新高考數(shù)學(xué)圓錐曲線62種題型第七節(jié) 拋物線方程與性質(zhì)（原卷版）

第七節(jié)拋物線方程與性質(zhì)知識(shí)框架知識(shí)點(diǎn)歸納1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸y＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝eq\f(p,2)范圍x≤0，y∈R開(kāi)口方向向左[常用結(jié)論]1.通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑.題型歸類題型一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M，N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn).若|MF|＋|NF|＝5，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為_(kāi)_______.(2)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3，0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|＝________.(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.感悟提升求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.題型二拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用角度1焦半徑和焦點(diǎn)弦例2(1)已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝teq\o(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq\f(16,3)，則t＝________.(2)過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則p＝________.角度2與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題例3(1)若在拋物線y2＝－4x上存在一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到A(－2，1)的距離之和最小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.(2)已知拋物線x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為_(kāi)_______.感悟提升與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問(wèn)題得以解決.轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.題型三拋物線的綜合問(wèn)題例4已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直線l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.感悟提升1.有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.2.涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.提醒涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解.題型四拋物線中的二級(jí)結(jié)論拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的重要部分，了解和掌握相關(guān)結(jié)論，在解題時(shí)可迅速打開(kāi)思路，拋物線焦點(diǎn)弦的常見(jiàn)結(jié)論如下：設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；(7)通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.例1過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A.4 B.eq\f(9,2)C.5 D.6例2(2023·福州聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為eq\f(π,3)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\r(3)，則|AB|＝()A.eq\f(8,3) B.4C.8 D.24訓(xùn)練(1)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)(2)(2023·廣州模擬)已知拋物線C1：y2＝4x，圓C2：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x－1)與C1交于A，B兩點(diǎn)，與C2交于M，N兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則|MN|＝________________.課時(shí)訓(xùn)練一、單選題1．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，則（

）A．4 B． C．8 D．2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，且軸，若以為直徑的圓截直線所得的弦長(zhǎng)為2，則A．2 B． C．4 D．3．設(shè)斜率為1的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且和軸交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則（

）．A．4 B．8 C． D．4．直線：與拋物線：交于不同兩點(diǎn)、，是的焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，則的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限)，且則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知拋物線的焦點(diǎn)為、準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，點(diǎn)在上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．為定值D．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條8．（多選）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，點(diǎn)，在上的射影為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C．若，則 D．三、填空題9．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_____.10．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線與交于?兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓被軸所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)__________.11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，圓為拋物線上一點(diǎn)，且，過(guò)M作圓F的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的取值范圍為_(kāi)___________．12．已知拋物線與點(diǎn)，過(guò)的焦點(diǎn)，且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，則___________．四、解答題13．已知拋物線上的一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，求點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離.14．如圖，已知定點(diǎn)軸于點(diǎn)，是線段上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，相交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的軌跡方程.15．已知拋物線的方程為x2