2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)檢測(cè)8-3直線平面平行的判定和性質(zhì)

8.3直線、平面平行的判定和性質(zhì)

一、選擇題

1.（2022屆貴陽(yáng)摸底,5）如圖甲,在梯形ABCD中，AB〃CD,CD=2AB,E,F分別為AD,CD的中點(diǎn),

以直線AF為折痕把AADF折起,使點(diǎn)D不落在平面ABCF內(nèi)（如圖乙），那么在以下3個(gè)結(jié)論中,

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

圖甲圖乙

①CF〃平面ABD;②BE〃平面CDF;③CD〃平面BEF.

A.0B.1C.2D.3

答案C對(duì)于①,因?yàn)镃F〃AB,ABU平面ABD,CFQ平面ABD,所以CF〃平面ABD,故①正確；

對(duì)于②,取DF的中點(diǎn)G,連接EG,CG,貝IJEG√ΛF,EG=IAF,又易知AF/7BC,ΛF=BC,所以EG〃BC,

且EG≠BC,故在平面BCGE內(nèi)，BE的延長(zhǎng)線與CG的延長(zhǎng)線必定交于一點(diǎn)，又CGU平面CDF,所

以BE與平面CDF相交,故②不正確;對(duì)于③,連接AC,交BF于H,則H為AC的中點(diǎn),連接EH,

則EH√CD,又EHU平面BEF1CDC平面BEF,所以CD〃平面BEF,故③正確.故選C.

2.（2022屆T8聯(lián)考,7）如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為平行四邊形,E,F,G分別為棱

AA”Ca,CR的中點(diǎn)，貝）1（）

?.直線BC1與平面EFG平行,直線BD1與平面EFG相交

B.直線BC1與平面EFG相交,直線BD1與平面EFG平行

C.直線BCnBDl都與平面EFG平行

D.直線Bc|、BDl都與平面EFG相交

答案A取AB的中點(diǎn)H,連接GH,EH,IIF,則BIlCG從而四邊形BcGH為平行四邊形,所以

BC1√HG.易知EHGF,則四邊形EGFH為平行四邊形，從而GHU平面EFG.又BC,<J平面EFG,所

以BCl〃平面EFG.

取D1D的中點(diǎn)P,連接ED11D1F,BF,EB,EPJPC,又「E為A1A的中點(diǎn)，

ΛEPAD,又ADBC,ΛEPBC,二四邊形EPCB為平行四邊形，二EBPC,VD1PCF,二四邊

形DFCF是平行四邊形.,PCD1F1ΛDIFEB,則四邊形BFDIE為平行四邊形,從而BDl與EF

相交,所以直線BDl與平面EFG相交，故選A.

3.（2022屆南昌摸底,9）如圖,正方體ABCD-ABCD中,M,E,F,G,H分別為BBl,A1B1,B1C1,AAljBC

的中點(diǎn),則（）

A.DE〃平面ACM

B.DF〃平面ACM

C.DG〃平面ACM

D.DH〃平面ACM

答案C如圖,取境：1的中點(diǎn)$,連接》$,6$,86"5,由題意可知,口5〃681,所以口,退81,5四

點(diǎn)共面，易知DS〃AM,又DSU平面DGS,AMQ平面DGS,所以AM〃平面DGS.同理DG〃CM,又DGU

平面DGS,CMC平面DGS,所以CM〃平面DGS,又AM∩CM=M,所以平面AMC〃平面DGS,即平面

AMC〃平面DGB1S.所以過點(diǎn)D且平行于平面AMC的直線必定在平面DGB1S內(nèi)，結(jié)合選項(xiàng)可知選

C.

4.（2021貴陽(yáng)期末，10）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示,在正方體中,

設(shè)BC的中點(diǎn)為M,GH的中點(diǎn)為N,下列結(jié)論正確的是（）

2

A.MN//平面ABEB.MN〃平面ADE

C.MN〃平面BDHD.MN〃平面CDE

答案C如圖,連接AC,BD,交于點(diǎn)0,連接OM,OH,MN,BH,

因?yàn)镸,N分別是BC,GH的中點(diǎn)，

所以O(shè)M〃CD,且0M=gD,NH∕/CD,且NHqCD,

所以O(shè)M〃NH且OM=NH,

則四邊形MNHO是平行四邊形，

所以MN√OH,又MNq平面BDH,OHU平面BDII1

所以MN〃平面BDH.故選C.

5.（2022屆重慶巴蜀中學(xué)11月月考,8）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分

別為棱AB,BC,C1D1,AD的中點(diǎn),若平面α〃平面EFGH,且平面a與棱A∣B∣,B1C1,B1B分別交于點(diǎn)

P,Q,S,其中點(diǎn)Q是棱BC的中點(diǎn),則三棱錐B1-PQS的體積為（）

?-?B*C,1D.1

答案D如圖所示,取AA“CG的中點(diǎn)N,M,連接NH,NE,MG,MF,

由正方體的性質(zhì)可知,NE〃GM,HG〃EF,HN〃MF,

3

所以H,G,M,F,E,N六點(diǎn)共面,又因?yàn)槠矫姒痢ㄆ矫鍱FGH,所以平面PQS〃平面HGMFEN,又平面

BBqCn平面PQS=QS,平面BB平面HGMFEN=MF,所以QS〃MF,由M,F,Q為所在棱中點(diǎn)可知

S為BB1的中點(diǎn)，同理可知,P為AB的中點(diǎn),所以B1P=B1Q=B1S=I,且BlP,B1Q,B1S兩兩垂直,所以

三棱錐B1-PQS的體積為V=IX1X；X1X畤故選I).

6.(2022屆四川資陽(yáng)11月月考,10)如圖,在AABC中,AC上一點(diǎn)D滿足BD=4,將AABD沿BD

折起，使得AC=5,若平面EFGIl分別交AB,BC,CD,DA于點(diǎn)E,F,GJI,且AC〃平面EFGH1BD〃平面

EFGH,則當(dāng)四邊形EFGH對(duì)角線的平方和取得最小值時(shí),襄()

IM

答案B因?yàn)锳C〃平面EFGH,ACU平面ACD,平面ACD∩平面EFGH=HG,所以AC〃HG,同理

ACEF,BD〃HE,BD〃FG,則四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)鬻=k(0<k<l),則呼=1k,因?yàn)?/p>

BD=4,ΛC=5,所以GH=5k,EH=4(l-k).在平行四邊形EFGIl中，連接EG,HF,則

EG2+HF2=2[25k2+16(l-k)2J=2(41k2-32k+16),X0<k<l,所以當(dāng)k邛時(shí),EG'+HF?取得最小值,故

選B.

二、解答題

7.(2022屆廣西10月聯(lián)考，19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,側(cè)面PCD是等邊

三角形且與底面ABCD垂直,PD=AB=4,E?F分別為AB、PC上的點(diǎn)，且PF=IPC,AE=^AB.

⑴證明：直線EF〃平面PAD;

(2)若DBAD=60°,求三棱錐B-EFC的體積.

解析⑴證明：在PD上取點(diǎn)M,使得PM=∣PD,連接FM,MA(如圖)，因?yàn)镻F=IPC,

4

P

所以FM//CD,FMqCD,

又AE√CD,AEWAB辛D,所以FM=AE,FM〃AE,所以四邊形AEFM是平行四邊形,所以FE〃AM,又

FEd平面PAD,AMU平面PAD,所以直線EF〃平面PAD.

(2)取CD的中點(diǎn)0,連接P0,則P0±DC.因?yàn)閭?cè)面PCD與底面ABCD垂直,CD為兩個(gè)平面的交

線，POU平面PCD,所以PO_L平面ABCD,又因?yàn)镻FgPC,所以F到平面ABCD的距離h=∣P0=∣√3,

又SAreE=IX：X4X4XSinl20°=^,所以Vll-EFC=VF-B昌SAB(EhWX竽

8.(2022屆安徽蚌埠質(zhì)檢(一),19)如圖，多面體ABCPQ中，QAL平面ΛBC,QA〃PC,點(diǎn)M為PB

的中點(diǎn),AB=BC=AC=PC=2QA=2.

(1)求證:QM〃平面ABC;

(2)求三棱錐Q-ABM的體積.

解析⑴證明：取BC的中點(diǎn)H,連接MH,AH,由點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，得MH〃PC且MH=IPC,又

QA〃PC且QA=IPC,

所以QAMH,所以四邊形QAIlM為平行四邊形，

從而QM〃AH,而AHU平面ABC,QMa平面ABC,

所以QM〃平面ABC.

(2)由⑴知，MH〃QA,又QAU平面QAB,MHa平面QAB,

5

所以MH〃平面QΛB,貝IJ點(diǎn)M到平面QAB的距離與點(diǎn)H到平面QAB的距離相等,則

VQ-ABN-VMABQ-VH-ABQ—VQA&]?

由條件知,QA為三棱錐Q-ABH的高，

=

VbABHISΔ≡*QA=X；X,X2"Xl=y,

所以三棱錐Q-ABM的體積為,

6

9.(2022屆河南許昌調(diào)研(一)，19)如圖所示，四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯

形,AB〃CD,AD=BD=2,NBDC=g,BC=2√3,PD_L平面ΛBCD,FC=2PF.

(1)證明：AP〃平面BDF;

(2)若PD=DC,求三棱錐B-PDF的體積.

解析(l)i≡B∣:VAB/7CD,/DBA=NBDC=;,

又..?AD=BD,.?.Z?DAB為等邊三角形，.?.AB=DB=2.

?ΔBDC中，DB=2,ZBDC=i,BC=2√3,由余弦定理得BC?BD2+CD2-2BD?CD?cosZBDC,即

(2√3)?22+CD2-2×2×CD×∣,ΛCD=4,

如圖，連接AC交BD于點(diǎn)E,連接EF,

VAB#CD,Λ?ABE^>ΔCDE,ΛAE：EC=ΛB：CD=I：2,又YPF:FC=I：2,，EF〃AP,

又APa平面BDF,EFU平面BI)F,.?.AP〃平面BDF.

(2)：AP〃平面BDF,.IVlHw=ViDF=V，'-BDF=VFr

VPF：FC=I:2,PD±5F≡ABCD,二點(diǎn)F至I」平面ABD的距離為凱D,

6

"?"SΔABP=^AD?BD?sinZADB=∣×2×2×y=√3,

,V.=羯BD?∣PD4×√3×f×4=^,

?v3

V,=vv--

??VB-∣DFF-ΛBI)9?

10.(2022屆河南許昌調(diào)研(一)，19)如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯

形，AB〃CD,AD=BD=2,NBDC彳,BC=2√3,PDJ_平面ABCD,FC=2PF.

(1)證明:AP〃平面BDF;

(2)若PD=DC,求三棱錐B-PDF的體積.

解析(1)證明：：AB〃CD,.?.NDBA=∕BDC彳，

XVAD=BD,ΛΔDAB為等邊三角形，.?AB=DB=2.

222

在ABDC中,DB=2,/BDC吟BC≈2√3,由余弦定理得BC=BD+CD-2BD?CD?cosZBDC1即

(2√3)2=22+CD-2×2×CD×∣,ΛCD=4,

如圖,連接AC交BD于點(diǎn)E,連接EF,

VAB∕/CD,ΛΔABE^ΔCDE,ΛAE：EC=AB：CD=I：2,又TPF:FC=I：2,.,.EF/7AP,

又APa平面BDF,EFU平面BDF,,AP〃平面BDF.

(2)?.?AP〃平面BDF,二VlHW=ViF=VMoP=VF加,

VPF：FC=I：2,PDj_平面ABCD,.?.點(diǎn)F到平面ABD的距離為手D,

,AD,

?"SΔABI>4BD?sinZADB=∣×2×2×γ=√3,

7

.?.VF.ABD=∣SΔSBD?∣PD=∣×√3×f×4=^,

?V=v--v^

,?VB-PDFVF-ΛBI)9?

11.(2022屆江西上饒摸底，19)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1Φ,底面^ABC的邊長(zhǎng)AB=I,側(cè)棱

長(zhǎng)為當(dāng)P是AB的中點(diǎn),E,F,G分別是ΛC,BC,PC的中點(diǎn).

(1)求異面直線FG與BB1所成角的大?。?/p>

(2)求證：平面EFG〃平面ABB1A,.

解析⑴連接PB.?.?G,F分別是PC,BC的中點(diǎn),

；?GF〃BP,.?.直線PB與BBI所成的角等于異面直線FG與BBI所成的角.

o

在RtAPBlB中，由PB,=∣,BBl邛，得tanZPBB,?^,ΛZPBBl=30,

.?.異面直線FG與BBl所成角的大小為30°.

(2)證明：由(1)易得,直線FG〃平面ABB1A11

?.年分別是人(：μ的中點(diǎn)，；5〃人8,

又ABU平面ABB1A,,EFC平面ABB1A1,

.?.EF〃平面ABB1A11

EF∩FG=F,EFU平面EFG,GFU平面EFG,

平面EFG〃平面ABB1A1.

12.(2022屆陜西名校聯(lián)盟10月聯(lián)考，19)如圖，在四棱錐C-ABDE

Φ,AB±AE,DE±AE,AB±AC,AB=AC=2,AE=ED=I.

(1)若F為AC的中點(diǎn),G為AB的中點(diǎn),H∈EF,求證:HG〃平面BCD;

(2)若平面ABDE，平面ABC,求三棱錐C-BED的體積.

8

解析(1)證明：連接FG,EG.

VF,G分別為AC,AB的中點(diǎn)，；.FG〃BC,XVFGC平面BCD,BCU平面BCD,...FG〃平面BCD.

在梯形ABDE中，AB±AE,DEXAE,

ΛED/7AB,即ED√GB.

,.,ΛB=2,ED=I,G為AB的中點(diǎn)，...ED=GB,

.?.四邊形GBDE為平行四邊形，，EG〃DB,

XVEGd平面BCD,BDU平面BCD,EG〃平面BCD.

?.?EG∩FG=G,平面EFG〃平面BCD.

?.?GHU平面EFG,.?.GH〃平面BCD.

(2)：平面ABDE_L平面ABC于AB,ABlAC,AeU平面ABC,；.AC_L平面ABDE.

吊SABM?Agxg?ED?AE?AC4×1×1×2?

13.(2022屆九師聯(lián)盟聯(lián)考(二)，19)如圖，在等腰梯形ABCD中，珈

BC√AD,AB=√2,BC=1,AD=3,BP±AD,垂足為P,將aABP沿BP折起,使平面ABP，平面PBCD,連

接AD,AC,M為棱AD的中點(diǎn).

(1)試分別在PB,CD上確定點(diǎn)E,F,使平面MEF〃平面ABC;

(2)求三棱錐A-PCM的體積.

解析（D當(dāng)E,F分別為BP,CD的中點(diǎn)時(shí),可使平面MEF〃平面ABC.證明如下:

VM,F分別為AD,CD的中點(diǎn)，；.MF〃AC.

又ACU平面ABC,MFC平面ABe,...MF〃平面ABC.

又E為BP的中點(diǎn),且四邊形PBCD為梯形，...EF〃BC.

又BCU平面ABC,EFC平面ABC,.?.EF〃平面ABC.

又VMF∩EF=F,平面MEF〃平面ABC.

9

(2)取PD的中點(diǎn)E',連接AE',ME',E,C,易知

,,,,

ME〃AP,CE±PD,PE=1,CE二1,AP=1,...V*.APC=VE、血.

又VA-PaJ=VM-ApOVATm=VE-APC,且易知k_1_平面

PBCD,.?.V"mι=V.他,[$△呻.XAP=IX手E'XE'CXAP3,二三棱錐A-PCM的體積為今

14.(2022屆山東濰坊10月過程性測(cè)試，18)如圖，平面ABCDL平面AEBF,四邊形ABCD為矩

形，ΔΛBE和^ABF均為等腰直角三角形,且NBAF=NAEB=90°.

(1)求證:平面BCEJ_平面ADE;

(2)若點(diǎn)G為線段FC上任意一點(diǎn),求證:BG〃平面ΛDE.

證明(D因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以BC±AB,又因?yàn)槠矫鍭BCDL平面AEBF,BCU平面

ABCD,平面ABCDc平面AEBF=AB,所以BCJ_平面AEBF,又因?yàn)锳EU平面AEBF,所以BC±AE.因

為NAEB=90°,即AELBE,且BC、BEU平面BCE,BCDBE=B,所以AEJ_平面BCE,又因?yàn)锳EU平

面ΛDE,所以平面ADEL平面BCE.

(2)因?yàn)锽C√AD,ADU平面ADE,BCC平面ADE,所以BC〃平面ADE.因?yàn)锳ABF和AABE均為等

腰直角三角形，且∕BAF=∕AEB=90°,所以∕EAB=NABF=45°,所以AE〃BF,又AEU平面

ADE,BFd平面ADE,所以BF〃平面ADE,又BC∩BF=B,所以平面BCF〃平面ADE.又BGU平面FBC,

所以BG〃平面ΛDE.

15.(2022屆廣東佛山一中10月月考,20)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，平面PADL平面

ABCD,PA=PD=讓，四邊形ABCD為等腰梯形,BC/7AD,BC=CDWAD=1,E為PA的中點(diǎn).

(1)證明：EB〃平面PCD;

(2)求平面PAD與平面PCD所成的二面角0的正弦值.

解析⑴證明：取AD的中點(diǎn)0,連接E0,0B,

10

VE為PA的中點(diǎn),O為AD的中點(diǎn)，.?.OE"PD,

又OE￠平面PCD,PDU平面PCD,.?.0E〃平面PCD,

又：BC〃AD,BC^AD,

二四邊形BCDO為平行四邊形，.?.BO"CD,

又OBa平面PCD,CDU平面PCD,

,BO〃平面PCD,又OE∩BO=O,.I平面EBO〃平面PCD,

又「BEU平面EBO,.二BE〃平面PCD.

(2)連接PO,VPA=PD,0為AD的中點(diǎn)，.?.PO_LAD,

又平面PADJ_平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以POL平面ABCD,取Be的中點(diǎn)M,連接0M,

四邊形ABCD是等腰梯形，.?.OMLAD,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1),A(O,-1,O),D(O,l,0),c(y,?,θ),

ΛΛ^=(0,1,-l),CZt(-y,0),設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則

7??PD=y-z=0,

∕7?CD=-^x+∣y=0,

令x=l,貝IJy=z=√3,則n=(1,√3,√3),

易知平面PAD的一個(gè)法向量為m=(l,0,0),

.".Icosθ∣=∣cos<m,n>I="''"??,貝(jsinθ

m?∣Λ√77

16.(2022屆南京二十九中10月月考,20)如圖，在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形

且垂直于底面ABCD,AD√BC,ABlAD,AB=2BC=4,E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)(除端點(diǎn)外)，F(xiàn),M分別為

AB,CE的中點(diǎn).

(1)證明：FM〃平面PAD;

11

(2)若直線EF與平面PAD所成的最大角為30°,求平面CEF與平面PAD所成銳二面角的余弦

解析⑴證明:取CD的中點(diǎn)N,連接FN,MN,因?yàn)镕,N分別為AB,CD的中點(diǎn),所以FN/7AD,又

FNC平面PAD,ADU平面PAD,所以FN〃平面PAD,

因?yàn)镸,N分別是CE,CD的中點(diǎn),所以MN/7PD,又MNC平面PAD,PDU平面PΛD,所以MN〃平面

PAD,又FN∩MN=N,所以平面MFN〃平面PAD,

又因?yàn)镕MU平面MFN,所以FM〃平面PAD.

(2)連接AE,因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,AB±AD,ABu平面ABCD,

所以ABJ_平面PAD,所以NAEF即為直線EF與平面PAD所成的角，且tan∕AEF4?

AEAL

當(dāng)AE最小，即ΛE±PD,亦即E為PD中點(diǎn)時(shí)，ZAEF最大，為30°,又因?yàn)锳F=2,所以ΛE=2√3,

所以AD=4.

取AD的中點(diǎn)0,連接PO,0C,易知PoJ_平面ABCD,

因?yàn)锳0√BC且AO=IAD=BC,所以四邊形ABCO為平行四邊形，所以AB√CO,又ABJ_AD,所以

AO±OC,以0為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-χyz.

則0(0,0,0),C(4,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2√3),