廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2022-2023學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題

深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試

高一數(shù)學(xué)

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

—.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知角1=&/80。-2022。/€2,則符合條件的最大負(fù)角。為（）.

A.-42°B.-220°C.-202°D.-158°

2.函數(shù)、=戶例+3s的圖象恒過(guò)定點(diǎn)力，且/在角。的終邊上，則

A..亞B.一空C,正D,正

5555

12

3.已知cos(a+4)=§,cos(a-則cosacos尸的值為（).

D.0或土工

A.0B.--C.-

222

4.設(shè)集合/={>b-4X+2Q},8={y卜=-sin2x+sinx|,若力UB=力，則a的取值范

圍是（）.

1(7

A.-00,—B?-oo9一C.(-00f1]D.[7，+8)

2I2.

5.己知函數(shù)/(x)=log2x,g(x)=a-2sinx,若斗?1,2],切w[0,2句，使得

/（%）=g（X2），則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）.

A.(-OO,-2)U(3,+OO)B.(-8,-2]U[3,+8)

C.(-2,3)D.[-2,3]

6.已知sin(a—=貝！Jcos(2a+g)=(

)?

「4石

c.--4-4--D.

25"25"

7.函數(shù)/（x）=sin（2x+p）（0>O）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有/（x）<則9最小值是（)?

冗兀

A.冗B.D.71

c.~4~6

8.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(2-x)+/(x)=0,當(dāng)xe(O,l]時(shí)，/(x)=-log2x,

若函數(shù)廠a)=/(*)-5訪萬(wàn)*在區(qū)間[-1,〃?]上有10個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是().

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5,5.5]D.[5,5.5)

二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在0)上單調(diào)遞減的是().

10.已知0<log“2022<10gz,2022,則下列說(shuō)法正確的是().

A.h>a>\B.a~2<h~2

C.—+—>2D.右加>0,貝(J—<----

abaa+m

11.若函數(shù)/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù),偶函數(shù)，且〃x)+g(x)=(sinx+cosx)2,

貝IJ().

A./(x)=cos2xB.g(x)=sin2x

C--(g(x))<g(/(x))D./(g(x))>g(/(x))

12.下列說(shuō)法正確的有().

A./(x)=|lgx|,若/(加)=/(〃)'則〃?〃=10

B.a=log43,6=siriy,c=2’°冶,的大小關(guān)系為人

C.請(qǐng)你聯(lián)想或觀察黑板上方的鐘表，八點(diǎn)二十分，時(shí)針和分針夾角的弧度數(shù)為也

8

D./(x)=ln(x2-l)+2r+2-x,則使不等式./'a+l)<〃2x)成立的x的取值范圍是

(-8L2)U(L+8)

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.求值：tan^=

14.己知e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則e2MsM3。。=.

15.已知且滿足/-2sin￡=1,則4a+sin/7的取值范圍為

16.魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點(diǎn)為

圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形，/

它的特點(diǎn)是，在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這//

個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件/

上鉆出正方形的孔來(lái).如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧薪

的長(zhǎng)度為2乃，則該魯洛克斯三角形的面積為.

四.解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）已知△/8C為斜三角形.

(1)證明：tan+tan5+tanC=tanAtanBtanC；

(2)若sin力+cosA,求tan4的值.

2

18.（本題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=K'-cosO|,e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴寫(xiě)出/（X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵證明：當(dāng)/（網(wǎng)）=/（X2）（王工工2）時(shí)，X1+x2<0.

19.（本題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=2cos2x-2^sin^x++xeR.

⑴求函數(shù)/（x）的最小正周期；

（2）若玉［,馬￡-三，利,/（占）=/'（工2）=2（工產(chǎn)工2），求〃？的最小值.

r

20.（本題滿分12分）已知函數(shù)/（0=7金+。.

⑴若宗,可。。-百）黑，，判斷〃x）的奇偶性；

⑵若/（x）20在上恒成立，求”的取值范圍.

21.（本題滿分12分）已知函數(shù)/（1￥）=2道$由（7%+5卜”［（%一］）一$m（乃+工），且函數(shù)

歹=g（x）的圖象與歹="X）的圖象關(guān)于直線X=?對(duì)稱(chēng).

⑴若三?！昊?，使得g（x）<2cos6成立，求X的取值構(gòu)成的集合；

⑵若存在xe0,y,使等式［g（x）丁-Mg（x）+2=0成立，求實(shí)數(shù)〃7的最大值與最小

值.

22.（本題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=lnx,試證明以下問(wèn)題.

證明過(guò)程可能用到下列結(jié)論：當(dāng)了￡（0,1）時(shí)，①sinx<x<tanx；②lnx<x-1.

（1）%￡（0,1）時(shí)，求證：x<InY~—；

(2)證明：sin—+sin-+…+sin—<ln〃v(〃N2,〃￡N")7.

23n

深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試

高一數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

題號(hào)12345678

答案ACCADBCA

8【詳解】由“2-x)+"x)=O=/(x)=-〃2—x)=/(x—2)得.是一個(gè)周期為2的

求尸（x）="x）-sing）的零點(diǎn)，即是/（x）與g卜）的交點(diǎn)，如圖：

為了"）與g卜）在［一革］區(qū)間的交點(diǎn)圖形，因?yàn)?（x）與8卜）均為周期為2的周期函數(shù),

因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知尸（X）的零點(diǎn)周期為"若在區(qū)間卜】的］上有10個(gè)零

點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為05°）,第II個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為（4，。），因此3.54加＜4

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)

的得0分.

題號(hào)9101112

答案ABBCDBDBD

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.V2-114.；15.口-4百,1+4出］16.18(兀-百)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)已知AA8C為斜三角形.

(1)證明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

(2)若sinA+cosA=',求tanA的值.

2

【詳解】(1)證明：,A+8=180-C，所以tan(A+3)=-tanC.

>-,、，?/L,、，/,八\tanA+tan8

因?yàn)镃w90，所以tanAtanBwl,所以tan(A+B)=------------

1一tanAtan8

,tanA+tanB八一g，八八，八八

由-----------=一tanC,可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.5分

1-tanAtanB

(2)解：因?yàn)閟inA+cosA=',

2

,,13

所以sin,A+cos2A+2sinAcosA——,貝！jsinAcosA=--

48

又0<A<TT，所以sinA>°,cosA<°，sinA-cosA=Vl-2sinAcosA=

2

則sinA=l±五，cosA=±五1+V74+近

=tanA=----==--------10分

441-5/73

18.已知函數(shù)〃x)=-—cos0|,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e=2.718283.

(I)寫(xiě)出了(%)的單調(diào)區(qū)間；[

(II)若/(%)=/(%2)(須。馬)時(shí)，證明：占+%2<。.

【詳解】⑴函數(shù)〃x)=H-cosO|=H—l],由圖可知|

.??單調(diào)減區(qū)間為(一8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,+8)-----------4分

(II)：/(玉)=/(x2)，不妨設(shè)王<%2，則須<0<*2

|eA|-1|=卜'2-1|1—ex'=e"-1=/，貝(J0<t<1-----------6分

X[X2

e=1-e=1+f=>x,=ln(l-z),x2=ln(l+?)-----------8分

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

?二％+M=In(1-J)----------]0分

0<Zv1=>In(1—廣)<0=>%+/v0----------12分

19.已知函數(shù)/(x)=2COS?x-2由sin[x+t]cos[x+：J,xeR.

(1)求函數(shù)〃x)的最小正周期；

71

(2)若土],%2G---,m，/(%1)=/(%2)=2(%。％2)，求機(jī)的最小值.

3

【詳解】(1)由已知F(x)=cos2x+1-g'sinQxn——)-----------2分

3

=cos2x+1一百(sin2xcos^-+cos2xsin^-)

33

r]兀

=—^sinZx——cos2x+1=sin(2x--)+1,-----------5分

226

24

所以最小正周期是7=—=乃；----------6分

2

JI)5萬(wàn)分萬(wàn)八八

(2)x€--,m時(shí)，2x---G---,2m---,----------8分

3666

3XPX2e---,m,/(演)="9)=2(%產(chǎn)々)等價(jià)于/(%)在區(qū)間-3，加上的有兩

最大值為2,

._7C7C—.

則2/%---N—F2TT,-----------10分

62

4zr47r

tn>,所以帆的最小值是-----------12分

33

2X

20.已知函數(shù)/(x)=+a

1+2、

cos10°

⑴若，=如10。一司,證明/(X)為奇函數(shù);

sin50°

(2)若/(x"0在工€卜1』上恒成立，求。的取值范圍.

【詳解】(1)

ra小乙S。，xno\COS10sin10sin60"、cos10

原式=(tan10°-tan60°)-------=(--------------)------7

sin50cos10cos60sin50

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

_sin10cos60-sin60cos10cos10

cos60cos1()sin50

sin(60-10°)cos101。1-----------3分

cos60cos10sin50cos602

2T24

f(-x)+f(x]=-------1--------b2a=1+2a=0

八)八)]+2-x1+2，

2、

???/(x)=+Q的是奇函數(shù).6分

1+2V

(2)解：???/(x)20在xe卜1,1]上恒成立，..."xUsNO.

令t=2',因?yàn)閤e[T,l],所以fe；,2,

8分

-/-1「1一

所以y=----a=-----F1+n,te—,2,

\+tl+tL2_

-1「i-

因?yàn)?，=一+la在—,2單調(diào)遞增，

1+Z+12」

一111

所以+1+§,

10分

2

即/(%),—>故——0,解得a2—,

'/min333

「1、

所以”的取值范圍是-公，+8.12分

法二：參變分離法，參考記分.

21.已知函數(shù)/(x)=2百sin且函數(shù)y=g(x)的圖象與函

TT

數(shù)k/⑺的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

(1)若mdeR,使得g(x)<2cos。成立，求x的集合;

71

(2)若存在XW0,-,使等式[g(x)]2-mg(x)+2=0成立，求實(shí)數(shù)〃2的最大值和最小

值

【解】(1)/(x)=6sinx+m)+sinx=8cosx+sinx=2sin[x+g].----2分

函數(shù)y=g(x)的圖象上取點(diǎn)a，y),其關(guān)于直線x=￡對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

4I2)

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

代入/(x)=2sin(x+gJ,

可得V=g(x)=2sin——xj=2sin^---x=2sin—+x

36>eR,使得g(x)<2cos6成立=>g(x)<2=>sin[尤+憶)<1nsin[x+q21

xw{x|x工2k兀+—(左eZ)}

3

分

71

(2)y=g(x)=2sin--FX7分

6

2

???)￡口,2],等式[g(x)了一〃電(X)+2=o,可化為m=■—,--------8分

y

.?.>=也時(shí)，加的最小值為20;------10分

6=1或2時(shí)、加的最大值為3；