現(xiàn)代信號(hào)處理課件

維納濾波與卡爾曼濾波共128頁(yè)*共128頁(yè)*Wiener&KalmanFilter設(shè)計(jì)（即獲得系統(tǒng)的單位沖激相應(yīng)）的準(zhǔn)則：（條件）滿足最小均方誤差（正交性原理）為準(zhǔn)則的，即保證：好處：運(yùn)算簡(jiǎn)單，對(duì)過(guò)大噪聲敏感，小噪聲不敏感；符合實(shí)際工程需要因此維納過(guò)濾與卡爾曼過(guò)濾又常常被稱為最佳線性過(guò)濾與預(yù)測(cè)或線性最優(yōu)估計(jì)。共128頁(yè)*共128頁(yè)*輸入信號(hào)及濾波器輸出模型輸入信號(hào)：輸出信號(hào)：

維納濾波器的輸入—輸出關(guān)系共128頁(yè)*實(shí)質(zhì)是設(shè)計(jì)系統(tǒng)(傳遞)函數(shù)或單位沖激響應(yīng)

共128頁(yè)*2.2維納濾波器的離散形式(I)——

時(shí)域解h(n)=0當(dāng)n<0，因果系統(tǒng)共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

用幾何圖形理解正交性原理上式展開(kāi)有：共128頁(yè)*共128頁(yè)*因此維納濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，歸結(jié)為求解wiener-Hopf方程共128頁(yè)*

解Wiener-Hopf方程

存在的問(wèn)題及解決的思路存在的問(wèn)題：1。假設(shè)設(shè)計(jì)的是因果系統(tǒng)，由于存在k>0的約束條件，卷積定理（雙邊Z變換）不能用。2。實(shí)際物理系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。解決思路：1。設(shè)計(jì)一個(gè)非因果性系統(tǒng)（濾波器）。2。用有限長(zhǎng)的因果序列h(n)來(lái)逼近hopt(n).實(shí)質(zhì)為設(shè)計(jì)FIR型濾波器。共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

結(jié)論1.維納濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)為求解Weiner-Hopf方程。2。非因果系統(tǒng)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單3。最小方差準(zhǔn)則的維納濾波器，用有限沖激響應(yīng)的FIR濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，計(jì)算復(fù)雜，工作量大，并不是有效的辦法。例題1：共128頁(yè)*2.3維納濾波器的z域解求解的基本思想：

把x(n)加以白化來(lái)求維納-霍夫方程的z域解.(這種方法是由波德(Bode)和香農(nóng)(Shannon)首先提出的)

白化：任何具有有理功率譜密度的隨機(jī)信號(hào)都可以看成是由一白色噪聲激勵(lì)一物理網(wǎng)絡(luò)所形成。

共128頁(yè)*共128頁(yè)*

共128頁(yè)*圖2.3s(n)的信號(hào)模型圖2.4x(n)的信號(hào)模型圖2.5信號(hào)模型共128頁(yè)*

B(z)是由單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)組成，B(1/z)是由對(duì)應(yīng)的單位圓外的零極點(diǎn)組成。因此：B（Z）是一個(gè)因果(或物理可實(shí)現(xiàn))的并且是最小相移的網(wǎng)絡(luò)共128頁(yè)*共128頁(yè)*

用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程于是，求在最小均方誤差下的最佳Hopt(z)的問(wèn)題就歸結(jié)為求最佳G(z)的問(wèn)題了。我們可以對(duì)G(z)加以因果性或非因果性的約束具體求解。由于G(z)的激勵(lì)源是將x(n)白化后得到的白噪聲，這就使得求圖2.7(b)中的最佳G(z)比求圖2.7(a)中的最佳H(z)容易，（為什么白化的原因）得：共128頁(yè)*共128頁(yè)*2.3.1沒(méi)有物理可實(shí)現(xiàn)性約束的(非因果的)維納濾波器）共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*物理意義及其解釋共128頁(yè)*圖2.8決定于與特性的例子共128頁(yè)*最小均方差求解共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*最小均方誤差不僅與輸入信號(hào)的功率有關(guān)（反），而且與信號(hào)和噪聲的功率譜的乘積有關(guān)（正）。共128頁(yè)*

2.3.2有物理可實(shí)現(xiàn)性約束的(因果的)維納濾波器共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

[例1]

設(shè)已知，以及

(白噪聲)

其中s(n)代表所希望得到的信號(hào)，代表加性白噪聲。求物理可實(shí)現(xiàn)與物理不可實(shí)現(xiàn)這二種情況下的及。共128頁(yè)*

[解]

因?yàn)樗?/p>

又因?yàn)楣?28頁(yè)*其中B(z)由單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)組成，B(z^-1)由單位圓外的零極點(diǎn)組成，上兩式比較得

(1)物理可實(shí)現(xiàn)情況共128頁(yè)*因?yàn)閷?duì)于項(xiàng)。所以共128頁(yè)*利用式(2.52)并考慮到，得共128頁(yè)*取單位圓為積分圍線，上式等于單位圓內(nèi)的積點(diǎn)的留數(shù)之和，即共128頁(yè)*而在經(jīng)過(guò)此濾波器以前的均方誤差為所以通過(guò)維納濾波器后均方誤差下降8/3(≈2.7)倍。共128頁(yè)*

(2)非物理可實(shí)現(xiàn)的情況共128頁(yè)*取單位圓為積分圍線C。在單位圓內(nèi)有二個(gè)極點(diǎn)：共128頁(yè)*。H式等于該二個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)，因此前面求得物理可實(shí)現(xiàn)的所以在此例中非物理可實(shí)現(xiàn)情況的均方誤差略小于(即稍好于)物理可實(shí)現(xiàn)的情況?？梢宰C明，物理可實(shí)現(xiàn)情況的最小均方誤差總不會(huì)小于非物理可實(shí)現(xiàn)的情況。2.4維納預(yù)測(cè)器

2.4.1預(yù)測(cè)的可能性共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

2.4.2預(yù)測(cè)器的計(jì)算公式維納預(yù)測(cè)器共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

(1)沒(méi)有物理可實(shí)現(xiàn)性約束的(非因果的)維納預(yù)測(cè)器共128頁(yè)*共128頁(yè)*(2)有物理可實(shí)現(xiàn)性約束的(因果的)維納預(yù)測(cè)器共128頁(yè)*共128頁(yè)*

2.4.3純預(yù)測(cè)器(N步)共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

[例2]

已知及

求(1)使均方誤差最小的

(2)最小均方誤差 共128頁(yè)*

[解]

因?yàn)樗杂墒?2.63)得因果的維納預(yù)測(cè)器，應(yīng)有共128頁(yè)*因?yàn)樗怨?28頁(yè)*對(duì)只取上式中n>0的部分，得再回到z-域，得共128頁(yè)*代入Hopt(z)表達(dá)式，得這個(gè)結(jié)果可用方框圖表示在圖2.11中。圖2.11純預(yù)測(cè)的例子共128頁(yè)*

由式(2.65)得它說(shuō)明：N越大，誤差越大，如果N=0則沒(méi)有誤差。共128頁(yè)*

現(xiàn)在來(lái)解釋上述疑問(wèn)。我們是把看成由白噪聲通過(guò)B(z)產(chǎn)生的，而故該信號(hào)模型可以用一個(gè)一階差分方程來(lái)表達(dá)：共128頁(yè)*圖2.12一階信號(hào)模型的例子共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

2.4.4維納預(yù)測(cè)器的時(shí)域解——

一步線性預(yù)測(cè)公式共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

§2.5卡爾曼濾波的信號(hào)模型——狀態(tài)方程與量測(cè)方程

2.5.1離散狀態(tài)方程及其解共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

2.5.2量測(cè)方程共128頁(yè)*圖2.13卡爾曼濾波的信號(hào)模型(a)多維情況；(b)一維情況。共128頁(yè)*

[例3]

仍沿用前面維納濾波中的例子(例1)，設(shè)，已知求卡爾曼信號(hào)模型中的與共128頁(yè)*[解]因?yàn)?/p>

所以共128頁(yè)*變換到時(shí)域： 所以

又，因?yàn)?，所以。?28頁(yè)*

§2.6卡爾曼過(guò)濾的方法與公式共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

[例4]

設(shè)為實(shí)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，具有功率譜密度：并已知在k=0時(shí)開(kāi)始觀察信號(hào)，試用卡爾曼過(guò)濾的計(jì)算公式求，并將計(jì)算結(jié)果與維納過(guò)濾方法計(jì)算(例1)的結(jié)果進(jìn)行比較(此例與例1中的相同)。共128頁(yè)*[解]從給定的，可以求得的狀態(tài)方程。因?yàn)?參見(jiàn)§2.5，例3)所以

共128頁(yè)*又由于所以

代入式(2.89)、(2.102)、(2.99)及(2.103)，得共128頁(yè)*(2.105)(2.106)(2.107)(2.108)將式(2.106)代入式(2.108)，得共128頁(yè)*

從式(2.107)與式(2.109)中消去，得求穩(wěn)態(tài)解，將式(2.110)中的代入并化簡(jiǎn)，得共128頁(yè)*所以(只取正值解)所以共128頁(yè)*所以由此可見(jiàn)，已知前一個(gè)估計(jì)值

與當(dāng)前的量測(cè)值，就可以求得當(dāng)前的估計(jì)值。

共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*本章小結(jié)1。掌握Wiener濾波器的作用－－噪聲中信號(hào)的恢復(fù)（估計(jì)）。2。掌握Wiener濾波器的設(shè)計(jì)原則－－保證估計(jì)結(jié)果的均方誤差最?。ㄕ辉恚?。3。掌握Wiener濾波器設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)及結(jié)果－－實(shí)質(zhì)為解Wiener－Hofp方程，結(jié)果形式為單位沖激響應(yīng)h(n)(時(shí)域)或系統(tǒng)函數(shù)H(z)（頻域）.共128頁(yè)*共128頁(yè)*

z=0.01*randn(1,150)-0.37727;xx(1)=-0.31;Q=0.000001;R=1;p(1)=0.02;s(1)=-0.37727;fork=2:1:150s(k)=-0.37727;共128頁(yè)*xs(k)=xx(k-1);ps(k)=p(k-1)+Q;K(k)=ps(k)/(ps(k)+R);xx(k)=xs(k)+K(k)*(z(k)-xs(k));p(k)=(1-K(k))*ps(k);endplot(xx);holdonplot(z,'r')plot(s,'k')共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*共128頁(yè)*

功率譜估計(jì)

§5.1引言功率譜的物理意義及定義(維納-欽辛定理)自相關(guān)函數(shù):對(duì)取統(tǒng)計(jì)平均有:計(jì)算功率譜的以上兩個(gè)公式表明:1功率譜(隨機(jī)變量)是無(wú)限個(gè)自相關(guān)函數(shù)的函數(shù),但工程實(shí)際觀察數(shù)據(jù)只是有限個(gè).因此分析計(jì)算隨機(jī)序列的功率譜是個(gè)功率譜的估計(jì)問(wèn)題.2.不同的統(tǒng)計(jì)估計(jì)準(zhǔn)則,分析估計(jì)結(jié)果是不同的.因此對(duì)功率譜估計(jì)有很多種方法.本章就是研究功率譜估計(jì)的方法.重點(diǎn)在于討論各種方法的特點(diǎn)及其實(shí)現(xiàn).統(tǒng)計(jì)估計(jì)的一般準(zhǔn)則通常一個(gè)好的估計(jì)，要求估計(jì)值的概率密度曲線符合正態(tài)分布、曲線必須要窄（方差?。?、且比較集中在其估計(jì)量的真值附近。評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)：1、偏移性B：(有偏、無(wú)偏、漸近無(wú)偏估計(jì)）定義為統(tǒng)計(jì)平均同真值之間的差值。2、有效性質(zhì)：估計(jì)量的方差反映的是無(wú)偏估計(jì)量在真值附近的擺動(dòng)情況。3、一致性：估計(jì)量的均方誤差（有效性）比較兩個(gè)有偏估計(jì)量的好壞。圖5.1二種估計(jì)的概率密度分布５．２統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)

一、均值的估計(jì)已知樣本數(shù)據(jù)：均值的估計(jì)量用下式計(jì)算（樣本之間不相關(guān)）：可以證明：當(dāng)數(shù)據(jù)內(nèi)部不相關(guān)時(shí)，按照上式進(jìn)行估計(jì)均值是一種無(wú)偏的一致估計(jì)。方差的估計(jì)已知樣本數(shù)據(jù)：方差的估計(jì)量用下式計(jì)算（樣本之間不相關(guān)）：可以證明：這是一致估計(jì)當(dāng)均值不知道時(shí)：有偏估計(jì)，但漸進(jìn)無(wú)偏：無(wú)偏一致估計(jì)：隨機(jī)序列自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)已知隨機(jī)序列的一段樣本數(shù)據(jù)，來(lái)利用這段數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)的方法有：１：無(wú)偏估計(jì)：該估計(jì)的特點(diǎn)：盡管是無(wú)偏估計(jì)，但不是一致估計(jì)，方差很大，不是一種好的估計(jì)方法２：有偏估計(jì)：該估計(jì)的特點(diǎn)：盡管求平均時(shí)，只用N去除不合理，但其服從漸進(jìn)一致估計(jì)的原則，比無(wú)偏估計(jì)法誤差小，因此工程上常用該方法計(jì)算．利用自相關(guān)函數(shù)計(jì)算功率譜的實(shí)質(zhì)圖5.2三種不同分辨率的譜估計(jì)方法的例子(a)經(jīng)典法BTPSD法；(b)最大熵譜估計(jì)法(自回歸PSD法)；(c)Pisavcnko諧波分解法。功率譜估計(jì)的應(yīng)用

§5.3周期圖作為功率譜的估計(jì)分析該估計(jì)的性能：不難看出：w（m）是個(gè)三角函數(shù)（兩個(gè)矩形函數(shù)的卷積），被稱為Bartlett窗函數(shù)，用表示。自相關(guān)函數(shù)的真值當(dāng)時(shí)說(shuō)明：１：方差不等于零，不滿足一致估計(jì)的條件．２：方差較大，不是功率譜的好估計(jì)．解決辦法：將周期圖進(jìn)行平滑（或平均）處理，滿足一致性．圖5.3高斯白噪聲序列的周期圖

§5.4平滑后的周期圖作為PSD的估計(jì)

5.4.1巴特利特(Bartlett)平均周期圖的方法[例如]為了說(shuō)明經(jīng)平均后的周期圖作為功率譜估計(jì)的實(shí)際效果，設(shè)有一零均值高斯分布的隨機(jī)過(guò)程，其功率譜密度為圖5.4與的特性

圖5.5平滑后的周期圖（每段取8個(gè)數(shù)據(jù)）

圖5.6平均后的周期圖(每段取16個(gè)數(shù)據(jù))

5.4.2窗口處理法平滑周期圖

5.4.3Welch法主要針對(duì)Bartlett法提出二方面的修正：其一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，并在周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)，這樣保證了對(duì)于任何的窗函數(shù)，功率譜密度估計(jì)非負(fù)。其二是分段之間可以有重疊（相當(dāng)于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度變長(zhǎng)了分段多了）因此方差減小。經(jīng)典譜估計(jì)法總結(jié)：實(shí)質(zhì)：根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算FFT（傅立葉變換）獲得相應(yīng)的譜密度信息。特點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，效率高；缺點(diǎn)：由于將測(cè)得數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)均看作零（實(shí)質(zhì)相當(dāng)于乘上了一個(gè)矩形窗口），因此頻率分辨率低?，F(xiàn)代譜估計(jì)法的基本思想：克服經(jīng)典譜估計(jì)的缺點(diǎn)，另辟新徑，從數(shù)學(xué)模型（參數(shù)）的角度出發(fā)。認(rèn)為已觀察到的數(shù)據(jù)是白噪聲通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的。處理思想及步驟：1選擇一個(gè)合適的模型

2確定模型參數(shù)（根據(jù)觀察值）

3由模型求PSD

關(guān)鍵1：模型選擇問(wèn)題（AR，MA，ARMA）

2：參數(shù)確定方法（導(dǎo)致產(chǎn)生了各種算法）

§5.5自回歸模型法(AR)數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:差分方程求功率譜的實(shí)質(zhì)變?yōu)榇_定系統(tǒng)參數(shù)的問(wèn)題ARMA模型圖5.7自回歸模型到底選擇什么模型？為何討論AR模型？1。Wold分解定理：任何有限方差的ARMA或MA平移過(guò)程可以用可能是無(wú)限階的AR模型表達(dá)；同樣，任何ARMA或AR模型可以用可能是無(wú)限階的MA模型表達(dá)。因此，如果在這三個(gè)模型中選了一個(gè)與信號(hào)不匹配的模型，利用高的階數(shù)仍然可以得到好的逼近。2。由于對(duì)AR模型參數(shù)的估計(jì)，得到的是線性方程。故AR模型比ARMA以及MA模型有在計(jì)算上的優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，實(shí)際的物理系統(tǒng)往往是全極點(diǎn)系統(tǒng)。所以研究有理分式傳遞函數(shù)的模型，主要研究AR模型。如何根據(jù)自相關(guān)函數(shù)確定系統(tǒng)參數(shù)最小均方誤差準(zhǔn)則下的線性預(yù)測(cè)器求AR模型各參數(shù)的另一種方法：自適應(yīng)濾波器原理實(shí)質(zhì)上：建模和預(yù)測(cè)是等價(jià)的。

圖5.8AR模型的H(z)與其逆濾波器的串接圖5.9橫向結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)誤差濾波器

§5.6最大熵譜估計(jì)法（MESE）

MaximumEntropySpectralEstimation）

5.6.1最大熵譜估計(jì)法的基本思想及其與線性預(yù)測(cè)AR模型法的等價(jià)性熵的基本概念：熵代表一種不定度，最大熵代表最隨機(jī)，意味著對(duì)應(yīng)的PSD最平坦。其定義為：結(jié)論：

上式實(shí)質(zhì)為Yuler－walker方程，因此其同AR模型等價(jià)

5.6.2Levinson-Durbin遞推算法：

Yule－Walker方程的一種高效解

§5.7預(yù)測(cè)誤差格型濾波器及伯格(Burg)遞推算法

5.7.1預(yù)測(cè)誤差格型濾波器圖5.10格型預(yù)測(cè)誤差濾波器圖5.11后向預(yù)測(cè)誤差

5.7.2Burg遞推算法——Kp的確定

5.7.3正反向線性預(yù)測(cè)最小二乘法

小波變換及其應(yīng)用

第一節(jié)從傅里葉變換到小波變換前面重點(diǎn)講述了確定性信號(hào)的頻域分析、應(yīng)用以及隨機(jī)信號(hào)分析的基本內(nèi)容。本節(jié)開(kāi)始介紹常用于非穩(wěn)態(tài)分析的一種新的變換方法——小波變換。傅里葉變換和傅里葉反變換是同一能量信號(hào)的兩種不同表現(xiàn)形式，正變換把一個(gè)信號(hào)函數(shù)分解成眾多的頻率成份，反變換將這些頻率成份重構(gòu)為原來(lái)的信號(hào)，轉(zhuǎn)換過(guò)程中能量保持不變。在采樣定理的指導(dǎo)下，離散傅里葉變換（DFT）為計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換提供了理論基礎(chǔ)，快速傅里葉變換（FFT）的提出則使傅里葉分析變得實(shí)用。然而，傅里葉變換的作用是有限的，這里主要談兩點(diǎn)。一是傅里葉變換沒(méi)有包含時(shí)間信息。實(shí)際信號(hào)中含有大量非穩(wěn)態(tài)的成份，如突變、偏移、趨勢(shì)、事件的開(kāi)始、終止等等，其頻率特性將隨時(shí)間而發(fā)生變化，對(duì)這些信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)需要提取某一時(shí)間段的頻域信息或某一頻率段的時(shí)間信息。二是傅里葉變換不利于分析時(shí)變信號(hào)。時(shí)變信號(hào)可以分段進(jìn)行研究，對(duì)變化快的信號(hào)，其頻率高，取小的時(shí)間間隔有利于提高分析的精度；對(duì)變化慢的低頻信號(hào)，取大的時(shí)間間隔才可以收集到完整的信息以進(jìn)行分析。而傅里葉變換不能實(shí)現(xiàn)這樣的時(shí)－頻局部化分析。(a)Haar小波 (b)Morlet小波小波的波形可以進(jìn)行拉伸和壓縮，以用以分析信號(hào)的輪廓和信號(hào)的細(xì)節(jié)，這種拉伸和壓縮變換被稱為尺度變換。圖9-2為不同尺度的Daubechies小波的示意圖，從圖中可以看出，尺度值a越小，圖形壓縮越厲害；反之，尺度值越大，圖形拉伸越厲害。圖9-2不同尺度小波示例圖9-3為短時(shí)傅里葉變換和小波變換的對(duì)比示意圖。圖（a）表示短時(shí)傅立葉變換，對(duì)任意頻率，其窗口都一樣；圖（b）表示小波變換，它將一個(gè)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)間和頻率的二維函數(shù)，可以提供信號(hào)在某個(gè)時(shí)間段和某個(gè)頻率范圍的一定信息。STFT圖9-3短時(shí)傅立葉變換和小波變換示意圖WFT第二節(jié)小波和小波變換一、母小波和小波1．定義滿足如下允許條件或其等價(jià)條件的函數(shù)稱為一個(gè)母小波函數(shù)（MotherWaveletFunction），其中為的傅里葉變換。式（9－2）說(shuō)明母小波函數(shù)具有一定的振蕩性，即包含某種頻率特性。對(duì)母小波函數(shù)作伸縮、平移得式中，，稱為小波函數(shù)，簡(jiǎn)稱小波。式中變量a反映函數(shù)的尺度（或?qū)挾龋?，a越小，則波形壓縮越厲害，a越大，則波形拉伸越多，變量b檢測(cè)沿t軸的平移位置。一般情況下，母小波函數(shù)能量集中在原點(diǎn)，小波函數(shù)能量集中在b點(diǎn)。母小波具有以下三條性質(zhì)：①，即母小波具有零直流分量。②母小波及其生成的小波函數(shù)均為帶通信號(hào)。③母小波及其生成的小波函數(shù)隨t的延伸而快速衰減。2．小波的尺度、時(shí)－頻關(guān)系及濾波特性設(shè)母小波函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則相應(yīng)的連續(xù)小波的窗口中心為窗口寬度為即時(shí)、頻窗口的面積與尺度a無(wú)關(guān)，它的與的大小是相互制約的，這正是海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理的要旨，即時(shí)間分辨率和頻率分辨率是相互制約的。由此，可以得到以下結(jié)論：①小波的尺度a和頻率相對(duì)應(yīng)。小尺度a對(duì)應(yīng)高頻的，大尺度a對(duì)應(yīng)低頻的。②時(shí)間、頻率（尺度）窗口的形狀隨a而變化。這是和短時(shí)傅里葉變換的等時(shí)間窗所不同的。③不可能同時(shí)得到很高的時(shí)間、尺度分辨率。這是由于時(shí)間、尺度窗口的面積恒定決定的。④小波可以看作是一組衡Q濾波器。由于小波母函數(shù)具有有限頻帶，其伸縮、平移得到的小波為一組帶通濾波器。帶通濾波器的品質(zhì)因素被定義為通帶寬度與中心頻率的比值，設(shè)母函數(shù)的品質(zhì)因素則由它生成的小波的品質(zhì)因素不隨尺度a而變化。二、連續(xù)小波變換和反變換1．連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換有兩個(gè)參數(shù)a和b，對(duì)同一個(gè)a，信號(hào)可以分解成不同時(shí)移b的小波的疊加，而改變a值，同一個(gè)信號(hào)又可以在不同層次上進(jìn)行由粗到細(xì)的分解，獲得小波變換的步驟可以概括為以下五步：選擇尺度a一定的小波，將它與被分析信號(hào)的初始段進(jìn)行比較，如圖9-4（a）。通過(guò)計(jì)算得出該段信號(hào)與所選小波的相關(guān)程度，越大，說(shuō)明二者越相似。這一結(jié)果依賴于所選擇小波的形狀。改變b值實(shí)現(xiàn)小波平移，如圖9-4（b），重復(fù)（1）、（2）步，直至對(duì)信號(hào)完成一次比較分析。增加尺度因子a，即拉伸小波，重復(fù)（1）—（3）步，對(duì)信號(hào)進(jìn)行下一輪分析，如圖9-4（c）。對(duì)全部尺度因子重復(fù)（1）－（4）步，可以得到使用不同尺度評(píng)估信號(hào)在不同時(shí)間段的大量系數(shù)值。這些系數(shù)反映了被分析信號(hào)在小波函數(shù)上的投影，可以用灰度圖表示出來(lái)。圖9-4（d）所示是含有隨機(jī)噪聲的正弦波經(jīng)過(guò)小波變化后得到的灰度圖，從圖中可以看出，尺度大時(shí)可以提取出信號(hào)的輪廓，將高頻的噪聲去除，從而發(fā)現(xiàn)被分析信號(hào)具有明顯的周期性。（a） （b） 圖9-4小波分析的步驟2．小波變換的性質(zhì)①線性②時(shí)移不變性設(shè)的小波變換為，則的小波變換為。③尺度變換特性設(shè)的小波變換為，則的小波變換為。④微分特性⑤能量守恒特性⑥冗余度連續(xù)小波變換把一維信號(hào)變換到二維空間，因此小波變換中存在多余的信息，即為冗余度。度量冗余度的量稱為再生核，它反映了小波變換二維空間兩點(diǎn)之間的相關(guān)性。3．連續(xù)小波反變換此式說(shuō)明了根據(jù)精確恢復(fù)信號(hào)的方法。三、離散小波變換離散小波變換中，取小的參數(shù)a、b將有助于提高重構(gòu)信號(hào)的精度。四、二進(jìn)小波變換和正交小波變換若連續(xù)小波僅對(duì)尺度量進(jìn)行離散化，且取，則為二進(jìn)小波，相應(yīng)的小波變換為二進(jìn)小波變換。它的特點(diǎn)在于尺度參量離散，而時(shí)域上的平移量仍保持連續(xù)變化。因此，與離散小波變換不同，二進(jìn)小波變換保持了連續(xù)小波變換所具有的時(shí)移不變性，這是二進(jìn)小波最大的特點(diǎn)。第三節(jié)多分辨率分析與小波包分析一、多分辨率分析L2(R)空間的多分辨率分析是指滿足下列條件的一個(gè)空間序列：?jiǎn)握{(diào)性：；漸進(jìn)完全性：；伸縮性：對(duì)任意，有平移不變性：若，則Riesz基存在性：存在函數(shù)，使構(gòu)成的Riesz基，即對(duì)任意的，存在唯一的序列，使得。V0W0V1W1W2V2L2(R)圖9-5尺度空間與小波空間的關(guān)系總結(jié)以上分析，多分辨率分析的過(guò)程可以簡(jiǎn)述如下：由條件（5）中的Reisz基可以生成尺度函數(shù)，由此可以構(gòu)造出空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。在此基礎(chǔ)上，可以得到與空間正交互補(bǔ)的小波空間，并可建立小波空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。實(shí)際信號(hào)所處空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基可以在及的標(biāo)準(zhǔn)正交基的基礎(chǔ)上得到，可以證明，它與二進(jìn)正交小波是一致的。因此，可以由尺度函數(shù)構(gòu)造出小波函數(shù)，不過(guò)設(shè)計(jì)滿意的尺度函數(shù)是比較復(fù)雜的。二、兩尺度方程

因此，為低通濾波器，為高通濾波器，分別對(duì)應(yīng)于尺度函數(shù)的低通特性和小波函數(shù)的帶通特性。圖9-6多分辨率分析圖示三、小波包圖9-7小波包圖示第四節(jié)小波變換的快速算法本節(jié)介紹基本的一維Mallat算法，Mallat算法是一種基2類小波快速算法，在語(yǔ)音和圖像處理中應(yīng)用很多。此即為小波變換系數(shù)的重建公式

圖9-8Mallat算法分解與重構(gòu)算法圖（a）分解快速算法示意圖（b）重構(gòu)快速算法示意圖圖9-9二次分解和二次重構(gòu)示意圖

（a）二次分解（b）二次重構(gòu)第五節(jié)以MATLAB實(shí)現(xiàn)小波分析及應(yīng)用一、常用小波

1．Haar小波2．Daubechies小波

Daubechies小波一般簡(jiǎn)寫(xiě)為dbN，N為小波的階數(shù)。當(dāng)N=1時(shí)，為Haar小波，時(shí)，dbN沒(méi)有顯式表達(dá)式，圖9-2分別顯示了db3、db5、db7、db10的情況。3．Mexicohat小波例9-1．作出[-5,5]上取1000點(diǎn)的Mexicohat小波。解％作出Mexicohat小波的圖形lb=-5;ub=5;n=1000;[psi,x]=mexihat(lb,ub,n);plot(x,psi);title(‘Mexicanhatwavelet’);4．Morlet小波此小波的圖形如圖9-1（b），定義為由于復(fù)值Morlet能提取信號(hào)的幅值和相位信息，較常用。5．Meyer小波圖9-11Meyer小波二、常用信號(hào)的小波分析1．命令行方式小波分析

圖9-12加噪聲正弦信號(hào)的小波分析

例9-2．用命令行方式對(duì)加入白噪聲的正弦信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波分析。結(jié)果如圖9-12所示。解t=1:1000;y=sin(0.1*t);ynois=sin(0.1*t)+0.5*randn(size(t));c=cwt(y2,1:64,'db4','plot');2．圖形化方式小波分析圖9-13圖形化方式小波分析的主菜單

例9-3．以圖形化方式對(duì)例9-2進(jìn)行小波分析，要求以load調(diào)用信號(hào)。解％先建立待分析信號(hào)，并以save命令保存。fort=1:1000y(t)=sin(0.1*t)+0.5*randn(size(t));endsavey;%===========================％打開(kāi)小波分析工具箱主菜單wavemenu;%===========================點(diǎn)擊ContinuousWavelet1-D，并選擇File=>LoadSignal=>y，可調(diào)用含白噪聲的正弦信號(hào)，在生成的界面中選擇Wavelet：db4；Scale：1:1:64，點(diǎn)擊Analyse鍵，可得分析結(jié)果如圖9-14。圖9-14圖形化連續(xù)小波分析(a)尺度為10時(shí)的小波系數(shù)圖

圖9-15不同尺度對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)圖(b)尺度為50時(shí)小波系數(shù)圖

3．信號(hào)突變點(diǎn)檢測(cè)小波變換可以容易地進(jìn)行信號(hào)的特征提取。例9-4．以MATLAB自身帶的nearbrk信號(hào)進(jìn)行信號(hào)突變點(diǎn)檢測(cè)。解%裝入原始信號(hào)loadnearbrk;s=nearbrk;%===========================%畫(huà)出該信號(hào)的波形圖subplot(4,2,1);plot(s);ylabel('s');title('原始信號(hào)s和信號(hào)的近似a、細(xì)節(jié)d');%===========================%用小波db2進(jìn)行3層分解[c,l]=wavedec(s,3,'db2');fori=1:3decmpa=wrcoef('a',c,l,'db2',4-i);subplot(4,2,2*i+1);plot(decmpa);Ylabel(['a',num2str(4-i)]);endfori=1:3decmpd=wrcoef('d',c,l,'db2',4-i);subplot(4,2,2*(i+1));plot(decmpd);Ylabel(['d',num2str(4-i)]);end圖9-16例9-4運(yùn)行結(jié)果4．多分辨率分解與重構(gòu)例9-5．給定正弦信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行多分辨率分解與重構(gòu)。解％生成原始信號(hào)t=0:pi/100:4*pi;s=sin(t+3*pi/4);subplot(3,2,1);plot(s);ylabel('s');gtext('原始信號(hào)');%====================================%對(duì)s進(jìn)行小波分解：db13層[c,l]=wavedec(s,3,'db1');%====================================%提取小波分解的低頻系數(shù)a3a3=appcoef(c,l,'db1',3);%====================================%提取小波分解的各層高頻系數(shù)d3=detcoef(c,l,3);d2=detcoef(c,l,2);d1=detcoef(c,l,1); %====================================%繪出各系數(shù)的圖形subplot(3,2,3);plot(a3);ylabel('a3');subplot(3,2,2);plot(d3);ylabel('d3');subplot(3,2,4);plot(d2);ylabel('d2');subplot(3,2,6);plot(d1);ylabel('d1');%====================================%重構(gòu)信號(hào)ss1=waverec(c,l,'db1');subplot(3,2,5);plot(s1);ylabel('s1');gtext('重構(gòu)信號(hào)');圖9-17例9-5運(yùn)行結(jié)果三、信號(hào)處理1．信號(hào)的自相似性檢測(cè)例9-6．利用小波分析來(lái)檢測(cè)MATLAB自帶的信號(hào)vonkoch。解loadvonkoch;s=vonkoch;subplot(2,1,1);plot(s);title('原始信號(hào)');subplot(2,1,2);f=cwt(s,[2:2:128],'coif3','plot');title('小波分解自相似指數(shù)圖');xlabel('時(shí)間');ylabel('變換尺度');圖9-18例9-6運(yùn)行結(jié)果2．識(shí)別信號(hào)中的頻率成分例9-7．以小波分析識(shí)別MTALAB自帶的sumsin信號(hào)，此信號(hào)由三種不同頻率正弦信號(hào)疊加而成。解loadsumsin;s=sumsin;figure(1);subplot(6,1,1);plot(s);ylabel('s');title('原始信號(hào)和各層近似');[c,l]=wavedec(s,5,'db3');fori=1:5decom=wrcoef('a',c,l,'db3',6-i);subplot(6,1,i+1);plot(decom);ylabel(['a',num2str(6-i)]);endfigure(2);subplot(6,1,1);plot(s);ylabel('s');title('原始信號(hào)和各層細(xì)節(jié)');[c,l]=wavedec(s,5,'db3');fori=1:5decom=wrcoef('d',c,l,'db3',6-i);subplot(6,1,i+1);plot(decom);ylabel(['d',num2str(6-i)]);end圖9-19例9-6運(yùn)行結(jié)果3．信號(hào)去噪信號(hào)去噪聲是小波分析的一個(gè)重要的應(yīng)用。一般的，含噪聲的一維信號(hào)可表示為例9-8．利用小波分析對(duì)含噪聲信號(hào)noissin進(jìn)行去噪處理。解%含噪信號(hào)loadnoissin;ns=noissin;subplot(2,1,1);plot(ns);title('含噪信號(hào)');%=====================%進(jìn)行消噪處理xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',5,'db3');subplot(2,1,2);plot(xd);title('去噪信號(hào)');

圖9-20例9-8運(yùn)行結(jié)果4．信號(hào)壓縮由于比較規(guī)則的信號(hào)含有數(shù)據(jù)量很小的低頻系數(shù)。因此可以用小波分析的方法對(duì)之進(jìn)行壓縮。具體步驟為：小波分解；對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理；對(duì)量化后的系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)。例9-9．用小波分析的方法對(duì)信號(hào)leleccum進(jìn)行壓縮。解%裝載信號(hào)loadleleccum;%============================%截取信號(hào)中的一段[2600，3100]s=leleccum(2600:3100);%============================%用小波db3對(duì)s進(jìn)行三層分解[c,l]=wavedec(s,3,'db3');%============================%選用全局閾值進(jìn)行信號(hào)壓縮處理thr=40;[sd,csd,lsd,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1);subplot(2,1,1);plot(s);title('原始信號(hào)');subplot(2,1,2);plot(sd);title('壓縮后的信號(hào)');圖9-21例9-9的運(yùn)行結(jié)果5．利用小波包進(jìn)行信號(hào)去噪例9-10．以小波包分析對(duì)信號(hào)noismima進(jìn)行去噪處理。解%裝載原始信號(hào)并圖示之loadnoismima;s=noismima(1:1000);subplot(2,2,1);plot(s);title('原始信號(hào)');%==============================%采用默認(rèn)閾值、用wdencmp函數(shù)進(jìn)行消噪處理[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp('den','wp',s);%==============================%用全局閾值選項(xiàng)進(jìn)行消噪處理[c,treed,perf0,perfl2]=...wpdencmp(s,sorh,3,'db2',crit,thr,keepapp);subplot(2,2,3);plot(c);title('默認(rèn)閾值消噪信號(hào)');%==============================%根據(jù)前面的消噪效果，調(diào)節(jié)閾值大小進(jìn)行消噪thr=thr+15;[c1,treed,perf0,perfl2]=...wpdencmp(s,sorh,3,'db2',crit,thr,keepapp);subplot(2,2,4);plot(c1);title('調(diào)節(jié)閾值后的消噪信號(hào)');圖9-22例9-10的運(yùn)行結(jié)果6．圖像例9-11．利用二維小波分析和圖像的中值濾波對(duì)一給定的含噪圖像進(jìn)行平滑處理。解

%裝載原始圖像

loadgatlin;%=====================================%對(duì)圖像加噪聲并顯示出含噪圖像

Init=2788605800;randn('seed',init);X=X+10*randn(size(X));subplot(1,2,1);image(X);colormap(map);title('含噪圖像');%=====================================%圖像平滑：應(yīng)用中值濾波進(jìn)行處理fori=2:479forj=2:639Xtemp=0;form=1:3forn=1:3Xtemp=Xtemp+X(i+m-2,j+n-2);endendXtemp=Xtemp/9;X1(i,j)=Xtemp;endend%=====================================%顯示結(jié)果subplot(1,2,2);image(X1);colormap(map);title('平滑圖像');圖9-23例9-11運(yùn)行結(jié)果

自適應(yīng)濾波系統(tǒng)

Why？維納濾波參數(shù)是固定的，適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)?？柭鼮V波器參數(shù)是時(shí)變的，適用于非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。然而，只有對(duì)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性先驗(yàn)已知條件下，這兩種濾波器才能獲得最優(yōu)濾波。What？所謂的自適應(yīng)濾波，就是利用前一時(shí)刻已獲得濾波器參數(shù)等結(jié)果，自動(dòng)地調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)或噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器時(shí)可以不必要求預(yù)先知道信號(hào)和噪聲的自相關(guān)函數(shù)，而且在濾波過(guò)程中信號(hào)與噪聲的自相關(guān)函數(shù)即使隨時(shí)間作慢變化它也能自動(dòng)適應(yīng)，自動(dòng)調(diào)節(jié)到滿足最小均方差的要求（因此實(shí)際同WF及KF是一致的）。這些都是它突出優(yōu)點(diǎn)。需要已知的內(nèi)容：輸入及理想的輸出

（參考信號(hào)）Example：基于最陡下降法其中：其基本結(jié)構(gòu)可表示為：應(yīng)用需求（HOW？）§3.1LMS自適應(yīng)濾波器基本原理介紹了自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)形式、物理意義及實(shí)質(zhì)，從而說(shuō)明其實(shí)質(zhì)是同WF一致的，只是算法的思想不同。橫向結(jié)構(gòu)的FIR濾波器的物理意義系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：語(yǔ)言可描述：輸出是N個(gè)所有過(guò)去各輸入的線性加權(quán)之和，其加權(quán)系數(shù)就是

上式可等價(jià)為：

即：自適應(yīng)濾波器可看成是自適應(yīng)線性組合器，其結(jié)構(gòu)圖如下：線性組合器（通用的結(jié)構(gòu)模型）橫向FIR結(jié)構(gòu)

橫向FIR自適應(yīng)濾波器簡(jiǎn)化形式:

自適應(yīng)濾波器的工作原理介紹原則：最小均方差。需要求的是加權(quán)系數(shù)W推導(dǎo)的思路：將輸出y的表達(dá)式代入均方差公式中，對(duì)欲求的權(quán)系數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)為零的值，即為最佳值。推導(dǎo)過(guò)程（驗(yàn)證同KF一致性）令：則：

均方誤差的梯度（用表示）

就可得到最佳權(quán)矢量，用表示，即上式是維納-霍夫方程的矩陣形式因此關(guān)鍵在于怎樣能簡(jiǎn)便地尋找，或者說(shuō)用什么樣的算法來(lái)求得，最常用的算法是所謂最小均方(LeastMeanSquare)算法，簡(jiǎn)稱LMS算法。其他的一些算法(RLS遞推最小二乘)，自己看參考書(shū)?！?.2Widrow-HoffLMS算法（遞推算法）最陡下降法原理由上面的討論得出以下結(jié)論：1：自適應(yīng)濾波的結(jié)果同維納濾波器的結(jié)果一致，均滿足正交定理。2：自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)可采用遞推的方法求出最佳的權(quán)系數(shù)W；且可表示為算法簡(jiǎn)單，不涉及矩陣的復(fù)雜運(yùn)算。3：該方法的關(guān)鍵技術(shù)是如何適時(shí)地求得（或估計(jì)）梯度在實(shí)際中，為了便于實(shí)時(shí)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，取單個(gè)樣本誤差的平方的梯度作為均方誤差梯度的估計(jì)

上兩式的這種算法即稱為：

Widrow-HoffLMS算法該算法的好處：只存在乘法和加法，簡(jiǎn)單易于實(shí)時(shí)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。

應(yīng)用Widrow-HoffLMS算法的自適應(yīng)橫向?yàn)V波器示于下圖。3.2.2能使LMS算法收斂于的μ值范圍本節(jié)討論以下問(wèn)題：1?？刂茀?shù)μ是否可以任意選取，只要大于零就行嗎？2。其大小影響了算法的那些方面？3。具體在濾波器的實(shí)際設(shè)計(jì)中，應(yīng)如何確定？1。先討論LMS算法收斂于的條件上式要收斂必須滿足：所以收斂的充分條件可以寫(xiě)成2。μ是一個(gè)控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量

，其對(duì)收斂的影響有以下結(jié)論：1：在<的范圍內(nèi)，當(dāng)μ取得愈大，有愈大，收斂愈快。2；在滿足<<2條件下的μ，最后仍可收斂于。圖3.2.4(a)表示在這種情況收斂的過(guò)程（這種情況稱為欠阻尼情況。對(duì)應(yīng)于欠阻尼情況，（1）情況成為過(guò)阻尼）。當(dāng)μ選得過(guò)大，使>2時(shí)，此時(shí)將不能收斂于3.2.3LMS算法的動(dòng)態(tài)特性—學(xué)習(xí)曲線及其時(shí)間常數(shù)3.2.4梯度噪聲及其所引起的失調(diào)量[例]設(shè)M=10%（一般M=10%可以滿足大多數(shù)工程設(shè)計(jì)的要求）并設(shè)N=10，問(wèn)應(yīng)該取多少次迭代數(shù)？[解]按式得 所以（