2023年北京市東城區(qū)高三一模考試數(shù)學試卷及答案解析

2023年北京市東城區(qū)高三一模考試數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共10小題，共50.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={x∣%2一2<0},月.α∈4,則Q可以為

A.-2

B.-1

c?l

D.√2

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)不對應的點的坐標是(3,-1),則Z=

A.l+3iB.3+tC.-3+jD.-l-3i

3.拋物線/=4y的準線方程為

A.X=1B.x=-lC.y=1D.y=—1

4.已知％>0,則X-4+3的最小值為

X

A.-2B.0C.1D.2√2

5.在△4BC中，ɑ=2√6,b=2c,CoSA=則S0BC=

A.∣√15B.4C.√15D.2√15

6.設(shè)m,n是兩條不同的直線，α,B是兩個不同的平面，且muα,a∕∕β,則"τnln"是

unlβ,,的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.過坐標原點作曲線y=短-2+1的切線，則切線方程為

A.y=XB.y=2xC.y=D.y=ex

8.已知正方形ZBC。的邊長為2,P為正方形力BC。內(nèi)部(不含邊界)的動點，且滿足成.麗=

0,則B.而的取值范圍是

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

9.已知的,a2,a3,a4,t?成等比數(shù)列，且1和4為其中的兩項，則的的最小值為

1

D

-

A.—64B.—8C.778

10.恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀數(shù)學的三大成

就.其中對數(shù)的發(fā)明，曾被十八世紀法國大數(shù)學家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了

天文學家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，由下面表格中部分對數(shù)的近似值(精

確到0.001),可得N的值為

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.函數(shù)/(x)=Yrq+Inx的定義域是.

12.在(％+?的展開式中，/的系數(shù)為60,則實數(shù)α=.

13.已知雙曲線圣一，=l(α>0,b>0)的一個焦點為(代,0),且與直線y=±2x沒有公共

點，則雙曲線的方程可以為.

14.己知數(shù)列｛αzι｝各項均為正數(shù)，α2=3α1,Sn為其前n項和.若｛房｝是公差為：的等差數(shù)列，

貝Ik]=,an=.

15.己知函數(shù)f(x)=4SinGx+0)(4>0,0<3<兀)的部分圖象如圖1所示，4B分別為圖

象的最高點和最低點，過4作X軸的垂線，交X軸于點4，點C為該部分圖象與X軸的交點,將繪

有該圖象的紙片沿X軸折成直二面角，如圖2所示，此時MBl=√TU,則a=.

給出下列四個結(jié)論：

①WW

②圖2中，AB-AC=5;

③圖2中，過線段4B的中點且與48垂直的平面與X軸交于點C；

④圖2中，S是△48C及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合7={Q6S∣∣4Q∣≤2},則7表示的區(qū)域

的面積大于也

zr

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(x+9.

(I)求f。)的最小正周期；

(II)若X=黑函數(shù)y=f(x)-/(X+W)(0>0)的一個零點，求尹的最小值.

17.(本小題12.0分)

甲、乙兩名同學積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內(nèi)甲進行了6次測試，乙進

行了7次測試.每次測試滿分均為100分，達到85分及以上為優(yōu)秀，兩位同學的測試成績?nèi)缦?/p>

表：

次數(shù)學第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

生

甲807882869593—

乙76818085899694

(1)從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次,求該次測試成績超過90分的概率;

(Il)從甲同學進行的6次測試中隨機選取4次，設(shè)X表示這4次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的

分布列及數(shù)學期望EX；

(In)從乙同學進行的7次測試中隨機選取3次，設(shè)F表示這3次測試成績達到優(yōu)秀的次數(shù)，試判

斷數(shù)學期望Ey與(II)中EX的大小.(結(jié)論不要求證明)

18.(本小題12.0分)

如圖，在長方體ABCD-Zi&CiDi中，AA1=AD=2,BDI和BlD交于點E,尸為4B的中點.

(I)求證：EF〃平面4。。送1：

(∏)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求

(i)平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；

(ii)點Z到平面CEF的距離.

條件①：CEIB1D-.

條件②：BID與平面BCClBl所成角為也

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=ax2—xlnx.

(1)當&=0時，求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間：

(H)設(shè)直線1為曲線y=f(x)的切線，當α≥∣時，記直線I的斜率的最小值為g(α),求g(α)的

最小值；

(In)當α>0時,設(shè)M={y?y=f'(x),x∈(?,?)).N={y?y=∕z(x),x∈(?,?)).求證：M(

N.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓E：?+4=l(α>?>0)的一個頂點為A(0,1),離心率e=容

ab?

(I)求橢圓E的方程；

(H)過點p(一百,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,4C分別與X軸交

于點M,N.

設(shè)橢圓的左頂點為D,求黑的值.

21.(本小題12.0分)

已知數(shù)表垢=(：：；,二：；；)中的項徇9=1,2;；=1,2,…,n)互不相同，且滿足下列

條件：

①％∈{1,2,???,2n)；

nι

②(一l)+i(αim-a2m)<0(m=1,2,…，n)?

則稱這樣的數(shù)表①”具有性質(zhì)P?

(I)若數(shù)表422具有性質(zhì)P，且的2=4,寫出所有滿足條件的數(shù)表422,并求出由1+的2的值；

(II)對于具有性質(zhì)P的數(shù)表&n，當?shù)模?%2+?“+%〃取最大值時，求證：存在正整數(shù)k(l≤

k<n),使得c?k=2n；

(HI)對于具有性質(zhì)P的數(shù)表4n,當n為偶數(shù)時，求%1+的2+“，+%"的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】略

2.【答案】A

【解析】略

3.【答案】D

【解析】略

4.【答案】B

【解析】略

5.【答案】C

【解析】略

6.【答案】B

【解析】略

7.【答案】4

【解析】略

8.【答案】D

【解析】略

9.【答案】B

【解析】略

io.【答案】c

【解析】略

IL【答案】（0,1］

【解析】略

12.【答案】±2

【解析】略

13.【答案】/一9=1（答案不唯一）

【解析】略

14.［答案］??n—?

424

【解析】略

15.【答案】√3②③

【解析】略

16.【答案】解：（I）因為

兀1√33√3-π

/(x)=Sinx+Sin(X+W)sinx+—sinx+—cosx=2sinx+/-cosX√r3sin(x+—)

所以/（%）的最小正周期為2兀

(H)由題設(shè)，y=/(%)-/(%+9)=HSin(%+^)-√^sin(x+V+8),由工建是該函數(shù)零

點可知，

v?sin(^+看)-v?s?n(^+著+W)=。，即Sine+<p)=?.

故(+0=(+2kτr,k∈Z或?+w=與+2∕?,kEZ,

解得9=2kτr,kEZ或W=^+2kπ,kEZ.

因為9>0,所以0的最小值為半

【解析】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：(I)從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，有13種等可能的情形，

其中有4次成績超過90分.則從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次,該次成績超過90

分的概率為春

(H)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3.

clcl1

P(X=1)”一甲

cjcI3

Pi=”

P(X=3)=警J

則隨機變量X的分布列為:

X123

131

P

耳耳耳

故隨機變量X的數(shù)學期望EX=1×∣+2×∣+3×∣=2.

(III)EX>EY.

【解析】略

18.【答案】解:

連接ZDi,B1D1,BD.

因為長方體ABCD-&BiGA中，BBJ/。％且

BBl=DD1,

所以四邊形BBlDlD為平行四邊形.

所以E為BDl的中點，

在△4BDl中，因為E,F分別為BDI和AB的

中點，

所以EF∕∕4Dι?

因為E尸，平面4。。出，也U平面4叫4,

所以EF〃平面

(II)選條件①：CE1B1D.

(Z)連接BiC.

因為長方體中=4。=2,所以BιC=2√Σ?

在ACBDl中，因為E為的中點，CELB1D,

所以CD=B1C=2√2.

如圖建立空間直角坐標系。-Xyz,因為長方體中4遇=AD=2,CD=2√2,

則。(0,0,0),/1(2,0,0),C(0,2√2,0),F(2,2√2,0),F(2,√2,0),β1(2,2√2,2),

F(l,√2,1)?

所以方=(1,一√∑,l),CF=(2,-√2,0),CB=(2,0,0).

設(shè)平面CEF的法向量為Tn=(x1,y1,Zι),

則(m?CE=0,f%ι-V2y1+Z1=0,

(m?CF=0,12x1-V2y1=0.

令XI=1,則％=夜，z1=1,可得Jn=(L&,1■)?

設(shè)平面BCE的法向量為n=(X2，為*2)，

n,=0x

則［-f2-√2y2+Z2=θ<

In?CB=0,^2X2—0-

令丫2=1，則*2=0，z2=V2.所以n=(0,1,V2).

設(shè)平面CEF與平面BCE的夾角為仇

則COSe=Icos<m,n>|=獸彗=監(jiān)

所以平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為苧

3)因為"=(0,√2,0).

所以點4到平面CEF的距離為d=陪1=1.

Iml

選條件②:BID與平面BCCl/所成角為a

連接％C.

因為長方體ABCD-AlBIGDl中，CnI平面BCGB1，BlCU平面8CG反,

所以

CD1B1C.

所以NDBlC為直線Blo與平面BCCIBl所成角，即NDBlC=

所以ADBlC為等腰直角三角形.

因為長方體中441=4。=2,所以BιC=2√Σ

所以

Cn=B1C=2√2.

以下同選條件①.

【解析】略

19.【答案】解：(/)當a=0時，/(x)=τlnx,定義域為(0,+8).

∕,(x)=-Inx-1,

令/'(X)=0，得X=：,

1

當Ke(Ow)時，∕,(%)>0,

當％eg,+8)時，f(χ)<0,

所以/(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0占).

(H)令九(X)=/'(%)—2ax-Inx—1,

則∕√(%)=2α-g=W^?

當α≥泄，令∕√(x)=0,得X=￡

當％∈(0,或)時，∕ι,(x)<O,MX)單調(diào)遞減;

當％∈e,+8)時，∕ιz(x)>0,九(X)單調(diào)遞增；

所以當％=蚩時，九(X)最小值為g(α)=/i(?)=ln(2α).

當QZl時，ln(2α)的最小值為1,

所以g(α)的最小值為1.

(HI)由(II)知廣⑶在心月上單調(diào)遞減，在號,勺上單調(diào)遞增,

又廣島)=Ah?A?=^l^ln?

所以M=(ln(2a),i-ln?),/V=(ln(2a),-∣-ln?),

(一Alna)—(?1吟)=1底—1咤-1=ln3-1>0,

所以M呈N.

【解析】略

?r=L

c

20.【答案】解：(I)由題設(shè)，得=解得α=v3?

2√.6

la+2

EΛ_2C

2

所以橢圓E的方程為會+V=1.

(∏)直線Be的方程為y-1=∕c(χ+√3).

由?28)'得(3憶2+l)x2+(6√3fc2+6k)x+9fc2+6√3k=0.

1%+Sy=?

由A=(6√3fc2+6k)2-4×(3fc2+1)×(9∕c2+6√3k)>0.得k<0.

設(shè)BQ】,乃)，以必42)，則X1+&=—x∕2=?^?

3kz+l3kz÷l

直線4B的方程為y=*二X+1.

xI

r

令y=0,得點M的橫坐標為XM=一記T=~k(x^+v3y

同理可得點N的橫坐標為XN=-a='屋、③.

XM+M=-?‰+整5)

?2-I-2+6CyI+%2)

kXlX2+6(Xl+%2)+3

+6λ∕3∕c.∕QΛ6V3∕C^+6k、

]2(卞丁)+λ百(一量丁)

22

N9∕C+6√3∕c?46√3∕C+6∕cλ??

?r+13r+1

因為點。坐標為(—g,0),則點。為線段MN的中點,

所嚅J=1

2,

【解析】略

21.【答案】解：(I)滿足條件的數(shù)表42為G)，GJ),(3：)，所以由ι+的2的值分別為5,

5,6.

(11)若當由1+的2+-+%71取最大值時，存在l≤j≤n,使得α2j=2n.

由數(shù)表4九具有性質(zhì)P可得j為奇數(shù)，

不妨設(shè)此時數(shù)表為M=(能鼠二/

①若存在由Hk為偶數(shù)，l≤∕c≤n),使得αυc＞的ι,交換的k和2n的位置，所得到的新數(shù)表也具

有性質(zhì)P，

調(diào)整后數(shù)表第一行和大于原數(shù)表第一行和，與題設(shè)矛盾，所以存在l≤i≤n,使得t?=2n.

②若對任意的ant(k為偶數(shù)，l≤k≤n),都有的上＜的1，交換的2和的i