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專題3.1-3.3一元一次方程及其解法講練目標(biāo)導(dǎo)航1.一元一次方程的概念:目標(biāo)導(dǎo)航只含有一個(gè)未知數(shù)(元)且未知數(shù)的指數(shù)是1(次)的方程叫做一元一次方程。一般形式:ax+b=0(a≠0)注意:未知數(shù)在分母中時(shí),它的次數(shù)不能看成是1次。如,它不是一元一次方程。2.一元一次方程的解方程的解:能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3.等式的性質(zhì):(1)等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,所得結(jié)果仍是等式;(2)等式兩邊都乘或除以同一個(gè)不等于0的數(shù),所得結(jié)果仍是等式。4.移項(xiàng):方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后,可以從方程的一邊移到另一邊,這樣的變形叫做移項(xiàng)。移項(xiàng)的依據(jù):(1)移項(xiàng)實(shí)際上就是對(duì)方程兩邊進(jìn)行同時(shí)加減,根據(jù)是等式的性質(zhì)1;(2)系數(shù)化為1實(shí)際上就是對(duì)方程兩邊同時(shí)乘除,根據(jù)是等式的性質(zhì)2。注意:移項(xiàng)時(shí)要跨越“=”號(hào),移過的項(xiàng)一定要變號(hào)。5.解一元一次方程的一般步驟:去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為1。注意:去分母時(shí)不可漏乘不含分母的項(xiàng)。分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用,去掉分母后,若分子是多項(xiàng)式,要加括號(hào)。考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1:一元一次方程定義及應(yīng)用典例:若是關(guān)于的一元一次方程,則的值是______.方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查一元一次方程的定義,解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的定義,屬于基礎(chǔ)題型.鞏固練習(xí)1.(2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)期末)下列各式中,是一元一次方程的是(
)A.x+2y=5 B.x2+x-1=0 C. D.3x+1=102.(2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級(jí)期末)下列是一元一次方程的是(
)A. B. C. D.3.(2021·山東濱州·七年級(jí)階段練習(xí))下列方程中,是一元一次方程的是()A.x2﹣4x=3 B.x=0C.x+2y=1 D.2(x﹣3)﹣3=2x+54.(2022·河南鶴壁·七年級(jí)期末)在下列方程:①,②,③,④,⑤中,一元一次方程的個(gè)數(shù)為(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.(2022·四川資陽·七年級(jí)期末)下列各式中:①;②;③;④;⑤;⑥,是方程的是()A.①④ B.①②⑤ C.①④⑤ D.①②④⑤6.(2021·全國(guó)·七年級(jí)期中)①x﹣2;②0.3x=1;③x2﹣4x=3;④5x﹣1;⑤x=6;⑥x+2y=0.其中一元一次方程的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.57.(2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試)若是關(guān)于的一元一次方程,則的值是______.8.(2022·河南南陽·七年級(jí)期末)若是關(guān)于的一元一次方程,則的值可以是______寫出一個(gè)即可9.(2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級(jí)期末)若方程(a﹣4)x|a|﹣3﹣7=0是一個(gè)一元一次方程,則a等于______.10.(2021·四川廣元·七年級(jí)期末)若關(guān)于x的一元一次方程(a﹣3)x|a|﹣2+m=4的解為x=1,則a+m的值為_____.考點(diǎn)2:一元一次方程的解典例:(2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))若x=3是關(guān)于x的一元一次方程mx﹣n=3的解,則代數(shù)式10﹣3m+n的值是___.方法或規(guī)律點(diǎn)撥此題考查了一元一次方程的解的含義以及解一元一次方程,解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的解的含義.鞏固練習(xí)1.(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)下列方程中,解是的是(
)A. B.C. D.2.(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)若是關(guān)于的方程的解,則的值為(
)A.2 B.8 C.-3 D.-83.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))若是方程的解,則a的值是(
)A.1 B.1 C.2 D.—4.(2022·湖南湘西·七年級(jí)期末)是下列哪個(gè)方程的解()A. B.C. D.5.(2022·四川成都·七年級(jí)期末)已知關(guān)于x的方程ax=5﹣3x的解是x=2,則a的值為()A.1 B. C. D.﹣26.(2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級(jí)期末)已知是方程的解,則______.7.(2022·新疆塔城·七年級(jí)期末)若是關(guān)于x的方程的解,則________.8.(2021·河南洛陽·七年級(jí)期末)若關(guān)于x的方程ax﹣3=2(a+x)的解為x=﹣2,則a的值為_____.9.(2022·河南南陽·七年級(jí)期中)是方程的解,那么m的值等于_____________.10.(2022·河南南陽·七年級(jí)期中)己知方程3x+m+4=0的解為x=m,則m=______.23.(2022·遼寧大連·七年級(jí)期末)已知x=1是關(guān)于x的方程6-(m-x)=5x的解,則代數(shù)式m2-6m+2=___________.考點(diǎn)3:等式的性質(zhì)典例:(2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末)下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形,正確的是(
)A.如果,那么 B.如果,那么. C.如果,那么 D.如果,那么方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了等式的基本性質(zhì).等式性質(zhì):1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母,等式仍成立;2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母,等式仍成立.鞏固練習(xí)1.(2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級(jí)期末)下列等式變形,正確的是(
)A.若5x=7-4x,則5x-4x=7 B.若7x=2,則x=3.5C.若x-3(4x-1)=9,則x-12x-3=9 D.若,則2(3x-2)=x+2-6.2.(2022·黑龍江大慶·期末)下列各式運(yùn)用等式的性質(zhì)變形,正確的是(
)A.由,得 B.由,得C.由,得 D.若,則3.(2022·河南南陽·七年級(jí)期末)下列變形正確的是(
)A.與 B.得C.得 D.得4.(2020·湖南常德·七年級(jí)期末)下列方程的變形,正確的是(
)A.由,得 B.由,得C.由,得 D.由,得5.(2022·山東威?!て谀┮阎仁?,則下列等式中不一定成立的是(
)A. B. C. D.6.(2021·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)期末)下列敘述中正確的是(
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則7(2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級(jí)期末)下列等式的變形中,正確的是(
)A.如果,那么 B.如果,那么C.如果,那么 D.如果,那么8(2022·福建泉州·七年級(jí)期中)根據(jù)等式的性質(zhì),下列變形正確的是(
)A.若,則a=b B.若,則3x+4x=1C.若ab=bc,則a=c D.若4x=a,則x=4a9(2022·河南南陽·七年級(jí)期中)下列變形正確的是(
)A.由,得 B.由,得C.由,得 D.由,得10.(2022·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期中)下面四個(gè)等式的變形中正確的是(
)A.由,得 B.由,得C.由,得 D.由4(),得11.(2021·河北承德·七年級(jí)期末)在下列式子中變形一定正確的是(
)A.如果2a=1,那么a=2B.如果a=b,那么C.如果a=b,那么a+c=b+cD.如果a-b+c=0,那么a=b+c12.(2022·河南南陽·七年級(jí)期中)下列變形中:①由方程2去分母,得x﹣12=10;②由方程6x﹣4=x+4移項(xiàng)、合并得5x=0;③由方程2兩邊同乘以6,得12﹣x+5=3x+3;④由方程兩邊同除以,得x=1;其中錯(cuò)誤變形的有(
)個(gè).A.0 B.1 C.2 D.313.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))下列變形正確的是()A.如果ax=bx,那么a=bB.如果(a+1)x=a+1,那么x=1C.如果x=y(tǒng),那么x﹣5=5﹣yD.如果(a2+1)x=1,那么x=14.(2022·湖南岳陽·七年級(jí)期末)下列變形不一定正確的是(
)A.若,,則 B.若,則C.若,則 D.若,則15.(2022·河北張家口·七年級(jí)期末)下列變形中,正確的是(
)A.若5x﹣6=7,則5x=7﹣6 B.若﹣3x=5,則x=C.若5x﹣3=4x+2,則5x﹣4x=2+3 D.若,則2(x﹣1)+3(x+1)=116.(2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末)方程的解是(
)A. B. C. D.考點(diǎn)4:解一元一次方程—移項(xiàng)合并同類項(xiàng)典例:(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))解下列方程:(1);(2);(3);(4).方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了解一元一次方程,熟練掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1.(2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末)方程的解為(
)A.-1 B.1 C.3 D.-32.(2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末)方程的解是(
)A. B. C. D.3.(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)方程的解是(
)A. B. C. D.4.(2022·陜西漢中·七年級(jí)期末)方程的解是(
)A. B. C. D.5.(2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末)若是關(guān)于x的方程的解,則m的值為_________.6.(2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級(jí)期末)關(guān)于的方程的解是,則________.7.(2022·河南南陽·七年級(jí)期末)已知方程與的解相同,則k的值為______.8.(2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))若關(guān)于x的方程6x+3m=22和方程3x+5=11的解相同,求m的值.9.(2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末)解方程:.10.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))解方程:(1);(2);(3);(4).考點(diǎn)5:解一元一次方程—去括號(hào)典例:解方程(1)(2)方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查解一元一次方程,解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟:去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.鞏固練習(xí)1.(2022·河南南陽·七年級(jí)期中)已知是方程的解,則的值是_________.2.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知代數(shù)式與的值相等,那么______.3.(2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)期末)解方程:3-2(x+1)=2(x-3)4.(2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末)解方程:.5.(2022·湖南衡陽·七年級(jí)期末)解方程6.(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)解方程:.7.(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)解方程:8.(2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)期末)對(duì)兩個(gè)任意有理數(shù)、,規(guī)定一種新的運(yùn)算:,例如:.根據(jù)新的運(yùn)算法則,解答下列問題:(1)求的值;(2)若,求的值.9.(2022·河南南陽·七年級(jí)階段練習(xí))對(duì)于兩個(gè)非零常數(shù)a,b,規(guī)定一種新的運(yùn)算:,例如,.根據(jù)新運(yùn)算法則,解答下列問題:(1)求的值;(2)若,求x的值.考點(diǎn)6:解一元一次方程—去分母典例:(2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級(jí)期末)解方程(1)(2)(3)(4)方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查正負(fù)數(shù)的意義,解題的關(guān)鍵是理解題意表示出紅色、黑色所代表的數(shù)字.鞏固練習(xí)1.(2022·江蘇·七年級(jí)單元測(cè)試)解一元一次方程時(shí),去分母正確的是(
)A. B.C. D.2.(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)解方程時(shí),去分母結(jié)果正確的是(
)A. B.C. D.3.(2022·山東威?!て谀┰诮怅P(guān)于x的方程時(shí),小穎在去分母的過程中,右邊的“”漏乘了公分母15,因而求得方程的解為,則方程正確的解是(
)A. B. C. D.4.(2022·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期末)下列解方程變形:①由3x+4=4x-5,得3x+4x=4-5;②由,去分母得2x-3x+3=6;③由,去括號(hào)得4x-2-3x+9=1;④由,得x=3.其中正確的有(
)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.(2022·河南南陽·七年級(jí)期末)如圖的框圖表示解方程的流程,其中第步和第步變形的依據(jù)相同,這兩步變形的依據(jù)是(
)A.乘法分配律 B.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)C.等式的基本性質(zhì) D.等式的基本性質(zhì)6.(2022·山西呂梁·七年級(jí)期中)將方程去分母得到,錯(cuò)在(
)A.分母的最小公倍數(shù)找錯(cuò)B.去分母時(shí),漏乘了分母為1的項(xiàng)C.去分母時(shí),分子部分沒有加括號(hào)D.去分母時(shí),各項(xiàng)所乘的數(shù)為各分母的最小公倍數(shù)127.(2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級(jí)期末)解方程:8.(2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))解方程:(1)5x+2=7x﹣8;(2).9.(2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級(jí)期末)解方程:(1)2(3x﹣5)﹣3(4x﹣3)=0(2)10.(2021·吉林油田第二中學(xué)七年級(jí)期中)解方程:11.(2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)七年級(jí)期末)解方程(1)6x﹣7=4x﹣5(2)=1﹣12.(2022·河南·鄭州二七優(yōu)智實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末)解下列方程:(1)32x-64=16x+32;(2)-x=3-.13.(2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級(jí)期末)解方程(1)(2)14.(2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末)解方程:(1)(2)15.(2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末)方程的解與方程的解相同,求m值.考點(diǎn)7:一元一次方程拓展訓(xùn)練典例:(2022·廣西防城港·七年級(jí)期中)用“★”定義一種新運(yùn)算:對(duì)于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a★b=ab2+2ab+a.如:1★3=1×32+2×1×3+1=16(1)(﹣3)★2=.(2)若(★3)★(﹣2)=16,求a的值.方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了新定義運(yùn)算,一元一次方程,準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1.(2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末)已知.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.則方程的解可能是(
)A.1.45 B.1.64 C.1.92 D.2.052.(2022·河南南陽·七年級(jí)期中)我們把稱為二階行列式,且=,如=-=-10.若=6,則的值為(
)A.8 B.-2 C.2 D.-53.(2022·河北承德·七年級(jí)期末)解一元一次方程的過程就是通過變形,把一元一次方程轉(zhuǎn)化為的形式,下面是解方程的主要過程,方程變形對(duì)應(yīng)的依據(jù)錯(cuò)誤的是(
)解:原方程可化為(
①
)去分母,得(
②
)去括號(hào),得(
③
)移項(xiàng),得(
④
)合并同類項(xiàng),得(合并同類項(xiàng)法則)系數(shù)化為1,得(等式的基本性質(zhì)2)A.①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) B.②等式的基本性質(zhì)2C.③乘法對(duì)加法的分配律 D.④加法交換律4.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))對(duì)于兩個(gè)不相等的有理數(shù)a,b,我們規(guī)定符號(hào)min{a,b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù),例如min{2,-4}=-4,則方程min{x,-x}=3x+4的解為(
)A.x=-1 B.x=-2 C.x=-1或x=-2 D.x=1或x=25.(2022·河南南陽·七年級(jí)階段練習(xí))某同學(xué)解方程時(shí),把“”處的系數(shù)看錯(cuò)了,解得,他把“”處的系數(shù)看成了(
)A.3 B. C.4 D.6.(2022·湖北孝感·七年級(jí)期末)用“*”定義一種運(yùn)算:對(duì)任意的有理數(shù)x和y:x*y=mx+my+1(m為常數(shù)),如:2*3=2m+3m+1=5m+1,若1*2=10,則(-1)*(-3)的值為(
)A.-7 B.-5 C.-13 D.-117.(2022·黑龍江大慶·期末)關(guān)于x的方程有無窮多個(gè)解,則______.8.(2022·江蘇·七年級(jí)單元測(cè)試)已知a,b為定值,關(guān)于x的方程,無論k為何值,它的解總是x=2,則a+b=________.9.(2021·河南信陽·七年級(jí)期末)若關(guān)于的方程與方程的解相同,則的值為____________.10.(2022·河南鄭州·七年級(jí)期末)關(guān)于x的一元一次方程,其中m是正整數(shù).若方程有正整數(shù)解,則m的值為_____________.11.(2022·福建泉州·七年級(jí)期末)在有理數(shù)范圍內(nèi)我們定義運(yùn)算法則“¤”:a¤b=ab+a-b+3,如2¤5=2×5+2-5+3=10.如果-3¤x=4,那么x的值為______.12.(2021·河北承德·七年級(jí)期末)設(shè)a,b,c,d為有理數(shù),則我們把形如的式子叫做二階行列式,它的運(yùn)算法則用公式表示為,利用此法則解決下列問題:(1)___________________;(2)若,則x值為_______________.13.(2022·河南駐馬店·七年級(jí)期中)已知關(guān)于的一元一次方程的解是,那么關(guān)于的一元一次方程的解是_________.14.(2022·山東煙臺(tái)·期末)若關(guān)于x的方程的解與關(guān)于x的方程的解互為相反數(shù),則k=______.15.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知關(guān)于x的一元一次方程的解為,那么關(guān)于y的一元一次方程的解___________.16.(2022·四川省九龍縣中學(xué)校七年級(jí)期末)已知方程是關(guān)于x的一元一次方程.(1)求代數(shù)式的值;(2)求關(guān)于y的方程m|y-2|=x的解.17.(2022·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級(jí)期末)已知關(guān)于x的整式,整式,若a是常數(shù),且的值與x無關(guān).(1)求a的值;(2)若b為整數(shù),關(guān)于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整數(shù),求的值.18.(2022·河南南陽·七年級(jí)期中)(1)取何值時(shí),代數(shù)式與的值互為相反數(shù)?(2)取何值時(shí),關(guān)于的方程和的解相同?19.(2022·河南洛陽·七年級(jí)期中)當(dāng)為何值時(shí),關(guān)于的方程和的解相同?【答案】##20.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b=0(其中a≠0,a、b為常數(shù)),若這個(gè)方程的解恰好為x=a﹣b,則稱這個(gè)方程為“恰解方程”,例如:方程2x+4=0的解為x=﹣2,恰好為x=2﹣4,則方程2x+4=0為“恰解方程”.(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k=0是“恰解方程”,則k的值為;(2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x=mn+n是“恰解方程”,且解為x=n(n≠0).求m,n的值;(3)已知關(guān)于x的一元一次方程3x=mn+n是“恰解方程”.求代數(shù)式3(mn+2m2﹣n)﹣(6m2+mn)+5n的值.21.(2022·河南駐馬店·七年級(jí)期末)我們規(guī)定:若關(guān)于x的一元一次方程a+x=b(a≠0)的解為,則稱該方程為“商解方程”.例如:2+x=4的解為x=2且,則方程2+x=4是“商解方程”.請(qǐng)回答下列問題:(1)判斷3+x=5是不是“商解方程”.(2)若關(guān)于x的一元一次方程6+x=3(m﹣3)是“商解方程”,求m的值.22.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))方程的解的定義:使方程兩邊相等的未知數(shù)的值.如果一個(gè)方程的解都是整數(shù),那么這個(gè)方程叫做“立信方程”.(1)若“立信方程”的解也是關(guān)于x的方程的解,則_____;(2)若關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解,則_______;(3)若關(guān)于x的方程的解也是關(guān)于x的方程的解,且這兩個(gè)方程都是“立信方程”,求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值.能力提升能力提升一、單選題(每題3分)1.(2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試)下列方程是一元一次方程的是(
)A. B. C. D.2.(2022·福建福州·七年級(jí)期末)下列根據(jù)等式的性質(zhì)正確變形的是(
).A.由,得 B.由,得C.由,得 D.由,得3.(2022·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí))根據(jù)“x與5的和的4倍比x的少2”列出的方程是()A. B.C. D.4.(2022·甘肅·景泰縣第四中學(xué)七年級(jí)期中)如圖是一組有規(guī)律的圖案,它們是由邊長(zhǎng)相同的正方形和正三角形拼接而成,第①個(gè)圖案有4個(gè)三角形和1個(gè)正方形,第②個(gè)圖案有7個(gè)三角形和2個(gè)正方形,第③個(gè)圖案有10個(gè)三角形和3個(gè)正方形,…依此規(guī)律,如果第n個(gè)圖案中正三角形和正方形的個(gè)數(shù)共有2021個(gè),則n=(
).A.503 B.504 C.505 D.5065.(2022·浙江衢州·七年級(jí)期末)如圖,將4張形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形紙片分別以圖1、圖2的方式放入長(zhǎng)方形ABCD中,若圖1中的陰影部分周長(zhǎng)比圖2的陰影部分周長(zhǎng)少1,則圖中BE的長(zhǎng)為(
)A. B. C.1 D.26.(2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí))若關(guān)于x的一元一次方程的解為,則關(guān)于y的一元一次方程的解為(
)A. B. C. D.二、填空題(每題3分)7.(2022·河南鶴壁·七年級(jí)期末)已知關(guān)于的一元一次方程的解是,則的值為__
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