陜西省渭南市2023屆高三下學期教學質量檢測(Ⅱ)理科數(shù)學試題（含答案）

渭南市2023年高三教學質量檢測(II)

數(shù)學試題(理科)

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前務必將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫在答題卡和答題紙上.

3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號完成在答題紙上的指定區(qū)域內.

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知集合A={x∣y=j2-1,β={x∣log2x<l}>則A，B=()

A.(→o,2)B.(0,2)C.(→o,2]D.(0,2]

2.已知平面向量”，6滿足卜|=4,間=2,4?(α-匕)=20,則向量α與人的夾角為()

71_71C2萬—5乃

A.—B.—C.—D.—

6336

3.已知{%}為等差數(shù)列，其前〃項和為S,,,若q=l,q=5,S“=64,貝ij〃=()

A.6B.7C.8D.9

4.在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得〃次測量分別得到七，％，…，X“共〃個數(shù)據(jù).我

們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”。應該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小.由此規(guī)定，從這些數(shù)據(jù)

得出的“最佳近似值”。應是()

5.棣莫弗公式(CoSe+isin9)"=cos〃e+isin。(i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學家棣莫弗(1667T754)發(fā)現(xiàn)

的.若復數(shù)Z滿足z?(cosg+i?sinW)=∣l+i∣,根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)Z對應的點在復平面內的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.將拋物線y2=,nx繞其頂點順時針旋轉90°之后，正好與拋物線y=2∕重合，則〃?=()

A.B.—C.-2D.2

22

7.函數(shù)/(x)=[ln("一X)+lnx]cosx的大致圖像為()

8.2022年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國2021年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，

黨中央堅強領導下，各地區(qū)各部門沉著應對百年變局和世紀疫情，構建新發(fā)展格局，實現(xiàn)了“十四五”良好

開局.2021年，全國居民人均可支配收入和消費支出均較上一年有所增長，結合如下統(tǒng)計圖表，下列說法中正

確的是（）

其他用品及服務

醫(yī)療保健569元.2.4%

2115元.8.8%

食品煙沼

救存文化娛樂7178∕c.29.8%

2599χ.10.8%

父通通信

3156X.13.1%

1419元.5.9%

生活用Itt及服務

1423元,5.9%

居住

564Iχ,234?

圖1:2017-2021年全國居民人均可支配收入及其增長建度圖2：201年全國居民人均消費支出及歷構成

A.2017-2021年全國居民人均可支配收入逐年遞減

B.2021年全國居民人均消費支出24100元

C.2020年全國居民人均可支配收入較前一年下降

D.2021年全國居民人均消費支出構成中食品煙酒和居住占比超過60%

9.在一個棱長為1分米的正方體形封閉容器中盛有V升水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形,

則V的取值范圍是（）

、

B.?2D.

(H)3,3^>?t)

10.已知直線/過雙曲線C:光2一匕=1的左焦點尸且與C的左、右兩支分別交于A,B兩點，設。為坐標原

2

點，P為AS的中點，若AQEP是以FP為底邊的等腰三角形，則直線/的斜率為()

√15√W√5√2

A.±-—B.±-—C.±—D.±—

5252

11.在正方體ABCO-AgGA中，AB=A,G為CQ的中點，點P在線段BG(不含端點)上運動，點

。在棱BC上運動，加為空間中任意一點，則下列結論不正確的是()

A.異面直線DP與AD1所成角的取值范圍是1

132J

B.若M4+MO=8,則三棱錐A-Mfi。體積的最大值為50

C.PQ+QG的最小值為2+2近

D.AP〃平面ACA

12.已知函數(shù)/(x)=SinX+lnx,將/(x)的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列{x,,},對于

V"∈N,,則下列說法中正確的是()

A.nπ<xn<(n+l)^B.x,,+∣-xn<π

,(2n-?]π],,/、(4〃-1)》

C.數(shù)列-----L)是遞增數(shù)列D./(?,)<-l+l∏1~~L-

第∏卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設α>0,。>0且@+匕=13尤2公，則?_+_L的最小值是

14.寫出與圓f+y2=ι和圓χ2+y2+6χ-8y+9=0都相切的一條直線的方程.

15.甲、乙、丙3人去食堂用餐，每個人從A,B,C,D,E這5種菜中任意選用2種，則A菜恰有2人選用的

情形共有種.(用數(shù)字作答)

16.若函數(shù)y=/(x),x∈H的關系式由方程Xw+y∣y∣=4確定.則下述命題中所有真命題的序號為

①函數(shù)y=∕(x)是減函數(shù);②函數(shù)y=∕(x)是奇函數(shù);

③函數(shù)y=/(x)的值域為[-2,2]④方程/(x)+x=O無實數(shù)根：

⑤函數(shù)y="x)的圖像是軸對稱圖形.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必

須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)隨著生活水平的不斷提高，人們更加關注健康，重視鍛煉。通過“小步道”，走出“大健康”，

健康步道成為引領健康生活的一道亮麗風景線.如圖，A-B-C-A為某區(qū)的一條健康步道，48,AC為線段,

BC是以BC為直徑的半圓，AB=2y∕3km,AC=4km,NBAC=-.

(1)求BC的長度；

(2)為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計劃新建健康步道A-D-C(B、。在

AC兩側)，其中ARCD為線段.若NAoC=工，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步

3

道A-B—C的路程增加多少長度？

18.(12分)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號〃次，每次發(fā)射信號“0”

和“1”是等可能的.記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為X.

(1)當〃=6時，求尸(X≤2);

(2)已知切比雪夫不等式：對于任一隨機變量y,若其數(shù)學期望E(Y)和方差O(Y)均存在，則對任意正實

數(shù)α,有P(,一E(y)|<a)21-§P.根據(jù)該不等式可以對事件“卜―E(y)∣<α”的概率作出下限估計.

為了至少有98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計信號發(fā)射次數(shù)〃的最小值.

19.(12分)在斜三棱柱(側棱不垂直于底面ABC-A/Cl中，側面A4,，底面ABC,底面ΔA3C是邊

長為2的正三角形，A1A=A,C,AtAIAiC.

(1)求證：Λ,C1±BIC；

(2)求二面角4—AC—G的正弦值.

2

20.(12分)在直角坐標系XQy中，已知橢圓E:5+y2=l的右頂點、下頂點、右焦點分別為A,B,F?

(1)若直線與橢圓E的另一個交點為C,求四邊形ABoC的面積；

(2)設M,N是橢圓E上的兩個動點，直線OM與QV的斜率之積為一上，若點尸滿足：OP=OM+2ON.

2

問：是否存在兩個定點G,”，使得IPq+∣P川為定值？若存在，求出G,H的坐標；若不存在，請說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=上電(m∈R)

X

(1)證明：/(x)>x+l;

(2)若/(x)≥g(x),求實數(shù)加的取值范圍；

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

COSaTt

在直角坐標系Xoy中，曲線。的參數(shù)方程為〈r?(。為參數(shù)，a≠kπ+-fkeZ),以坐標原點

GSina

CoSa

。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為PCoSe+()=1.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(2)已知點尸(2,0),若直線/與曲線。交于AB兩點，求向一向的值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)/(x)=IX-。|+2,一1|.

⑴當α=l時，求/(x)的最小值；

(2)若α>O∕>()時，對任意x∈［l,2］使得不等式/(x)>f-HI恒成立，證明:

(1Y(,1Y,

Ci4—+b~—>2.

［2){?2)

參考答案

一、選擇題

題號123456789101112

答案BCCACACBADBD

二、填空題

14.%=1或3%一4丫+5=0或71+24丫+25=0三條中任寫一條即可.

15.288

16.①④⑤

三、解答題

17.解：(1)聯(lián)結BC,在AABC中，由余弦定理可得，

BC=y∣AC2+AB2-2AC.AB.cosZBAC=?16+12-2×4×2√3×^=2,

所以BC=-^×2×π×l=π,即BC的長度為乃(攵利)；

(2)記AΓ>=α,α>=h,則在ΔACZ)中，由余弦定理可得:

a1+b2-2abcos-=?6,BPa2+b2—ah-16,

3

從而(α+b)2=16+3MG6+3(

??>

I9

所以［(α+by≤16,則α+b≤8,當且僅當α=力=4時?，等號成立；

新建健康步道A-O-C的最長路程為8(加)，

故新建的健康步道A-O-C的路程最多可比原有健康步道-C的路程增加8-%-2G(kw)

18.解：(1)由已知Xfife,?l,

所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)

=H4+煤LQ[+廢口[?口)4」+9+”=]

6(2J62{2J6(2八2)64646432

(2)由已知X?〃，；)所以E(X)=O.5〃，Q(X)=O.25〃，

V

若0.4≤—≤0.6,則0.4"≤X≤0.6",即一0.bι≤X-0?5?≤0?bι,

n

即∣X-0.5H∣<0.1n

0.25/7

由切比雪夫不等式P(IX-0.5n∣≤0.k)≥1-

(OJn)2

要使得至少有98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，貝H-二二勺≥0.98,

(0.1〃)一

解得〃21250,所以估計信號發(fā)射次數(shù)〃的最小值為1250；

綜上，P(X≤2)=,估計信號發(fā)射次數(shù)”的最小值為1250.

如圖，取AG的中點。，連接4。,CD,

C1C=AiA-?e,

CDlA1C1

?.?底面MBC是邊長為2的正三角形，

/.AB=BC=2,ABl=B∣C[=2,

.?.B1D1Λ1C1,

又BQCD=D,

.?.AG-L平面BC。，且8。1平面BC。,

.?.A1C1±BIC；

(2)解：法一如圖，過點。作OE_LA1C于點E,連接用E.

?.^側面AA1C1C1底面ABC,

.?.側面AACCJ?平面ABlG，又與。IACI，側面AAGCι平面ABiG=AG,

.?.與。1側面AAGc，又AC=平面AAGc,

ΛB1DIA1C,又。E_LA。且4。DE=D,

A1CL平面BQE,：.BiElAiC,

.?./耳ED為所求二面角的平面角，

'.'ABl=BlCl=X1C1=2,ΛBlD-?∣3,

1√2

又ED=—CC、=J,

22

/.tanNBlED=BQ==瓜

1ED√2

2

√42

平面角B1-A1C-C1的正弦值為、一

法二

如圖，取AC的中點。，以。為坐標原點，射線O5,OC,Q41分別為χ,y,z軸的正方向建立空間直角坐標

系，則O(O,O,O),B(6O,O),A(0,0,1),A(C,τι),G(o,-2,1),C(O,τ,o),

ΛΛ,Bl=(√3,-l,θ),AlC=(θ,-1,-1),

設加=(x,y,z)為平面A0C的法向量，

ABl=?/??-y=0

??*,

m?AlC=y+z=0

令y=JJ,得加=(1,G,->Λ)

又OB=(6,0,0)為平面ACC的一個法向量，

設二面角4—AC—G的大小為。，顯然。為銳角，

/??m.Oβ?方

COSθ—COS\77?,OB)—]—η----r=----,

'/時網(wǎng)7

則sinΘ=—,.?.二面角B-AC-C的正弦值為—.

7117

(41、

20.解(1)直線方程為y=x-l,與橢圓聯(lián)立可解得C-

k??/

四邊形ABOC的面積=SMOB+5ΔAOC=-?；

⑵設"師乂卜刈孫必)，由%∕?%=^^=-g,有玉々+2Xy2=°，

又M,N在橢圓上，有-x；+2y；=2,考+2必=2,

設點Pay)，由題意可得(X,y)=(%,y)+2(毛,％)=(5+2%2，X+2%)，

X=X÷2X

即《1^9

J=y+2%

222

X÷2y=(x1+2X2)+2(y+Iy2)"

=任+2寸)+4(W+2必)+4(石々+2%%)T。

22

所以點P的軌跡在橢圓?+]=l上，

所以存在兩個定點Gb石,0),H(石,0),使得IPG+|尸對為定值2J證.

21.(1)解：令y=e*-x-l,y'-ex-1,由y'=0,解得尤=0,

當x<o時，y<0；當x>o時，y>o；

所以y=e，—X—1在(一8,0］遞減，［0,4W)遞增,

即y2e°-0—1=0,即/(x)≥x+l;

<xe"-(lnx+l)elnt.et-(lnx+l)elnj+v-(lnx+l)

(2)由/(x)≥g(x)可得:

XXX

由（1）知∕njt+?t≥lnx+x+l（當且僅當InX+x=0取等號）,

eiπx+x-(?nX+↑)(InX+尤+1)-(InX+1)

---------U-------L=1,所以m≤l,即機2—1；

X----------------X

?1-1?J

(3)由(1)知e'≥x+l,令X=——1(左∈N+),可得≥——1+1=—,

kkk

所唳NyT

因為數(shù)列>是首項為1,公比為;的等比數(shù)列，

I

X=——

CoSaπ、

22.解（1）曲線C的參數(shù)方程為<a為參數(shù),CC≠Kf7ΓH---)，

Visina2

y=----------

CoSa

12?22

L…21y~sinac.2y

所以X=—?—,-———J—,所以廠----=1i.

cosa3cosa3

即曲線。的普通方程為/—《=1

直線/的極坐標方程為0