第十八章平行四邊形專題探究直角三角形斜邊上的中線分類專項訓(xùn)練-2023-2024八年級數(shù)學(xué)下人教版

專題04直角三角形斜邊上的中線專項訓(xùn)練（原卷版）一、直角三角形斜邊中線的模型或常用輔助線二、專題分類專項訓(xùn)練類型一一個直角三角形的斜邊中線1．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm2．（2023?河北）如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，點M是斜邊BC的中點，以AM為邊作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，則S△ABC＝（）A．43 B．83 C．12 D．163．（2023春?碑林區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10，點P為邊BC上一動點，過點P分別作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，點F為AP中點，連接DFA．2105 B．255 C．4．（2023?海珠區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為（）A．72 B．52 C．35．（2021?郎溪縣自主招生）如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，取BE的中點F，連接DF，DF＝4，設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則x2+（y﹣4）2的值為（）A．4 B．8 C．12 D．166．（2023?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F是AE的中點，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為．類型二兩個直角三角形的斜邊中線7．（2023秋?西湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D，點F是AB的中點，連接DF，EF，設(shè)∠ACB＝x°，∠DFE＝y(tǒng)°，則（）A．y=12x B．y＝x﹣30 C．y＝90﹣x D．8．（2023?拱墅區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點F是AB的中點，E為BC邊上一點，且EF⊥ED，連接DF，M為DF的中點，連接MA，ME．若AM⊥ME，則AE的長為（）A．5 B．25 C．210 9．（2023秋?無錫期中）如圖，在Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，點D是BC邊上的動點（點D與點B、C不重合），設(shè)點O為線段AD中點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，連接OC、OE．若∠BAC＝40°，則在點E運動過程中∠COE的大小為（）A．70° B．80° C．90° D．100°10．（2023秋?建湖縣期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，連接AC、BD．M是AC的中點，連接BM、DM．若△BMD的面積為32，則AC的長為．11．（2023秋?東臺市期末）如圖，在△ABC中，CE、BD分別是AB、AC邊上的高線，M是BC的中點，連結(jié)DE、EM、MD．（1）求證：ME＝MD；（2）若∠A＝45°，求∠EDM的度數(shù)．類型三構(gòu)造一條直角三角形斜邊的中線12．（2022秋?昌黎縣期末）如圖，一根木棍斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑動過程中，點P到點O的距離（）A．變小 B．不變 C．變大 D．無法判斷13．（2023秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．114．（2022秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．15．（2023秋?閔行區(qū)期末）已知：如圖，在△ABD中，∠D＝90°，點C在BD上，點E在AB上，AE＝BE，DC＝BE，點G是CE的中點．（1）求證：DG⊥EC；（2）求證：∠B＝2∠GDC．類型四構(gòu)造兩條直角三角形斜邊的中線16．（2023秋?太康縣期末）如圖，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分別是AC，AB上的高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點，若ED＝10，則FG的長為（）A．10 B．12 C．13 D．1417．（2023秋?余姚市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于點F，BE⊥AC于點E，D為AB的中點，M為EF的中點，則DM的長為（）A．7 B．8 C．55 D．7318．（2023春?惠城區(qū)期中）如圖，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝4，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．419．（2023秋?北侖區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在線段AC上取一點D，使CD＝CB，作AE⊥BD交BD延長線于點E．點F是線段AB中點，連結(jié)CF，EF，EF交AC于點G．若AD＝BD，則CGAE=20．如圖，在△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于點B，EA⊥CD于點A，求證：CE=221．（2023春?張北縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分別是BD、AC的中點，（1）請你猜測EF與AC的位置關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)AC＝8，BD＝10時，求EF的長．23．（2023秋?淮安區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB垂足為D，BE⊥AC垂足為E，連接DE，點G、F分別是BC、DE的中點．求證：GF⊥DE．24．（2023秋?豐縣期中）已知：如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點．（1）求證：EF⊥BD；（2）若∠BAD＝30°，AC＝10，求BD的長．25．（2023秋?姑蘇區(qū)期中）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．（1）證明：EF⊥BD；（2）若AC＝10，BD＝8，求EF的長．

26．（2021春?凌源市期末）如圖，已知矩形ABCD中，延長BC至E，使BE＝BD，F(xiàn)為DE的中點，連接AF、CF．若AB＝3，AD＝4．（1）求CF的長；（2）求證：CF⊥AF．（3）若矩形ABCD的邊長為任意值時，其它條件不變，CF⊥AF還成立嗎？（只答“成立”或“不成立”，不用說明理由）27．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD交BC于點E，求證：CD=12

專題04直角三角形斜邊上的中線專項訓(xùn)練（解析版）一、直角三角形斜邊中線的模型或常用輔助線二、專題分類專項訓(xùn)練類型一一個直角三角形的斜邊中線1．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路引領(lǐng)】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出CD的長．【解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點D為線段AB的中點，∴CD=12AB＝3故選：B．【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023?河北）如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，點M是斜邊BC的中點，以AM為邊作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，則S△ABC＝（）A．43 B．83 C．12 D．16【思路引領(lǐng)】先根據(jù)正方形AMEF的面積求出AM的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出BC的長，最后根據(jù)勾股定理求出AC的長，然后即可求出直角三角形ABC的面積．【解答】解：∵四邊形AMEF是正方形，又∵S正方形AMEF＝16，∴AM2＝16，∴AM＝4，在Rt△ABC中，點M是斜邊BC的中點，∴AM=12BC，即BC在Rt△ABC中，AB＝4，∴AC=B∴S△ABC故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的面積計算公式，直角三角形面積的計算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?碑林區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10，點P為邊BC上一動點，過點P分別作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，點F為AP中點，連接DFA．2105 B．255 C．【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理是逆定理求出∠BAC＝90°，根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到DF=12【解答】解：∵AB＝22，AC=2，BC=∴AB2+AC2＝10，BC2＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴BC邊上的高為：2×2∵PD⊥AB，點F為AP中點，∴DF=12當(dāng)AP最小時，DF最小，∵當(dāng)AP⊥BC時，AP最小，最小值為210∴DF的最小值為105故選：C．【總結(jié)提升】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、垂線段最短，根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的面積公式求出BC邊上的高是解題的關(guān)鍵．4．（2023?海珠區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為（）A．72 B．52 C．3【思路引領(lǐng)】利用三角形中位線定理求出BE即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCE＝90°，OD＝OB，∵DF＝FE，∴CF＝FE＝FD，∵EC+EF+CF＝18，EC＝5，∴EF+FC＝13，∴DE＝2CF＝13，∴DC=D∴BC＝CD＝12，∴BE＝BC﹣EC＝7，∵OD＝OB，DF＝FE，∴OF=12BE故選：A．【總結(jié)提升】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．5．（2021?郎溪縣自主招生）如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，取BE的中點F，連接DF，DF＝4，設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則x2+（y﹣4）2的值為（）A．4 B．8 C．12 D．16【思路引領(lǐng)】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD＝AB＝x，BC＝AD＝y(tǒng)，然后利用直角△BDE的斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：BF＝DF＝EF＝4，則在直角△DCF中，利用勾股定理求得x2+（y﹣4）2＝DF2．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y(tǒng)，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y(tǒng)，∠BCD＝90°．又∵BD⊥DE，點F是BE的中點，DF＝4，∴BF＝DF＝EF＝4．∴CF＝4﹣BC＝4﹣y．∴在直角△DCF中，DC2+CF2＝DF2，即x2+（4﹣y）2＝42＝16，∴x2+（y﹣4）2＝x2+（4﹣y）2＝16．故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線以及矩形的性質(zhì)．根據(jù)“直角△BDE的斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得BF的長度是解題的突破口．6．（2023?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F是AE的中點，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為25．【思路引領(lǐng)】由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，而DE＝10，所以CE=DE2?CD2=6，則BE＝BC﹣CE＝4，所以AE=AB【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝DE＝10，∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，∴CE=D∴BE＝BC﹣CE＝10﹣6＝4，∴AE=AB2∵點F是AE的中點，∴BF=12AE=12×故答案為：25．【總結(jié)提升】此題重點考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，正確地求出CE的長是解題的關(guān)鍵．類型二兩個直角三角形的斜邊中線7．（2023秋?西湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D，點F是AB的中點，連接DF，EF，設(shè)∠ACB＝x°，∠DFE＝y(tǒng)°，則（）A．y=12x B．y＝x﹣30 C．y＝90﹣x D．【思路引領(lǐng)】由垂直的定義得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF＝DF，BF＝EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D，∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵點F是AB的中點，∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∴∠DFE＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣∠ACB）﹣180°＝180°﹣2∠ACB，∴y＝180°﹣2x，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．8．（2023?拱墅區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點F是AB的中點，E為BC邊上一點，且EF⊥ED，連接DF，M為DF的中點，連接MA，ME．若AM⊥ME，則AE的長為（）A．5 B．25 C．210 【思路引領(lǐng)】證明△AME是等腰直角三角形即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAF＝90°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∵FM＝DM，∴AM＝EM=12DF∵AM⊥ME，∴∠AME＝90°，∴AE=AM2故選：B．【總結(jié)提升】本題考查矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2023秋?無錫期中）如圖，在Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，點D是BC邊上的動點（點D與點B、C不重合），設(shè)點O為線段AD中點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，連接OC、OE．若∠BAC＝40°，則在點E運動過程中∠COE的大小為（）A．70° B．80° C．90° D．100°【思路引領(lǐng)】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OA＝OC＝OD，OA＝OE＝OD，得到OA＝OE＝OC＝OD，即可判定點A、C、D、E在以點O為圓心的同一個圓上，根據(jù)圓周角定理得到結(jié)論．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，∴∠ACB＝90°，∵點O為線段AD中點，∴OC＝OA，即OA＝OC＝OD，∵DE⊥AB，點O為線段AD中點，∴OE＝OA，即OA＝OE＝OD，∴OA＝OE＝OC＝OD，∴點A、C、D、E在以點O為圓心的同一個圓上，∴∠COE＝2∠BAC，∵∠BAC＝40°，∴∠COE＝80°，故選：B．【總結(jié)提升】此題考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟記“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?建湖縣期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，連接AC、BD．M是AC的中點，連接BM、DM．若△BMD的面積為32，則AC的長為16．【思路引領(lǐng)】由直角三角形斜邊行中線的性質(zhì)可BM＝AM＝DM，再利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)求得∠BMD＝90°，由直角三角形的面積公式求出BM，即可得到AC的值．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點，∴BM＝DM=12∴BM＝AM＝DM，∴∠BAM＝∠ABM，∠DAM＝∠ADM，∵∠BMC＝∠BAM+∠ABM，∠DMC＝∠DAM+∠ADM，∠BAD＝45°，∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，∴S△BMD=12BM?DM=1∵BM＞0，∴BM＝8，∴AC＝2BM＝16．故答案為：16．【總結(jié)提升】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形的面積，求出BM＝AM＝DM及∠BMD＝90°是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋?東臺市期末）如圖，在△ABC中，CE、BD分別是AB、AC邊上的高線，M是BC的中點，連結(jié)DE、EM、MD．（1）求證：ME＝MD；（2）若∠A＝45°，求∠EDM的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得EM=12BC，DM=（2）根據(jù)三角內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝135°，根據(jù)EM＝BM，DM＝CM，可得∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB，進一步可得∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC＝270°，求出∠EMD的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EDM的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵CE、BD分別是AB、AC邊上的高線，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵M是BC的中點，∴EM=12BC，DM=∴ME＝MD；（2）解：∵∠A＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，∵EM＝BM，DM＝CM，∴∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB，∴∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC＝135°×2＝270°，∴∠EMD+∠DMC＝180°×2﹣270°＝90°，∵ME＝MD，∴∠EDM＝45°．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三構(gòu)造一條直角三角形斜邊的中線12．（2022秋?昌黎縣期末）如圖，一根木棍斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設(shè)木棍中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑動過程中，點P到點O的距離（）A．變小 B．不變 C．變大 D．無法判斷【思路引領(lǐng)】根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得出OP=12AB＝【解答】解：在木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不發(fā)生變化，理由是：連接OP，∵∠AOB＝90°，P為AB中點，AB＝2a，∴OP=12AB＝即在木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不發(fā)生變化，永遠(yuǎn)是a；故選：B．【總結(jié)提升】此題考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【思路引領(lǐng)】如圖，取BC的中點T，連接AT，ET．首先證明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根據(jù)AE≥AT﹣ET，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取BC的中點T，連接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB=12∴ET=12BC＝4，AT∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥1，∴AE的最小值為1，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是求出AT，ET的長，屬于中考?？碱}型．14．（2022秋?興化市期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．【思路引領(lǐng)】（1）連接DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=12AB＝BF，進而證明DC＝（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠FDB＝2∠DFC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：（1）連接DF，∵AD是邊BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵點F是AB的中點，∴DF=12AB＝∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵點E是CF的中點．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【總結(jié)提升】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?閔行區(qū)期末）已知：如圖，在△ABD中，∠D＝90°，點C在BD上，點E在AB上，AE＝BE，DC＝BE，點G是CE的中點．（1）求證：DG⊥EC；（2）求證：∠B＝2∠GDC．【思路引領(lǐng)】（1）連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）由（1）知DE＝CD，DG⊥CE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDE＝2∠GDC，于是得到結(jié)論．【解答】證明：（1）連接DE，∵AE＝BE，∠ADB＝90°，∴DE＝BE＝AE=12∵CD＝BE，∴CD＝DE，∵點G是CE的中點，∴DG⊥EC；（2）由（1）知DE＝CD，DG⊥CE，∴∠CDE＝2∠GDC，∵BE＝DE，∴∠B＝∠CDE，∴∠B＝2∠GDC．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．類型四構(gòu)造兩條直角三角形斜邊的中線16．（2023秋?太康縣期末）如圖，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分別是AC，AB上的高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點，若ED＝10，則FG的長為（）A．10 B．12 C．13 D．14【思路引領(lǐng)】連接EF、DF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=DF=12BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得FG⊥ED【解答】解：如圖：連接EF、DF，，∵F是BC的中點，BD⊥AC，CE⊥AB，∴EF=DF=1∵G是DE的中點，∴FG⊥ED，DG=1在Rt△DGF中，F(xiàn)G=D故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及勾股定理，作輔助線利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋?余姚市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于點F，BE⊥AC于點E，D為AB的中點，M為EF的中點，則DM的長為（）A．7 B．8 C．55 D．73【思路引領(lǐng)】連接DF，DE，由等腰三角形的性質(zhì)推出F是BC中點，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到EF=12BC=12×12＝6，同理FD=12AB＝8，DE=12AB，由等腰三角形的性質(zhì)推出DM⊥【解答】解：連接DF，DE，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴F是BC中點，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴EF=12BC同理：FD=12AB=12×∴DF＝DE，∵M為EF的中點，∴DM⊥EF，F(xiàn)M=12∴DM=D故選：C．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理，直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出EF=12BC，F(xiàn)D=12AB，DE=18．（2023春?惠城區(qū)期中）如圖，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝4，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=12AB＝5，CM=12=2，由當(dāng)C、M、N【解答】解：如圖，連接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，∵DE＝4，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN=12AB＝5，CM=當(dāng)C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣2＝3．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋?北侖區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在線段AC上取一點D，使CD＝CB，作AE⊥BD交BD延長線于點E．點F是線段AB中點，連結(jié)CF，EF，EF交AC于點G．若AD＝BD，則CGAE=2【思路引領(lǐng)】延長EF到T，使得FT＝EF，連接AT，BT，CT，CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明CT＝CE，設(shè)BC＝CD＝m．想辦法證明AH＝AE＝m即可解決問題．【解答】解：如圖，延長EF到T，使得FT＝EF，連接AT，BT，CT，CE．∵∠AEB＝90°，AF＝FB，∴EF＝AF＝FB＝FT，∴四邊形AEBT是矩形，∴∠EBT＝90°，AE＝DE＝BT，∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠CBT＝∠CDE＝135°，∵CB＝CD，∴CBT≌△CDE（SAS），∴CT＝CE，∵EF＝FT，∴CF⊥EF，設(shè)BC＝CD＝m．∵CB＝CD＝m，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，BD＝AD=2m∴∠DBA＝∠DAB，∵∠BDC＝∠DBA+∠DAB，∴∠BAD＝∠DBA＝22.5°，∵∠ADE＝∠CDB＝45°，∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴∠FAE＝22.5°+45°＝67.5°，∵FA＝FE，∴∠AEF＝∠FAE＝67.5°，∴∠AGE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AGE＝∠AEG＝67.5°，∴AE＝AG，∵AD=2m，AE＝DE∴AE＝DE＝m，∴AG＝m，∴CG＝AC﹣AG＝m+2m﹣m=2∴CGAE故答案為：2．【總結(jié)提升】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．20．如圖，在△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于點B，EA⊥CD于點A，求證：CE=2【思路引領(lǐng)】取CE的中點F，連接AF、BF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF＝EF＝BF＝CF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ACE+∠BEC＝45°，然后求出∠AEC+∠BCE＝135°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BFC+∠AFE＝90°，然后求出∠AFB＝90°，從而判斷出△ABF是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的22可得AF=2【解答】證明：如圖，取CE的中點F，連接AF、BF，∵CB⊥DE，EA⊥CD，∴AF＝EF＝BF＝CF=12在△CDE中，∠CDE＝135°，∴∠ACE+∠BEC＝180°﹣135°＝45°，∴∠AEC+∠BCE＝（90°﹣∠ACE）+（90°﹣∠BEC）＝180°﹣45°＝135°，∴∠BFC+∠AFE＝（180°﹣2∠BCE）+（180°﹣2∠AEC）＝360°﹣2（∠AEC+∠BCE）＝360°﹣2×135°＝90°，∴∠AFB＝180°﹣（∠BCF+∠AFE）＝180°﹣90°＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22∴CE＝2AF＝2×22AB=即CE=2AB【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．21．（2023春?張北縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分別是BD、AC的中點，（1）請你猜測EF與AC的位置關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)AC＝8，BD＝10時，求EF的長．【思路引領(lǐng)】（1）結(jié)論：EF⊥AC．利用直角三角形斜邊中線以及等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：（1）EF⊥AC．理由如下：連接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E為BD中點，∴AE=12∵∠DCB＝90°，∴CE=12∴AE＝CE，∵F是AC中點，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分別是邊AC、BD的中點，∴AE＝CE＝5，CF＝4，∵EF⊥AC．∴EF=C【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．23．（2023秋?淮安區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB垂足為D，BE⊥AC垂足為E，連接DE，點G、F分別是BC、DE的中點．求證：GF⊥DE．【思路引領(lǐng)】作輔助線（連接DG、EG）構(gòu)建Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線，然后根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半求得DG＝EG=12BC，從而判定△DEG是等腰三角形；最后根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知GF⊥【解答】證明：連接DG、EG．∵CD⊥AB，點G是BC的中點，∴在Rt△BCD中，DG=12同理，EG=12∴DG＝EG（等量代換）．（1分）∵F是DE的中點，∴GF⊥DE．（2分）【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練運用等腰直角三角形“三線合一”的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋?豐縣期中）已知：如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點．（1）求證：EF⊥BD；（2）若∠BAD＝30°，AC＝10，求BD的長．【思路引領(lǐng)】（1）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出BE＝DE，由等腰三角形的性質(zhì)即可證明EF⊥BD；（2）由等腰三角形的性質(zhì)推出∠BAE＝∠ABE，∠EAD＝∠EDA，由三角形外角的性質(zhì)求出∠BED＝60°，得到△EBD是等邊三角形，即可求出BD的長．【解答】（1）證明：連接BE，DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點，∴BE=12AC，DE=∴BE＝DE，∵F是BD中點，∴EF⊥BD；（2）解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分別是AC、BD的中點，∴BE=12AC，DE=∴AE＝BE＝DE，∴∠BAE＝∠ABE，∠EAD＝∠EDA，∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠CED＝∠EAD+∠EDA，∴∠BEC+∠CED＝∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA，∴∠BED＝2（∠BAE+∠EAD）＝2∠BAD＝2×30°＝60°，∵BE＝ED，∴△EBD是等邊三角形，∴BD＝BE=12AC【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)推出BE＝DE，由三角形外角的性質(zhì)推出∠BED＝60°．25．（2023秋?姑蘇區(qū)期中）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．（1）證明：EF⊥BD；（2）若AC＝10，BD＝8，求EF的長．【思路引領(lǐng)】（1）連接EB，ED，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EB＝ED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】（1）證明：連接EB，ED，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中點，∴BE=12AC，DE=∴EB＝ED，又F是BD的中點，∴EF⊥BD；（2）解：BE=12AC＝5，BF=由勾股定理得