2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)-等式與不等式性質(zhì)（教師版）（新教材新高考）

專題04等式與不等式性質(zhì)、一元二次不等式

（核心考點(diǎn)精講精練）

【備考策略】1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)

2.能夠利用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題

3.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及根的個(gè)數(shù)

4.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式:并能用集合和區(qū)間表示

5.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)方程的聯(lián)系

考點(diǎn)梳理

知識(shí)講解

1箋#的枇雨

2.作差法比較大小關(guān)系

a-b>Ooa>b

a-b=O<^>a=b

a-b<O<^>a<b

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性a>bob<a

性質(zhì)2傳遞性a>b,b>ca>c

性質(zhì)3可加性a>h^>a+c>h+c

性質(zhì)4可乘性a>b,c>O=>ac>bc

性質(zhì)5同向可加性a>h,c>d=>a+c>b+d

性質(zhì)6同向同正可乘性a>b>0,c>d>O=>ac>bd

性質(zhì)7可乘方性a>b>Ona">^'(neN+,n>2)

性質(zhì)8可開方性a>b>0^>'4a>呵nGN+,Z?>2)

Jb+mhb-maa+maa-m

右心QO,">0,則L］工；-S-〃AO)；聲用；；廣廣方3f“)?

4.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=ax2+bx+c(aw0)6Z>0Q<0

V/2

_1

49-?-i

函數(shù)圖象?a?\°*y4/:f91Jy45

7

開口方向向上向下

b

對稱軸方程x=-----

2a

4ac-b2

最值y=

4A。

5.一元二次方程求根公式及韋達(dá)定理

一元二次方程求根公式

ax2+bx+c=0(a70)的根為：x=—―~-——(a^0,b2-4ac>0)

韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系)

b

+%2=----

ax2+/?尤+c=0(aw0)的兩根為當(dāng)，修；則《a

c

X「％2=_

a

6.解一元二次不等式

“三個(gè)二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系

判別式

A>0△=0A<0

△二〃-4ac

一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根

有兩個(gè)不等實(shí)根

2(。牛)b無實(shí)數(shù)根

ax+bx+c=00==

X],/(設(shè)芭<%2)X,-----

的根-2a

以IL

二次函數(shù)上

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象|Xl=X2X

2

ax+hx+c>0(6f>0)同九〈%或￥>%2}Jib\

1R

的解集I2力

2

ax+"x+c<0(a>0)<x<x}

{?。?00

的解集

af+bx+cXXaWO)恒成立的充要條件是：?>0且/?2—4(zc<0(xGR).

g2+法+cVO(a=O)恒成立的充要條件是：“<0且加一4acV0(x6R).

7.解分式不等式

②^^>0=/(x)g(x)>0

①<°o'(x)g(x)<°

③爵77(x)g(x)<o7(%)g(%)>o

./(+0④卷H./(*o

例題：

^^>0=>(3x+2)(2x—3)>0nx<-2或無>3

2九一332

±^<0n(x-5)(2x+l)<0n」<x<5

2x+l2

3x—2.(3x-2)(4x+l)<0

------<0=>^=>V43

4x+l4x4-1^0143

——

4

x<--^x>-

名&0n旦40n(3x+l)(3x-l)>0_

33=>x<--^x>-

1

l-3x3x-l3x-lw0龍工一33

3

]I1—Xx—1xU-l)>0x<0或x>1,,

Yin——1<0=>—-<0=>--20川=>=>x<0或xNl

XXXxwO戶0

8.解單絕對值不等式

兇>a（ci>0）=x<—a或xNa

國<a（a>0）=>-a<x<a

兇>1的解集為：卜|*<一1或%>1}

73

|2x+5|<2=>-2<2x+5<2=>-7<2x<-3=>——<x<——

22

考點(diǎn)一、由不等式性質(zhì)判斷式子大小關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若“，b,ceR,且a>b,則下列不等式一定成立的是（）

/\,c2

A.a+c>b-cB.\a-h）c~>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【分析】利用不等式的性質(zhì)，判斷選項(xiàng)的結(jié)論是否成立.

【詳解】若。=2,/?=1,。二一2,滿足a>b,但a+c=O,b-c=3,。+。>力一c不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

a>b,c>0,則有a匕雨，np（a-^）c>0,B選項(xiàng)正確；

a>b9當(dāng)c<0時(shí)，歷不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)。2=0時(shí)，」_=0,則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

a-b

故選：B

2.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模）若mb,c為實(shí)數(shù)，且。<力，c>0,則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.a+c<h+cB.—<TC.ac>beD.b-a>c

【答案】A

【分析】由不等式的基本性質(zhì)和特值法即可求解.

【詳解】對于A選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，

不等號(hào)方向不變，則a<b=>a+c<b+c,A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知,不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，若a=-2,

b=-l,則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，c>（）,

0<a<b=>ac<bc,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，因?yàn)閍vZ?=>2-c>0?所以無法判斷人一。與。大小，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

即時(shí)檢測

1.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列不等式正確的是（）

A.ac2>be2,則aNZ?

B.若則。<人

ab

C.若a+10,c-b>0,貝

D.若。>0,b>0,/??>0,且則；+->f

b+mb

【答案】D

【分析】舉例說明選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤；利用作差法證明選項(xiàng)D正確.

【詳解】對于A,當(dāng)c=0,a=-\,人=2時(shí)滿足a,之歷2,但4<風(fēng)所以人錯(cuò)誤;

對于B,當(dāng)c=—l,。=一2,人=一3時(shí)，滿足,但所以B錯(cuò)誤;

ab

3

對于C,由不等式的基本性質(zhì)易知a+c〉0,當(dāng)〃二一1b=G,c=2時(shí)滿足〃+b>0,c-Z?>0,但〃<c,

所以C錯(cuò)誤;

a+ma(h-a]m?…a+ma.._

對于D,——>0所以?;——>-,故DIE確.

b+ntb[b+m)bb+mb

故選：D.

2.（2023?廣東廣州?廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）^-<7<0,則下列結(jié)論中不正確的是（）

ab

A.a2<b2B.ab<b2

C.a+b<0D.時(shí)+網(wǎng)>|a+@

【答案】D

【解析】由題意先求出匕<a<0,根據(jù)它們的關(guān)系分別用作差法判斷A和8選項(xiàng)，利用不等式的性質(zhì)判斷C

選項(xiàng)，由幾何意義判斷。選項(xiàng).

【詳解】解：-<7<0,:.h<a<0,

ab

A、Q/?<?<(),/.a2-b2=(a-b)(a+b)<0,JJjlJa2<b2f故A對；

B、ab-b2=b(a-b)<0,則4。<從，故5對；

C、Qb<a<0,a+b<0,故C對；

D、QZ?<〃<0,..Ja|+|b|=M+b|成立，故。不對.

故選：D.

3.(2023?湖南永州?統(tǒng)考三模)已知a也cwR,下列命題為真命題的是()

A.若b<a<0,則B.若b>a>0>c,則￡<￡

ab

c>b>a>0,則”>〃一“

C.D.若a>b>c>0,則f>：+°

c-ac-bbb+c

【答案】BD

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對于A項(xiàng)，ac2-be2=c2(a-b),因?yàn)椤?lt;a<。，所以。一Z?>。，所以

所以c2(a-b)Z0,EP：l>c2<a-c2,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于B項(xiàng)，￡-cc(b-a)，因?yàn)?>a>0>c,所以cS-a)<0,而>0,所以即：￡<￡,

abahababah

故B項(xiàng)正確;

hc(a-h)

對于C項(xiàng),,因?yàn)樗詂-a>0,c-b>0,a-b<0,

c-ac-b(c-a)(c-b)

所以士一/〃(cc-(a)a(-cb-)b)

<0,HP：—故c項(xiàng)錯(cuò)誤;

-ac-b

“丁cla+ca(b+c)-b(a+c)(a-b)c

對于D項(xiàng)，因知-忘=---------------=一

b(b+c)b(b+c)

又因?yàn)閍>b>c>0,所以。一力>0,Z?+c>0,

所以器管即：—故D項(xiàng)正確.

故選：BD

4.(2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)a,b,Gd滿足0<。<上。<4<0,則下列不等式一定成立的是()

cc

A.—<—B.ac<be

ab

a-ca-dcc

C.---->-----D.---->----

b-cb-da-db-c

【答案】AC

【分析】根據(jù)作差法，結(jié)合舉反例判斷即可.

【詳解】對A,因?yàn)椤辏?e一叱,又0<“<"c<0,故（j）c<0,則￡<5,故A正確;

abababab

對B,取a=l,方=2,c=-l,因?yàn)楣蔅錯(cuò)誤;

a-d他一d)(q-c)-(Q-d)(Z?-c)(a-fe)(c-J)

對C,因?yàn)楣深}意,c<d,b>c,b>d,

b-d{b-c^(b-d^(b-c)(b-d)

故^即

故C正確;

-2

對D,取〃=1,/?=2.=—2,。=-1,則]_(_])--,則」7<片，故D錯(cuò)誤;

2-(-2)2a-d

故選：AC

考點(diǎn)二、由不等式范圍求解不等式范圍

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測）已知。->?0,1],。+6W2,4],則4a-2/>的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.

[詳解】設(shè)4。-2人二機(jī)(。-6)+〃(。+/?)=(加+〃)〃一(〃2—〃)/?,

(ni+n=4f/n=3

所以解得「

[m-n=2[n=l

所以4a-2Z?=3(a-b)+(a+b),

又a-be[0,[2,4],

所以3(j)e[0,3],4.-342,7],故A,C,D錯(cuò)誤.

故選：B.

即時(shí)檢測

1<6f+Z?<3

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知。，beR,且滿足---人‘則4"2b的取值范圍是？

【答案】[2,10]

【分析】由4“+26=3（a+b）+（a-。），再結(jié)合同向不等式的可加性求解即可.

4+3=4A=3

【詳解】設(shè)4a+%=A(a+h)+8(j),，解得

A-B=2B=1

所以4Q+2人=3（〃+力）+（Q—〃），

Xl<a+fe<3,所以343（a+b）W9,

5L-\<a-b<\,

所以3-144。+2/?<9+1,

BP2<4（7+2Z7<10.

故4a+勸的取值范圍為⑵10].

考點(diǎn)三、作差法或作商法比較式子大小關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）比較（2a+D（a—3）與（a—6）（2a+7）+45的大小.

【答案】（2a+l）（a-3）<（a-6）（2a+7）+45

【分析】做差比較大小即可.

【詳解】（2a+l）（a-3）—[（a-6）（2a+7）+45]=（2a2-5a-3）-（2/-5a+3）=-6<0,

（2a+l）（a-3）<（?-6）（2n+7）+45.

即時(shí)檢測

L（2。23?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)a>。>0,比較舞與￡的大小

a1-b2a-b

【答案】a2+b2>a+b

【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.

【詳解】a>b>0=>a+b>0,a-b>0,

.Y--（。+6）（。-6）

a1+b2a2+h2'a+h

.（a+份22ab

2222

"a-b~a+b-a+b

a+Z7

a2-b2a-b

---------->-------

a2+b2a+h

2-（2。23?全國?高三專題練習(xí)）已知a>°'試比較尋與￡的值的大小.

■小廿口▼_i_p,11.（cT—b~ci—h.?；,ici~-h~a—h.cr—b~a—h

【答案】若則一5->：右a<b,則^~-<；若。=力，-—7=

a+/?7-a+ba-+b-a+ba-+b-a+b

【分析】利用作差法，結(jié)合分類討論，比較會(huì)與f的大小即可.

a2-b2a-b_2ab(a-b)

【詳解】由

a2+Z?2a+h(a2+h2)(a+h)

當(dāng)a>b>On寸，所以3~1-巴―->0,即a2-h2^a-h

a-+ba+ba2+b2a+b

當(dāng)Ovavb時(shí)，a-b<0.所以~~^一^—^<0,即寫*;

a"+b"a+b

、“八,_L7cr-rHIa—-b?a—b八ci~—b"ci—b

當(dāng)0va=Z?n時(shí)，a-h=0,所以二一------=0,BHPn———=-------

a+b-7a+btr+b7a+b

考點(diǎn)四、由不等式性質(zhì)證明不等式

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知a>b>c,求證^----1------->-------.

b-ca-ba-c

【答案】證明見解析.

【分析】由于所證不等式的左邊是兩分式和的形式，宜采用作差比較法再對差式通分、變形，由于分母是

因式積的形式，故重點(diǎn)在對分子的變形，盡量化為因式積成平方式和，便于運(yùn)用條件。>人>。加以討論.

111(a-b)(c-a)+(c—d)(b-c)+S—c)(a-b)

【詳解】證明:------+----------------

b-ca-ba-c(b-c)(c-a)(a-b)

_(d-h)(c-a)—(h-c)2

(b-c)(c-a)(a-b)

由可知1々一/?>0,c-a<0,從而(。一份(。一々)<0,

又人一c>0,(b-c)(c-a)(a-b)<0f又-(b-c)?<0,

因此上式分子、分母均小于零，

b-ca-ba-cb-ca-ba-c

即時(shí)檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）證明命題：“若在"ABC中。、b、c分別為角A、B、C所對的邊長，則

cab?

-----<------+------”

1+C--1+〃---1+8

【答案】證明見解析

cc+(a+Z?-c)a+b

【分析】由作差法證明用<1+,(〃+/)=由=引+W,再由

ab/bch

------<----，-------<--證明----<---+----.

1+a+b1+。l+a+b14-/?1+c1+a1+/?

c+mc^d+ni)-d^c+m)m(c-d)

【詳解】i正明：取l+c=",a+O-c=機(jī),

dd+tnd(d+m)d(d+m)

〃?((?一1)cc+m

因?yàn)閐>c>0,m>0,所以<0,即un一<-----

d(d+tn)dd+m

c+(〃+Z?-c)a+ba

所以±<——H----------------

l+c+(〃+/?-c)l+a+h1+a+Z?\+a+h

aabbaab

又因?yàn)?--------<------,---------<------,故----+-------<+---，

\+a+h1+Q\+a+h1+b1+a+b1+a+b\+al+b

cab

所以。7<而+幣.

考點(diǎn)五、解不含參的一元二次不等式及分式不等式

〈七典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）求下列不等式的解集：

（1）-X2+8A-3>0；

（2）-^-<0

2x+l

【答案】⑴{x|4-ViI<x<4+g}：（2）6』.

【分析】（1）根據(jù)“三個(gè)二次''之間的關(guān)系來解不等式即可；

（2）可以分類討論或者轉(zhuǎn)化為整式不等式.

【詳解】（1）因?yàn)锳=82-4x（-l）x（-3）=52>0,

所以方程-Y+8x-3=O有兩個(gè)不相等的實(shí)根％=4-9，9=4+Jil

又二次函數(shù)y=-/+8x-3的圖象開口向下，

所以原不等式的解集為{x|4-jm<x<4+JB}.

X-1x-l<0[x-l>0

工0等價(jià)于2x+l>0,叫2x+l<0

（2）方法一:2x71②

解①得彳eq,解②價(jià)xe0.

所以原不等式的解集為（-；/

(x-l)(2x+l)<0,

方法二不等式百T400

2x+l。0,

所以由二次不等式知2一]所以-51＜工(1.

所以原不等式的解集為(-;,1.

即時(shí)檢測

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))解下列不等式:

⑴一31+6x42

(2)9X2-6X+1>0

(3)x2<6x-10

(4)—1<+2,x—142

⑶0

(4)[-3,-2)(0,1]

【分析】運(yùn)用因式分解和配方法逐一解下列不等式即可.

21

【詳解】(1)-3X2+6X<2,即3X2-6X+2N0OX2-2X+§20,配方可得*一產(chǎn)2§,解得

(3-6]「3+石)

xeHO,二一二一，+8

(2)9x2-6x+1>0-B|J(3x-1)2>0,解得；

(3)x2<6x-10,即公-6》+10<0,ffi]0>x2-6x+10=(x-3)2+1>1,從而不等式無解，即解集為0；

(4)一1<》2+21一1420/+2%>0且犬2+2》—340同時(shí)成立.

由V+2x>0解得xe(YO,-2)u(0,+oo),

由f+2x-340,B[J(x-l)(x+3)<0,解得xw[-3,1].

于是XG[—3,-2)U(0J

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))解關(guān)于x的不等式1^42.

3x-4

【答案】卜|x>g或工臼

【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可求解

2x-3-4x+54x-5

【詳解】<2o^^-2<0<^<0<x>>0

3x-43x-43x-43x-4

=（4x-5）（3x-4）>0

3元一4。0

45

解得或

所以不等式留42的解集為1|x>g或“q卜

考點(diǎn)六、解含參的一元二次不等式

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）解關(guān)于X的不等式公2—（a+l）x+l<0（-R）.

【答案】答案見解析

【分析】對不等式變形為（?-D（x-1）<0,然后對。進(jìn)行合理分類討論即可.

【詳解】原不等式變?yōu)椋?1）*-1）<0,

①當(dāng)。>0時(shí)，原不等式可化為。卜x-D<0,

所以當(dāng)a>1時(shí)，解得一<x<1；

a

當(dāng)a=l時(shí)，解集為0;

當(dāng)0<〃<1時(shí)，解得l<x/

a

②當(dāng)。=0時(shí)，原不等式等價(jià)于-x+1v0,即工>1.

③當(dāng)〃<0時(shí)，^<1,原不等式可化為卜一

解得X>1或

a

綜上，當(dāng)0<a<l時(shí)，不等式的解集為卜11<%<1},

當(dāng)4=1時(shí)，不等式的解集為0,

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{xlx>l},

當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為{川x<4或彳>1}.

即時(shí)檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式/-依+140.

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)判別式分類討論。>2或。<-2、。=±2和-2<。<2?.種情況，即可求出一元二次不等式的解

集.

【詳解】由題意知△=/一4,

①當(dāng)片一4>o,即々>2或aV—2U寸，

方程M1=0的兩根為x=。土40r,

2

'I|a7⑴-4-,a+yja~

所以解集為W---------4x4---------卜

②若儲(chǔ)―4=0,即&=±2時(shí),

當(dāng)a=2時(shí)，原不等式可化為丁-2犬+140,

即(x—1)240,所以x=l,

當(dāng)a=-2時(shí)，原不等式可化為f+2x+”0,

即（x+l）2w0,所以產(chǎn)一1；

③當(dāng)/-4<0，

即-2<a<2時(shí)，原不等式的解集為0；

綜上，當(dāng)。>2或”-2時(shí)，原不等式的解集為M竺咚三4x4至咚三

當(dāng)a=2時(shí)，原不等式的解集為｛1｝；

當(dāng)a=-2B寸，原不等式的解集為｛T｝；

當(dāng)-2<a<2時(shí)，原不等式的解集為0.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式以2+（a+2）x+l>0（aw0）.

【答案】見解析

【分析】一元二次不等式，討論開口方向即可.

【詳解】方程：O￥2+（67+2）X+l=0且。H0

/.△=(a+2)2-4。=〃2+4>0,

-a-2-V7+4-a-2+77+4

解得方程兩根：為

la~2a

當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為:

-a-2+\la2+4或工<一。-2-y/a2+4

vx|x>

2a2a

當(dāng)〃＜0時(shí)，原不等式的解集為:

-a-2+5+4-a-l-yja1+4

,劃<x<--------------

2a

綜上所述，當(dāng)。＞0時(shí)、原不等式的解集為:

一"2+\/a2+4或x<

<x\x>一。一

2a2cl

當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解集為:

_2+\/a2+4-a-2-yJa2+4

?x\<x<

2a-----------2a

考點(diǎn)七、一元二次不等式在對應(yīng)區(qū)間的恒成立和有解問題

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2》-1＞利卜2-1）.若不等式對于加e[-22恒成立，求實(shí)

數(shù)x的取值范圍

【答案】＜x\^^＜x＜

【分析】由不等式2X-1＞研Y-1）對于/ne[-2a恒成立，轉(zhuǎn)化為當(dāng)me[-2,2]時(shí),

7（2）＜0

/（加）=（/一1）加一（2》-1）＜0恒成立，則滿足，求解對應(yīng)不等式組即可得出答案.

【詳解】由題知,

當(dāng)me[-2,2]時(shí)，/(〃?)<()恒成立.

[⑵<°即2f—2.x-1<0

當(dāng)且僅當(dāng)|/(-2)<0'W

—lx~-2,x+3<0

解得上生＜*＜匕立且

222

_ix1—5/31+y/3r-j—14-yfl

或——<X<——且X>-----

222

22

所以X的取值范圍是

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知xw[-3,4].

(1)不等式a4/-2x+2恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)若不等式awY-2x+2有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)a<l；(2)a<17.

【分析】⑴令/*)=/-2%+2,求出析x)在[-3,4]上的最小值即可;

⑵令f(x)=x2-2x+2,求出/(x)在[-3,4]上的最大值即可.

【詳解】令/(X)=X2-2X+2=(X-1>+1,當(dāng)xel-3,4]時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在[1,4J上單調(diào)遞增,

/'(%.=削=1，/(X)M="-3)=17,

(1)因〃4/一2》+2在xe[-3,4]恒成立，于是得“Ml,

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是

(2)因不等式a4f—2x+2在xe[-3,4]有解，于是得“V17,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a417.

即時(shí)檢測

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))當(dāng)ae[2,3]時(shí)，不等式加-x+1-aWO恒成立，求x的取值范圍.

【答案】

r,(7X2)40

【分析】令/(“)=(》2-1)。+(-X+1),a《2,3],依題意;即可得到不等式組，解得即可;

[J—u

【詳解】解：由題意不等式/-尤+l-a?0對。W2,3]恒成立,

可設(shè)/(a)=(x2-l)a+(-x+l),?e[2,3],

則/⑷是關(guān)于。的一次函數(shù)，要使題意成立只需博社即，m解―‘。，即

(2%+1)(工_1)<0得_1]4》41,解3丁_》—240，即(3x+2"x_l)W0得一o所以原不等式的解集

為一《』，所以無的取值范圍是一；/

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=/+2以一a+2.

(1)若對于任意xeRJ(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若對于任意xe[-1,1],f(x)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)若對于任意。€[-1,1],/(幻>0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【答案】⑴[-2』；⑵[一3』；⑶{小?1}.

【分析】(1)由題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得A,0,由此求得求得。的范圍；(2)由于對于任意1],

/(x)..O恒成立，故/(x),,“.O.利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得。的范圍；(3)問題等價(jià)于

^(a)=(2x-l)a+x2+2>0,再由g(-l)、g⑴都大于零，求得》的范圍.

【詳解】(D若對于任意xeRJ(x)=—+2奴一。+2之0恒成立，

則有△=敏-4(-。+2)40,解得-24aWl；

(2)由于對于任意xJ-U],20恒成立，故/■(x)020.

又函數(shù)“X)的圖象的對稱軸方程為x=-a,

當(dāng)—a<—1時(shí)，Zrt?(x)=/(-l)=3-3a>0,求得。無解；

當(dāng)一。>1時(shí)，加(x)=〃l)=3+aNO,求得一34a<-1；

當(dāng)—。目―1,1]時(shí)，(11a)=/(—“)=—/—a+2,求得—iWaWL

綜上可得，。的范圍為卜3,小

(3)若對于任意ae[—1,1],f+2ax-°+2>0恒成立，等價(jià)于g(a)=(2x-++2>0,

[g(―1)=丁—2x+3>0/?)

二，2cI八，求得xw—1，即X的范圍為XXH—1.

[g(l)=/+2x+l>0-)

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，對于二次不等式恒成立，要結(jié)合二次函數(shù)的

圖象和性質(zhì)，對于在某區(qū)間上恒成立的二次不等式，要注意討論函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，對于第(3)

小題，要注意分清自變量是。,從而轉(zhuǎn)化為線型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)大于零的問題.

考點(diǎn)八、多選題綜合

寸,典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次不等式/+5X+,〃<0的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，則

實(shí)數(shù)，”的值可以是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】AB

【分析】令函數(shù)“幻=/+5》+小，結(jié)合二次函數(shù)/⑶的圖象性質(zhì)，列出不等式組，求解判斷作答.

【詳解】函數(shù)，(x)=/+5x+m的圖象開口向上，其對稱軸為x=-g,

因?yàn)?+5》+〃?<0的解集”中有且僅有2個(gè)整數(shù)，因止匕-2eM,-3eM,其它的整數(shù)都不屬于集合M,

[f（—2）<0（m一6<0

由對稱性得：[二、八，即《彳、八，解得4工機(jī)<6,顯然選項(xiàng)AB滿足，CD不滿足.

故選：AB

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)?！?gt;0>c>d,則下列不等式正確的是（）

A.ab>cdB.a-d>b-cC.ad2>be2D.

bead

【答案】BC

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對于A,D,。=3,b=i,c--Ld=-7,滿足a>b>0>od,此時(shí)必<cd,故A,D

bead

錯(cuò)誤.（判斷?個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤時(shí)，舉反例即可）

對于B,a>b,-d>-c>得a-d>b-c,故B正確.

對于C,由0>c>d得d2>02>o，又a>。>0,所以42>bc、2,故C正確.

故選：BC

即時(shí)檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式加+foc+c>0的解集為（—,-2）53,”），則（）

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式cd-〃x+a<0的解集為（-8,-；）5g,+℃）

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等式以2+區(qū)+00的解集判斷111a>0,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、一元二次不等式的解法判斷

BCD選項(xiàng)的正確性.

【詳解】關(guān)于x的不等式加+fee+c>0的解集為（一雙一2）U（3,+8）,,a>0,A選項(xiàng)正確；

-2+3=--

且一2和3是關(guān)于x的方程加+bx+c=0的兩根，由韋達(dá)定理得|“,

-2x3=-

a

則。=-a,c=-6a,則々+/?+c=-6a<0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

不等式fer+c>0即為一以一&/>0,解得x<~6,B選項(xiàng)正確；

不等式cf—bx+a<0即為一6ax?+ax+a<0,即6f—工一1>0,解得x<或x>：,D選項(xiàng)正確.

32

故選：ABD.

2.（2023?山東?校聯(lián)考二模）已知實(shí)數(shù)。也。滿足心b>c,且〃+"+c=0,則下列說法正確的是（）

A.——>—--B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a-cb-c

【答案】BC

【分析】根據(jù)已知等式可確定。>。,。<。，結(jié)合不等式性質(zhì)和作差法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對于A,a>b>c,:.a-c>h-c>0,--——,A錯(cuò)誤；

a-cb-c

對于B,a>b>cta+b+c=0,:.a>0,c<0,:.b+c=-a<0,a-b>0t

:.a-b>b+c,BPa-c>2b?B正確；

對于C,a-b>Q,a+b=-c>0:/一/=（。+力）（。_力）>0,即a?〉/,C正確；

對于D,ab+bc=b（a+c）=-b2<0,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若（or-4乂/+3川對任意xe（一,（”恒成立，其中“，人是整數(shù)，則的

可能取值為（）

A.—7B.—5C.—6D.-17

【答案】BCD

【分析】對力分類討論，當(dāng)此0時(shí)，由但一4乂/+匕”?？傻靡浴?20,由一次函數(shù)的圖象知不存在；當(dāng)6<（）

時(shí)，由（奴-4乂丁+沖20,利用數(shù)形結(jié)合的思想可得出。力的整數(shù)解.

【詳解】當(dāng)620時(shí)，由3-4）（/+沖之0可得以—4?0對任意xe（-o）⑼恒成立，

即對任意X?Y,0]恒成立，此時(shí)。不存在；

當(dāng)1<0時(shí),由⑷-4）（/+1）20對任意x€（Y0刈恒成立,

可設(shè)/（力="一4,8（力=心+匕，作出f（x）,g（x）的圖象如下,

4<°（a~—1~4—2

4l，再由叫人是整數(shù)可得?[二:「或C或：一一（

-=7-b[b=-16[h=-\[h=-4

a

所以。+〃的可1能取值為-17或-5或-6

故選：BCD

好題沖關(guān)

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.(2023?遼寧丹東?統(tǒng)考二模)不等式二4>1的解集為()

x+2

A.{小<1,工片-2}B.{Rx>l}

C.{A|-2<X<1}D.{x[x<-2或x>1},

【答案】C

【分析】根據(jù)分式不等式即可求解.

3Y-1

【詳解】不等式3>1等價(jià)于土4<0,等價(jià)于(x—l)(x+2)<。解集為{x|—2<x<l}.

x+2x+2

故選：C

2.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若。，b,ceR,且則下列不等式一定成立的是()

c2

A.a+ob-cB.(a-fe)c2>0C.