第六章彎曲應力1

第六章梁的應力§6-1梁橫截面的正應力和正應力強度條件§6-2梁橫截面的切應力和切應力強度條件§6-3薄壁截面梁彎曲切應力的進一步分析§6-4提高梁承載能力的措施１.純彎曲

梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲（橫截面上只有正應力而無切應力的彎曲）。剪力“Fs”——切應力“t”；彎矩“M”——正應力“s”2.橫力彎曲（剪切彎曲）aaFBAFMxFsxFaFF

梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應力又有切應力的彎曲）。一、純彎曲和橫力彎曲的概念§6-1梁橫截面的正應力和正應力強度條件二、純彎曲梁橫截面上的正應力公式（一）變形幾何關系：

由純彎曲的變形規(guī)律→縱向線應變的變化規(guī)律。1、觀察實驗：abcdabcdMM2、變形規(guī)律：(2)、橫向線：仍為直線，只是相對轉動了一個角度且仍與縱向線正交。(1)、縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長。3、假設：（1）彎曲平面假設：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉動了一個角度。凹入一側纖維縮短突出一側纖維伸長

根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入一側的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層--------稱為中性層

。中間層與橫截面的交線－－中性軸（2）縱向纖維假設：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無擠壓。

梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸轉動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。ＢAabcd4、縱向線應變的變化規(guī)律

（縱向線段的變化規(guī)律）dxyoo1abcd中性層中性層曲率半徑——橫截面上各點的縱向線應變與它到中性軸的距離成正比ＢAabcd4、縱向線應變的變化規(guī)律

（縱向線段的變化規(guī)律）dxyoo1在彈性范圍內，（二）物理關系：

abcd中性層由縱向線應變的變化規(guī)律正應力的分布規(guī)律?！獧M截面上各點的正應力沿截面高度按線性規(guī)律變化中性層曲率半徑梁彎曲時橫截面上正應力分布圖：MZyσmaxσmax中性軸的位置？中性層——橫截面上各點的正應力沿截面高度按線性規(guī)律變化yxMZ（中性軸z軸為形心軸）（y、z軸為形心主軸）yzdAsdA——彎曲變形計算的基本公式（三）、靜力平衡條件由橫截面上的彎矩和正應力的關系→正應力的計算公式。M梁橫截面上內力已知：純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式。

彎矩可代入絕對值，應力的符號由變形來判斷。當M>0時，下拉上壓；當M<0時，上拉下壓。梁的抗彎剛度。TzEIyxMZyzAσ將上式代入式得：——彎曲變形計算的基本公式反映梁變形的劇烈程度中性軸

z

為橫截面的對稱軸時稱為截面的抗彎截面系數(shù)yzzybh梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠的地方純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式中性軸z不是橫截面的對稱軸時OzyytmaxycmaxM純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式：幾種簡單截面的抗彎截面系數(shù)⑴矩形截面⑵圓形截面zybhyzd⑶空心圓截面(4)型鋼截面：參見型鋼表式中DOdyz幾種簡單截面的抗彎截面系數(shù)三、純彎曲理論的推廣橫力彎曲時1、由于切應力的存在，梁的橫截面發(fā)生翹曲；2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。

平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。1m2mBA還能用嗎？純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式實驗和彈性理論的研究結果表明：對于細長梁（跨高比l/h>5），剪力的影響可以忽略，純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，其結果仍足夠精確。Fl4lF彎曲正應力公式可推廣應用于橫力彎曲和小曲率梁（曲率半徑大于5倍梁截面高度的曲桿)三、純彎曲理論的推廣例：厚為t=1.5mm的鋼帶，卷成直徑D＝3m的圓環(huán)。。求：鋼帶橫截面上的最大正應力解：1）研究對象：單位寬條2）曲率公式：3）求應力：例：求圖示懸臂梁的最大拉、壓應力。已知：№10槽鋼解：1）畫彎矩圖2）查型鋼表：3）求最大拉、壓應力應力：σcmaxσtmax例圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處的正應力sa。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作彎矩圖2、查型鋼表得56號工字鋼3、最大正應力為

12.521166560za

M375kN.mB5

m10

mAF

Ca點處的正應力sa例圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處的正應力sa。也可根據(jù)正應力沿梁高的線性分布關系來求

12.521166560zaa點處的正應力sa

M375kN.mB5

m10

mAF

C四、梁的彎曲正應力強度條件材料的許用彎曲正應力中性軸為橫截面對稱軸的等直梁拉、壓強度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為zhM彎曲正應力強度條件

1、強度校核——

2、設計截面尺寸——

3、確定外載荷——[]ss￡max；[]

maxsMWz3[];

maxszWM￡解：1、求約束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[s]=160MPa,求：Fmax

5F/2F/2Mmax=0.5F3、強度計算h2、畫M圖，求Mmax≤MZystmaxsCmax例圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。已知材料的許用應力Fa

（3）B截面，C截面需校核（4）強度校核（1）計算簡圖（2）繪彎矩圖解：B截面：C截面：（5）結論:輪軸安全Fb解：1)求約束反力例、T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

t]=30MPa，

[

c]=60MPa.其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，試校核此梁的強度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k

N

m2）畫彎矩圖

——定危險截面3）求應力B截面—（上拉下壓）MC截面—（下拉上壓）為什么？y

2y

1CCzy

2y

1CCzC截面—（下拉上壓）:1m1m1mABCD4)強度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k

N

mMB截面—（上拉下壓）:最大拉、壓應力不在同一截面上y1=52mm，y2=88mmy

2y

1CzA1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結論——對z軸對稱截面的彎曲梁，只計算一個截面：對z軸不對稱截面的彎曲梁，必須計算兩個截面：x

2.5kNm-4k

N

mM1m1m1mABCDF

2=4kNF

1=9kNy1y2z例：圖示槽型截面梁，Iz=100×106mm4，y1=200mm，y2=50mm，[st]=45MPa，[sc]=120MPa。校核梁的強度。70kNm10kN2m2mABC解