2023-2024學年天津市河東區(qū)高二年級下冊期中模擬數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年天津市河東區(qū)高二下冊期中模擬數(shù)學試題

一、單選題

1.某一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學只會用綜合法證明，有3

位同學只會用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數(shù)有（）種.

A.8B.15C.18D.30

【正確答案】A

【分析】本題是一個分類計數(shù)問題，解決問題分成兩個種類，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有3+5

=8種結(jié)果.

【詳解】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，

解決問題分成兩個種類，一是可以用綜合法證明，有5種方法，

一是可以用分析法來證明，有3種方法，

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有3+5=8種結(jié)果，

故選A.

本題考查分類計數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是看清楚完成這個過程包含兩種方法，看出每一種

方法所包含的基本事件數(shù)，相加得到結(jié)果.

2.在（x+l）4的二項展開式中，Y項的系數(shù)為（）

A.6B.4C.2D.I

【正確答案】A

【分析】求出展開式的通項，再令X的指數(shù)等于2即可得解.

【詳解】（x+1）』展開式的通項為G=CXj,

令4-k=2,則％=2,

所以Y項的系數(shù)為C：=6.

故選：A.

3.己知函數(shù)“X）在4處的導數(shù)為r（x°）,則Iim〃電一"＞）二?松）等于（）

?Λ→0

A.mf'（x0）B.-mf'（x0）C.--f'（x0）D.?/（?ɑ）

mtn

【正確答案】B

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義可得Iim小匚畋上3=尸(與)，將所求的式子整理為

——mAx

-mIim〃4一〃公r)-"x°)即可求解

AYTo—∕∏?X

【詳解】因為函數(shù)f(x)在％處的導數(shù)為/'(%),

所以lim"XLg)Ta,)=/&),

?xτ°一AnAX

所以lim竺匕上)=_mlim小口竺匕5=_〃礦，(XI)),

&20?xAVfO一〃?AX

故選：B.

4.曲線y=sinx+e”在x=()處的切線方程是()

A.X-3y+3=0B.X-2y+2=0C.2x-y+l=0D.3x-y+l=0

【正確答案】C

【分析】求出函數(shù)y=sinx+e，的導數(shù)，求得切線的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切

線的方程.

【詳解】>=$布彳+€*的導數(shù)為:/=8$》+6*,在點(0,1)處的切線斜率為&=COSo+e°=2,

即有在點(0,1)處的切線方程為y=2x+?,即2x-y+1=0.

故選：C

5.已知下列四個命題，其中正確的個數(shù)有

①(2*)=x?2*τ,②(sin2x)'=cos2x,③(k>gi,x)'=α*In<?(4>0,且αw1),④(In2)'=g

A.0個B.1個C.2個D.3個

【正確答案】A

【分析】由指數(shù)，對數(shù)，三角函數(shù)的求導公式一一判斷即可.

【詳解】①(2*)'=2Fnx,所以①錯誤;

②(sin2x)'=2cos2x,所以②錯誤；

③(IogaX)'=-—(a>0,且4/1),所以③錯誤；

xma

④(In2)=0,所以④錯誤.

故選A

本題考查了指數(shù)，對數(shù)，三角復合函數(shù)的求導公式，熟練掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2

6.-x)"展開式中的各二項式系數(shù)之和為1024,則/的系數(shù)是()

X

A.-210B.-960C.960D.210

【正確答案】B

【分析】由二項式系數(shù)和等于2"，求得”的值，寫出通項公式，再按指定項計算可得.

【詳解】依題意得：2"=1024,解得〃=10,

K

于是得弓7j展開式的通項為4M=GOe'，(—4=(—1)。2口gOa?T0JGNJ≤10,

由2r—10=4,解得r=7,從而有(一11?2∣gcZ=-960,

所以X4的系數(shù)是-960.

故選：B

7.如果關(guān)于X的不等式χ3—以2+1≥o在［T,2］上恒成立，則實數(shù)α的取值范圍為()

A.K逑B.a<2C.a≤lD.a<0

2

【正確答案】D

【分析】分類討論，X=O時，不等式顯然成立，當XHO時，分離變量法得

α≤x+},xe［-1,0)(0,2］恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+5，x€［-l,0>(0,2］,利用導數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而求出答案.

【詳解】解：當X=O時，不等式成立；

當XWo時，不等式1-小+拒0在［-1,0)50,2］上恒成立等價于

a<x+^,xe［-?,Q)(0,2］恒成立，

X*

令g(x)=x+!,xe［-l,O)J(0,2］,則α≤g(x)mi,,,

又短(X)=IT=三」，令/MO,解得xw(θ,√Γ∣,

.?.g(x)在［TO)上單調(diào)遞增，在(0,次］上單調(diào)遞減，在(次,2)上單調(diào)遞增，

又因為g(-ι)=o,g(啊=次+/

:?g(X)min=°，

，Ο≤0,

故選：D.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查分類討論思想,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,

考查計算能力，屬于中檔題.

8.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排

在兩端，不同的排法共有()

A.1440種B.960種C.720種D.480種

【正確答案】B

【詳解】5名志愿者先排成一排，有8種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左

右順序，共有2?4?6=960種不同的排法，選B.

9.已知函數(shù)=XSinX,χeR,則/圓，/⑴，/6)的大小關(guān)系為()

A.(牛/⑴”圖B./mH/閨

c./(f>∕ω>∕(-f)D.⑴

【正確答案】A

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性可得然后利用導數(shù)得出函數(shù)在(0，、)上的

單調(diào)性，最后由奇偶性和單調(diào)性即可判斷大小關(guān)系.

【詳解】因為/(x)=XSinX,

所以f(r)=(-X)Sin(-x)=XSinX=/(x),

所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，所以/［一?)=.］。)，

又Xe(O,口時，得,1(X)=SinX+xcosx>0,

所以/(x)在］。,口上是增函數(shù)，

所以尼"⑴」圖,所以《介阿>出)

故選：A.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，考查邏輯思維能力和運算求解能

力，屬于常考題.

二、填空題

10.某校從5名同學中選擇3人分別參加數(shù)學、物理、化學競賽，則不同的選法共有

種.

【正確答案】60

【分析】先從5名同學中選擇3人，再把選出的3人分別參加數(shù)學、物理、化學競賽，結(jié)合

分步計數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，先從5名同學中選擇3人，共有C；=10種不同的選法，

再把選出的3人分別參加數(shù)學、物理、化學競賽，共有父=6種不同的安排方法，

由分步計數(shù)原理，可得共有10x6=60種不同的選法.

故答案為.60

6

11.設(shè)(X+1)，=α(>+α∣(x—1)+/(K—I)-++af,(x—I),那么%=?

【正確答案】240

【分析】題中等式左邊為x+1，右邊為x-l,需令X-1=3將x+1轉(zhuǎn)化為x-1,

6b

利用二項式定理求解.即(I+2)=aa+att+a2t^++a6t.

6

【詳解】設(shè)χ-l=f,則(r+2)6=40+印+電/++a6t,故的=C：X24=24().

故240

12.已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線^=加+(2〃+3)尤+1只有一個公共點，則

【正確答案】0或3

【分析】根據(jù)導函數(shù)與斜率的關(guān)系求出切線方程，聯(lián)立曲線y=口2+(2α+3)x+l和切線方

程，根據(jù)方程只有一個解求解即可.

【詳解】因為y=x+lnx,所以V=I+L

X

所以當χ=ι時，y=ι+ι=2,即切線的斜率為2,

所以由點斜式得yT=2(χ-D即y=2x—1,

聯(lián)立卜=：：(2a+3)x+l整理得小+Qq+[)χ+2=0,

Iy=21

因為切線與曲線尸加+(2α+3)x+l只有一個公共點,

所以方程0χ2+(24+l)χ+2=0只有一個根，

當α=0時，方程為x+2=0只有一個根，滿足題意；

當αwθ時，A=(2?+1)2-8"=O,即(2"-l)2=0,解得a=5,

綜上a=0或α=g,

故答案為：0或g?

13.若函數(shù)y=√(x)滿足f(x)=sinx+∕^Oosx,則/圖=.

【正確答案】2

3

求導、賦值Xq可得

【詳解】r(x)=cosx-?inx,令x=?

，臥C哈北卜哈解得唱咚

故答案為：息

3

14.將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排，且A,B均在C的同側(cè)，則不同的排法共

有種(用數(shù)字作答)

【正確答案】480

【詳解】按C的位置分類，在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,

因為左右是對稱的，所以只看左的情況最后乘以2即可.

當C在左邊第1個位置時，有A"

當C在左邊第2個位置時A?,

當C在左邊第3個位置時，有AgA習+A匆?,

共為240種，乘以2,得480.則不同的排法共有480種.

故答案為480.

15.將一個邊長為6的正方形鐵片的四角截去四個邊長為X的小正方形，做成一個無蓋方盒.

當方盒的容積丫取得最大值時，X的值為.

【正確答案】1

由題可得該方盒的容積V(X)=4d-24χ2+36x,0<x<3,利用導數(shù)判斷其單調(diào)性可求出最

值.

【詳解】由題可得0<x<3,可知該方盒的底面是一個邊長為6-2x,

則該方盒的容積V(X)=(6-2x)2?X=4d_24X2+36X,0<x<3,

.?V(x)=12χ2-48x+36=12(x-l)(x-3),

則當Xe(0,1)時，V(X)>0,V(X)單調(diào)遞增，

當Xe(1,3)時，V,(x)<O,V(X)單調(diào)遞減，

???當x=l時，MX)四=MI)=I6,

故當方盒的容積V取得最大值時，X的值為1?

故L

三、解答題

16.0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字的

(1)四位整數(shù)；

(2)比2000大的四位偶數(shù).

【正確答案】(1)300

(2)120

【分析】(1)先把首位排好，再排其他位置即可；

(2)分個位數(shù)為0和個位數(shù)不為0兩種情況討論，再排首位，再根據(jù)分步乘法原理即可得解.

【詳解】(1)先排首位，有A；種排法，

再排后三位，有A；種排法，

所以共有A；A；=30()個；

(2)若個位數(shù)為0,則首位有4種排法，其他兩個位置有A；種排法，

則有4A：=48個,

若個位數(shù)不為0,則個位數(shù)只能從2,4兩個數(shù)中選一個，有A；種,

則首位有3種排法，其他兩個位置有A：種排法，

則有3A；A；=72個，

所以比2000大的四位偶數(shù)有48+72=120個.

17.己知(5X-

(1)展開式中的中間一項；

(2)展開式中常數(shù)項的值.

3

【正確答案】(1)-2500/

(2)375

【分析】(1)先求出展開式的通項，再求其第4項即可.

(2)令展開式的通項中X系數(shù)為零，解出r,再代入通項求解即可.

6

【詳解】(1)3X-_3

展開式的通項為7；T=c^?56^r?(-ιy?Λ->^r

展開式一共7項，中間一項為第4項，r=3,

6-2-

η=C^?53?(-l)3?x2=-25‰2?

(2)令6-?∣r=0,解得r=4.

^=C^?52?(-1)4?X0=375.

故展開式中常數(shù)項的值375.

18.設(shè)函數(shù)/(x)=(f+3x+l)e',求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及極值.

【正確答案】增區(qū)間為(-∞,-4),(7，”)，減區(qū)間為(T,T),極大值為之，極小值-L

ee

【分析】求得r(x)=(f+5x+4)e',根據(jù)網(wǎng)x)>0和/'(x)<0的解集，得到函數(shù)"x)的

單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值點和極值的定義，即可求解.

【詳解】由函數(shù)f(x)=(χ2+3x+l)e',可得/'(x)=(χ2+5χ+4)e',

令用x)>0,即f+5χ+4>0,解得χj或x>T；

2

令/'(x)<0,即X+5X+4<O,解得T<X<-1,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(7,-4),(7,”)，遞減區(qū)間為(-4,-1),

所以當X=T時，/(x)取得極大值，極大值為"-4)=5e^4=2,

e

當x=—1時，〃可取得極小值，極小值為/(-4)=-5=-1.

e

19.1.己知函數(shù)/(x)=e'-ln(x+咐(m∈R),證明：當m≤2時，f(x)>O.

【正確答案】證明見解析

【分析】根據(jù)題意，當機≤2時，/(x)≥ex-ln(x+2),故只需證明g(x)=e'-ln(x+2)>0,

進而利用導數(shù)方法證明函數(shù)的最小值大于0即可.

【詳解】當m≤2時，F(xiàn)(X)≥e，-In(X+2),故只需證明g(x)=e*-In(X+2)>0.

g，(x)=e'一±(x>_2).

易知g'(x)在(-2,位)上單調(diào)遞增(增+增).

g,(-l)=e^l-l<O,^,(O)=→O

所以g'(“必定存在唯一一個零點χ0,且%∈(-l,0),

所以g(x)在(-2,七)上單調(diào)遞減，在(ΛU,+∞)上單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g(X。)=eAbTn(M+2).

由g'(%)=0,得e%=V?,ln(?+2)=-j?,

玉)十Z

所以g(??)=—??+/=?>0,

X0+2X0+2

所以g(x)≥g(%)>O.

所以，當，"≤2時，/(x)>0.

本題確定出零點X。的范圍之后，注意ln(Λ0+2)=rn”,將出代入函數(shù)解析式

之后可以將式子化簡，注意方法的總結(jié)和歸納.

20.已知函數(shù)/(x)=**+(￡/—2)e*r

(1)討論”x)的單調(diào)性；

(2)若“X)有兩個零點，求。的取值范圍.

【正確答案】(1)見解析；(2)(0,1).

【詳解】試題分析：(1)討論/O)單調(diào)性，首先進行求導，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及

時進行因式分解，再對“按“40,。>0進行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)第(1)

問，若α≤0,F(X)至多有一個零點.若α>0,當X=-Ina時，F(xiàn)(X)取得最小值，求

出最小值F(Tna)=I-I+Ino,根據(jù)。=[,a∈(l,+∞),“e(<U)進行討論，可知當

a

α∈(O,l)時有2個零點.易知f(x)在(-∞,Tno)有一個零點；設(shè)正整數(shù)〃。滿足

nbn

%>In(O-I),則/(π0)=e(αe""+α-2)-π0>e"°-n0>20-n0>0.?≠ln(--1)>-lnα,

a