九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（人教版）：旋轉(zhuǎn)章末復(fù)習(xí)（教師版）

第18課旋轉(zhuǎn)章末復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)（1）通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)．（2）通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱中心平分的性質(zhì)，了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形．（3）能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用．（4）探索圖形之間的變化關(guān)系(軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)，靈活運(yùn)用軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．知識(shí)點(diǎn)01旋轉(zhuǎn)1．旋轉(zhuǎn)的概念把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角(如∠AOA′),如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A′，那么，這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).【注意】旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等(OA=OA′)；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等；【注意】圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).3．旋轉(zhuǎn)的作圖:在畫旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．【注意】作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求(順時(shí)針或逆時(shí)針)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角)；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)02特殊的旋轉(zhuǎn)—中心對(duì)稱1．中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)．【注意】(1)有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；(2)位置必須滿足一個(gè)條件：將其中一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個(gè)圖形重合(全等圖形不一定是中心對(duì)稱的，而中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是全等的).2．中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．【注意】(1)中心對(duì)稱圖形指的是一個(gè)圖形；(2)線段，平行四邊形，圓等等都是中心對(duì)稱圖形.知識(shí)點(diǎn)03平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)之間的對(duì)比平移軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)相同點(diǎn)都是全等變換(合同變換)，即變換前后的圖形全等．不

同

點(diǎn)定義把一個(gè)圖形沿某一方向移動(dòng)一定距離的圖形變換．把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換．把一個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換．圖形要素平移方向

平移距離對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行(或共線)且相等．任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分．對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角．對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等．任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分．*對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等．考法01旋轉(zhuǎn)【典例1】如圖，將△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，，故選：C．【即學(xué)即練】如圖，將30°的直角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度到的位置，使得點(diǎn)、、在同一條直線上，那么這個(gè)角度等于（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】D【詳解】解：三角板中∠ABC=60°，旋轉(zhuǎn)角是，則=180°-60°=120°．這個(gè)旋轉(zhuǎn)角度等于120°．故選：D．【典例2】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好在邊上．已知，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，∴=4-1=3（cm），故選：C．【即學(xué)即練】如圖，在△AOB中，AO＝1．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′OB′，連接AA′．則線段AA′的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知∠AOA′=90°，AO=A′O=1，∴，故選：B考法02中心對(duì)稱【典例3】如圖，與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則下列結(jié)論不成立的是（

）A．點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn) B．C． D．【答案】D【詳解】解：與△關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，點(diǎn)與是一組對(duì)稱點(diǎn)，，，A，B，C都不合題意．與不是對(duì)應(yīng)角，不成立．故選：D．【即學(xué)即練】如圖，與關(guān)于O成中心對(duì)稱，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：∵對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱中心平分，∴，，即B、D正確，∵成中心對(duì)稱圖形的兩個(gè)圖形是全等形，∴對(duì)應(yīng)線段相等，即，∴C正確，故選A．【典例4】下列圖案是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A、是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；D、是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意；故選：C．【即學(xué)即練】下面撲克牌中，是中心對(duì)稱圖形的是(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵A中撲克牌不符合中心對(duì)稱圖形的定義，∴A不是中心對(duì)稱圖形；∵B中撲克牌符合中心對(duì)稱圖形的定義，∴B是中心對(duì)稱圖形；∵C中撲克牌不符合中心對(duì)稱圖形的定義，∴C不是中心對(duì)稱圖形；∵D中撲克牌不符合中心對(duì)稱圖形的定義，∴D不是中心對(duì)稱圖形；故選：B．考法03關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【典例5】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（7，6）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（

）A．P′（7，6） B．P′（-7，6） C．P′（7，-6） D．P′（-7，-6）【答案】D【詳解】解：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，點(diǎn)（7，6）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-7，-6），故選：D．【即學(xué)即練】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，與點(diǎn)P(﹣3，2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A．(3，-2) B．(2，-3) C．(2，3) D．(﹣3，2)【答案】A【詳解】解：與點(diǎn)P(-3，2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，-2)，故選：A．【典例6】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【詳解】解：∵點(diǎn)A（2，m）與點(diǎn)B（n，3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，∴m＝?3，故選：D．【即學(xué)即練】已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a與b的值分別為（

）A．－3；1 B．－1；3 C．1；－3 D．3；－1【答案】B【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解得：．故選：B．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行，如圖是冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”，將最左邊圖片按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖片是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖所示：“冰墩墩”圖片按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖片是：．故選：D．2．下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(5，m)與點(diǎn)B(-5，-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的值為（）A．3 B．-3 C．5 D．-5【答案】A【詳解】解：∵點(diǎn)A(5，m)與點(diǎn)B(-5，-3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，即m為3，故選A．4．如圖所示，在方格紙中，三角形ABC經(jīng)過變換得到三角形DEF，下列對(duì)變換過程敘述正確的是（

）A．把三角形ABC向左平移8格，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°B．把三角形ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移8格C．把三角形ABC向左平移8格，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°D．把三角形ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移8格【答案】D【詳解】解：根據(jù)圖象，△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針方向90°旋轉(zhuǎn)與△DEF形狀相同，再向左平移8格就可以與△DEF重合．故選：D．5．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，邊ED，AC相交于點(diǎn)F，若∠A=30°，則∠AFD的度數(shù)為（

）A．65° B．15° C．115° D．75°【答案】A【詳解】解：∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°得到△DEC，∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，∴∠AFD=∠ACD+∠D=35°+30°=65°，故選：A．6．如圖，在中，，．將繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接．則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．2.5 C． D．【答案】C【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，=90°，∴是等腰直角三角形，∴；故選：C．7．如圖，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，，則旋轉(zhuǎn)角度是______．【答案】70°##70度【詳解】解：∵∠AOB=40°，∠BOC=30°，∴∠AOC=70°，∵將△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△COD，∴旋轉(zhuǎn)角為∠AOC=70°，故答案為：70°．8．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)和點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若，則_______．【答案】2【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，∴．∵，∴．故答案為：2．9．如圖所示，正方形網(wǎng)格中，為格點(diǎn)三角形（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)把沿方向平移后，點(diǎn)移到點(diǎn)，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的；(2)把繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；（2）如圖所示：即為所求．10．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)一定角度后成△A′B′C，此時(shí)B′落在斜邊AB上，試確定∠ACA′，∠BB′C的度數(shù)．

【答案】∠ACA′＝60°，∠BB′C＝60°【詳解】解：∵以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A'B'C的位置；∴B′C＝BC；∵∠B＝60°，∴△BB′C是等邊三角形；∴∠BB′C＝60°，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°．題組B能力提升練1．下列3×3網(wǎng)格中，陰影部分是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：A．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．2．如圖，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到若點(diǎn)剛好落在邊上，且，若，則旋轉(zhuǎn)的角度為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，，旋轉(zhuǎn)的角度為，故選：B．3．如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AD＞AB，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)（不含點(diǎn)B）沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)C停止，延長(zhǎng)EO交AD于點(diǎn)F，則四邊形BEDF形狀的變化依次為（

）A．平行四邊形→菱形→正方形→矩形B．平行四邊形→正方形→菱形→矩形C．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形D．平行四邊形→正方形→平行四邊形一矩形【答案】C【詳解】解：連接BD．∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，∴BD經(jīng)過點(diǎn)O，OD＝OB，ADBC，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DFBE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，觀察圖形可知，四邊形BEDF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形．故選：C．4．點(diǎn)M位于平面直角坐標(biāo)系第四象限，且到x軸的距離是5，到y(tǒng)軸的距離是2，則點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的的坐標(biāo)是（）A．（2，－5） B．（－2，5） C．（5，－2） D．（－5，2）【答案】B【詳解】解：∵M(jìn)到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為2，∴M縱坐標(biāo)可能為±5，橫坐標(biāo)可能為±2，∵點(diǎn)M在第四象限，∴M坐標(biāo)為（2，?5）．∴點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的的坐標(biāo)是（?2，5）．故選：B．5．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，連接，則的長(zhǎng)是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，連接、∵四邊形是四邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∴，∴是等邊三角形∴在中，∴故選：B．6．已知如圖，長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°形成了長(zhǎng)方形EFGD，若AG=m，CE=n，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°形成了長(zhǎng)方形EFGD，∴DE＝DA，DC＝DG，而CE＝n，AG＝m，∴CD﹣AD＝n，CD+AD＝m，∴CD，AD，∴長(zhǎng)方形ABCD的面積＝CD?AD?．故選：B．7．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，則的坐標(biāo)為______．【答案】或##或【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，則①將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度時(shí)，∵將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，∴，，又，∴，所以∵，∴，,∴,，∴，同理可得，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度時(shí)，的坐標(biāo)為，綜上，的坐標(biāo)為或．故答案為：或．8．如圖，直線a、b垂直相交于點(diǎn)O，曲線C關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，AB⊥a于點(diǎn)B，于點(diǎn)D．若OB＝4，OD＝3，則陰影部分的面積之和為___．【答案】12【詳解】解：如圖，∵直線a、b垂直相交于點(diǎn)O，曲線C關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，AB⊥a于點(diǎn)B，A'D⊥b于點(diǎn)D，OB＝4，OD＝3，∴AB＝3，∴圖形①與圖形②面積相等，∴陰影部分的面積之和＝矩形ABOE的面積＝3×4＝12．故答案為：12．9．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示（每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形）．(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個(gè)單位，畫出平移后得到的．(2)將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的．(3)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．（2）解：如圖所示，即為所求．（3）解：根據(jù)題意得：．10．把直角三角形OAB與直角三角形O'CD如圖1放置，直角頂點(diǎn)O與O′重合在一起，點(diǎn)D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．現(xiàn)將△O'CD固定，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α（0°≤α＜90°），OB與DC交于點(diǎn)E．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，若OA∥CD時(shí)，則α＝______；若AB∥OC時(shí)，則α＝______；請(qǐng)寫出證明過程；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△ODE有兩個(gè)角相等時(shí)，α＝______；請(qǐng)說明理由．【答案】(1)45°，60°，證明見詳解(2)45°或67.5°，理由見解析【詳解】（1）根據(jù)題意有∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∠C=45°，∴∠DOC=90°，∠A=60°，∴∠CDO=45°，當(dāng)時(shí)，如圖2中，∠AOD＝∠CDO＝45°，∴∠DOE=∠AOB-∠AOD=45°．∵∠DOE=α，∴α＝45°．當(dāng)時(shí)，如圖3中，∠A+∠AOC＝180°，∵∠COD=90°，∠AOC=∠AOD+∠COD，∠A=60°，∴∠AOD=180°-∠A-∠COD，∴∠AOD＝30°，∴∠DOE=∠AOB-∠AOD＝60°，∵∠DOE=α，∴α＝60°故答案為：45°，60°．（2）根據(jù)（1）可知∠CDO=45°，當(dāng)∠D＝∠DOE＝45°時(shí)，∵∠DOE=α，∴α＝45°，當(dāng)∠DOE＝∠DEO時(shí)，則在△DOE中，∠DOE=(180°-∠ODC)=67.5°，∴∠DOE=α＝45°，即α＝67.5°，故答案為：45°或67.5°．題組C培優(yōu)拔尖練1．下列剪紙作品中，是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D．既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接OB，∵正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，∴，，∴，∴△為等腰直角三角形，點(diǎn)在y軸上，∵，∴=2，∴（0，2），故選：D．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，且AD∶BD＝1∶2，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BCE，連接DE，則線段DE的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C． D．2【答案】C【詳解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，∵AD：BD＝1：2，∴AD＝，BD＝，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ACD≌△BCE，∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，∴DE＝，故選：C．4．如圖，中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到此時(shí)恰好點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，是等邊三角形，，，，設(shè)，則，，，，與的面積之比為．故選：D．5．已知點(diǎn)經(jīng)變換后到點(diǎn)B，下面的說法正確的是（

）A．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為B．點(diǎn)A繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為C．點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為D．點(diǎn)A先向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【答案】D【詳解】解：A、點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、點(diǎn)繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后到點(diǎn)，則橫、縱坐標(biāo)互換位置，且縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、點(diǎn)先向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即為，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．6．如圖，點(diǎn)P是在正ABC內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，．下列結(jié)論中正確的是（

）①可以由繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②線段；③四邊形的面積為；④．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【詳解】由題意知，，，為等邊三角形，,②正確，又,，，①正確，，又，在中三邊長(zhǎng)為3、4、5，這是一組勾股數(shù)，所以為直角三角形=，③錯(cuò)誤．將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDA，則有△BPC≌△BDA，連接PD，如圖所示：同理可得△BPD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，△APD是直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為3和4，斜邊長(zhǎng)為5，∴，故④正確；故選B．7．如圖，正三角形ABC繞其中心O至少旋轉(zhuǎn)___度，可與其自身重合．【答案】120【詳解】解：如圖所示：連接OA、OB、OC，正三角形ABC，O為其中