物理人教版必修2學(xué)案5-5向心加速度

5向心加速度知識點一對圓周運動中加速度的認識1．實例分析(1)地球繞太陽做近似的勻速圓周運動，地球受太陽的力是萬有引力，方向由地球中心指向太陽中心．(2)光滑桌面上一個小球由于細線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動．小球受到的力有重力、桌面的支持力、細線的拉力．其中重力和支持力在豎直方向上平衡，合外力總是指向圓心．2．結(jié)論猜測一切做勻速圓周運動的物體的合外力和加速度方向均指向圓心．任何做圓周運動的加速度都指向圓心嗎？提示：做勻速圓周運動物體的加速度方向一定指向圓心，但一般的變速圓周運動的加速度方向一般不是指向圓心．知識點二向心加速度1．定義做勻速圓周運動的物體有指向圓心的加速度．2．大小(1)an＝eq\f(v2,r)；(2)an＝ω2r.3．方向沿半徑方向指向圓心，與線速度方向垂直．甲同學(xué)認為由公式an＝eq\f(v2,r)知向心加速度an與運動半徑r成反比；而乙同學(xué)認為由公式an＝ω2r知向心加速度an與運動半徑r成正比，他們兩人誰的觀點正確？說一說你的觀點．提示：他們兩人的觀點都不正確，當(dāng)v一定時，an與r成反比，當(dāng)ω一定時，an與r成正比．考點一對速度變化量Δv的理解(1)速度變化量是指物體速度的增量，又叫速度的變化，它等于物體的末速度與初速度的矢量差．若物體做直線運動，則Δv＝v2－v1；若物體做曲線運動，速度變化量用平行四邊形定則或矢量三角形定則來求．(2)速度變化量是矢量，它有大小，也有方向．①當(dāng)物體沿直線運動且速度增大時，Δv方向與速度方向相同；當(dāng)物體沿直線運動且速度減小時，Δv方向與速度方向相反，如圖所示．②如果物體做曲線運動，如圖所示，我們把初速度v1始端平移到末速度v2始端上，使v1、v2的箭尾重合，則從v1的箭頭指向v2箭頭的有向線段就表示Δv.【例1】如圖所示一物體沿逆時針方向做勻速圓周運動，線速度是5m/s，過了一段時間，由M點運動到了N點，則此物體速度的變化是多少，方向如何？不管是直線運動還是曲線運動，速度的變化量Δv都是從初速度v1的末端指向末速度v2的末端的有向線段．【解析】作出矢量變化圖(如圖所示)，此矢量三角形為等腰直角三角形，所以Δv的方向與水平方向成45°斜向右下，Δv的大小等于直角三角形的斜邊，所以Δv＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝5eq\r(2)m/s.【答案】物體速度的變化是5eq\總結(jié)提能(1)同一直線上的速度變化量通常用正、負號表示其矢量性，與規(guī)定方向相同用正號表示，反之用負號表示．(2)曲線運動中的速度變化量用平行四邊形定則(三角形定則)求解．(3)曲線運動中的速度變化量也是矢量，特別注意勻速圓周運動中任意兩點間的速度變化量Δv≠0.2013年9月30日，中國第一支無限制級特技飛行隊——中國紅牛特技飛行隊亮相“2013沈陽法庫國際飛行大會”，打破了歐美對于無限制級特技飛行的壟斷．中國紅牛特技飛行隊可以做出大坡度盤旋、垂直橫滾、俯沖橫滾、“死亡”翻滾、半筋斗翻轉(zhuǎn)、水平8字、躍升盤旋等高難動作．如果飛機做曲線運動表演時，初速度為v1，經(jīng)時間t后速度變?yōu)関2，速度變化量Δv與v1和v2的方向的關(guān)系如圖所示，其中正確的是(D)A．①② B．③④C．①③ D．②④解析：本題考查矢量合成的平行四邊形定則(即三角形定則)，根據(jù)題意，速度的變化量Δv＝v2－v1，但它是一個矢量的表達式，可以用平行四邊形定則，也可以用矢量三角形定則，但是要將平行四邊形和三角形的箭頭關(guān)系弄清楚，圖中①很顯然是錯誤的，將Δv轉(zhuǎn)化成了v1、v2的矢量和，③中Δv的方向畫錯，②④是正確的，所以正確選項為D.考點二對向心加速度的理解(1)物理意義描述線速度改變的快慢，只表示線速度的方向變化的快慢，不表示其大小變化的快慢．(2)方向總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變．(3)圓周運動的性質(zhì)不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速曲線運動．(4)變速圓周運動的向心加速度做變速圓周運動的物體，加速度并不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢．所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心．【例2】(多選)關(guān)于向心加速度，以下說法中正確的是()A．向心加速度的方向始終與速度方向垂直B．向心加速度的方向保持不變C．物體做勻速圓周運動時的加速度不變D．物體做勻速圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心要明白圓周運動的速度與向心加速度的方向，注意一般圓周運動與勻速圓周運動的區(qū)別．【解析】向心加速度的方向沿半徑指向圓心，速度方向則沿圓周的切線方向．所以，向心加速度的方向始終與速度方向垂直，且方向在不斷改變．物體做勻速圓周運動時，具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心，即加速度方向改變，大小不變，所以向心加速度是改變的．【答案】AD總結(jié)提能解該類問題的關(guān)鍵是分清勻速圓周運動加速度的特點．勻速圓周運動的加速度就是向心加速度，方向時刻指向圓心，它只改變線速度的方向．關(guān)于做勻速圓周運動物體的向心加速度的方向，下列說法正確的是(C)A．與線速度方向始終相同 B．與線速度方向始終相反C．始終指向圓心 D．始終保持不變解析：做勻速圓周運動的物體，其向心加速度方向始終與速度方向垂直，它只改變速度的方向，不改變速度的大小，故A、B選項錯；向心加速度的大小不變，其方向時刻發(fā)生變化，并且始終指向圓心，故C選項正確，D選項錯．考點三向心加速度的大小(1)大小：an＝vω＝v2/r＝rω2＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2f2r.①由an＝eq\f(v2,r)知：r一定時，an∝v2；v一定時，an∝eq\f(1,r)；an一定時，r∝v2；②由an＝rω2知：r一定時，an∝ω2；ω一定時，an∝r；an一定時，r∝eq\f(1,ω2).(2)物理意義：描述線速度方向改變的快慢．(3)圓周運動的性質(zhì)：不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速曲線運動．【例3】滑板運動深受青少年的喜愛，如圖所示，某滑板運動員恰好從B點進入半徑為2.0m的eq\f(1,4)圓弧，該圓弧軌道在C點與水平軌道相接，運動員滑到C點時的速度大小為10m/s.求他到達C點前、后瞬間的加速度(不計各種阻力)．運動員經(jīng)過C點前、后的運動情況不同，前者做圓周運動，后者做勻速直線運動．【解析】運動員經(jīng)圓弧滑到C點時做圓周運動．由公式a＝eq\f(v2,r)得a1＝eq\f(102,2.0)m/s2＝50m/s2，方向豎直向上．運動員滑到C點后進入水平軌道做勻速直線運動，加速度a2＝0.【答案】50m/s2，方向豎直向上0總結(jié)提能本題的關(guān)鍵是判斷出運動員離開C點前后的運動情況．物體在離開圓弧前、后的運動狀態(tài)不同，加速度也就不同，切不可盲目套用公式．如圖所示，半徑為R的圓環(huán)豎直放置，一輕彈簧一端固定在環(huán)的最高點A，一端系一帶有小孔穿在環(huán)上的小球，彈簧原長為eq\f(2,3)R.將小球從靜止釋放，釋放時彈簧恰無形變，小球運動到環(huán)的最低點時速率為v，這時小球向心加速度的大小為(A)A.eq\f(v2,R) B.eq\f(v2,2R)C.eq\f(3v2,2R) D.eq\f(3v2,4R)解析：小球沿圓環(huán)運動，其運動軌跡就是圓環(huán)所在的圓，軌跡的圓心就是圓環(huán)的圓心，運動軌跡的半徑就是圓環(huán)的半徑，小球運動到環(huán)的最低點時，其向心加速度的大小為eq\f(v2,R)，加速度方向豎直向上，正確選項為A.1．(多選)關(guān)于勻速圓周運動的說法，正確的是(BD)A．勻速圓周運動的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運動的物體沒有加速度B．做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻都在改變，所以必有加速度C．做勻速圓周運動的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速(曲線)運動D．做勻速圓周運動的物體，加速度大小雖然不變，但加速度的方向始終指向圓心，加速度的方向時刻都在改變，所以勻速圓周運動既不是勻速運動，也不是勻變速運動解析：速度和加速度都是矢量，做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻在改變，速度時刻發(fā)生變化，必然具有加速度．加速度大小雖然不變，但方向時刻改變，所以勻速圓周運動是變加速曲線運動．故選項B、D正確．2．(多選)下列關(guān)于向心加速度的說法中正確的是(AC)A．向心加速度的方向始終與速度方向垂直B．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的C．做圓周運動時，向心加速度一定指向圓心D．地球自轉(zhuǎn)時，各點的向心加速度都指向地心解析：向心加速度的方向沿半徑指向圓心，故選項C正確；速度方向為圓的切線方向，向心加速度的方向與速度方向互相垂直，故選項A正確；向心加速度的方向不斷地在變化，所以向心加速度不是恒定的，故選項B錯誤；地球上各點做圓周運動的圓心在地球自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸上，向心加速度并不都是指向地心，故選項D錯誤．3．一質(zhì)點做勻速圓周運動．在時間t內(nèi)(小于四分之一周期)，該質(zhì)點通過的路程為s，其初速度方向與末速度方向間夾角為θ(即初位置、末位置與軌跡的圓心的連線之間的夾角為θ)，如圖所示，t，s，θ為已知量，則(B)A．質(zhì)點的速率v<eq\f(s,t)B．質(zhì)點的向心加速度的大小為eq\f(sθ,t2)C．已知條件不足，質(zhì)點的角速度無法確定D．已知條件不足，質(zhì)點的向心加速度的大小無法確定解析：質(zhì)點在時間t內(nèi)，通過的路程為s，則質(zhì)點的速率：v＝eq\f(s,t)，故A錯誤；質(zhì)點在時間t內(nèi)，其初速度方向與末速度方向間夾角為θ，則轉(zhuǎn)過的角度為θ，根據(jù)角速度的定義可得：ω＝eq\f(θ,t)；質(zhì)點的向心加速度：a＝ω·v＝eq\f(sθ,t2)，故B正確，C錯誤，D錯誤；故選B.4．如圖所示，O1和O2是摩擦傳動的兩個輪子，O1是主動輪，O2是從動輪，O1和O2兩輪的半徑之比為12.a，b兩點分別在O1、O2的輪邊緣，c點在O2上且與其軸心距離為輪半徑的一半，若兩輪不打滑，則a，b，c三點的向心加速度之比為(D)A．221 B．122C．112 D．421解析：a，b兩點的線速度大小相同，b，c兩點的角速度相同，a，b，c做圓周運動的半徑之比為121，由公式an＝ωv可求出向心加速度之比為421，選項D正確．5．(多選)關(guān)于北京和廣州兩地隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，下列說法中正確的是(BD)A．兩地的向心加速度方向都沿半徑指向地心B．兩地的向心加速度方向都在平行赤道的平面內(nèi)指向地軸C．北京的向心加速度比廣州的向心加速度大D．北京的向心加速度比廣州的向心加速度小解析：如圖所示，地球表面各點的向心加速度方向(同向心力的方向)都在平行赤道的平面內(nèi)指向地軸，選項A錯誤，B正確；在緯度為φ的地面上P點做圓周運動的軌道半徑r＝R0cosφ，其向心加速度an＝rω2＝R0ω2cosφ.由于北京的地理緯度比廣州的地理緯度大，北京隨地球自轉(zhuǎn)的半徑比廣州隨地球自轉(zhuǎn)的半徑小，兩地隨地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，因此北京隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度比廣州的小，選項C錯誤，D正確．學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂——思想方法系列五對向心加速度的進一步理解[方法解讀](1)向心加速度表達式推導(dǎo)①情景：如圖所示，物體從A點經(jīng)時間Δt沿圓周勻速率運動到B點，轉(zhuǎn)過的角度為Δθ，物體在B點速度vB可以看成是它在A點的速度vA(線速度大小vA＝vB＝v)和速度的變化量Δv的合速度．②極限：當(dāng)Δt趨近于0時，Δθ也趨近于0，B點接近A點，Δv與vA垂直，指向圓心．所以向心加速度方向沿半徑方向指向圓心．③推導(dǎo)：因為vA、vB和Δv組成的三角形與△ABO是相似三角形，所以eq\f(Δv,AB)＝eq\f(vA,R)即Δv＝eq\f(AB·v,R)，將上式兩邊同時除以Δt，得eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(AB,Δt)×eq\f(v,R)，等式左邊eq\f(Δv,Δt)即為向心加速度a的大小，當(dāng)Δt趨近于0時，eq\f(AB,Δt)等于勻速圓周運動的線速度v，代入上式整理得a＝eq\f(v2,R).(2)由向心加速度方向看圓周運動性質(zhì)向心加速度方向總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速運動．(3)向心加速度的幾種表達式①不同形式的各種表達式a．對應(yīng)線速度：an＝eq\f(v2,r).b．對應(yīng)角速度：an＝rω2.c．對應(yīng)周期：an＝eq\f(4π2,T2)r.d．對應(yīng)轉(zhuǎn)速：an＝4π2n2r.e．推導(dǎo)公式：an＝ωv.②理解a．當(dāng)半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比．隨頻率的增加或周期的減小而增大．b．當(dāng)角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比．c．當(dāng)線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比．a(chǎn)n與r的關(guān)系圖象，如圖所示．由an－r圖象可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定．【例】如圖所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉(zhuǎn)動，皮帶和兩輪之間無相對滑動，大輪的半徑是小輪半徑的2倍，大輪上的一點S離轉(zhuǎn)動軸的距離是大輪半徑的eq\f(1,3).當(dāng)大輪邊緣上的P點的向心加速度是12m/s2時，大輪上的S點和小輪邊緣上的Q點的向心加速度各為多少？[解析]同一輪子上的S點和P點的角速度相同，即ωS＝ωP.由向心加速度公式an＝ω2r，得eq\f(aS,aP)＝eq\f(rS,rP)，故aS＝eq\f(rS,rP)aP＝eq\f(1,3)×12m/s2＝4m/s2；又因為皮帶不打滑，所以皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，即vP＝vQ.由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(rQ,rP)，故aQ＝eq\f(rP,rQ)aP＝2×12m/s2＝24m/s2.[答案]4m/s224m/s2總結(jié)提能向心加速度的每個公式都涉及三個物理量的變