醫(yī)用物理學（第2版）習題解答

第一章物體的彈性習題1解答

1.動物骨骼有些是空心的，從力學角度看它有什么意義？

答：骨骼中軸線處切應力為零，正應力也為零，因此骨骼中空既節(jié)省材料又可以減輕重

量，同時不影響骨骼的抗彎曲、抗扭轉強度。

2.低碳鋼是常用材料，其正應力與線應變的關系具有代表性。（1）簡單說明其四個階段，

以及C和F點的意義；（2）說明胡克定律的適用范圍；（3）若F點距B點較遠，說明材料

具有什么性質(zhì)。

答：（1）彈性階段0B：去掉外力后物體能完全恢復原狀；

屈服階段CD：正應力變化很小而應變很大，低碳鋼容易拉伸；

硬化階段DE：繼續(xù)增加正應力但物體的形變很小，低碳鋼難以拉伸；

頸縮階段EF：不再加大負荷，低碳鋼也會發(fā)生較大的形變直至斷裂。

⑵正比階段0A,即低碳鋼應力與應變保持線性函數(shù)關系時胡克定律適用。

（3）說明材料能在較大范圍內(nèi)產(chǎn)生范性形變，即材料延展性好。

3.松弛的二頭肌，伸長5cm時，所需的力為25N,而這條肌肉處于緊張狀態(tài)時，產(chǎn)生同

樣伸長則需500N的力。如果把二頭肌看作是一條長為0.2m、橫截面積為50cm'的圓柱

體，求其在上述兩種情況下的楊氏模量。

解：楊氏模量丫=-=fS-

t∣U∕L0Jil

已知1

Le=O85=SOcm=5X1（Γ*?M=5cm=5X10-?∣,

（1）松弛狀態(tài)時，代入F=25N,得Y=2xlO'N?m7;

（2）緊張狀態(tài)時，代入F=500N,得Y=4xl0SN?m-L

4.彈跳蛋白存在于跳蚤的彈跳機構和昆蟲的飛翔機構中，其楊氏模量接近于橡皮。今有一

截面積為30Cm2的彈跳蛋白，在270N力的拉伸下，長度變?yōu)樵L的1.5倍，求其張應

變和楊氏模量。

解：楊氏模量Y=?；="?!=N

*ΔL∕X?0SSL

已知a

S=30cm=3×10-*mV=TTQKtAL=L5?-Lt=0,SLo,

代入得楊氏模量Y=I.8x105.v?m-L

張應變ε=華―=0.5。

5.某人的一條腿骨長為0.6m,平均橫截面積為3cm工站立時，兩腿支撐著80ON的體重,

問此人每條腿骨要縮短多少？（取骨的楊氏模量為I（JnlN?m-D

解：楊氏模量Y=J=??=吐3

?ΔL∕L0SSL

因此人每條腿骨縮短量AL=?=一二三=8x10-a≡

6.登山運動員所用的尼龍繩的楊氏模量為4.1xfOltN?rnY,如果繩原長為50m,直徑為

9mm,問當爬山者體重為多少千克時，繩會伸長1.5m。

解：楊氏模量Y=:=最=能=2￡

因此m二Ξ∑±2,

川。

代入

βes

Y=4?lX10Jf?Ir?r=d∕2=4?S×10?g=9Jm?*τ>Iw=50m>ΔL=LSllb可

得爬山者體重m=SOkgo

7.把橫截面積為10TmZ長為1500Om的銅絲拉長到15005m,銅的楊氏模量為

1.2×IO11Nm-%在銅絲上應加的張力為多少？

解：楊氏模量丫=-=-??-~a*

IL0SX

因此F=*,

411a

代入S=4x10-?Uβ≡L5xIOHUI=5m,r=12×IO*-h,

可得銅絲上應加的張力為F=1600‰

8.在邊長為0.02m的正方體的兩個相對面上，各施加大小相等、方向相反的切向力

9.8X10:N,求施加力后兩面的相對位移。若施力時間為5s,對應的應變率為多少？（設

該物體的切變模量為4.9xrθ-N?m-2)

CTF/5Fd

解：切變模量G=，=嬴五=G

代入P=93xIoajLd=0.02m,G=4.9×IO7AF-m-aJ=da=4x

可得施加力后兩面的相對位移?x==O,OOlmo

CS

切變率為曳=m=上空L=o.01J^1o

dedr32mxSff

9.低碳鋼螺栓的受力部分長120mm,擰緊后伸長0.04mm,求線應變和正應力。(低碳鋼

楊氏模量為1.96X1011N?m-：)

解：線應變E===￥"=3.33x107，

qx^β?fwι

正應力■=Y?U=1.96X10ltir?∣B-j×333×10-*=6.53×IO7X?-a?

10.實心圓軸的直徑d=IOcm,長【=2m，兩端所加的扭矩M=104N,?加。設材料的切變

模量G=8x10'°N?m,求扭轉角及最大切應力。

解：(1).已知實心圓扭轉截面系數(shù)WP=?rd3/1€,

最大切應力j='=學=Wt7*弋=Sdx10τjr?≡rao

rwr,Y*,ιτn?iMiΓ

(2).切應力C=G

因此扭轉角.=4=(M)ZSSrad

11.一橫截面積為1.5加2的圓柱形骨樣品，在其上端加上一質(zhì)量為IOkg的重物，其長度縮

小了0.0065%,求骨樣品的楊氏模量。

解:線應變￡,=曰=6.5X10-s,

正應力「="登?=65XWZ,

楊氏模量Y=卜=1-0XI。%???

12.什么是彈性形變和范性形變？

答：去掉外力后物體能完全恢復原狀的形變是彈性形變；去掉外力后，形變有殘留，物

體不能完全恢復原狀的形變稱為范性形變。

13.什么是彈性模量？其物理意義何在？按物體形變不同，彈性模量可分為幾類？

答：在彈性形變范圍內(nèi)，物體應力與應變的比值稱為彈性模量。

彈性模量反映材料抵抗形變的能力，彈性模量越大，材料越不容易發(fā)生形變。

彈性模量可分為楊氏模量、體變模量、切變模量。

14.圖示為成人潤濕四肢骨的應力-應變關系，其中最難以發(fā)生形變的是？請簡述原因。

答：梯骨最難以形變，因為過了正比階段之后，在正應力-線應變關系圖中槎骨的斜率

最大，代表正應力變化很大而線應變變化較小，類似低碳鋼的硬化階段，因此最難以形

變。

15.圖示為主動脈彈性組織的應力應變關系，試分析其各個階段代表的意義。

［應力

1.0

0.5

O0.51.0

應變

答：OA段幾乎與橫軸平行，表明正應力很小而應變很大，類似于低碳鋼的屈服階

段，容易拉伸；

AB段繼續(xù)增大應力，但物體的形變卻非常小，類似于低碳鋼的硬化階段，因此難以

拉伸。

習題2解答第二章流體的運動

1.試說明家用噴霧器的工作原理。

答：根據(jù)連續(xù)性方程和伯努利方程，水平流管中管徑細的地方流速增大，動壓增

大，靜壓減小。當水平管中活塞運動時，管中產(chǎn)生氣流，在截面縮小處，流速大,

壓強比大氣壓低。儲液器中液面上的大氣壓將液體壓上并混入氣流,被吹散成霧,

由噴嘴噴出。

2.為什么兩只船平行靠近向前行駛時很容易發(fā)生碰撞？

答：以船為參考系，河道中的水可看作是穩(wěn)定流動，兩船之間的水所處的流管在

兩船之間的截面積減小，則流速增加，從而壓強減小，因此兩船之間水的壓強小

于兩船外側水的壓強，就使得兩船容易相互靠攏碰撞。

3.為什么自來水沿一豎直管道向下流時形成一連續(xù)不斷的水流，而當水從高處

的水龍頭自由下落時，則斷裂成水滴？

答：當水從高處的水龍頭自由下落時，下落速度越來越快，根據(jù)伯努利方程，水

流內(nèi)部的壓強越來越小，在大氣壓的作用下，水流被壓斷成水滴。而當水沿一豎

直自來水管向下流時，由于管道壁使水與大氣壓隔絕，管道壁各處對水的壓強與

水流內(nèi)部各處的壓強對應相等，故形成連續(xù)不斷的水流。

4.有人認為從連續(xù)性方程來看，管子愈粗流速愈小，而從泊肅葉定律來看，管

子愈粗流速愈大，兩者似有矛盾，你認為這樣嗎，為什么？

答：二者成立的條件不同。

連續(xù)性方程適用于不可壓縮的流體在同一條流管中作穩(wěn)定流動時的情況，滿足這

一條件，則有：Q=SU=常量。

泊肅葉定律可寫成：Q=述竺=以￡,則V=?絲（V是水平管某一截面的

8ηLSπηL8πηL

平均速度），要滿足UOCS,其條件為AP、L為恒量，且為黏性流體在水平管中作

層流。

5.在水管的某一點，水的流速為2m?y,高出大氣壓的計示壓強為IO,pa,設水

管在另一點的高度比該點降低了1m,如果在另一點處水管的橫截面積是該點的

1/2,求另一點的計示壓強（不考慮水的黏性和可壓縮性）。

答：選取水管第二點的位置高度位0,則：為=。，5=；，；設第二點的計示壓

強位A,大氣壓位Po,則第二點壓強為2=4+2；

4

第一點:V,=2.0mls,h2=lm,P1=P0+IO(Pa)；

j

由連續(xù)性方程SIW=S2嗎，可得：V2=--V1=4nVs

2

由伯努利方程7]+∣pvl+pg∕21=P2pv2-+pgh2,可得

422

鳥=片+gP(K2-匕、+2g%，即K+R=4+1。+gP(V1-V2)+pglti

4

代入數(shù)據(jù)，求得：Pv=1.38XIOPa=13.8kPa

6.水在截面不同的水平管中作穩(wěn)定流動，出口處的截面積為管最細處的3倍，

若出口處的流速為2m?sL問最細處的壓強為多少？若在此最細處開一小孔，

水會不會流出來？

r

答:水出口處有:S2=3S1,V2=2πVsyP2=?.01×10'Pa9

由連續(xù)性方程Slvl=S2V2,求得匕=色彩=6Ws

Sl

224

由伯努利方程[+gp√=鳥+gθ√得：^=Λ+∣P(V2-V1)=8.5×10Pa

若在此處開一小孔，水不會流出來。

7.一直立圓柱形容器，高為0.2m,直徑為0.1m,頂部開啟，底部有一面積為

10-4πι2的小孔，水以1.4x10,∏13?s"的流量由水管自上面流入容器中。問容器內(nèi)

水面可上升的高度為多少？若達到該高度時不再放水，求容器內(nèi)的水流盡所需

要的時間。

答：(1)設容器內(nèi)水面可上升的最大高度為H,此時放入容器的水流量和從小孔

流出的水流量相等，Q=S2V2=1.4X10-4rnλs-'o

因為加?S2,由連續(xù)性方程可將容器中水面處流速Vi近似為零。

運用伯努利方程有=PgH

則小孔處水流速彩=歷7

再由Q=S2V2=S2^得"="(當2

代入數(shù)據(jù)得”=—!—(比字)2=0?l(m)

2×9.8K)T

(2)設容器內(nèi)水流盡需要的時間為T,在r時刻容器內(nèi)水的高度為自小孔處流

速為為=√^，液面下降d/7高度水從小孔流出需要的時間也為

dr_S,-d/2_Si-dh

^2v2S?J2g〃

則T=JTdTHj"陛=如駕空、眄=lL2(s)

jn

J。S2√?ΛS2ygIO",9.8

答：容器內(nèi)水面可上升的最大高度為0?lm,容器內(nèi)的水流盡所需的時間為11.2so

8.一種測流速的裝置如圖所示。設U形管內(nèi)裝有密度為的液體，在水平管中有

密度為的液體作穩(wěn)定流動。已知水平管中粗、細兩處的橫截面積分別為SA和SB,

測得U形管兩液面的高度差為心求液體在管子較粗處的流速以

答:設管子較粗處流速為小較細處流速為VB,則由連續(xù)性方程可得：SAUA=SBUB

由伯努利方程，得：“PVA*=旦+；夕靖

由題意,得“-穌=(“-P)g/l

聯(lián)立三個方程，可得y=SBJ2("一夕)g”,(S;-%)

9.用如圖2.11所示的流速計插入流水中測水流速度,設兩管中的水柱高度分別為5x10-3

m和5.4×10-2m,求水流速度。

解：由皮托管原理gpy2=pgA∕z

V=,2gA2=V2×9.8×4.9×10^2=0.98(m?s^')

答：水流速度為O?98ms∣

10.一條半徑為3mm的小動脈被一硬斑部分阻塞,此狹窄段的有效半徑為2mm,

血流的平均速度為50Cm-s-1,設血液黏度為3.0×10?3Pas,密度為L05xl(PkgmJ。

(1)求未變窄處的血流平均速度。

(2)試問會不會發(fā)生湍流？

(3)求狹窄處的血流的動壓強。

解：(1)由連續(xù)性方程Sivl=S2v2,得

22

πX0.003×vl-π×0.002×0.5

vl=0.22(m?s')

“、CPvr1.05×103×0.5×2×10^3.“八M-T-人心人皿、A

(2)R=E一=---------------------=350<1000故不會發(fā)生湍流。

'eη3.0x10-3ξ

232

(3)Piji=|PV=0.5×1.05×10×0.5=131.2(Pa)

答：未變窄處血流平均速度為0?22m?sL該血管中不會發(fā)生湍流，狹窄處血流動

壓強為131.2Pa0

11.20C的水在半徑為IXlO-2n1的水平均勻圓管內(nèi)流動，如果在管軸處的流速

為0.1m?s-ι,則由于黏滯性，水沿管子流動Iom后，壓強降落了多少？(η水

=1.0×10-3Pa?s)

解：流體在水平細圓管中穩(wěn)定流動時，流速隨半徑的變化關系為

V=—(/?2-r2),因此管軸處(r=0)流速為V=空

4ηL4ηL

心々化ΔηLv4×1.0×10^3×10×0.1“八小、

故壓強降落ΔP=?e-=------八S,,--------=40(Pa)

R-(l×10)

答：壓強降落了40Pa。

12.設某人的心輸出量為0.83x10"m3?s-ι,體循環(huán)的總壓強差為12.0kPa,試求此

人體循環(huán)的總流阻(即總外周阻力)。

解：/?=—=12,°xl°3≈1.45×10s(Pa?S∕m3)

Q0.83x10-4

答：此人體循環(huán)的總流阻為1.45x108pa.s.m3

13.一個紅細胞可以被近似地看作是一個半徑為2.0XIO6m的小球,它的密度是

1.09×103kg?m?試計算它重力作用下在血液中沉淀1Cm所需的時間。假設血液

溫度為37℃,血漿的黏度為1.2xl0-3pa?s,密度為1.04xKPkgmJ。如果利用一

臺加速度(dr)為i(15g的超速離心機，問沉淀同樣距離所需的時間又是多少？

解：收尾速度

29

V=^/?2(p-p')^=-xl.2xl0-3x(2.0xl0-6)2x(1.09xl03-1.04xl03)x9.8

19η9

=0.36×10^6(m?s^1)

q1×1∩-2

4

沉淀ICm所需時間為ti=~==2.8×10(S)

V10.36X10

在離心機的加速作用下：

2?

v=-R2(p-p^=-----=——-×(2.0×10-6)2×(1.09×103-1.04×103)×9.8×105

29ηg9×1.2×10^

=0.36×10^l(m?s^,)

沉淀所需時間為

ICmZ2=—=cl”CT=θ?28(s)

v20.36×10

答：紅細胞在重力作用下沉淀ICm所需的時間位2.8χl()4s,在離心機的加速作

用下沉淀1cm所需的時間位0.28So

14.為維持血液循環(huán)，心臟需不停地做功，以克服血液流動時的內(nèi)摩擦力等。已

知主動脈中的平均血壓為IOOmmHg,平均血液速度為0.4m?L,若心臟每分鐘

輸出的血量為5000mL,血液循環(huán)到右心房時的流速和血壓近似為零，求心臟

每分鐘所做的功。

解：P=IOOmmHg=IOoXl33.28Pa=13.328kPa

每單位體積血液的能量改變?yōu)?/p>

233243

<y=z7+lpv=13.328kPα+^×1.04×10kg?m×(0.4m?s')≈1.34×10J/m

心臟每分鐘做功為

W=ωV=?,2A×104J∕m3×5000×10-6m3=67J

答：心臟每分鐘做功為67J。

思考題：

L試用伯努利方程討論血細胞為什么會發(fā)生軸向集中現(xiàn)象？

答：由于血液在血管中流動時，靠血管中心流速最大，越靠外層流速越小，由伯

努利方程知道流速與壓強的關系為反比，這樣就在血細胞上產(chǎn)生一個指向血管中

心的力，從而產(chǎn)生血細胞軸向集中，此即馬格納斯(MagnUS)效應。

2.毛細血管中血液流速較慢，可以用層流來描述嗎？

答：血液是一種非均勻液體，含有大量紅細胞。紅細胞的形狀呈圓餅狀，直徑約

為7μm,而毛細血管平均直徑約為6~8μm,實際上紅細胞是一個一個擠過去的。

因此血液在毛細血管中的流動可視為非連續(xù)介質(zhì)流體，不能用層流描述。

3.試解釋血壓為何在小動脈段降落最快。

答：?P=QRi

在體循環(huán)系統(tǒng)中，各段血管的血液總流量相同，而流阻卻又不同。

流阻Rf=嗎由小L、/?所決定。

小動脈較于大動脈管徑變化較大而分支管數(shù)又較多，因此小動脈流阻比大動脈流

阻大很多。

毛細血管由于分支極多，并聯(lián)總流阻較小，又因為法-林效應，血液在細管中流

動時粘滯系數(shù)顯著減小，使毛細管段的流阻也小于小動脈段。因此小動脈段的流

阻最大；止匕外，小動脈段長度L較短，血壓在此段降落最快。

4.如圖，一很大的開口容器，器壁上有一小孔，當容器內(nèi)注入液體后，液體從小

孔處流出。設小孔距液面的高度時h,求液體從小孔流

出的速度。

解：任意選取一流線，A點為流線上通過液面的一點，

B點為該流線通過小孔上的一點。由于容器比小孔的橫

截面要大得多SA>>SB,根據(jù)連續(xù)性方程，液面處的液流

速度較小孔處要小得多，VA^O,且令小孔處的高度為

ZlB=O,

根據(jù)伯努利方程R+Pg限+；夕H=&+PghB+∣pVβ

所以凡+國〃=4+goW

VB=T?Λ

可見,液體從液面下〃處的小孔流出的速度與物體從/7高處自由下落的速度相同,

這一結果又被稱為托里拆利定理。

方立銘施燦

習題3解答

1.從運動學看什么是簡諧振動？從動力學看什么是簡諧振動？說明下列振動是

否為簡諧振動：（1）拍皮球時球的上下運動；（2）一小球在半徑很大的光滑凹

球面底部的小幅度擺動。

解：從運動學角度看，符合特征方程所描述的運動就是簡諧運動；從動力學角度

看，在回復力E=TlX作用下所作的運動就是簡諧運動。

（1）不是簡諧運動，因為球受到的是周期性策動力，而不是回復力。

（2）是簡諧運動，因為能寫出特征方程，證明如下（如題圖1）：

設小球質(zhì)量為m,大碗半徑為R。當小球擺到。角處時，重力的切向分量使小球

沿碗底運動：Gr=-mgSine

負號表示Gr總是指向平衡位置，因。很小，有Sineae

所以有一--mg—

根據(jù)牛頓第二定律，有噓=T*

代入上式，移相并整理，得駕+區(qū)/=0

d2tR

若令O=心則有"+1∕=o

2

?R9dt

這就是諧振特征式，說明小球作諧振。

2.簡諧振動的速度與加速度的表達式中都有個負號，這是否意味著速度和加速度總

是負值？是否意味著兩者總是同方向？

解：簡諧振動速度與加速度表達式中的負號，并不意味著速度和加速度總是負值,

也不意味著二者方向總是相同。前者因為，正余弦函數(shù)在±1范圍內(nèi)變化，會周期

性消去表達式中的負號。后者因為，二者一個是正弦形式，一個是余弦形式，沒

有共同的比較基礎；若想比較，應都化成正弦或者余弦形式，比如都化成余弦形

式：

j

V--Aωs?n{ωt+φ?ι)=46ycos[3+%)+∣?]

22

a=-AωCOS(<υf+仰)=Aωcos[(<υr+^0)+^l

由此可以比較出來,振動速度的相位比振動加速度的滯嗚，即二者方向恒相反。

3.一物體做諧振，振動的頻率越高，則物體的運動速度越大，這種說法對嗎？

解：不對，根據(jù)振動速度表達式：v=-A<υsin（<yf+0o）可以看出來，速度的大小還

與振幅有關。如果加上“振幅不變”的前提，上述說法就對了。

4.當一個彈簧振子的振幅增大到原來的兩倍時，它的下列物理量將受到什么影響：振動周期,

最大速度，最大加速度和振動能量。

解：由0=、區(qū)可知，彈簧振子的振動周期不變；

Vm

由%ax=A?？芍?，最大速度增倍；

由《“ax=可知，最大加速度增倍；

由E=JL42可知，振動能量增為原來的4倍。

2

5.一彈簧振子，振幅為A,沿X軸運動，當t=0時，振子的運動狀態(tài)分別如下，求其初相

位：

(1)X=A

(2)過平衡位置，且向X軸正向運動；

(3)過X=A/2,且向X軸負向運動；

(4)過X=A/、反，且向X軸正向運動。

解法一：代數(shù)法。設彈簧振子的諧振表達式為X=ACOS(胡+/)

振動速度表達式為v=-A<ysin(0>r+^0)

(1)將f=0,X=-A代人諧振表達式,得COSeO=-1

(2)將f=0,X=O代人諧振表達式,得ACoSGO=O

TT3

8o=5或5萬即一、三象限，又YV=-AwinQo>0

371

sin%<0即為e三、四象限，；.網(wǎng)=］萬(舍去,)

ΔA

(3)把f=0,X=近代入諧振表達式，得ACoSeO=5

JrS_

，夕()=§或］萬即一、四象限，Xvv=-Aωsin<0

，sin%>0即夕。e一、二象限，；.eO=?（舍去W）

AA

(4)把f=0,X代入諧振表達式，得ACOSQo

√2√2

Wo=生或1萬即一、四象限，Xvv=-A<υsin>0

44

.?.si∏eo<0即0°∈三、四象限，.?.eo=與（舍去?）

解法二：幾何法。利用旋轉矢量法求解，如圖所示

6.一彈簧振子，重物的質(zhì)量為m,彈簧的勁度系數(shù)為k,該振子作振幅為A的簡諧振動.當

重物通過平衡位置且向規(guī)定的正方向運動時，開始計時.則其諧振表達式為多少？

解：如圖，由題意所描述的振子狀態(tài)，利用旋轉矢量法可以容易地找出初相，

又依題意知。=J代入諧振表式，得

Vm

X=AcosC—t+—)或

Vm2

注意：相位（包括初相）的表述是不唯一的，只要符合（φ+2kπ）的形式都正

確，但通常以表述最簡便為原則。

7.一質(zhì)點沿X軸作簡諧振動，諧振表達式為Λ=4×10^2cos(2πf+π∕3)(SI).

從t=0時刻起，到質(zhì)點位置在X=-2Cm處，旦向X軸正方向運動的最短時間間

隔為多少？

解：此題利用旋轉矢量法最為便捷。依題意畫出旋轉矢量圖，矢量從初始時刻沿

逆時針旋轉，當?shù)谝淮蔚揭?guī)定點時，跨越角度為萬，由α=不，解得r=0?5s.

8.一質(zhì)點作簡諧振動，周期為T.當它由平衡位置向X軸正方向運動時，從二分之一最大

位移處到最大位移處這段路程所需要的時間為多少？

解：此題利用旋轉矢量法最為便捷。依題意畫出旋轉矢量圖，矢量從1/2最大位

解：(由題圖知：時，

1)9(a)?.”=0XO=O,%>0，.?.0o=3τr∕2，

3

又A=IOCm,T=2s,即：ω=2π∕T=π(rad/s)?故xa=0.lcos(τ^+^ττ)m

ASTF

⑵由題9圖(b),:/=0時，x=-,v>O,.?φ=-

o2oo3.

又ψ?=ω×?-?--π=-π，Λω--π故=0.1CC)SeR+

32663

10.一質(zhì)點作簡諧振動，速度最大值Um=5cm∕s,振幅4=2cm.若令速度具有正最大值的

那一時刻為t=0,則簡諧振動表達式為多少？

解：此題重點在于尋找諧振三要素：振幅、圓頻率和初相。設所求為：

-1

X=Acos(ωt+φa)vm=Aω=><u=2.55

“速度具有正最大值時”意味著質(zhì)點正處于平衡位置且向X軸正向運動，由旋轉

3萬

矢量圖(題10圖)易知仰=三將“三要素”代入諧振表達式即可。

2.

x=2cos(2.5f+3乃/2)cιn

11.一簡諧振動的表達式為X=ACOS5+。)，已知t=0時的初位移為0.04m,初速度為

0.09m∕s,則振幅4和初相。各是多少？

解：已知與=0.04/%,%=0.09/%/$,69=35",,代入：A=J需+(%/G)2=0.05m

初相的求解則可利用旋轉矢量法(題11圖)，由題可知初始時刻，質(zhì)點在X軸正

半軸0.04m處且向正向運動，由圖易知*=-arctan%。

12.一豎直懸掛的彈簧振子，自然平衡時彈簧的伸長量為X。，此振子自由振動的周期T是

多少？

所以τ=7?=7?=2√ξ7L

解：依題意，有叫=G),

13.一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，下端掛一質(zhì)量為m的物體，系統(tǒng)的振動周期為T1?若將此

彈簧截去一半的長度，下端掛一質(zhì)量為帥的物體，則系統(tǒng)振動周期72等于多少？

解：設截去一半后的彈簧其勁度系數(shù)為〃，根據(jù)：

-^-+???(彈簧串聯(lián)公式)，k'=2k7]=-?(周期公式)，可得:

kkk`y∣k∕m

14.一物體作簡諧振動，其諧振表達式為X=0.04cos(5ττt∕3-π∕2)(SI).則(1)此簡諧

振動的周期7■是多少？(2)當t=0.6s時，物體的速度U是多少？

解：(1)由題意可知。='，故T='=12s

3ω

(2)把諧振表達式對r求一階導，即得振動速度表達式，再把t=0.6s代入速度

表達式即得y=-0.21/〃/so

15.一質(zhì)量為m的質(zhì)點在力F=F2χ的作用下沿X軸運動.求其運動的周期.

?-TT-

解：/-k,故T=-r~^?=2Vm

y∣k∕m

16.質(zhì)量/W=1.2kg的物體，掛在一個輕彈簧上振動.用秒表測得此系統(tǒng)在45s內(nèi)振動了

90次.若在此彈簧上再加掛質(zhì)量m=0.6kg的物體，而彈簧所受的力未超過彈性限度.則該

系統(tǒng)新的振動周期為多少？

解：設彈簧的勁度系數(shù)為k,新系統(tǒng)振動周期為T'。依題意，有：

45

T=-=0.5s--------(1)

90

T二券一一一一⑵

2π

r=------(?)

y]k∕l(M+ni)

聯(lián)立(1)、(2)、(3)式，解得：Γ=0.61v

17.有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為IQg的物體時，伸長為4.9cm。用這個彈簧和一個質(zhì)量

為8.()g的小球構成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開LOCm后，給予向上的初速度

%=5.0cm∕s,求振動周期和諧振表達式。

解：設町=LOg,=8.0g%=4.9c/”，彈簧的彈性系數(shù)為k,由題意有

^≡J?0×10^3×9?8≈0.2(N?m-)

2

X14.9×W

22l

1=0時,χ0=-1.0×10m,v0=5.0×10~m?s(設向上為正)

又Y==5")即T吟"26s

.?.A=>JXQ+(-)2=J(1.0×10^2)2+(-?0^10-)2=√2×10^2(m)

tan/=-----"=_*XJ——=1夕O=一乃.*.x-y∕2×10~2cos(5z+-?)ITI

x0ω1.0×10^^×54,4

18.一輕彈簧的倔強系數(shù)為攵，其下端懸有一質(zhì)量為M的盤子?，F(xiàn)有一質(zhì)量為機的物體從

離盤底h高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動。

⑴此時的振動周期與空盤子作振動時的周期有何不同？

⑵此時的振動振幅多大？

⑶取平衡位置為原點，位移以向下為正，并以彈簧開始振動時作為計時起點，求初位相并

寫出物體與盤子的諧振表達式。

解：(1)空盤的振動周期為2萬J*,落下重物后振動周期為2萬

,即增大。

⑵按⑶所設坐標原點及計時起點，/=O時，則/=-〃際"。碰撞時，以孫M為

一系統(tǒng)動量守恒，即：myj2gh=(∕2t÷M)v0

則有…產(chǎn)場'于是

A=一+(均2慳y+*?L=避

V①Nkk(m+M)kN(m-bM)g

(3)tan。。=-」M=IW-(第三象限)，所以振動表達式為

°x0ω?(M+m)g

19.質(zhì)量為IOXl(TTg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x=().lcos(8R+2;r/3)(SI)

的規(guī)律作簡諧振動，求：

⑴振動的周期、振幅、初位相，速度最大值、加速度最大值；

⑵最大回復力、振動能量、平均動能和平均勢能，在哪些位置上動能與勢能相等？

(3)與=5s與，I=IS兩個時刻的位相差；

解：⑴依據(jù)諧振標準式“對號入座”，則有：A=0.1m

@=8;Tnr=-^=O.25sGO=24/3MJ=GA=2.51(m∕S),

鼠|=1A=63.2(m∕1)

⑵

?f,?=nta=0.63(N)E=-mv^=3.16×10~2(J)

mm>21

____1“1

2

Ep=EkEJZ=∣S=1.58×10^(J)當4=嗎時，有E=2E0

即gfct2=(.(；左42).?.χ=±*A=±().()7(m)

(3)^φ-ω(t2-tx)-8?(5-1)=32^

20.一彈簧振子作簡諧振動，當其偏離平衡位置的位移的大小為振幅的1A時，其動能為振

動總能量的幾分之幾？

解:設彈簧振子振幅為A,彈簧的彈性系數(shù)為4,由題意有

工&片)」E

16216

√.Ek=E—Ep=-E

21.一質(zhì)點作簡諧振動，已知振動周期為了，則其振動動能變化的周期是多少？

2ττ

解:設諧振表達式為X=ACoSGH+0),周期T=一

ω

2222

則系統(tǒng)動能為：Ek=^mv=^mωAsin(ωt+φ)

--mω2A2[l-cos(2ωt+2(p)}

?7?T

故振動動能周期：Tf=-7=-

2ω2

22.一作簡諧振動的振動系統(tǒng)，振子質(zhì)量為2kg,系統(tǒng)振動頻率為IoOOHz,振幅為0.5cm,

則其振動能量為多少？

解：已知〃2=2kg,V=1000Hz,ω=2πv=6280Hz,A=0,5cm,

.?.E=^mω2A1=985.96(J)

23.解：已知E=L(U,A=0.10m,vιn=↑.0m∕s

r.E=:左左n左=200(N∕加),

.*.v/w=Aco=A2τtv=>V=1.59(Λfe)o

24.兩個同方向同頻率的簡諧振動，其諧振表達式分別為:

22

x1=6×10~cos(5z+π∕2)(SI),x2=2×10~co?φι

它們的合振輻是多少？初相是多少？

解法一：把Z化成標準形式：?=2×10^2COS(5Z-Λ-)

然后套公式(3.12)、(3.13):

2

A-JAI2+#+2ΛIA2COS帆一例)=6.3x10'(m)

A2

題24圖

Asi∏69+Asi∏69C

φ-arctan—!------1------9------7-π-arctan3

A1cosφx+A2cosφ1

解法二：利用旋轉矢量法求解更為直觀便捷(題24圖)。

25.在一豎直輕彈簧下端懸掛質(zhì)量m=5g的小球，彈簧伸長4=1Cm而平衡.經(jīng)推動后，

該小球在豎直方向作振幅為八二4cm的振動，求：(1)小球的振動周期；(2)振動能量.

解：mg=ΛΔ∕=>k=5(N/m)

2τr

(1)T=-‰==0.20(s)

麻

(2)E=I片=4χio-3(j)

26.一物體質(zhì)量為0.25kg,在彈性力作用下作簡諧振動，彈簧的勁度系數(shù)k=25N?m'如

果起始振動時具有勢能0.06J和動能0.02J,求：(1)振幅；(2)動能恰等于勢能時的位

移；⑶經(jīng)過平衡位置時物體的速度.

解：已知機=0.25Zg,￡10〃=0.06J,Eok=0.02J

2

(1)E=E0p+E0,=∣M=>A=0.08(m)

(2)—k￡=-E^>x=0.0566(加)

、1?

mv

(3)~∏ι-E=>vm-0.8(m/s)

27.有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合成振動的振幅為0.20m,位相與第一振動的

位相差為〃/6,已知第一振動的振幅為0.173m,求第二個振動的振幅以及第一、第二兩振

動的位相差。

解：由題意做出旋轉矢量圖(題27圖)，易知

22o

?f=Λ1+A-2Λ1Acos30

=(0.173)2+(0.2)2-2×0.173×0.2×√3∕2

=0.01

.?.A2=0.1m

設角AAO為。，貝IJ=A2+A∣-2A∣4COSe

即cos°_K+A；—4。173」+。1)2-(002)2一0

/.θ=π∣2

2Λ1A2×0.173×0.1

這說明，4與42間夾角為乃/2，即二振動的位相差為乃/2。

孫亞娟

習題4解答

1.機械波的波長、頻率和速度大小分別由什么決定？在通過不同介質(zhì)時,哪些會發(fā)生變化,

哪些不會改變？20eC時，在空氣中的IOOOHZ聲音及IHZ的次聲波波長各為多少？

解：頻率由波源決定，速度由介質(zhì)決定，波長入=W，因此與波源和介質(zhì)都有關。

在通過不同介質(zhì)時，頻率不會改變，而波長和波速會改變。

2(ΓC時，聲波的波速為344m?s-',

對于IOOOHz的聲音，波長入=；==0.344mj

對于IHZ的次聲波，波長入=；'=344*

2.超聲波在空氣和水中的體變模量分別為1.42X105Pa和228XlO叩α,20eC時，空氣的

密度為L'20kg?m-?,水的密度約為IOOOkg?m.,試計算超聲波在空氣和水中的速度。

超聲波與次聲波的波速相同嗎？

解：波速u=√而，

由于波速取決于介質(zhì)，因此超聲波與次聲波的波速相同。

3.已知波動方程為y:06coβ(4jrt-2mx∕3)9n),試求此波的振幅、角頻率、波速、頻

率、周期、波長和初相。

解：波函數(shù)Jr=AcDS[酎(t-：)+*]=V=QJScosftat一號)

從而可知振幅A=0.6m,角頻率3.=4:Iradτ初相位(P=0,

波速U=.四==6Cni?S-；,周期T=型=OIS1,頻率V=W=2由。

M3T

4.沿繩子行進的橫波波動方程為s=0.10cos(Q01m-2Ht)(m).試求：⑴波的振幅、頻

率、傳播速度和波長；(2)繩上某質(zhì)點的最大振動速度。

解：波函數(shù)Ir=Acoc[?(t-3+=OΛOcoβ(<)Jθlax-2BQ=Oilα≤2at-OuDlnO

(1)振幅A=0.1cm，

角頻率3=2n，因此周期T=2π∕ω-1>頻率V=-1H:>

由u√u=0.0你可得波速U=A√(θm勾=200m?s^1>

波長I=u/v-200m；

(2)質(zhì)點振動速度V=-Aωsin(ω∣7~^)÷?>J

1

因此最大振動速度t?jra-.4=0.1X2,?r-0.63∕,?i?i..

5.一平面簡諧波沿3軸正向傳播，波動方程y=Acos[2a(vt-x∕Q+9],求：⑴x；=Z

處介質(zhì)質(zhì)點振動的初位相；(2)與X二處質(zhì)點振動狀態(tài)相同的其他質(zhì)點的位置；(3)與r：處

質(zhì)點速度大小相同，但方向相反的其它各質(zhì)點的位置。

解：波函數(shù)y=A8s[2波函-x∕z)+φ?

(1)代入Il=L?t=0,可得y=Acos[-苧'+<>],因此初相位為一苧十砂

⑵設位置為為X處與L處同相，相位相差2nrr,n=0J2…，

即2n(vt—3+■=2ιX(Vt—§+Φ+2ra>>由此可得X=L+nΛ,n=1,2.???

(3)設位置為X,X處與L處反相，相位相差rw,n=aL2,…，

即加(*-3+■=2n(vt-胃+.+■，由此可得X=L+Mn=0,12…

6.有一列平面簡諧波，坐標原點按y=?Aa>s(3t+3)的規(guī)律振動。已知

A=0.10m,T=0.50s.λ=IOm。試求：(1)波動方程表達式；⑵波線上相距2.5m的兩點

的相位差；(3)假如1=0時處于坐標原點的質(zhì)點的振動位移為y0=+0.050m,且向平衡

位置運動，求初相位并寫出波動方程。

解：原點振動表達式y(tǒng)=.Aoos(3t+a),已知A=0.I0ntT=OLSO&入=IOm

⑴角速度3，:2"∕T-4.7rad?s^?>波速U=-=20m?s-1,

波函數(shù)y=Aoos[β?(t-3+5=0?lc□s[4w(t-2+W

(2)波長h=10m，說明相距Iom的兩質(zhì)點相位差為2n,因此兩質(zhì)點相距2.5m時，

相位差為2律4=JΓ∕2

(3)t=0時，坐標原點(K=O)滿足y.=0a05=dlcDβ(9),解得SDe?=1/2,因

此(P=Ti/3或51/3,

又t=0時，y0=0.05m且向平衡位置移動，因此原點振動速度

V≡—0.1sin^><0>因此初相位.=：,波動方程y=0.1,cos[4jr(t—2)+斗

7.P和Q是兩個同方向、同頻率、同相位、同振幅的波源所在處。設它們在介質(zhì)中產(chǎn)生的

波列波長為入，P、Q之前的距離為1.5兀R是PQ連線上Q點外側的任意一點。試求：

(1)P>Q兩點發(fā)出的波到達R時的相位差；(2)R點的振幅。

解：⑴相距為1的兩點相位差為2n，