2023年北京市豐臺(tái)區(qū)高三高考一模數(shù)學(xué)試卷含答案

2023年北京市豐臺(tái)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷

本試卷共9頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合

題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合4=-1gx≤1∣},δ=jxθ<x≤2∣},則AJB=

A.X-l≤x<l∣}B.JxO<x≤1∣}C.；XOCx,2∣}D.；X-I4x12}

2.若a,b,c=R9a>b,則

11?-

A.—<B.a~>b~7C.ac>beV),a-c>b-c

ab

3.已知圓(X-2)?+(y-3)2=/(r>0)與y軸相切，則r=

A.√2B.√iC.2D.3

4.已知F(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(.x)=log2x,則"-2)=

A.-1B.0C.1D.2

5.在平面直角坐標(biāo)系XQy中，若角...以X軸非負(fù)半軸為始邊，其終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為Jl,則〃的一個(gè)可能取值為

A.-6伊B.-304C.45。D.6伊

6.在AABC中，若2cosAsinB=sinC,則該三角形的形狀一定是

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

,

7.設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列tan｝的前〃項(xiàng)和為S“，則”對(duì)任意〃=N‘，都有%>0”是“數(shù)列［S,,｝為

遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知拋物線Uy2=2px(p>0)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)為F,A是拋物線C上的一點(diǎn)，

點(diǎn)A至Ik軸的距離為2-J2,過點(diǎn)A向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線，垂足為8.若四邊形ABOF為

等腰梯形，則P的值為

A.1B.√2C.2D.2√2

9.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,存在常數(shù)f(f>O),使得對(duì)任意Λ=R,都有∕?(x+f)=∕(x).

當(dāng)戶［0j),/(x)=∣x-若/(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，則f的最小值為

A.3B,-C.2D.i

?S

10.如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，ACrBC,AC=2,BC=?,A4∣=2,點(diǎn)。在棱

AC上，點(diǎn)E在棱B與上，給出下列三個(gè)結(jié)論:

①三棱錐E-ABD的體積的最大值為二；

②AQ+DB的最小值為-√2+Λ；

③點(diǎn)。到直線CE的距離的最小值為2f-.

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

B

A.0B.IC.2D.3

第二部分（非選擇題共IlO分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.若復(fù)數(shù)9ωeR）是純虛數(shù)，則α=

12.已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,則力為t=.

13.從-2,-1,1,2,3這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)，記“兩數(shù)之積為正數(shù)”為事件A,“兩數(shù)均

為負(fù)數(shù)”為事件8,則P（φ）=.

a-XX<a

I4.設(shè)函數(shù)/(Λ?)=(,,若/（x）存在最小值，則”的一個(gè)取值為

IX-X,x>a

15.三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，目前尺規(guī)作圖

仍不能解決這個(gè)問題.古希臘數(shù)學(xué)家PaPPUS（約3OO~35O前

后）借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法：如圖,

以角的頂點(diǎn)C為圓心作圓交角的兩邊于A,B兩點(diǎn)；取線段

AB的三等分點(diǎn)0,0；以B為焦點(diǎn)，A,。為頂點(diǎn)作雙曲線W.

雙曲線W與弧AB的交點(diǎn)記為E,連接CE,則≡BCE=1-≡ACB.

①雙曲線W的離心率為;

②若三AeB=LIACI=3√2.CE交AB于點(diǎn)尸，則IOPl=.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(本小題13分)

已知函數(shù)/(X)=2Sin(OX+°)(o>O,O<(.<π)的部分圖像如圖所示.

(I)求/(x)的解析式；

(II)若函數(shù)g(x)=/(Λ-)sinX,求g(Λ?)在區(qū)間［0,3上的最大值和最小值.

4

17.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC交BD于點(diǎn)、O,三84。=60。，

PB=PD,點(diǎn)、E是棱PA的中點(diǎn)，連接OE,OP.

(I)求證：OE〃平面PCO；

(II)若平面PAC與平面PCO的夾角的余弦值為巫，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中

選擇一個(gè)作為已知，求線段OP的長(zhǎng).

條件①：平面±平面ABCD；

條件②：PBJ-AC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

B

18.(本小題14分)

交通擁堵指數(shù)(TPD是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，TPl越大代表?yè)矶鲁潭仍礁?某

平臺(tái)計(jì)算TPI的公式為：TPI=蓑曹望工，并按TPl的大小將城市道路擁堵程度劃分為

暢通仃程時(shí)間

如下表所示的4個(gè)等級(jí)：

TPI[1,1.5)[1.5,2)24)不低于4

擁堵等級(jí)暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶?/p>

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPl的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如

下圖：

(I)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為

“擁堵”的概率；

(H)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPl比

2022年同日TPl高的天數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(IH)把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPl依

次記為al,a2,...,al,將2022年同期TPI依次記為，也…也，記ci=ai-bi(i=1,2........7),

-17-

C=Yq,請(qǐng)直接寫出Iq-Cl取得最大值時(shí)，的值.

7i

19.(本小題15分)

?W

已知橢圓E:1+I=1(a>b>O)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(OJ),焦距為2.

ab

(I)求橢圓E的方程；

(II)過點(diǎn)P(2,0)的直線與橢圓E交于B,C兩點(diǎn)，過點(diǎn)氏C分別作直線/:X=/的垂線(點(diǎn)

B,C在直線/的兩側(cè))，垂足分別為MN,記ABMP,AMNP,ACNP的面積分別為Sl,S2,S3.

試問：是否存在常數(shù)3使得￡,國(guó),$3總成等比數(shù)列？若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=x+二(〃0).

e,

(I)求函數(shù)/(χ)的極值；

(∏)若函數(shù)go有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)為,

(i)求”的取值范圍；

(ii)證明：xl+x2>21na.

21.(本小題14分)

已知集合S,=[1,2,3,…,2”}(隹N*,〃>4),對(duì)于集合S,,的非空子集A,若S“中存在三個(gè)

互不相同的元素4,3,c,使得α+助+c,c+α均屬于A,則稱集合A是集合S,,的''期待子集”.

(I)試判斷集合4=：3,4,5},4=[3,5,7}是否為集合W的“期待子集”：

(直接寫出答案，不必說明理由)

(II)如果一個(gè)集合中含有三個(gè)元素X,y,z,同時(shí)滿足①X<y<z;②x+y>z;③x+y+z

為偶數(shù).那么稱該集合具有性質(zhì)P.對(duì)于集合S,,的非空子集A，證明：集合A是集合S“的

“期待子集”的充要條件是集合A具有性質(zhì)產(chǎn)；

(HI)若配(〃>4)的任意含有相個(gè)元素的子集都是集合5“的“期待子集”，求機(jī)的最小值.

豐臺(tái)區(qū)2022?2023學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（一）

高三數(shù)學(xué)參考答案

2023.03

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.

題號(hào)12345678910

答案DDCABAACBC

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.-112.413.-

4

14.0；115.2；7-36

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.（本小題13分）

（I）如圖所示，可得工=任―三，所以7=2明

444

又因?yàn)門=育

所以<0=1,

又因?yàn)?(x)過點(diǎn)(N,0),0<^<π,

4

TrTr

所以。=：,所以/(x)=2Sin(X+/-..........................6分

(II)依題意g(x)=/(x)SinX

=2Sin(XSinX

4

=2(SinXCos：+COSXSinaSinX

=72sin2X+VIsinXCOSx

:(?-cos2x)+-sin2x

22

√2,√2Cqa

=——sin2x-------cosIx+—

222

=sin(2x--)÷-

42

因?yàn)閄e0,-,所以2萬(wàn)于----

-孚孝

所2予

高三數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)（共7頁(yè)）

當(dāng)2X-2=E,即x=2時(shí)，g(x)取最大值，最大值為Ti,

444

當(dāng)2X-2=-N,即x=0時(shí)，g(x)取最小值，最小值為0.........................................13分

44

17.(本小題14分)

(?)證明：因?yàn)榈酌?88是菱形，所以。是/C的中點(diǎn),

因?yàn)镋是刃的中點(diǎn)，所以O(shè)EHPU

因?yàn)镻CU平面PCD,OEa平面PCD

所以。E//平面尸8;

(II)選擇條件①：

因?yàn)镻B=PD,。是8。的中點(diǎn),所以PoJ.80,

因?yàn)槠矫鍼BZZL平面ABCD,

平面PBD∩平面XBCD=BD,POU平面P8。，

所以PoI平面/BCD,因?yàn)閆CU平面/4BC0,

所以「O_L4C,

又AClBD,所以O(shè)BQe,OP兩兩垂直，

以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-M,

因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2,"AD=60。,

所以BD=2,AC=2百,

所以C(0,√3,0),D(T0,0),設(shè)Λ0,o,rχr>0),

所以加=(1,G,0),。戶=(1,0,/),

設(shè)”=(xj,z)為平面PCD的一個(gè)法向量,

nlDC,n?DC—0,x+T3y=0,^.-r-

?'一得〃?格。所以U÷=0,取X="r'則尸F(xiàn)Z=M

WlDP,te

所以〃=(V3/?—/,—?>73),

因?yàn)锽O上平面PAC9所以平面PAC的一個(gè)法向量為Λ1=(1,0,0),

因?yàn)槠矫娉酑與平面Ps的夾角的余弦值姮，所以ICOS(",Λ,)∣=W叵

55

BTx?√i5

即fl---=—,

√(√3∕)I+(-02+(-√3)2×15

所以5/=4/+3,即J=3,因?yàn)?0,

所以f=√J

所以線段。尸的長(zhǎng)為萬(wàn)..............14分

選擇條件②：

因?yàn)镻Bl4C.在菱形4SC0中，BDLAC.

高三數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)(共7頁(yè))

因?yàn)?。U平面PBD,PBU平面PBD,PBnBD=B,所以4C?L平面產(chǎn)8°，

因?yàn)镕OU平面P8Q,所以4C_LPO,因?yàn)镻O?L8Z),/C_LB￡>

所以08,0CQP兩兩垂直.以下同條件②.

18.《本小題14分)

解：(I)2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”有2天.

設(shè)事件4=”從2022年元旦及前后共7天中任取1天，這一天交通高峰期城市道

路擁堵程度為‘擁堵'”，

則P(∕0=2.

3分

7

(H)X的所有可能取值為0,1,2,

32iΛΛ

P(X=O)=消C42P(X=I)=C普C喙4P(X=2)=CC*；1，

5*C??/C7I

所以X的分布列為:

X0]2

24

P?

751

E(X)=0×∣+l×→2×^=^

11分

(UI)6.14分

19.(本小題15分)

6=1

解：(I)由已知得：

2c=2,

因?yàn)閍2=/+。？，所以/=2,

所以，橢圓E的方程為：y+√=l.5分

(II)由已知得：直線8C的斜率存在，且點(diǎn)B,C在X軸的同側(cè).

設(shè)直線BC的方程：y=k(x-2),點(diǎn)8(天,必)，C(x2,y2),不妨設(shè)玉<Z?

則必必>0，xI<t<×2-

y=k(x-2)

由得：(l+2∕)χ2-8Mc+842-2=0,

——+v2=1

所以，Δ=8(1-2∕Γ2)>0,XI÷X2=7‰->xι?χ2=7?Γ?

因?yàn)镾[=α-Xl)IKS2=(2-t)?y2-yl?,S3=(x2-Z)∣j2∣

所以，SiSi=(x2-t)(t-x,)?yiy1?=(x2TXfF)MM

高三數(shù)學(xué)答案笫3頁(yè)(共7頁(yè))

=(x2-∕)(∕-x1)ylj2

2

=k(x2-∕∏∕-Xl)(K-2-2-2)

22

=A[∕(JΓ1+X2)-Λ?∣X2-∕]?[-t∣?x1-2(x↑+X2)+4]

=fr??"z,κ∏??+4j

=擊[*2—+2]

2

^S2=?(2-[)，3-必尸=1/(2-/)，區(qū)-X∣)2

444

22

=1?(2-∕)‰+XI)-4X1X2]

4

Ipz八2?8/232?2-8

寸(72τ”?τR—ττR

“2

ir-w(-2^(Z-2∕+0-2)≈]

要使S∣,IS2,S,總成等比數(shù)列，則應(yīng)由-F+2=(-2)2

解得：/=1

所以，存在常數(shù)/=1,使得S∣,∣S2,邑總成等比數(shù)列....................15分

20.(本小題15分)

解：⑴/(χ)=χ+=∕(χ)=T=片叱

ecc

當(dāng)0>0時(shí)，由/'(x)=0得，x=lna,

X,f?x)9/U)的變化情況如下表:_____________

X(-∞,Inα)Im?(lna,÷co)

-0+

危)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以加)的極小值為/(Ina)=InaH.........................6分

(II)(i)ι∕(x)有兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是ln0+l<0,即0<4<1；

當(dāng)O<α<J時(shí)，7(0)=α>0,/(T)=T+=<0,ln0<-l,

所以KX)在區(qū)間(Ina,?w)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)閤->÷∞時(shí)，/(x)→+<x>>

所以/(x)在區(qū)間(-∞,lnα)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍是(0,3?

e

Gi)/(玉)=/(乙)=。，不妨設(shè)王<工2，可知玉<lnα<-ICx2,

高三數(shù)學(xué)答案第4頁(yè)(共7頁(yè))

即X[+已=七+<"=0，所以4=一石e*=-X2et3

ex,e?2

xl÷x2>2In0等價(jià)于x1>2?nα-X2?

因?yàn)?1n--Λ?<Ina,

所以*>2In1-再等價(jià)于/(x∣)<∕(2lnα-x2),即21nα-超+∕fγ>O，

令8心)=21恒-》2+4^(工2>一1)，因?yàn)?一七V，

e2

所以gG)=21n(-xz)+X2-上，

〃、2,1X?+2X2+1λ

g(x2)=-+1+—=--r->°，

W工2W

所以g(x2)在區(qū)間(T,+?))上單調(diào)遞增，所以g(*2)>g(T)=0,

所以玉+Xz>21nα.........................15分

21.(本小題14分)

解：(I)集合4是集合S,的“期待子集”，集合4不是集合E的“期待子集”.......3分

(II)先證明必要性：

當(dāng)集合4是集合S”的“期待子集”時(shí)，由題意，存在互不相同的。也CGS.，

a+b,b+c,c+aeA,

不妨設(shè)α<6<c,令x=α+6,y=c+α,z=b+c,

貝∣Jx<y<z,即條件尸中的①成立；

又X+y-z=(α+6)+(c+α)-(6+c)=2α>0,

所以x+y>z,即條件P中的②成立；

因?yàn)閄+y+z=(α+6)+(c+。)+(b+c)=2(a+b+c),

所以x+y+z是偶數(shù)，即條件尸中的③成立.

所以集合4滿足條件只

再證明充分性：

當(dāng)集合/滿足條件P時(shí)，有3x,y,zw/,

滿足①x<y<z,②x+y>z,③x+y+z為偶數(shù)，

`nx+y+z.x+y+zx+y+z

記α=------------2,D=--------y,c=--------X?

222

高三數(shù)學(xué)答案第5頁(yè)（共7頁(yè)）

由③得：a,b,ceZ?由①得：a<b<c<z?由②得：α=?-?~~->0,

所以α,b,cwS1,，

因?yàn)棣?b=x,a+c=y,b+c=z?所以α+6,6+c,c+α均屬于A>

即集合/是集合SJl的“期待子集”...............8分

(III)桁的最小值為〃+2.理由如下：

一方面，當(dāng)34m≤〃時(shí)，對(duì)于集合"=同q=2?-1"=1,2,3「-,小},其中任意三

個(gè)元素之和均為奇數(shù)，由(Il)知，M不是S,的“期待子集”；

當(dāng)m=〃+l時(shí)，對(duì)于集