2023-2024學(xué)年江西省高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江西省高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

一、單選題

1.方程，+3_/一3）五二4=0表示的曲線是（）

A.一個(gè)橢圓和一條直線B.一個(gè)橢圓和一條射線

C.一條直線D.一個(gè)橢圓

【正確答案】C

【分析】方程（x2+3V-3）^/7=7=0可轉(zhuǎn)化為1+V=l（x*4）或47=0，由于

?+y2=l（x*4）不成立，可得X-4=0,從而可得答案.

【詳解】解：因?yàn)榉匠滩?+3V-3）4^=0,

所以》2+3_/-3=0,即\+/=1（X*4）或Jx-4=0，

丫2

因?yàn)閄24時(shí)，土+丁=1不成立，

3

所以工-4=0,

所以方程（丁+3/-3）GZ=0表示的曲線是一條直線，

故選：C.

2.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面過(guò)點(diǎn)《（2,0,7）,它的一個(gè)法向量為7=（3,1,-1）.設(shè)點(diǎn)

P（x,y,z）為平面內(nèi)不同于兄的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸（x,y,z）的坐標(biāo)滿足的方程為（）

A.3x+y+z-5=0B.3x+y+z—7=0

C.3x+y-z-7=0D.3x+y-z-5=0

【正確答案】c

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可.

【詳解】因?yàn)?（2,0,-1）,P（x,y,z）,所以群=（x—2,y,z+l）,

由已知兄尸_L〃，?=（3,1,-1）,

所以3（x—2）+y—z—1=0,所以3x+y_z_7=0,

故選：C.

3.P為圓/+爐=1上任一點(diǎn)，則P與點(diǎn)河（3,4）的距離的最小值是

A.1B.4C.5D.6

【正確答案】B

【分析】先確定點(diǎn)加在圓x2+/=i外，因此圓上的點(diǎn)到點(diǎn)”的距離的最小值即等于圓心

與〃的距離減去半徑，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤埃?,4）在圓》2+必=1外，且圓心與加（3,4）的距離等于行彳=5,又P為

圓/+/=1上任一點(diǎn)，所以p與點(diǎn)/（3,4）的距離的最小值等于圓心與M的距離減去半徑,

因此最小值為5-1=4.

故選B

本題主要考查定點(diǎn)到圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離問(wèn)題，結(jié)合圓的的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線距離公式即可求

解，屬于基礎(chǔ)題型.

4.在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長(zhǎng)為。的正方體Z8CO-48'C'Z）',則/'C的中點(diǎn)E與AB

的中點(diǎn)F之間的距離為

A.y/2aB.aC.aD.-a

22

【正確答案】B

【分析】求出4,C的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以求出反尸的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的

距離公式求出E,F兩點(diǎn)間的距離.

【詳解】由題易知4（a,0,0）,C（0,a,0）,則后仁,骯）.易知尸（吟0）,

；.IEF[=后+。2+不爭(zhēng).選B.

本題考查了空間兩點(diǎn)間的距離，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

5.直線x+y-4=0分別與x軸，夕軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓/+/+以+2=0上，則PAB

面積的最大值是（）

A.4亞B.3亞C.16D.8

【正確答案】C

【分析】先求得|/同，然后利用點(diǎn)到直線距離公式，求得圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，

由此求得PZ8面積的最大值.

【詳解】在x+y-4=0中，令y=0,得x=4,令x=0,得了=4,

所以4(4,0),8(0,4),所以|/8|=4后,

由x2+y2+4x+2=0化為(x+2)2+y2=2,

所以圓心為。（-2,0）,半徑“7L

|-2+0-4|

所以圓心C到直線x+y-4=0的距離"==3近,

Vi+T

所以點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離〃4"+/?=3夜=4&，

所以市面積的最大值為R入4G⑹

故選：C.

6.已知圓C：（x-4）2+（y-2）2=4（。＞0）及直線/：x7+3=0,當(dāng)直線/被C截得弦長(zhǎng)為

26時(shí)，貝la等于（）

A.&B.2-石C.72-1D.72+1

【正確答案】C

【分析】由題意根據(jù)垂徑定理可求圓心到直線/的距離4=1,利用點(diǎn)到直線的距離公式建立

關(guān)于。的方程，求解即可.

【詳解】由題意可知：圓C的圓心為S，2）,半徑r=2,

則圓心（a,2）到直線/：x-y+3=0的距離為d-㈣I,

1^7—2+31

可得??；（-1）'=1'解得”=0-1或°=-五-1（舍去），

故a=C-\.

故選：C.

22

7.已知拋物線V=16.x的焦點(diǎn)與雙曲線。：二-4=1（4＞0力＞0）的焦點(diǎn)尸重合，C的漸近

crb

線恰為矩形的邊。I,。8所在直線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線。的方程是（）

【正確答案】D

【分析】根據(jù)四邊形0/E8為矩形以及雙曲線的漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，可得利用拋物

線方程求出c=4,再根據(jù)可求得力=/=8,從而可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗倪呅蜲4EB為矩形，所以04_L0B,即雙曲線的兩條漸近線垂直，

TT

根據(jù)雙曲線的漸近線關(guān)于X軸對(duì)稱，可得N40F=ZBOF=￡,

4

所以2=1,即。=6,

a

又拋物線V=16x的焦點(diǎn)尸(4,0),所以雙曲線中c=4,

所以由+〃=可得2c/=]6,所以〃2=62=8，

所以雙曲線C的方程為工-己=1.

88

故選：D

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)四邊形。4F8為矩形以及雙曲線的漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，得到〃是解題

關(guān)鍵.

8.已知圓C方程為(x-10)2+(y-852=?，將直線/：N=x-1繞(1,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。到4的位

置，則在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)()

A.始終為0B.是0或1

C.是1或2D.是0或1或2

【正確答案】D

【分析】先判斷直線y=x-l與圓C的位置關(guān)系，得到公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，同理再判斷旋轉(zhuǎn)后的

直線y=G(x7)與圓C的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心與直線的位置關(guān)系，即可解決問(wèn)題.

【詳解】圓C方程為(x-10y+(y-8萬(wàn))2=。，圓心(10,86),半徑r=在，

故圓心C到直線/:y=x-l的距離為dJ10當(dāng)夕二”=嗎」,

V2V2

而2(8A/5—9)>2(8x1.7—9)=9.2>>/_2x-x/~3,—>-—,

y/22

故直線y=x-i與圓。相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；

將x=10代入直線y=x-i得了=9<84，故圓心C在直線y=x-i的上方,

將直線/：歹="1繞。,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。到4的位置，所得直線4過(guò)點(diǎn)(1,0),且傾斜角為

450+15°=60",

故止匕時(shí)4:y=y/3(x-V),即火工一y一百=0,

此時(shí)圓心c到直線4的距離為：4=|1。6-姐—-14=小

此時(shí)直線4與圓c相切，有1個(gè)公共點(diǎn)，

而x=10代入直線y=G中，得y=96>8后,

故圓心C在直線y=J￡-6的下方，

所以將/：y=x-1繞(1,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。到/,的位置的過(guò)程中,

經(jīng)歷了與圓相離、相切、相交、再相切的過(guò)程，

故公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)，

故選：D.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答此題的關(guān)鍵是判斷在直線旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線和圓的位置關(guān)系并且判斷圓

心和直線的位置，從而判斷答案.

二、多選題

9.對(duì)于直線/：x=my+\,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.機(jī)=6時(shí)直線/的傾斜角為60'B,直線/斜率必定存在

C.直線/恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)D.加=2時(shí)直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面

積為!

4

【正確答案】AB

【分析】由斜率、傾斜角的定義判斷AB,由方程可判斷CD.

【詳解】當(dāng),”=行時(shí)，夕=號(hào)（》-1）直線/的傾斜角為30",故A錯(cuò)誤；

當(dāng)團(tuán)=0時(shí)，直線/斜率不存在，故B錯(cuò)誤；

由直線方程可知直線/恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）,故C正確：

當(dāng)加=2時(shí)，直線/與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為（1,0）,（0,-；）,所以直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面

積為!，故D正確.

故選：AB.

10.已知?！辏?,兀），曲線。:父5m。+歹2（：05。=1,下列說(shuō)法正確的有（）

TT

A.當(dāng)2=3時(shí)，曲線C表示一個(gè)圓

4

JT

B.當(dāng)。==時(shí)，曲線C表示兩條平行的直線

C.當(dāng)兀）時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸的雙曲線

D.當(dāng)時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，結(jié)合圓、直線、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。二:時(shí);曲線/sina+y2cosa=1表示圓f+/=&,所以A正確;

TT

對(duì)于B,當(dāng)。=彳時(shí)，曲線C表示兩條平行的直線x=±l,所以B正確.

對(duì)于C,當(dāng)曲線C*卜ina|-V|cosa|=l表示焦點(diǎn)在X軸的雙曲線，所以C

正確.

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，0<sina<cosa<l,曲線C表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，所以D不正

確.

故選：ABC.

11.正方體/BCD-44GA中，E、F、G、”分別為CG、BC、CD、的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.B\GLBCB.平面ZEFc平面44。。=/。

7T

C.4〃//面ZE/D.二面角E-4/一。的大小為一

4

【正確答案】BC

通過(guò)線面垂直的判定和性質(zhì)，可判斷A選項(xiàng)，通過(guò)線線和線面平行的判斷可確定B和選項(xiàng)C,

利用空間向量法求二面角，可判斷選項(xiàng)。.

【詳解】解：由題可知，8。在底面上的射影為8G,而8c不垂直8G,

則8Q不垂直于8C,則選項(xiàng)A不正確;

連接/〃和BC-E、F、G、H分別為CG、BC、CD、BB、3與的中點(diǎn),

可知EF//BQ//AR,所以\AEFu平面AD.EF,

則平面ZEFc平面所以選項(xiàng)8正確;

由題知，可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

以。為原點(diǎn)，。/為x軸，。。為V軸，。，為z軸，

則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

/(2,0,0),C(0,2,0),E(0,2,1),4(2,0,2),“(2,2,1),尸(1,2,0)

福=(0,2,-1),下=(-1,2,0),麗=(1,0,-1)羽=(),0,2),

設(shè)平面4EF的法向量為G=(x/,z),

則牌二即仁”

令歹=1，得x=2,z=2,

得平面的法向量為3=(2,1,2),

所以福i=0,所以4，//平面4EF,則C選項(xiàng)正確;

由圖可知，44,平面/尸C,所以五彳是平面NFC的法向量,

AA?/?2

貝ijcos<AAn>=X

]9Mfl3,

TT

得知二面角E-“尸-c的大小不是7,所以。不正確.

故選：BC.

本題主要考查空間幾何體線線、線面、面面的位置關(guān)系，利用線面垂直的性質(zhì)和線面平行的

判定，以及通過(guò)向量法求二面角，同時(shí)考查學(xué)生想象能力和空間思維.

12.拋物線C：工2=切的焦點(diǎn)為F,P為其上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線/與拋物線C相交于4,8兩

點(diǎn)，點(diǎn)”（2,2）,下列結(jié)論正確的是（）

A.|PM+I叩的最小值為3

B.拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)“（0,3）的距離最小值為3

C.存在直線/,使得48兩點(diǎn)關(guān)于x+y-3=0對(duì)稱

D.若過(guò)/、8的拋物線的兩條切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)7,則4、8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和最小值為2

【正確答案】AD

根據(jù)拋物線的性質(zhì)對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.

【詳解】A.設(shè)/是拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)P作PN門于N,則歸閭+忸用=|尸網(wǎng)+|尸網(wǎng)23,當(dāng)

且僅當(dāng)PW三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.所以歸例|+|"|最小值是3,A正確；

|PM=JX2+(U-3)2="-)2=*7)2+8,y=1時(shí)，歸叫而。=次=2應(yīng)，B錯(cuò)誤:

C.假設(shè)存在直線/,使得48兩點(diǎn)關(guān)于x+y-3=0對(duì)稱，設(shè)/方程為x-y+m=O,由

x2=4y,

,"八得x--4x-4加=0,

x-y+m=0

所以△=16+16〃?>0,m>-\,設(shè)/(王,兇),8。2，%),則々=4,n8中點(diǎn)為。(%,%),

則為=*'=2,y0=x0+m=2+m,。必在直線x+y-3=°上，

所以2+2+〃?-3=0,^=-1,這與直線/拋物線相交于兩個(gè)點(diǎn)矛盾，故不存在，C錯(cuò)誤:

D.設(shè)心/"“），由心外即…%"得/=9，則切線/T方程為

二必=5芭（工_須），

即V=1■再工一;片，同理87方程是y=；工2%一；工；，

l121、

y=~xix--xix=-(zxx+%)

由，f:,解得，由題意r在準(zhǔn)線y=-i上,

1121

y=-xix--x2y=-\x2

所以;再3=_1,X|X2=-4,

所以M+%=!(x；+x；)=!〔(X[+x,『-2X]X2]=!(X]+x,『+2,

444

所以西+々=0時(shí)，M+%=2為最小值.D正確.

故選：AD.

本題考查拋物線的性質(zhì)，涉及拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值，拋物線上的

點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱性，拋物線的切線問(wèn)題，難度較大.

三、填空題

13.若直線沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿了軸向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的

位置，則直線/的斜率為.

【正確答案】y

【分析】設(shè)直線方程為，=米+》，根據(jù)平移的應(yīng)用得到平移后的直線方程為

y=k(x-2)+b+l,結(jié)合題意得出丘+6=米-2左+6+1,化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】由題意，設(shè)直線方程為：y=kx+b,

直線沿x軸向右平移2個(gè)單位，沿y軸向上平移1個(gè)單位后，

直線方程為：y=k(x-2)+h+1

化簡(jiǎn)，得y=Ax-2%+6+l

因?yàn)槠揭坪笈c原直線重合，則Ax+6=云-24+6+1

解得A=(,即直線的斜率為g.

故3

14.已知向量￡=(2,6),3=(-1㈤，若向量￡與向量區(qū)的夾角為鈍角，則力的范圍是

【正確答案】(-8,-3)U(-3,；)

【分析】由題意可得鼠分<0,且］與各不共線，由此求得義的取值集合.

【詳解】解：:向量2=(2,6),^=(-1,2),若向量方與向量B夾角為鈍角，

??ab=—1x2+6Z<0,且a與b不共線，

即且”工-1x6,即且義W—3,故九w,

33\

故(-8,-3)u13,；).

15.已知〃是A48c內(nèi)的一點(diǎn)，且)瓦配=2百，N84C=30。，若AWBC,\MCA,\MAB

iI4

的面積分別為則一+一的最小值為

【正確答案】18

【詳解】試題分析：由湘.就=2正，N8/C=3(r得，|色|梨4=邛，所以

S_w.=工4bm30--1,則八一1一1=1即.所以

二+±=2（X+J）（L+3）=2O-2+M）之2（5+4）=18當(dāng)且僅當(dāng)=:時(shí)，取得

xyxyxy63

最小值.

均值不等式求最值.

【方法點(diǎn)睛】本題應(yīng)先從已知條件入手，得到適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論，即利用面積關(guān)系得到，X-I=二,

-2

14

此時(shí)才能看到已知與所求的關(guān)系，然后對(duì)所求式子-----進(jìn)行變形得

xy

乙+±=2（丁+＞）（二+3）=2（$-^+匯）求最值得關(guān)鍵，接下來(lái)易求最大值.本題的難點(diǎn)

xyxyxy

在于，不能直接看到條件和所求的關(guān)系，我們應(yīng)相向考慮即由已知可得到什么，所求需要什

么，這樣考慮一步，題目可能就有思路了，望同學(xué)們做后多思.

r2v23

16.已知雙曲線0-4=1上的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為:，若雙曲線的離心率為2,

a2b24

則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.

【正確答案】2百

【分析】由離心率可以知道。、c的關(guān)系，再根據(jù)的關(guān)系，求出。、/,的關(guān)系，

設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，它是方程的解，得到一個(gè)方程，再根據(jù)點(diǎn)到兩漸近線的距離之

積為又得到一個(gè)方程，由這兩個(gè)方程可以求解出。的值，進(jìn)而求出6的值，最后求出雙

4

曲線的虛軸長(zhǎng).

【詳解】由題意可知雙曲線的離心率為2,??.e=￡=2nc=2a又02=/+/

a

.-.b2=3a2,所以雙曲線的漸近線方程為：y=±任，設(shè)點(diǎn)P（x。,%）是雙曲線上一點(diǎn)，

.?總-及=1=3片-必=3/①.由題意可知點(diǎn)P（x。,%）到兩漸近線的距離之積為。，

a3a4

,If：一%］的+%L卜琲3②,把①代入②得/=1,0=1

4（后+1&厲+1411

=73所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2百.

本題考查了雙曲線的離心率公式、漸近線方程、點(diǎn)到直線距離公式、虛軸長(zhǎng)的計(jì)算.

四、解答題

17.已知直線/:ax+(l-2a)y+l-a=0.

(1)當(dāng)直線/在x軸上的截距是它在了上的截距3倍時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值：

(2)當(dāng)直線/不通過(guò)第四象限時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)U1或a=g

「1J

(2)］，1

【分析】(1)先求出4*0且。片；，再求出直線/在x軸上的截距，在y上的截距，列出方

程，求出。的值；

(2)考慮直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，列出不等式組，求出實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

【詳解】(1)由條件知，。工0且awg,

在直線/的方程中，令y=0得%=叱1,令》=0得了=三1

al-2tz

.Q—1Cl-1.《_1X1

??-----=--------x3,解得：a=\,或。=一，

a1-2a5

經(jīng)檢驗(yàn)，。=1,1均符合要求.

(2)當(dāng)q時(shí)，/的方程為.(x+!=0即x=-l,此時(shí)/不通過(guò)第四象限；

222

當(dāng)時(shí)，直線/的方程為.夕=1?x+"

2\-2a\-2a

-^->0

/不通過(guò)第四象限，即［J?：,解得:

-02

{\-2a

綜上所述，當(dāng)直線不通過(guò)第四象限時(shí)，。的取值范圍為1,1

18.已知圓G：x~+0y2—2x+1Oy—24=0和C2:+y"+2x+2.y—8=0相父于48兩點(diǎn).

(1)求直線48的方程，

(2)求弦長(zhǎng)卜理

【正確答案】（l）x-2y+4=0

（2）網(wǎng)=2右

【分析】（1）將兩個(gè)圓的方程相減可得直線的方程；

（2）求出圓心C"l,-5）到直線距離d,由勾股定理計(jì)算|/同=2肝丁■即可求解.

2

【詳解】(1)因?yàn)閳AG:+y~—2x+1Oy—24=0,0C2x~+y+2.x+2y—8=0,

兩圓方程相減得4x-8y+16=0即x-2y+4=0,

所以直線4B的方程為x-2y+4=0.

(2)由圓G：/+/-2x+10y-24=0可得(x-l『+(y+5)2=50,

所以圓心G（L-5）,半徑4=5后,

|1+10+4|

圓心G（L-5）到直線48：x-2y+4=0的距離是1=3石,

V1+4

所以|/卻=zJS-d?=2/0_(3際『=2后.

19.如圖，在三棱錐P-/8C中，PZ_L平面/8C,平面P/8_L平面尸8C,PA=2,BC=1.

（1）求證：8CJ.平面尸48；

（2）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值的最大值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）過(guò)A作力于點(diǎn)"，通過(guò)證明出P/_L8C,AM±BC,可得8CJ,平面

PAB;

（2）過(guò)8作于點(diǎn)E,證明8EJL平面4C可得PB與平面4C所成角為/3PE,

在三角形8PE中求出表示出sinZBPE,再利用基本不等式求最值即可.

【詳解】(1)：尸/1平面/8C,，尸/148且P/_L8c

過(guò)A作NM_L尸8于點(diǎn)M,

?.?平面尸48_L平面尸8C,平面尸48c平面P8C=PB,4Wu平面尸4?,AM±PB,

二4W2平面P8C,又8Cu平面P8C

AM1BC

：尸/(1/Af=",8CJ,平面P/8.

(2)過(guò)B作5E_LZC于點(diǎn)E,

,.?/〃_1平面48。，尸/u平面P/C

，平面尸NC_L平面Z8C,又平面？/CD平面48C=/C,8Eu平面P4C

BE_L平面R4C,

/.PB與平面R1C所成角即為N8PE

BF

XsinZBPE=—

PB

設(shè)=m,/.AC=\lm2+1?BE=PB=dW+4，

m1

sinZBPE=-

yjm2+13

,4

當(dāng)且僅當(dāng)〃/=',即加=加時(shí)取

m"

直線PB與平面PAC所成角的正弦值的最大值為;.

20.如圖(1)是將一副直角三角尺拼成的平面圖形，己知8C=C，4c8=45。，Z￡>=60°,

現(xiàn)將力8。沿著8C折起使之與△88構(gòu)成二面角，如圖(2).

（1）（2）

⑴當(dāng)三棱錐A-BCD體積最大時(shí)，求三棱錐A-BCD的體積;

（2）在（1）的情況下，求/C與5。所成角的余弦值.

【正確答案】（1）交

2

（2）當(dāng)

4

【分析】（1）作N0/8C,根據(jù)題意先求得C。，/。的值，折起過(guò)程中，△BCD面積不變,

當(dāng)40為三棱錐Z-8C。的高時(shí);三棱錐體積最大，再根據(jù)三棱錐的體積公式求解

即可；

（2）在（1）的情況下建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）如圖，作

由題意。￡）=正，AO=—.

2

折起過(guò)程中，△8CD面積不變，當(dāng)/。為三棱錐/-88的高時(shí)，三棱錐/-8CO體積最大,

v_1c_1&,@6

^A-BCD=§SBCD，40=§2'~2~=.

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則N0,0,當(dāng),B*,0,0,C-告,0,0,D4,6,0

AC=一日，°，—半)，麗=(5,后,。)，

設(shè)/C,8。所成的角為(9,

則cosO=|cos（^AC,8。）卜3_二

布？&一'T

：.AC與BD所成角的余弦值為逅.

4

21.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l：y=-2的距離比到點(diǎn)尸(0,1)的距離大1

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡M的方程；

(2)48為M上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，kOA-kOB=-^,過(guò)48分別作〃的兩條切線，相交

于點(diǎn)C,求AJ8C面積的最小值.

【正確答案】(1)軌跡/為拋物線，其方程為f=4y.(2)8&

(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)條件列出方程+(y-1)?=1+2|-1,然后化簡(jiǎn)即可;

(2)設(shè)直線"的方程為歹=b+6,/(國(guó),兇),8(%,外)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得出

X1+X2=4A,X/2=T6,然后用無(wú)表示出|/邳和點(diǎn)C到直線/B的距離d,然后可得到

3

$枷。=4|尸+平，即可求出其最小值.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xj)

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)尸到定直線/：y=-2的距離比到點(diǎn)尸(0,1)的距離大1

所以y>-2,且信+(1_1)2=年+2卜1，化簡(jiǎn)得x2=4y

所以軌跡M為拋物線，其方程為》2=勺

（2）依題意，設(shè)直線48的方程為夕=丘+6

y=kx+b

由2,，得了2一4kx-4Z)=0

x=4y

因?yàn)橹本€AB與拋物線M交于兩點(diǎn)

所以△=16F+166>0

設(shè)/（再,必）,5（》2，72），西+工2=4%,中2=-46,

又因?yàn)楹笄?kOB=-；

所以五,返=一5

必y22

所以?,：?=

442

所以演》2=-8

所以-46=-8

所以6=2

2222

\AB\=Vl+A：J（X1+X2）-4X,X2=J1+/J16/+32=4-J]+ky/k+2

由x2=4y,y=3，y'=q

42

過(guò)點(diǎn)A的切線方程為夕-必=T（x-xJ,即尸二—日①

224

2

過(guò)點(diǎn)8的切線方程為"為=三a1）,即夕=皆_號(hào)-②

芭+々

由①②得x=^^=24，x,2%/°,

244

所以過(guò)48的兩條拋物線的切線相交于點(diǎn)C（2人,-2）

|2r+4|

所以點(diǎn)C到直線月8的距離d=L/—」

收+1

SMBC=--\AB\-d=--441+—"2+2邛J=4"?+2卜+21=4卜+2產(chǎn)

22yjlc1+1

當(dāng)上=0時(shí)，A48c的面積最小，最小值為4,2==亞=班

涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整

體帶入”等解法.

22.已知雙曲線C：，*=l（a>0,6>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)4L0）,其漸近線方程為y=±JIr.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方