河北省高二年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

一、單選題

1.直線/：x-2y+3=0的斜率和在x軸上的截距分別為（）

A.g,3B.,—3C.一；，3D.一；，—3

【答案】B

x3

【分析】由x-2y+3=0可得y=]+],據(jù)此可得答案.

【詳解】x-2^+3=0oj，=jx+13,則直線斜率為31，

X3

又令＞=0,則;+：=0nX=-3,故直線在X軸上的截距分別為-3.

22

故選：B

2.已知點(diǎn)5、C分別為點(diǎn)43,4,5）在坐標(biāo)平面。刈和爾內(nèi)的射影，則忸。=（）

A.V34B.5C.q'D.5A/2

【答案】A

【分析】求出點(diǎn)8、C的坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得忸C|的值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)8、C分別為點(diǎn)4（3,4,5）在坐標(biāo)平面。中和Oyz內(nèi)的射影，則8（3,4,0）、C（0,4,5）

因此，|5C|=^（3-0）2+（4-4）2+（0-5）2=A/34.

故選：A.

3.直線小x-y+l=6,直線4：x-y-3=0,則，與4之間的距離為（）

A.&B.2C.272D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的距離公式八段求解即可.

【詳解】y1=272,

slA2+B2J2

故選:C.

4.已知空間三點(diǎn)0（0,0,0）,/（I,G，2）,5（73,-1,2）,則以0408為鄰邊的平行四邊形

的面積為（）

A.8B.4C.8石D.4石

【答案】D

【分析】先求出0408的長(zhǎng)度和夾角，再用面積公式求出口0/8的面積進(jìn)而求得四邊形的面積.

【詳解】因?yàn)?(0,0,0),A(1,石，2),3(百，-1,2),

所以0/=“1?0)2+(癢0)2+(2-0)2=272,OS=^(>/3-0)2+(-l-0)2+(2-0)2=2&,

04=(1,73,2),OS=(73,-1,2),

1X73+73X(-1)+2X21

cosOA,OB=

2A/2X2>/22

所以sinOA,OB=~~,

以04。3為鄰邊的平行四邊形的面積為2s“BC=2X；X2夜x2及x曰=46.

故選：D.

5.己知圓"的半徑為，?且圓心在x軸上，圓“與圓%:/+；；2-2》-2卜=0相交于48兩點(diǎn)，若直

線48的方程為^=工，貝IJ()

A.\AB\=2y[2,r=41B.|AB|=4,『=&

C.\AB\=241,r=2D.|AB|=4,r=2

【答案】C

【分析】分析可知圓心N在直線Z8上，可求得|“卻，求出圓心用的坐標(biāo)，可求得圓心用到直線

的距離，利用勾股定理可求得，?的值.

【詳解】圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+(y-l)2=2,圓心為N(l,l),半徑為友,

易知點(diǎn)N在直線48上，所以，\AB\=2y[2,

因?yàn)閳A心N在直線上，則圓心N為線段Z8的中點(diǎn)，

易知過圓心N且與直線垂直的直線的方程為x+y-2=0,該直線交x軸于點(diǎn)A/(2,0),

點(diǎn)M到直線ZB的距離為d=a=&,.?,=3^+"2=2.

故選：C.

6.已知直線4與直線/2：2x-y+a=o關(guān)于X軸對(duì)稱，且直線4過點(diǎn)(2,1),則。=()

A.-5B.5C.-4D.4

【答案】A

【分析】分析可知，直線6經(jīng)過點(diǎn)(2』)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，由此可求得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】點(diǎn)（2,1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）,

由題意可知，直線4過點(diǎn)（2,-1）,則2x2+l+a=0,解得a=-5.

故選：A.

7.在棱長(zhǎng)為3的正四面體/BCD中，AM=2MB-CN=2ND,則|礪卜（）

A.2B.75C.76D.272

【答案】B

【分析】將耐用而、AC，而表示，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得|麗

——2—

【詳解】因?yàn)?/=2歷8，所以，AM=-AB,

又因?yàn)楹?2而，則麗-Z=2（Z5-麗），所以，AN^^AC+^AD,

所以，AW=AN-AM=-AC+-Ab--AB,

由空間向量的數(shù)量積可得在?）e=赤?而=1己詼=3屋。$60°=2,

2

因此，研=》祝+2瓦-2嗣=gJ（就+2而一2碼,

=-yIAC2+4AD2+4AB2-4AB-AC-SAB-7b+4AC-AD=>/5.

3

故選：B.

8.己知P是圓C:（x-5）2+_/=4上一動(dòng)點(diǎn)，河為線段"P的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

（）

A.『為定值B.『為定值

C.為定值D.|屁4|2+|/0『+|眥|2為定值

【答案】B

【分析】設(shè)點(diǎn)尸（Xo，y0）,可得4+y；=10x°-21,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用平面兩點(diǎn)間的距離公式

化簡(jiǎn)可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)點(diǎn)叩。，％）,則&-5）2+/=4,可得x；+y：=10x0-21,則點(diǎn)"（三,三］

圓C的圓心為C（5,0）,半徑為2.

對(duì)于A選項(xiàng),依「+網(wǎng)2=(鋁+]]+,+f+.=2(x°+y?+2xo+l

=2(10.%-21)+2x。+1=22%-41不是定值,人錯(cuò)：

44

對(duì)于B選項(xiàng),L+1j+4+f^ozl_5J+?=%+弋0%+61

=g匕⑼工20,B對(duì)；

2

對(duì)于C選項(xiàng)，

2(%+制-22%+1212(lOxo-21)-22xo+121

4―4

=—不是定值,C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，

L+L+|MC「=(^^+1)+++,=3(/+叫啊+122

=3(10生21)-20v122=10%+59不是定值,口錯(cuò).

44

故選：B.

二、多選題

UUU

9.己知平行六面體488-48CQ,則下列各式運(yùn)算結(jié)果是/G的為（）

A.AB+AD+AA]B.AAt+AXB}+A]D]

c.ZB+BC+CC^D.JB+AC+CC1

【答案】ABC

【分析】利用空間向量的加法化簡(jiǎn)可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】如下圖所示：

對(duì)于A選項(xiàng)，AB+AD+AAt=AB+BC+CCt=ACt,A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，AA,+A^B]+A^Dl=CCi+AB+BC=AC],B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，AB+BC+CCt=AC,,C對(duì)：

對(duì)于D選項(xiàng)，AB+AC+CC^AB+BC+CC^AC,,D錯(cuò).

故選：ABC.

10.直線/:x+VJy+1=0,則（）

A.點(diǎn)卜2,G）在/上B./的傾斜角為g

C./的圖象不過第一象限D(zhuǎn)./的方向向量為（G,l）

【答案】BC

【分析】利用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；求出直線/的斜率，可得出直線/的傾斜角，可

判斷B選項(xiàng)：作出直線/的圖象可判斷C選項(xiàng)；求出直線/的方向向量，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，?.?-2+（G『+1XO,所以，點(diǎn)卜2,百）不在/上，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，直線/的斜率為4=-且，故/的傾斜角為學(xué)，B對(duì)；

36

由圖可知，直線/不過第一象限，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，直線/的一個(gè)方向向量為而向量（行,-1）與這里（1,百）不共線，D錯(cuò).

故選：BC.

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體NBCA-48/G。中，點(diǎn)、M,N,P,。分別為棱4?！盇B,DQ的

中點(diǎn)，貝IJ（）

A.MN=PQB.直線MN與直線8Q相交

C.點(diǎn)。到直線WN的距離為0D.點(diǎn)。到平面WN尸的距離為厚

【答案】AC

【分析】A選項(xiàng)：用勾股定理可求出長(zhǎng)度；B選項(xiàng)：作8。的平行線與九W相交，則可判斷是否為

異面直線；C選項(xiàng)：求出三邊長(zhǎng)度，即可求出結(jié)果；D選項(xiàng)：過點(diǎn)M做MH//DP,利用線面平行

將點(diǎn)M到平面DPN的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)H到平面DPN的距離，等體積轉(zhuǎn)化得到%叱=V?,求體

積和面積計(jì)算距離.

【詳解】A選項(xiàng)：MN=yl\2+22+\2=y/6=PQ＜故A正確；

B選項(xiàng)：連接RN,則與相交，BQ//D.N,則AW與8。為異面直線，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：連接MQ,QN,則例0=后，QN=2y[2,MN=y[6,由勾股定理可知：MQ1MN,所

以。到直線"N的距離即為M。，故C正確;

D選項(xiàng)：過息M做MH//DP,DPu平面DPN,MHu平面DPN,則〃平面ZJPN,所以點(diǎn)

M到平面DPN的距離等于點(diǎn)H到平面DPN的距離，點(diǎn)〃到直線PN的距離為0x之+變=逑

424

,SriHPN=-x42x^=~,又點(diǎn)Z)到平面"PN的距離為2,

"'V244

所以V.M-DPN=^H-DPN=—D-HPN=2x—=—,

54b

i/ii

又‘D-MPN=VM-DPN，MP—\[69PN=yfl，MN—\/6，所以=萬(wàn)乂X—-—=—,設(shè)點(diǎn)M到

平面。PN的距離為〃，則有1x/7xW五=2,所以/；=%叵，故D錯(cuò)誤.

32611

12.已知4(1,0)、8(4,0),P為圓C:/+V=4上一動(dòng)點(diǎn)，則()

A.Sw的最大值為3B.|P4|+|PB|的最大值為9

C.A到直線總距離的最大值為gD.\PB\=2\P^\

【答案】ABD

【分析】求出點(diǎn)P到直線的最大距離，結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項(xiàng)；求出NP"的最

大值，可得出A到直線總距離的最大值，可判斷C選項(xiàng)；利用平面兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合圓的方

程可判斷D選項(xiàng)；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷B選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓C上的一點(diǎn)P到直線48的最大距離為圓C的半徑2,故5咖的最大值為

（乂|[8卜2=3,A對(duì);

圓C的圓心為原點(diǎn)。，當(dāng)直線總與圓C相切時(shí)，此時(shí)NP3/1最大，則點(diǎn)A到直線尸8的距離取最大

值，

連接。P,則OP_LP8,貝1"。尸|=2=；|。卻，故NP歷1=30。，

3

因此，點(diǎn)A到直線尸8的距離為3sin30°=],C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)尸（x。,％）,則尤;+y；=4,

所以，|P8]=（（X。-4）+yj=Jxj+%-8x°+16=J20-8x0=2J5-2x°

=2衣：+/-2%+1=2yJ（x0-l）'+y?=2|尸/|,D對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，\PA\+\PB\=^\PB\<^（\PO\+\OB\）=^x6=9,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為直線80與圓C的交點(diǎn)，且點(diǎn)。在線段8尸上時(shí)，等號(hào)成立，

所以，|阿+|尸司的最大值為9,B對(duì).

故選：ABD.

三、填空題

13.已知向量￡=（1,一2,1）,5=（2,"』），p+6）lp-fe）,則一.

【答案】±1

【分析】分析可得R+4（"/）=/—片=0,利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)人的值.

【詳解】因?yàn)?+可，,一可，則(￡+可.R-g)=/-7=6-(%2+5)=0,解得4=±1.

故答案為：士1.

14.設(shè)直線4：ax-2y+\=Q,直線4：x+(4-3)y+“=0,若人h，則實(shí)數(shù)。=.

【答案】2

【分析】由兩直線4x+8j+G=O與4X+5J+C2=0平行，可得4與-44=0,由此列式求出”的

值，然后再檢驗(yàn)即可.

【詳解】若4I&，貝此(。一3)-(-2)x1=。，解得q=2或〃=1,

當(dāng)a=2時(shí)，直線色2x-2y+l=0,直線4：x-y+2=0,符合題意；

當(dāng)。=1時(shí)，直線4：x-2y+l=0,直線4：x-2y+l=0,兩直線重合，不符合題意.

故答案為：2.

15.已知圓錐PO(P為圓錐頂點(diǎn)，O為底面圓心)的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，A,B,C為

底面圓周上三點(diǎn)，空間一動(dòng)點(diǎn)0,^PQ=xPA+yPB+(\-x-y)PC,則國(guó)的最小值為

【答案】e

【分析】化簡(jiǎn)向量關(guān)系式證明2,48,C四點(diǎn)共面，結(jié)合軸截面特征可求|而|的最小值.

【詳解】因?yàn)槁?》兩+丁而+(l-x-y)定，

^\^^Q-'PC=xPA-xPC+yPB-yPC,

CQ=xCA+yCB,

所以說，亂，而共面，

又A,B,C為底面圓周上三點(diǎn)，

所以點(diǎn)。為平面/8C上一點(diǎn)，

由已知P。/平面/8C,

所以阿閆圖，

又圓錐尸。的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以忸

所以|闋的最小值為百，

故答案為：出,

16.設(shè)直線/：(a+l)iy-l=O(aeR)與圓C：x?=4交于4*兩點(diǎn),則網(wǎng)的取值范圍是

【答案】[2痣,4]

【分析】由直線系方程求得直線所過定點(diǎn)，求出圓心到定點(diǎn)的距離，再確定弦長(zhǎng)最短和最長(zhǎng)時(shí)的位

置，求得弦長(zhǎng)，即可得到|/目的取值范圍.

【詳解】直線/：(a+l)x-砂-l=O(aeR)即為。(x-y)+x-l=O,

fx-y=0fx=1

由；c,解得可得直線/過定點(diǎn)P(l，l),

[x-i=0[y=i

圓C：x2+/=4的圓心坐標(biāo)為C(0,0),半徑r=2,

由于『+『＜4,故尸(1,1)在圓C：/+/=4內(nèi)，

=6,則當(dāng)直線/_LCP時(shí)，|/卻最小，而n=2"/=2及，

M同的最大值即為圓的直徑，

???|/目的取值范圍是[20,4]

故答案為：[20,4].

四、解答題

17.已知口N8C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為次2,4)、5(-1,1)、C(9,-3),求：

(1)8C邊上的中線所在直線的方程；

(2)8C邊上的高所在直線的方程；

(3)/B4c的平分線所在直線的方程.

【答案】(l)5x+2y-18=0

(2)5x-2y-2=0

⑶工二2

【分析】(1)求出線段8c的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式可得出8c邊上的中線所在直線的方程；

(2)求出直線5c的斜率，可得出8c邊上的高所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方

程；

(3)分析可得心s+&c=O,數(shù)形結(jié)合可得出/歷1C的平分線所在直線的方程.

【詳解】(1)解：3。的中點(diǎn)為(4,-1),所以8c邊上的中線所在直線的方程為===三

-1—44—2

整理可得5x+2y-18=0.

(2)解：..?怎c=1A=-：，則8c邊上的高所在直線的斜率為。，

—1—952

所以8C邊上的高所在直線的方程為y-4=g(x-2),整理可得5x-2y-2=0.

4-14+3

⑶解：k=---=1,=T--=-1>所以如+%￡=°，

AB2.+12—v

所以，/E4C的平分線所在直線的方程為x=2.

18.已知長(zhǎng)方體/BCD-中，AB=2,BC=4,/4=3,點(diǎn)M,N分別在棱CC,4。

上，且4N=1,DM=a.

(1)若MN”N,求“；

(2)若MN0平面&BD,求a.

3

【答案】⑴a=；

I

⑵”5

【分析】以《為原點(diǎn)，以9，AD，4A為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

(1)得出砒與瓦萬(wàn)的坐標(biāo)，由已知得出礪?麗=0，即可列式解出答案；

（2）得出礪與48的坐標(biāo)，求出平面48。的法向量，即可根據(jù)已知平面4口＞,列式求

解得出答案.

【詳解】（1）以力為原點(diǎn)，以9，AD，N4為x,外z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系,則。（0,4,0）,片（2,0,3）,M（a,4,0）,N（0,l,3）,

所以礪=（-a,-3,3）,麗=（-2,1,0）,

?;MN上B、N,

---------3

:.MN-BiN=0,即2a-3=0,解得0=5；

（2）由（1）得麗=（-a,—3,3）,

4（0,0,3）,8（2,0,0）,和=（2,0,-3）,

設(shè)平面48。的法向量為G，

須.萬(wàn)=0-,、

則一一，取〃=（6,3,4）

[A}B=0

由A/N〃平面48。，得/赤=0，解得。=；.

19.在正三棱柱/8C-4AG中，AB=2,4小=2百，點(diǎn)M為88/的中點(diǎn).

(1)求AB與平面MAC所成角的正弦值;

(2)證明：平面M4/C/_L平面M4C.

【答案】(1咨

(2)證明見解析

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角公式即可算出答案；

利用兩個(gè)平面的法向量的數(shù)量積為零，即可證明.

【詳解】(1)解：取4C的中點(diǎn)。，則以。為原點(diǎn).以方，礪為x,y軸的正方向建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

即0(0,0,0),A(l,0,0),C(-l,0,0),5(0,百,0),M(0,百，百)

所以麗=卜1,石,0),JC=(-2,0,0),萬(wàn)7=卜1,石，⑹

設(shè)平面M4c的法向量為1

NC?萬(wàn)=0-,、

則｛一取〃=(0,1,-1)

AM-n=0

所以cos(AB,n)=."廠=—

''2x>/24

故AB與平面MAC所成角的正弦值為立

4

(2)解：由(1)得4(1,0,26)，C/(-l,0,2月),

則布=(-2,0,0)祠=(-1,73,-73)

14G?玩二0一.、

設(shè)平面M4G的法向量為永貝ij上，_取機(jī)=(o,u)

［力陷?沅=0

所以，"一，?=0,即_L〃，

故平面MZ/C/J_平面MAC.

20.已知圓。：與圓C：/+/-6x-8y+，〃=0相夕卜切.

(1)求m的值；

(2)若直線/與圓。和圓C都相切，求滿足條件的所有/的方程.

【答案】(1)加=9

⑵x+l=0或7x-2”-25=0或3》+4夕-5=0

【分析】(1)把兩圓相外切轉(zhuǎn)化為圓心間距離等于半徑和，計(jì)算求解即可.

(2)先設(shè)直線再滿足直線和圓相切即圓心到直線距離等于半徑，計(jì)算得解.

【詳解】(1)圓。的圓心為。(0,0),半徑r=l

由圓C：x?+「-6x-8y+〃？=0得(x-3)-+(y-4)-=25-機(jī)，m<25.

所以圓C的圓心C(3,4),半徑K=，25-m

因?yàn)閮蓤A相外切，所以|OC|=H+1,|OC|=j32+外=5,即后二￡=4,解得加=9

（2）由（1）得圓C：（x-3『+（y-4『=16

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)/的方程為x=f

依題意解得"T，即/的方程為x=7

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=h+3

4

\J\+k2

依題意<,所以伙+6-4|=4網(wǎng)

l2i±M=4

,Vi+F

當(dāng)3%+6—4=46時(shí)，3b=3k-4,代入上式可得（34-4）?=9（1+公），

解得衣=（7，即6=-舅25

所以此時(shí)/的方程為尸￡7工-三25

242

當(dāng)34+6—4=-46時(shí)56=4—34,代入上式可得(4-3獷=25(1+巧，

35

解得&T3

35

所以此時(shí),的方程為7+w

故滿足題設(shè)的/的方程為x+l=O或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.

21.如圖，四邊形Z8CD為正方形，以80為折痕把△88折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且二面

角尸為直二面角，E為棱BP上一點(diǎn)、.

(1)求直線與8尸所成角；

(2)當(dāng)管為何值時(shí)，平面ADE與平面PAB夾角的余弦值為也?

EB3

【答案】⑴60°

【分析】(I)連接ZC、BD,設(shè)/Cn8Z)=。，推導(dǎo)出P。/底面然后以。為原點(diǎn)，以方

、麗、而為X、了、z軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)0/=1,利用空間向量法可求得

直線與8尸所成角；

(2)設(shè)而=義而，其中OWzlWl,利用空間向量法可得出關(guān)于幾的等式，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：連接NC、BD,設(shè)NCn8Z)=。，則。為8。的中點(diǎn)，

由已知=PB=PD,則OP_L8￡>,AOLBD,

所以N/10P為二面角Z-8O-P的平面角，所以40尸=90°,因此ZO_LO尸，

因?yàn)榱?。n8。=。，AO.BDu平面4BD,故尸。工底面

以。為原點(diǎn)，以方、OS，而為x、了、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)

則力(1,0,0)、5(0,1,0)、0(0,-1,0),尸(0,0,1),

15=(-1,-1,0),即=(0,7,1),

—rfz-^54D-BP11

所以cos<AD,BP>=|.=萬(wàn)二方故直線4。與8P所成角為601

(2)解：設(shè)平面尸的法向量為〃?=a，M，zJ,=(-1,1,0),^=(-1,0,1),

in-AB=-x+y,=0

則一11取玉=1,可得而=(1,1,1),

m?AP=一$+4=0

設(shè)而=/而=2(0,1,-1)=(0,2,-7),其中0W/IW1,

設(shè)平面ADE的法向量為3=(%,%,z?),

n-AD=-x-,-=0-,、

則——,、，取x=l-4,可得〃+

n-AE=—x2+^y2+(l-2)z2=0

由題意可得|cos<?,?>1=t-i=—~