chēng)軸的等直梁拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計(jì)為zhM彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

1、強(qiáng)度校核——

2、設(shè)計(jì)截面尺寸——

3、確定外載荷——[]ss￡max；[]

maxsMWz3[];

maxszWM￡解：1、求約束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[s]=160MPa,求：Fmax

5F/2F/2Mmax=0.5F3、強(qiáng)度計(jì)算h2、畫(huà)M圖，求Mmax≤MZystmaxsCmax例圖示為機(jī)車(chē)輪軸的簡(jiǎn)圖。試校核輪軸的強(qiáng)度。已知材料的許用應(yīng)力Fa

（3）B截面，C截面需校核（4）強(qiáng)度校核（1）計(jì)算簡(jiǎn)圖（2）繪彎矩圖解：B截面：C截面：（5）結(jié)論:輪軸安全Fb解：1)求約束反力例、T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

t]=30MPa，

[

c]=60MPa.其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，試校核此梁的強(qiáng)度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k

N

m2）畫(huà)彎矩圖

——定危險(xiǎn)截面3）求應(yīng)力B截面—（上拉下壓）MC截面—（下拉上壓）為什么？y

2y

1CCzy

2y

1CCzC截面—（下拉上壓）:1m1m1mABCD4)強(qiáng)度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k

N

mMB截面—（上拉下壓）:最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上y1=52mm，y2=88mmy

2y

1CzA1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結(jié)論——對(duì)z軸對(duì)稱(chēng)截面的彎曲梁，只計(jì)算一個(gè)截面：對(duì)z軸不對(duì)稱(chēng)截面的彎曲梁，必須計(jì)算兩個(gè)截面：x

2.5kNm-4k

N

mM1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kNy1y2z例：圖示槽型截面梁，Iz=100×106mm4，y1=200mm，y2=50mm，[st]=45MPa，[sc]=120MPa。校核梁的強(qiáng)度。70kNm10kN2m2mABC解