第5章 機械波教材

空間某處發(fā)生的振動，通過介質或真空向四周傳播，這種振動在空間的傳播——波波的表現(xiàn)形式不同，但有共性！——機械振動在連續(xù)介質中的傳播。

機械波如：聲波、地震波、水波等——電磁振動在真空或介質中的傳播。

電磁波如：無線電波、可見光、x射線等如：波傳播的周期性

引力波；

物質波波的類型：信息的傳播：能量的傳播：波的應用：如太陽能、激光、沖擊波等如無線電與光纖通信、雷達系統(tǒng)等引言、疊加性、干涉與衍射現(xiàn)象等。1第

5章機械波1.機械波的產(chǎn)生、傳播與類型；2.波的能量、能量密度、平均能流、強度等概念；3.惠更斯原理：波的衍射、折射與反射；4.波的疊加原理與干涉、駐波的特點、半波損失現(xiàn)象；5.多普勒效應及其簡單應用。1.平面簡諧波的波動方程；2.波的相干條件：相長與相消干涉的條件；3.駐波方程，形成駐波波腹、波節(jié)的條件。掌握：了解：2§5-1機械波的形成和傳播一、機械波的產(chǎn)生1.物體的形變與相應的力平衡位置彈性回復力

正應變——應力在彈性限度內(nèi)，應力與應變遵從胡克定律：——正應力——應變——單位長度的形變量楊氏彈性模量

彈性介質3

切應變——切應力在彈性限度內(nèi)，切應力與切應變遵從胡克定律：切變彈性模量

容應變

在彈性限度內(nèi)，壓強的變化量與容變成正比關系：容變彈性模量

?正應變與容變都能出現(xiàn)在固體、液體與氣體中。?切應變只能出現(xiàn)在固體中。注意：——容變——切變4相鄰質元的接觸面?連續(xù)介質2.機械波的產(chǎn)生?波源相對位移有波峰和波谷：質點的振動方向和波動的傳播方向垂直。相對位移看成是存在相互作用連續(xù)質元的集合：質點的振動方向和波動的傳播方向平行。切應變正應變固體、液體或氣體都能傳播縱波!橫波只能在固體中傳播!有波疏和波密處?橫波?縱波5

機械波只是振動的傳播，并沒有物質的傳輸。注意：

質元間相互作用的速度有限→機械波以有限的速度傳播。

波傳播時介質中各質元受彈性回復力而振動。

機械波還傳輸能量。——彈性波固體、液體或氣體中都能傳播彈性波。

機械波不一定是彈性波。如：水面波重力和表面張力之合力“上游”質元的振動依次帶動“下游”質元的振動“下游”質元重現(xiàn)“上游”質元的振動狀態(tài)63.波線與波面周期性波波場：波傳播到達的空間。?一維波三種類型：?二維波?三維波如繩波如水面波如聲波平面波波線波面波前波面波前波線波面在光學檢測中，觀測波前形狀可以獲得光學材料均勻性的信息。偏振面?zhèn)鞑シ较蛘駝臃较蛎}沖波球面波柱面波7在2

時間內(nèi)波傳播距離中包含的完整波形數(shù)目。

4.波長、周期、頻率與波速波長

：角波數(shù)（k）：周期T頻率：角頻率：在2長度內(nèi)包含的完整波的數(shù)量。沿波的傳播方向振動狀態(tài)相同的相鄰兩點之間的距離。：波前進一個波長的距離所需的時間。

=1/T

=2

單位時間內(nèi)波傳播距離中包含的完整波形數(shù)目。波速波速也就反映了位相傳播的速度——相速：振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的距離。8波線波面§5-2平面簡諧波的波動方程如果簡諧波的波面為平面——簡諧波波源和介質中各質元的振動都是簡諧振動——平面簡諧波簡諧波是最簡單最基本的波動形式！——真實的波可以看成是簡諧波的疊加而成。一、平面簡諧波的波動方程問題：求y

=

y(x,t)yo=

y(0,t)及u給定,介質：無限大、各向同性、無吸收任一根波線代表平面簡諧波的傳播規(guī)律!

——用一個方程描述任意時刻各個質元的振動狀態(tài)。

9o點的振動方程：p點t時刻的振動重復o點時刻的振動，即有：即：——波動方程另：p點的振動位相落后于o為，將o點的振動位相延遲即得到p點t時刻的振動：10若波沿x軸負向傳播，p點t時刻的振動與o點時刻的振動相同，得p點的振動方程為：?波動方程的另外幾種形式：

=2

=2

/T?質點振動的速度和加速度11二、波動方程的物理意義平面簡諧波動方程還可以描繪波傳播的物理圖像!⑴

波動方程能表示任意時刻的波形t0時刻，y僅是位置x的函數(shù)：——給出波線上各質元在t0時刻的位移分布。t0時刻的波形方程t0時刻的波形（圖）對于橫波：波形描繪出某時刻各質元在空間的真實分布！對于縱波：波形僅表示某時刻各質元的位移分布！t時刻的波形方程波形圖直觀地反映出波傳播在空間的周期性。t時刻的波形波長是波在空間上的周期性的標志。12⑵

波動方程也能反映波形運動的情況因為：→t+t時刻的波形是t時刻的波形經(jīng)t

時間傳播來的！行波位移量位移量t+t時刻x+x處質元的振動t時刻x處質元的振動左右橫行波左右縱行波13解：⑴聲波可以看成平面簡諧波。以聲源為原點建立ox坐標。由原點的振動方程得：忽略聲波傳播的衰減，求：⑴以聲源為坐標原點波傳播方向為正向的波動方程；⑵振動初位相為零的位置；⑶以距聲源20m處p點為坐標原點的波動方程。例：一聲源在狹長直地道中發(fā)聲，振動方程為：聲波的波速：波動方程：14⑵由波動方程得x處質元的振動初位相，令它等于零得到振動初位相為零的位置：⑶由波動方程得到p處質元振動方程：則以p點為原點的波動方程：15例：如圖，平面簡諧波的波速u=400m/s，沿直線從A向B方向傳播。A處質元的振動周期為0.01s，振幅為0.1m。取

A處質元經(jīng)過平衡位置向正向振動為計時起點。求：⑴B點和C點的振動方程；⑵以B點為坐標原點的波動方程。解：⑴由題意知：A=0.1m，T=0.01s

設A點的振動方程為：A點：t=0時，y0=0，v0>0。有：→

A在3或4象限-/216則以A為坐標原點的波動方程：將x=2m代入上方程，得B點的振動方程：⑵以B為原點的波動方程：將x=-1m分別代入上方程，得C點的振動方程：17解：⑴由圖知A=0.5cm。設原點處的振動方程為：例：一平面簡諧波以速度u=0.8m/s沿x軸負方向傳播。已知原點的振動曲線如圖所示。求：⑴原點的振動方程；⑵波動方程。t=0s時y0=A/2，且v0>0，由旋轉矢量圖可知初相位為：

=-/3在t=1s時間內(nèi)旋轉矢量轉過的角度：得：

=(5/6)/1=5/6得原點的振動方程：5/6

/2＋/3=5/6-/318⑵沿軸負方向傳播，波動方程：t=0s時y0=A/2，且v0>0，有：t=1s時y1=0，且v1<0，有：19例：圖為某平面簡諧波在t=0時刻的波形，波速u=3m/s。求：⑴波動方程；⑵a處質元t=10s時的振速與加速度。得頻率:因波沿著x軸負向傳播，則波動方程：t=0時刻a處質元的位移、速度：由解⑴由波形圖可得：20⑵得a處質元的振動方程：a處質元t=10s時的振動速度與加速度:得波動方程：21固體中質元的動力學方程——波動微分方程*三、波動微分方程以縱波為例，介質密度為。

質元運動：有位移平衡位置質元所受應力與應變關系：質元y處所受的彈性力：y＋dy處的彈性力：

質元截面積S，質量

22質元所受合力：——縱波波動微分方程——解表示彈性介質中可能出現(xiàn)的波橫波波動微分方程流體中縱波23將代入波動微分方程：——固體縱波波速——固體橫波波速波動微分方程的通用表達式：——流體縱波波速24——T為張力，為線密度繩索中的波速：∵固體中G<Y

u橫波<u縱波地震時縱波先到達震中*解：設懸掛有0.5kg和2kg物體的兩繩波速分別為u1、u2。輕質繩對張力的影響可忽略，兩波速比：例：兩根完全相同的輕質繩，分別懸掛質量為0.5kg和2kg

的物體。試求沿這兩根繩子傳播的橫波的波速比。25§5-3波的能量*聲強波的能量=振動動能+形變勢能一、波的能量以縱波為例，介質密度為。

有位移平衡位置質元體積dV=Sdxt時刻質元的振動速度：t時刻質元動能：將質元看作彈簧（k）!彈簧勢能：26而:→彈簧的勢能：由波動方程有：得彈簧即質元的勢能：勁度系數(shù)k可由質元的應變與應力關系確定：27單位體積介質所具有的能量質元動能、勢能、機械能：能量密度的平均值——波的能量密度（w）——平均能量密度（）以縱波得到的結論，對橫波也成立！28?波傳播過程中，質元的動能和勢能大小相等、同步變化?！瑫r達到最大或最小?！|元處于平衡位置：動能、勢能和總能具有最大值

→質元位置處于極值：動能、勢能和總能具有最小值零?；?波傳播過程中，質元的機械能隨時間作周期性變化

→質元的能量不守恒→能量在質元之間有傳遞

→波傳輸能量。

——不同于振動！結論：——不同于振動！單位體積的質元29波動方程即質元的振動方程：質元處于平衡位置動能最大，有：而此時質元的形變?yōu)椋骸藭r質元勢能也具有最大值類似分析有：質元處于最大位移處動能為零，這時質元的形變?yōu)榱悖鋭菽芫哂凶钚≈盗?。最?/p>

質元的動能和勢能同步變化的解釋30：單位時間內(nèi)通過垂直于波傳播方向單位面積的平均能量。二、波的強度：單位時間內(nèi)通過垂直于波傳播方向面積S的平均能量。如何描述能量在介質中傳輸？平均能流——波的強度（波強）以I表示單位（SI）：對平面簡諧波：波強是矢量與波速同向，反映能量傳播的方向：——表明波強與振幅的平方成正比平均能流密度能流：單位時間內(nèi)通過垂直于波傳播方向面積S的能量。31而：S1=S2=S

A1=A2——振幅相等——振幅與距離成反比。證明：在均勻不吸收能量的介質中平面波在行進方向上振幅不變，球面波的振幅與離波源的距離成反比。證明：對平面波和球面波，單位時間內(nèi)通過S1和S2面的能量應該相等。⑴對平面波：∵I1S1=I2S2，即：⑵對球面波：

——球面簡諧波的波動方程32三、波的吸收

波在介質中傳播時，由于介質吸收波的能量，因此波的機械能不斷減少、波強不斷減弱的現(xiàn)象。實驗顯示：波通過厚度為dx的介質，其波強衰減量-dI與入射波強I、介質厚度dx兩者均成正比例關系。式中I0、I分別是x=0

和x=x

處的波強。積分可得波強的衰減規(guī)律：介質的吸收系數(shù)33*三、聲強介質中有聲波時的壓強與無聲波時的靜壓強之差在彈性介質中傳播的機械縱波——聲波：聲壓聲壓也在作周期性變化，對平面簡諧波，聲壓：振幅為：

聲強即是聲波的強度：34——聞閾——痛閾人耳承受聲強：

I下

<I<I上人耳分辨頻率：20<

<20000Hz；敏感的頻率：1kHz能引起人耳對聲波聽覺的聲強與頻率有關！單位:分貝(dB)I0=10-12W/m2作為基準聲強，取1ｋHz聲波頻率。

——人耳聽覺與聲強級成正比！正常談話:60dB；繁忙街道:70dB；聚焦超聲波:210dB

對聲強I進行分級為——聲強級：35——惠更斯原理：當水面波前進通過有小孔的障礙物時，開孔后面出現(xiàn)的波，就好像是以開孔為波源發(fā)出的新水面波。§5-4惠更斯原理、波的疊加和干涉波傳播過程中，波陣面（波前）上的每一質元都充當了新的波源發(fā)出子波，其后任意時刻這些子波的前方包跡就是新的波陣面。子波源發(fā)出的波與原波同頻率！認識到：波的傳播是波源的振動帶動下游質元振動引起的。提出：一、惠更斯原理現(xiàn)象36只要已知某時刻的波面和波速，就可以由惠更斯原理通過作幾何圖，確定下一時刻的波面和波的傳播方向。惠更斯原理適用于：機械波、電磁波；非均勻的、各向異性的介質。局限性：沒有說明子波的振幅（強度）分布；也沒有說明子波只向前不向后傳播的問題。波前子波源子波371.波的衍射——波在傳播的過程中遇到障礙物或小孔后，能夠繞過障礙物的邊緣繼續(xù)傳播的現(xiàn)象。?衍射是波的主要特征之一。隔墻有耳!聲音波長～1m；問題：對于同一個障礙物聲波與光波誰更容易發(fā)生衍射？可見光波長：二、波的衍射、反射與折射?障礙物或開孔的尺寸越小，衍射現(xiàn)象越顯著！38介質1介質22.波的反射和折射——反射定律有：AF=ED=ut有：——折射定律介質1介質239在波的相遇區(qū)域中，質元的振動是各列波單獨傳播至該點引起此質元振動的合成。三、波的疊加原理多個波同時在介質中傳播，波的傳播如何進行？介質中質元又是怎樣振動？各個波在傳播過程中仍保持原有的特性（頻率、波長、振動方向等）不變，按照原來的方向繼續(xù)前進，就像沒有遇到其它的波一樣?！▊鞑サ莫毩⑿栽怼▊鞑サ寞B加原理注意：波的相遇不同于實物粒子相遇，因為波的傳播不涉及到物質的交換。如：水面波；聲波；空中無線電波現(xiàn)象40四、波的干涉兩列波相遇引起不同位置的質元的振動疊加，有的質元的合振動始終加強，有的質元的合振動始終減弱，結果形成了一幅穩(wěn)定的疊加“圖樣”。——能產(chǎn)生干涉的波源稱為相干波源——波的干涉——能產(chǎn)生干涉的波稱為相干波1.

相干條件①頻率相同②有恒定的位相差③振動方向相同

S2S1r1r2

p水波干涉41

S1:

p點處兩分振動為:相位差:2.相長、相消干涉S2:

S1p:S2p:

S2S1r1r2

p合振幅：p點合振動:用波強表示：42

相長干涉：(k=0,1,2,…)

相消干涉：

=2k合振幅：A=A1+A2(k=0,1,2,…)

=(2k＋1)合振幅：A=|A1-A2|其它情況的合振幅：|A1-A2|

<A<A1+A2

S2S1r1r2

p當

2=

1時：

——相長干涉——相消干涉波程差43C端每伸長5cm兩路聲波的波程差增加10cm，這時聲波干涉加強的級次增加一級，有：解聲波在處發(fā)生干涉加強，兩路聲波的波程差要滿足干涉加強條件：例：聲波干涉儀（共鳴管）的結構見示意圖。聲波從A端進入，分成B、C兩路在管中傳播，隨后在D端相遇傳出，可由接收器接收。彎管C可以伸縮，當它伸長時，從D

端接收到的聲音有強弱周期性的變化。設C端每伸長

5cm聲音增強一次。求此聲波的頻率。得聲波頻率：44在S1左側的A點：AS1=r1，AS2=r2在S2右側的A點：AS1=r1，AS2=r2得：A=A1+A2=2A，I=4I0例：S1與S2為相距1/4波長的兩相干波源，S1比S2的位相超前

/2。若兩波在S1與S2連線方向上的強度相同且不隨距離變化，問S1與S2連線上在S1外側各點的合成波的強度如何？又在S2外側各點的強度如何？解：由題意：

1-

2=/2得：A=A1-A2=0，I=045§5-5駐波一、駐波的波動方程兩列相干波為：合成波的波動方程：——各質元作同頻率（

）、振幅不等（|A(x)|）的簡諧振動駐波動方程不滿足行波關系式：——不是行波！——駐波的波動方程相向傳播的兩列相干波疊加就形成了。駐波46二、駐波的特點波節(jié)處：波腹處：注意：以上波節(jié)與波腹位置僅對以上駐波方程成立!

相鄰波節(jié)之間的質元振動步調(diào)同步，同相；

波節(jié)兩側質元的振動步調(diào)相反，反相。

——波節(jié)兩側的質元振動的位相相差為

。波節(jié)波腹普遍成立：相鄰波節(jié)（或波腹）之間的距離為

/2；相鄰的波腹與波節(jié)之間的距離為

/4。47各質元的形變量最小為零→勢能為零；波腹→波節(jié)過渡，質元的動能從最大→最??；波腹→波節(jié)過渡，質元的機械能從最大→最小。三、駐波的能量各質元的動能為零；波節(jié)→波腹過渡，質元勢能從最大→最??；波節(jié)→波腹過渡，質元機械能從最大→最小?？偟膩砜矗嘿|元上的動能與勢能在相互轉換；機械能不斷交替地集中在波腹與波節(jié)位置；平衡位置：波節(jié)波腹最大位移：平均能流密度：——平均來說沒有能量傳播48線上能形成駐波的條件：兩端點之間的距離（L）等于相鄰波節(jié)之間距離（

/2

）的整數(shù)倍。四、駐波的例子即：——只能取某些分立值用

n表示與整數(shù)n對應的波長：電動音叉帶動線形成駐波當：兩端點將成為駐波的節(jié)點。線的兩端固定波節(jié)？49

當外界驅動一個駐波系統(tǒng)振動，外界驅動頻率與駐波系統(tǒng)的某一本征頻率相同或接近時，將激起駐波系統(tǒng)的某一簡正模式，這種現(xiàn)象也稱為共振。頻率也只能取分立值：本征頻率（或固有頻率）n=1對應的頻率最低，稱為基頻n=2、3…對應的頻率分別稱為2次諧頻、3次諧頻…每個本征頻率對應駐波的一種振動方式——簡正模式駐波系統(tǒng)的振動方式：一般可以是各簡正模式的疊加！電磁波在有限的空間中傳播也會形成駐波，如波導管中的電磁駐波。園環(huán)上的駐波二維平面上的駐波50Z小——波疏介質Z大——波密介質五、半波損失介質的波阻（即波的阻抗）：Z=u波疏媒質波密媒質相位突變

波傳播到兩介質的分界面會發(fā)生反射和折射。垂直于界面的入射波與反射波在入射點處形成駐波的波節(jié)，于是反射波與入射波位相相反，振動位相突變

，這等價于半個波長1.當Z1<Z2，界面處兩波的振動反相。反射波有相位突變

！——半波損失512.當Z1>Z2，在界面處反射波和入射波的振動同相。

反射波無位相突變!波疏媒質波密媒質位相不變52例：如圖，入射波在x0=5

處被反射（反射面固定），求駐波波動方程及0-x0區(qū)間波節(jié)與波腹的坐標。解：入射波在o點的振動方程：反射波在o點的振動較入射波在o點的振動落后：xo反射波在o點的振動方程：反射波動方程：53波節(jié)：波腹：駐波動方程：xo54得波速：解：由題知：

=80rad/s；例：如圖為駐波演示裝置，線左端系于音叉一臂的A點,右端掛0.5kg的物體，線密度

=4.0g/m，音叉以40Hz的頻率振動使線上形成駐波。測得線上質元的最大位移為

6cm。在t=0時刻A點經(jīng)過其平衡位置向上振動。A與支點B的間距為1.4m。若以A為坐標原點,向右為x軸正向,

求：入射波、反射波和駐波的波動方程。反射波在A點的振動較入射波在A點的振動落后：入射波的波動方程設為：則反射波波動方程為：55即：由駐波方程與初始條件有，A處質元t=0時刻：則駐波方程為：56例：平面簡諧聲波傳播到A點引起此處質元振動如圖。聲波繼續(xù)前進遇上墻壁反射，與入射波疊加形成駐波，測得相鄰波節(jié)與波腹的距離為3m。以A點為坐標原點o波前進方向為正向，寫出入射波的波動方程。由圖知：因相鄰波與節(jié)波腹間距離為

/4，即：入射波波動方程：解設原點o處質元的振動方程為：作旋轉矢量得o處質元振動初位相：得o點振動方程：57例：圖為形成聲駐波的裝置，音叉發(fā)出的聲波經(jīng)水面反射與入射波疊加形成駐波。⑴當管中形成了駐波，問水面距管口的高度h；⑵當h=0.5m，求該駐波系統(tǒng)的基頻和3次諧頻；⑶如音叉頻率為=1000Hz，調(diào)節(jié)管中水柱使水面從管口處向下降，求第一次測到共鳴聲的水面位置。解

⑴管中形成的聲駐波在水面處為波節(jié)，開口為波腹。因此空氣柱的高度等于波節(jié)與波腹距離

/4的奇數(shù)倍，即：⑵本征頻率為：聲速取u=340m/s，則基頻與3次諧頻分別為：58⑶要產(chǎn)生共鳴（共振），則駐波系統(tǒng)的本征頻率等于音叉頻率，即：則：得：即調(diào)氣柱高度為8.5cm時，將測到第一次共鳴聲。59§5-6多普勒效應*沖擊波當波源、傳波介質以及觀測者之間有相對運動，則觀察者接受到的波頻率不同于波源振動的頻率——多普勒效應多普勒效應應用廣泛如：醫(yī)學上的“D超”；將介質作為參考系，考察波源、觀察者的運動發(fā)生在二者的連線上。波源速度：VS；

觀察者速度：VR當波源和觀測者相對于介質靜止，觀測者測得：當波源和觀測者相對于介質運動，觀測者測得：頻率：

頻率：

R波長：

波長：

R周期：T周期：TR波速：u頻移）（多普勒多普勒雷達60

波源與觀察者相向運動S1，發(fā)出第二個波，此時刻t=T。第二個波的波前經(jīng)

t時間與觀測者相遇于B1。

t即為觀測者觀測到的波周期。觀察者接收到的波