2023年北京重點校初二（下）期中數(shù)學試卷匯編：平行四邊形章節(jié)綜合1

第1頁/共1頁2023北京重點校初二（下）期中數(shù)學匯編平行四邊形章節(jié)綜合1一、單選題1．（2023春·北京西城·八年級北京四中校考期中）如圖，矩形中，交于點，分別為的中點．若，則的長為（）A．2 B．4 C．8 D．162．（2023春·北京東城·八年級匯文中學?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023春·北京海淀·八年級清華附中校考期中）如圖，在中，于點E，，則等于（

）A． B． C． D．4．（2023春·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形的對角線相交于點O，，，則矩形對角線的長為（

）A．4 B．8 C． D．5．（2023春·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，菱形，O為坐標原點，點C在x軸上，A的坐標為，則頂點B的坐標是（

）A． B． C． D．6．（2023春·北京海淀·八年級清華附中?？计谥校┤鐖D，菱形的對角線、相交于點O，過點D作于點H，連接，若，，則的長為（

）A． B．4 C．8 D．二、填空題7．（2023春·北京東城·八年級匯文中學?？计谥校┤鐖D，在菱形中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，和的中點，連接，，和．若，，則菱形的面積為．

8．（2023春·北京燕山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，A，B兩點被池塘隔開，為測得A，B兩點間的距離，在直線外選一點C，連接和．分別取的中點D，E，若測得D，E兩點間的距離為，則A，B兩點間的距離為．

9．（2023春·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點E在上，平分，若，，則．10．（2023春·北京西城·八年級北京四中?？计谥校┤鐖D，在中，，，是的中線，E是的中點，連接，，若，垂足為E，則的長為．11．（2023春·北京西城·八年級北京四中?？计谥校┤鐖D，線段的長為10，點D在線段上運動，以為邊長作等邊三角形．再以為邊長，在線段上方作正方形，記正方形的對角線交點為O．連接，則線段的最小值為．12．（2023春·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片，，，折疊紙片使邊與對角線重合，折痕為，則，．13．（2023春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學校考期中）如圖，在中，于，是的中點，若，，則的長等于．14．（2023春·北京海淀·八年級清華附中校考期中）矩形中，，點A是y軸正半軸上任意一點，點B在x軸正半軸上．連接．則線段的長度最大值是．15．（2023春·北京海淀·八年級清華附中?？计谥校┤鐖D，在矩形中，點B的坐標為，則的長是．三、解答題16．（2023春·北京東城·八年級匯文中學校考期中）在平面直角坐標系中，對于P，Q兩點，給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點為“等距點”．(1)如圖1，已知點P的坐標為，在點，，中，與點P是“等距點”的有______；

(2)如圖2，菱形四個頂點的坐標為，

①當時，點N為菱形的邊上一個動點，令點N到x、y軸的距離中的最大值為，則的取值范圍是______；②當時，點F為菱形的邊上一個動點，若平面中存在一點E，使得E，F(xiàn)兩點為“等距點”．在圖3中畫出點E的軌跡，并計算該軌跡所形成圖形的面積；

③我們規(guī)定：橫縱坐標均為整數(shù)的點是整點．若菱形的邊過定點，點F為菱形的邊上一個動點，平面中存在一點E，使得E，F(xiàn)兩點為“等距點”，若菱形內(nèi)部（不含邊界）恰有9個整點，直接寫出點E的軌跡所覆蓋整點的個數(shù)．17．（2023春·北京東城·八年級匯文中學?？计谥校┈F(xiàn)有正方形和一個直角．(1)如圖1，若點與點重合，射線交延長線于，射線交正方形的邊于，則與的數(shù)量關系是______，請證明你的結(jié)論；

(2)如圖2，若點在正方形的對角線上，射線交延長線于，射線恰好經(jīng)過點，則與的數(shù)量關系是______，請證明你的結(jié)論；

(3)若在正方形所在平面內(nèi)任意移動，射線交直線于點，射線交直線于點，若與始終保持相等，請你直接寫出點所有可能的位置．

18．（2023春·北京燕山·八年級統(tǒng)考期中）對于平面直角坐標系中的兩點A和C，給出如下定義：若A，C是某個矩形對角線的頂點，且該矩形的每條邊均與x軸或y軸垂直，則稱該矩形為點A，C的“對角矩形”．如圖1為A，C的“對角矩形”的示意圖．已知點．

(1)①當時，在圖2中畫出點A，C的“對角矩形”，并直接寫出它的面積S的值；②若點A，C的“對角矩形”的面積是15，求t的值；(2)若點，在線段上存在一點D，使得點D，C的“對角矩形”是正方形，請直接寫出t的取值范圍．19．（2023春·北京燕山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形中，是過點的一條直線，點關于直線的對稱點為，連接并延長交直線于點．

(1)依題意補全圖形；(2)連接，判斷的形狀并證明；(3)連接，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．20．（2023春·北京燕山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的對角線與交于點O，，，．求的周長．

21．（2023春·北京西城·八年級北京四中?？计谥校┮阎喝鐖D，在平行四邊形中，的平分線交于點，過點作的垂線交于點，交于點，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求的長．22．（2023春·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形中，點P是邊上的一點（不與點C、D重合），連接，，O為的中點，過點P作于E，連接．(1)依題意補全圖形；(2)求的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．23．（2023春·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）定義：若點P為四邊形內(nèi)一點，且滿足，則稱點P為四邊形的一個“互補點”．(1)如圖1，點P為四邊形的一個“互補點”，若，則；(2)如圖2，點P是菱形對角線上的任意一點（不與點B，D重合），求證：點P為菱形的一個“互補點”．24．（2023春·北京通州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點E，于點F．求證：．25．（2023春·北京海淀·八年級清華附中?？计谥校┤鐖D，點E在正方形的邊上（不與點B，C重合），點B關于直線的對稱點為F，作射線交AE交于點G，連接，過點C作交射線于點H．(1)依題意補全圖形；(2)求的度數(shù)；(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關系．并證明．26．（2023春·北京海淀·八年級清華附中?？计谥校┰诰匦沃?，連接，延長至E，使，過點E作交延長線于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，，①求菱形的面積，②直接寫出線段的長為．27．（2023春·北京西城·八年級北京四中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，對于點和正方形，給出如下定義：若點在正方形內(nèi)部（不包括邊界），且到正方形的邊的最大距離是最小距離的倍，則稱點是正方形的倍距離內(nèi)點．已知：，．(1)當時，①點，，三個點中，___是正方形的倍距離內(nèi)點；②點是正方形的倍距離內(nèi)點，請直接寫出的取值范圍；(2)點，，若線段上存在正方形的倍距離內(nèi)點，請直接寫出的取值范圍；(3)當時，請直接寫出所有正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形面積．28．（2023春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學?？计谥校┤鐖D，在正方形中，點在邊上，點在正方形外部，且滿足，．連接，，取的中點，連接，，交于點．(1)依題意補全圖形1，則的度數(shù)為__________（直接寫出答案）；(2)請?zhí)骄烤€段，，所滿足的等量關系，并證明你的結(jié)論；(3)設，若點沿著線段從點運動到點，則在該運動過程中，線段所掃過的面積為__________（直接寫出答案）．29．（2023春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點的坐標為，點的坐標為，且，．給出如下定義：若一個矩形的邊均與某條坐標軸平行，且是它的一條對角線，則稱這個矩形是的“非常知形”，如圖1，點和點，它們的“非常矩形”是矩形．(1)在點，，中，與點構(gòu)成的“非常矩形”的周長是6的點是__________；(2)若在第一象限有一點與點構(gòu)成的“非常矩形”，且它的周長是8，求，滿足的數(shù)量關系；(3)如圖2，等邊的邊在軸上，頂點在軸的正半軸上，點的坐標為，點的坐標為，若在的邊上存在一點，使得點，的“非常矩形”為正方形，請直接寫出的取值范圍．30．（2023春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，點，分別在，上，且點是的中點，．求證：點是的中點．31．（2023春·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學?？计谥校┰趯W習了第18章特殊平行四邊形之后，老師給班級同學出了一道思考題．如圖，已知，點在射線上，點，在射線上，其中，四邊形是平行四邊形，請只用無刻度的直尺畫出菱形，并說明理由．小明經(jīng)過思考后，給出了自己的作法：①連接，，相交于點；②連接并延長交的延長線于點；③連接，四邊形即為所求作的菱形．根據(jù)小明的設計，完成下面問題：(1)補全圖形；(2)證明四邊形為菱形；(3)若，，求的長．32．（2023春·北京西城·八年級北師大實驗中學校考期中）如圖，在正方形中，是邊上的一點（不與，重合），點于直線的對稱點是點，連接，，，直線，交于點．(1)在圖1中補全圖形；(2)猜想的度數(shù)，并證明；(3)連接，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．33．（2023春·北京豐臺·八年級北京市第十二中學校考期中）下面是小琪設計的“作菱形”的尺規(guī)作圖過程．求作：菱形．作法：①作線段；②作線段的垂直平分線l，交于點O；③在直線l上取點B，以O為圓心，長為半徑畫弧，交直線l于點D（點B與點D不重合）；④連接，，，．所以四邊形為所求作的菱形．根據(jù)小琪設計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：∵，∴四邊形為平行四邊形．（）（填推理的依據(jù)）∵，∴為菱形．（）（填推理的依據(jù)）

參考答案1．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)得出，進而求出，再依據(jù)中位線的性質(zhì)推知，即可得到答案．【詳解】解：四邊形是矩形，交于點，，，，即，，分別為的中點，是的中位線，，故選：B．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，解題的關鍵是找到線段間的倍分關系．2．A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，將代入求出即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，把代入得：，∴，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解此題的關鍵．3．B【分析】由在中，，可求得的度數(shù)，又由，可求得答案．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故選B．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形的對角相等定理的應用是解此題的關鍵．4．B【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，然后求出，然后證明是等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，是等邊三角形，，．故選：B．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識，解題的關鍵是證明是等邊三角形，屬于基礎題．5．C【分析】先利用兩點之間的距離公式可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】解：點的坐標為，，四邊形是菱形，，點的橫坐標為，縱坐標與點的縱坐標相同，即為4，即，故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和點坐標，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關鍵．6．B【分析】由菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，可計算出的長度，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出答案．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，在中，點是的中點，．故選B．【點睛】本題主要考查了菱形及直角三角形的性質(zhì)，合理應用性質(zhì)進行計算是解決本題的關鍵．7．16【分析】連接、，交于點O，根據(jù)中位線的性質(zhì)求出，，根據(jù)菱形面積公式求出．【詳解】解：連接、，交于點O，如圖所示：

∵四邊形為菱形，∴，∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，和的中點，∴，，∵，，∴，，∴．故答案為：16．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．8．30【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵點D，E分別為的中點，，∴是的中位線，∴，故答案為：30．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，熟知三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊長的一半是解題的關鍵．9．1【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進一步證明，得到，則．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，證明是解題的關鍵．10．【分析】根據(jù)垂直定義可得，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，，從而得到，最后利用勾股定理進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵是的中線，，∴是斜邊上的中線，∴，∵，E是的中點，∴，∴，∴由勾股定理得，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關鍵．11．5【分析】連接、，則、交于點O，連接并延長，過點B作于點M，證明，得出，證明點O一定在射線上，根據(jù)垂線段最短，得出點O在點M處時，線段取最小值，求出最小值即可．【詳解】解：連接、，則、交于點O，連接并延長，過點B作于點M，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴點O一定在射線上，∵垂線段最短，∴點O在點M處時，線段取最小值，∵，，∴，∴線段取最小值為5．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，得出點O一定在射線上．12．21.5【分析】根據(jù)勾股定理可得，由折疊的性質(zhì)可得，則，，則，在中，根據(jù)勾股定理求的長即可．【詳解】解：在中，，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，，∴，設，則，，在中，，解得，即．故答案為：2，1.5．【點睛】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是利用勾股定理得到．13．8【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，是的中點，∴，∵，∴，在中，，，由勾股定理得，故答案為：8．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解答的關鍵．14．9【分析】取的中點，連接、，當、成一條直線時，有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：取的中點，連接、，當、成一條直線時，有最大值，在矩形中，，，，∴，在中，，在中，，的最大值是，故答案為：9．【點睛】此題考查的是矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及勾股定理，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．15．13【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：連接，過作軸于，點的坐標是，，，由勾股定理得：，四邊形是矩形，，，故答案為：13．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，能根據(jù)矩形的性質(zhì)得出是解此題的關鍵．16．(1)、(2)①；②畫出軌跡見解析，該軌跡所形成圖形的面積為36；③16【分析】（1）根據(jù)“等距點”的定義判斷即可解答；（2）①根據(jù)點到坐標軸的距離的定義確定的最值即可解答；②先求得點F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為，設點，則、，然后畫出軌跡區(qū)域確定面積即可；③點F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為，設點，根據(jù)題意可得、，然后畫出軌跡區(qū)域即可解答．【詳解】（1）解：∵點P的坐標為，∴點P到x、y軸的距離中的最大值等于4，∵點到x、y軸的距離中的最大值等于4，點到x、y軸的距離中的最大值等于2，點到x、y軸的距離中的最大值等于4，∴點P的“等距點”的是、，故答案為:、．（2）解：①∵∴∴,四邊形是正方形，∴當N與C或D重合時，有最大值5如圖：過O作∵四邊形是正方形，∴∴∴過E作,則∴；同理：∴當N在E點時，有最小值∴的取值范圍為．故答案為．

②根據(jù)①的方法可得：點F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為：設點，則，．∴如圖：陰影部分為點F的軌跡，該軌跡所形成圖形的面積為；

③根據(jù)題意畫出圖形如下：根據(jù)①的方法可得：點F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為：設點，則，∴如圖：陰影部分為點F的軌跡，則點E的軌跡所覆蓋整點的個數(shù)個．

【點睛】本題主要考查了點到坐標軸的距離、菱形的性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意正確畫出圖形成為解答本題的關鍵．17．(1)，證明見解析(2)，證明見解析(3)點在直線上時，與始終保持相等【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明即可得證；（2）作，交于，由正方形的性質(zhì)和可得為等腰直角三角形，通過證明，即可得到結(jié)論；（3）當點在線段上時，作交于，作交于，通過證明和，即可得到與始終保持相等，當點在的延長線上時，作交于，交于，通過證明和，即可得到與始終保持相等，同理可得，當點在的延長線上時，與始終保持相等．【詳解】（1）解：，證明：四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，；（2）解：，證明：如圖，作，交于，

，四邊形是正方形，，，為等腰直角三角形，，，，即，在和中，，，，，；（3）解：當點在線段上時，如圖所示，作交于，作交于，

，

則，由正方形的性質(zhì)可得：，在和中，，，，，，在和中，，，，當點在線段上時，與始終保持相等，當點在射線上時，如圖所示，作交于，交于，

，則，四邊形為矩形，由正方形的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)可得：，在和中，，，，，，在和中，

，，，當點在的延長線上時，與始終保持相等，同理可得：當點在的延長線上時，與始終保持相等，綜上所述，當點在直線上時，與始終保持相等．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線，采用分類討論的思想解題，是解題的關鍵．18．(1)①作圖見解析，；②或(2)或【分析】（1）①先確定出，直接利用新定義即可畫出圖形；②先確定出點A，C的“對角矩形”寬為3，利用面積建立方程求解即可得出結(jié)論；（2）找出分界點求出t的值，借助圖形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①畫出點A，C的“對角矩形”如圖所示：

當時，∴，∵，∴．②∵點，∴點A，C的“對角矩形”寬為3．∵點A，C的“對角矩形”的面積是15，∴點A，C的“對角矩形”長為5，∴或；（2）解：如圖，

當點D和點B重合時，，，∵使得點D、C的對角矩形是正方形，∴，∴，當點D和點A重合時，，∵使得點D、C的對角矩形是正方形，∴，∴或，∴或，故答案為：或．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解一元一次方程，正確理解矩形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．19．(1)見解析(2)是等腰三角形，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，進而證明結(jié)論；（3）延長至點，使得，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，證明結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，即為補全的圖形；

（2）是等腰三角形，理由如下：在正方形中，，點關于直線的對稱點為，，，是等腰三角形；（3），證明如下：延長至點，使得，連接，點關于直線的對稱點為，，，，，，在和中，，，，，，，即，，．

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關鍵．20．的周長是【分析】由，，根據(jù)“平行四邊形的對角線互相平分”得，，而，即可求得的周長是．【詳解】解：∵的對角線與交于點O，，，∴，，∵，∴，∴的周長是．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分．21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，證明，得出，因此，證出四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）過點作于點，由菱形的性質(zhì)得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的長．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴且，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；（2）解：如圖所示，過點作于點，∵四邊形是菱形，，，，∴，，，，在中，，，在中，，，∴，在中，，∴的長為．

【點睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，全等三角形的判定和性質(zhì)，角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識．掌握菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵．22．(1)見解析(2)(3)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可；（2）首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，進而可得到；（3）連接，首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，然后證明出是等腰直角三角形，得到，然后根據(jù)正方形的對稱性得到，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖所示，（2）∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∵，O為的中點，∴，∴，∴；（3）如圖所示，連接，∵，O為的中點，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵是正方形的對角線，∴，∴．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．23．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)點P為四邊形的一個“互補點”的定義，可得出，從而根據(jù)周角的定義可求出結(jié)果；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可證得，再證明，可證得，同理得出，然后證明，即可求證．【詳解】（1）解：∵點P為四邊形的一個“互補點”，∴，∵，，∴，故答案為：；（2）證明：如圖，連接，∵菱形，∴，∵，∴，∴，同理，∵，∴，∴，即∴點P為菱形的一個“互補點”

．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，關鍵是理解題意，確定“互補點”的實際意義．24．證明見解析【分析】只需要證明，得到，即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明，得到是解題的關鍵．25．(1)見解析(2)(3)，證明見解析【分析】（1）依據(jù)題意補全圖形即可；（2）連接，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，利用等邊對等角得到，，結(jié)合四邊形內(nèi)角和求出，可得；（3）過C作，垂足為T，證明是等腰直角三角形，得到，再證明，得出，結(jié)合對稱的性質(zhì)，可得結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）連接，∵B，F(xiàn)關于對稱，∴垂直平分，∴，在正方形中，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（3），理由是：過C作，垂足為T，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，在正方形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．26．(1)見解析(2)①20；②【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)得到，結(jié)合已知證明平行四邊形，再利用即可證明菱形；（2）①根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)求出，再利用面積公式計算；②求出的長度，利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：在矩形中，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）①在矩形中，，∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴菱形的面積為；②在菱形中，，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是掌握菱形的判定方法，靈活運用菱形的性質(zhì)．27．(1)①；②(2)(3)【分析】（1）①根據(jù)定義求解；②根據(jù)定義求解，注意分類討論；（2）根據(jù)定義，先求出邊界值，即可確定范圍；（3）由（1）中第②中的結(jié)論可知當時，正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形是正方形；當時，正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形是正方形，從而得出當時，正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形是六邊形，再利用割補法求出面積即可。【詳解】（1）解：∵正方形在平面直角坐標系中，且，，當時，得：，，，，①點不在正方形內(nèi)，∴不是正方形的倍距離內(nèi)點，點到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，∵，∴是正方形的倍距離內(nèi)點，點到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，∵，∴不是正方形的倍距離內(nèi)點，故答案為：；②∵點是正方形的倍距離內(nèi)點，∴，點到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，可分以下幾種情況：當為最小值，為最大值時，由，則有：，解得：，或，解得：，∴，當時，，若，解得：（不合題意，舍去），當時，，若，解得：（不合題意，舍去），綜上所述，的取值范圍是。（2）∵正方形在平面直角坐標系中，且，，∴，若點是正方形的倍距離內(nèi)點，由點到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，當即時，，解得：，當即時，，解得：，若點是正方形的倍距離內(nèi)點，由點到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，當即時，，解得：，當即時，，解得：，綜上所述，的取值范圍是；（3）如圖，由（1）中第②中的結(jié)論可知，當時，點是正方形的倍距離內(nèi)點，則，∴若點是正方形的倍距離內(nèi)點，則，∴正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形是正方形，其中，，∴，，則當時，正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形是正方形，其中，，∴，，∴當時，正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形是六邊形，設六邊形的面積為，連接，∴，∴當時，所有正方形的所有倍距離內(nèi)點組成的圖形面積為．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，圖形與坐標，“倍距離內(nèi)點”的定義，點到坐標軸的距離等知識，運用了分類討論的思想．解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會尋找特殊位置．28．(1)圖見解析，(2)，證明見解析(3)3【分析】（1）①依照題意補全圖形即可；②連接，證得，推出點B、E在的垂直平分線上，得到為的中點，從而得出結(jié)果；（2）證得是的中位線，推出，即可得到，即可得出結(jié)論；（3）找出所掃過的圖形為四邊形．根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，由此得出四邊形為梯形，再由，可算出線段、、的長度，利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①依題意補全圖形，如圖1所示．連接，如圖2所示．∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∵在中，點E是中點，∴．∵，∴點B、E在的垂直平分線上，∴F是中點，∴平分，∴；故答案為：；（2）由（1）得是線段的垂直平分線，，∴，F(xiàn)是中點，，∴，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴，

即；（3）解：在點M沿著線段從點C運動到點D的過程中，線段所掃過的圖形為四邊形．∵，，∴，∴四邊形為梯形．∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及梯形的面積公式，解題的關鍵是掌握相關性質(zhì)，學會利用特殊位置解決實際問題．29．(1)A(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)“非常矩形”，的定義求解即可；（2）根據(jù)“非常矩形”，的定義求解即可；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，，分當點H與點F重合時；當點H與點E重合時；當點H與D重合時三種情況，畫出圖形，分別根據(jù)正方形的性質(zhì)和坐標與圖形性質(zhì)求得對應的a值，結(jié)合圖形即可得出a的取值范圍．【詳解】（1）解：若點與點構(gòu)成的“非常矩形”，則周長為，符合題意；若點與點構(gòu)成的“非常矩形”，則周長為，不符合題意；若點與點構(gòu)成的“非常矩形”，則周長為，不符合題意，綜上，滿足條件的點為，故答案為：A；（2）解：∵在第一象限有一點與點構(gòu)成的“非常矩形”，且它的周長是8，∴，∴；（3）解：∵等