新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義數(shù)學(xué)抽象2.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理邏輯推理自學(xué)導(dǎo)引完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．m＋n分類加法計(jì)數(shù)原理【預(yù)習(xí)自測】思維辨析(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． (

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事． (

)【答案】(1)×

(2)√完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．m×n分步乘法計(jì)數(shù)原理【預(yù)習(xí)自測】在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這一步驟的方法可以相同嗎？提示：在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這一步驟的方法均不相同．若相同，只能算是一種方法．課堂互動(dòng)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【答案】36【解析】(1)方法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).題型1分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用方法二分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類：個(gè)位是9，則十位可以是1，2，3，…，8中的一個(gè)，故共有8個(gè)；個(gè)位是8，則十位可以是1，2，3，…，7中的一個(gè)，故共有7個(gè)；個(gè)位是7，則十位可以是1，2，3，…，6中的一個(gè)，故共有6個(gè)；……個(gè)位是2，則十位只能是1，故只有1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).【例題遷移】

(變換條件)若本例條件變?yōu)椤皞€(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)”，那么這樣的兩位數(shù)有多少個(gè)？解：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí)，十位數(shù)字取9，只有1個(gè)．當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí)，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個(gè)．當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí)，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個(gè)．同理可知，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí)，共7個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，共9個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個(gè)).利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的解題流程1．為調(diào)查今年的北京霧霾治理情況，現(xiàn)從高二(1)班的男生38人和女生18人中分別選取1名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，則選取代表的方法有________種．【答案】56【解析】完成這件事需要分兩類完成：第一類，選1名男生，有38種選法；第二類，選1名女生，有18種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N＝38＋18＝56(種)不同的選法．從1，2，3，4中選三個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個(gè)？(1)三位數(shù)；(2)三位數(shù)的偶數(shù)．解：(1)三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位，題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用故可分三個(gè)步驟完成：第1步，排個(gè)位，從1，2，3，4中選1個(gè)數(shù)字，有4種方法；第2步，排十位，從剩下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第3步，排百位，從剩下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，滿足要求的三位數(shù)共有4×3×2＝24(個(gè)).(2)分三個(gè)步驟完成：第1步，排個(gè)位，從2，4中選1個(gè)，有2種方法；第2步，排十位，從余下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第3步，排百位，從余下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法．故三位數(shù)的偶數(shù)共有2×3×2＝12(個(gè)).利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的解題流程2．乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位，則不同的出場安排共有多少種？解：方法一按出場次序，第一位的隊(duì)員的安排有3種方法，第二位的隊(duì)員的安排有7種方法，第三位的隊(duì)員的安排有2種方法，第四位的隊(duì)員的安排有6種方法，第五位的隊(duì)員的安排只有1種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的出場安排種數(shù)為3×7×2×6×1＝252.方法二按主力與非主力，分兩步安排．第一步，安排3名主力隊(duì)員在第一、三、五位上，有6種方法，第二步，安排7名非主力隊(duì)員中的2名在第二、四位上，有7×6種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的出場安排種數(shù)為6×7×6＝252.現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有多少種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有多少種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有多少種不同的選法？題型3辨析兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解：(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有5＋2＋7＝14(種).(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有5×2×7＝70(種).(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法有5×2＝10(種)；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，不同的選法有5×7＝35(種)；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，不同的選法有2×7＝14(種).所以不同的選法共有10＋35＋14＝59(種).用計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的注意點(diǎn)(1)當(dāng)解題無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．(3)混合問題一般是先分類再分步．3．在7名學(xué)生中，有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，另2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋．現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？解：選參加象棋比賽的學(xué)生有兩種方法，在只會(huì)下象棋的3人中選或在既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的2人中選；選參加圍棋比賽的學(xué)生也有兩種選法，在只會(huì)下圍棋的2人中選或在既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的2人中選．互相搭配，可得四類不同的選法．從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有3×2＝6(種)選法；從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，有3×2＝6(種)選法；從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，有2×2＝4(種)選法；2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生分別參加象棋比賽和圍棋比賽，有2種選法．所以共有6＋6＋4＋2＝18(種)選法．所以共有18種不同的選法．甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識(shí)競賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生，則不同的冠軍獲得情況共有________種．錯(cuò)解：分四步完成這件事．第一步，第1名同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠軍，有可能1個(gè)也沒獲得，也可能獲得1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)，因此共有4種不同情況．同理，第二、三、四步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠軍，也各自有4種不同情況．易錯(cuò)警示分不清“分類”還是“分步”致誤由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4×4＝256(種).答案：256易錯(cuò)防范：本題中要完成的“一件事”是“爭奪3門學(xué)科知識(shí)競賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生”，而錯(cuò)解中可能出現(xiàn)某一學(xué)科冠軍被2人、3人甚至4人獲得的情形，另外還可能出現(xiàn)某一學(xué)科沒有冠軍產(chǎn)生的情況．正解：由題知，研究的對象是“3門學(xué)科”，只有3門學(xué)科各產(chǎn)生1名冠軍，才算完成了這件事，而4名同學(xué)不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步．第一步，產(chǎn)生第1個(gè)學(xué)科冠軍，它一定被其中1名同學(xué)獲得，有4種不同的獲得情況；第二步，產(chǎn)生第2個(gè)學(xué)科冠軍，因?yàn)閵Z得第1個(gè)學(xué)科冠軍的同學(xué)還可以去爭奪第2個(gè)學(xué)科的冠軍，所以第2個(gè)學(xué)科冠軍也是由4名同學(xué)去爭奪，有4種不同的獲得情況；第三步，同理，產(chǎn)生第3個(gè)學(xué)科冠軍也有4種不同的獲得情況．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4＝64(種).答案：64點(diǎn)評：利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)，應(yīng)首先弄清是“分類”還是“分步”，其次要做到分類時(shí)不重不漏，分步時(shí)步驟完整．素養(yǎng)達(dá)成1．應(yīng)用兩個(gè)原理時(shí)，要仔細(xì)區(qū)分原理的不同．分類加法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分類，不同類之間互相排斥，互相獨(dú)立；分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分步，各步之間互相依存，互相聯(lián)系．2．通過對這兩個(gè)原理的學(xué)習(xí)，要進(jìn)一步體會(huì)分類討論思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．1．(題型1)從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為

(

)A．6 B．5C．3 D．2【答案】B2．(題型2)現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長褲，如果選一條長褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為 (

)A．7 B．64C．12 D．81【答案】C3．(題型2)(2023年深圳期末)廣東省普通高考實(shí)行“3＋1＋2”考試模式，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，“1”為首選科目，考生須在高中學(xué)業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科，“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物等、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇2科．參加高考的考生選考科目的不同選法理論上有________種．【答案】12【解析】分兩步，第一步，從物理、歷史2科中任選1科，有2種選法；第二步，從化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、地理4科中任選2科，有6種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同選法共有2×6＝12(種).4．(題型2)從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的各項(xiàng)的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有________個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答).【答案】18

6【解析】一個(gè)二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法