2023年遼寧省縣級重點高中高考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

2023年遼寧省縣級重點高中聯(lián)合體高考數(shù)學(xué)二模試卷

1.已知集合A={.r\.r4-1>3},B={r[x2<5T},則力CB=()

A.(0,4-00)B.(5.4-fx)C.((1.2)D.(2.5)

2.已知:為純虛數(shù),則〃=()

/—42

A.1B.2C.3D.4

57r

3.設(shè)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若4+=。=3,c=2

6f

則sin4=()

2

C.-D.

3

函數(shù)/"）="-Jsin.r的部分圖象大致為（

4.)

y

A.

（,r-3）2+y2=戶外切，直線/：x-y-5=。與圓C

相交于A8兩點,則交于（)

A.4B.2C.2VzsD.25/2

體積為獨,則該圓錐的側(cè)面積為（）

6.已知某圓錐的圖為，

3

37r2

A.—<7HB..incurC.(ilTCIII2D.\27rcm2

2

7.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每個人都等可能地把球傳給另一人,由甲開始傳球，作為

第一次傳球，經(jīng)過3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）

D,

A,iB-AC.士

8.己知雙曲線E:=l（a>0.b>0）的左、右焦點分別為Fi，6,P是雙曲線E上

S/\pFo5

一點,m〃尸2的平分線與X軸交于點Q,耳埸t=丞則雙曲線E的離心率

為（）

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A.^2B.2C."D.g

9.給出下列說法，其中正確的是（）

[741

A.若COS0=Q,貝！jcos20=—萬B.若tan2〃=Q,則ian0=5

c.若工》：，則上+?的最小值為2D.若0<rw],則上+^的最小值為2

10.十項全能是田徑運動中全能項目的一種，是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜

合性男子比賽項目，比賽成績是按照國際田徑聯(lián)合會制定的專門田徑運動會全能評分表將各

個單項成績所得的評分加起來計算的，總分多者為優(yōu)勝者.如圖，這是某次十項全能比賽中甲、

乙兩名運動員的各個單項得分的雷達圖，則下列說法正確的是（）

中的得分

乙的得分

A.在400米跑項目中，甲的得分比乙的得分低

B,在跳高和標(biāo)槍項目中，甲、乙水平相當(dāng)

C.甲的各項得分比乙的各項得分更均衡

D,甲的各項得分的極差比乙的各項得分的極差大

11.古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯指出：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”“對稱美”是數(shù)學(xué)美的重

要組成部分，在數(shù)學(xué)史上，人類對數(shù)學(xué)的對稱問題一直在思考和探索，圖形中對稱性的本質(zhì)

就是點的對稱、線的對稱.如正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱性也是函數(shù)一

個非常重要的性質(zhì).如果一個函數(shù)的圖象經(jīng)過某個正方形的中心并且能夠?qū)⑺闹荛L和面積

同時平分，那么稱這個函數(shù)為這個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”.下列關(guān)于“優(yōu)美函數(shù)”的說法中正

確的有（）

A.函數(shù)/（T）=正右二（一】W1）可以是某個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”

B.函數(shù)/"）二4cos（2.r-9+3只能是邊長不超過:的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”

6-

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C.函數(shù)/")=1"(，4/+1-20-1可以是無數(shù)個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”

D.若函數(shù),/=/")是"優(yōu)美函數(shù)"，則”=/(.，?)的圖象一定是中心對稱圖形

12.己知正數(shù)x,y滿足/=]<1,則下列結(jié)論正確的是()

A.0<J<y<1B.()<u<]<1C.|y-x|—D.|y2—x2|—

13.己知向量7i*=(，"+2.1),了=(5—2m.m),且7T〃b,則.

14.設(shè)E,F分別在正方體.1塊3—AMG2的棱33，匕且-：。外，

BXF=,則直線DE與BF所成角的余弦值為.

15.己知拋物線C：M=2/w(p>0)的焦點為F,過F且被C截得的弦長為4的直線有且

僅有兩條，寫出一個滿足條件的拋物線C的方程：,此時該弦的中點到x軸的距離

為.

16.對20不斷進行“乘以2”或“減去3”的運算，每進行一次記為一次運算，若運算n

次得到的結(jié)果為23,則n的最小值為.

17.已知等差數(shù)列｛詢｝滿足“2=4,-7,公比不為一1的等比數(shù)列｛，/滿足

%=4,&+br,=8(b)+岳).

(1)求｛"“｝與他”｝通項公式；

3

(2)設(shè)G,=-----+b?,求｛g｝的前"項和5,,.

a?an+\

18.己知函數(shù)/(1)=+⑼(4>0,3>0)的圖象是由U=2siu(+|)的圖象向

7T

右平移6個單位長度得到的.

(1)若/")的最小正周期為萬，求/")圖象的對稱軸中，與y軸距離最近的對稱軸的方程;

(2)若/")圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離大于手，3€人”且0；>2,求/")在

7卷]上的值域.

19.在四棱錐中，四邊形ABCD為等腰梯形，47J||CD,AI)DC1,

AB=2,ACLPC.

(1)證明：平面平面POC.

(2)若PBrBC.PB=2g,求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

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p

20.2023年，全國政協(xié)十四屆一次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月11

日下午閉幕，會期7天半；十四屆全國人大一次會議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕,

會期8天半.為調(diào)查學(xué)生對兩會相關(guān)知識的了解情況，某高中學(xué)校開展了兩會知識問答活動，

現(xiàn)從全校參與該活動的學(xué)生中隨機抽取320名學(xué)生，他們的得分的頻率分布折線圖如下.

(1)若此次知識問答的得分X~N(“,“》，用樣本來估計總體，設(shè)“，。分別為被抽取的320

名學(xué)生得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求口50.5<X(94)的值；

(2)學(xué)校對這些被抽取的320名學(xué)生進行獎勵，獎勵方案如下：用頻率估計概率，得分小于

或等于55的學(xué)生獲得1次抽獎機會，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎機會.假定每次抽獎

抽到價值10元的學(xué)習(xí)用品的概率為:，抽到價值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為:從這320名

學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎活動中獲得學(xué)習(xí)用品的價值總額為(元，求￡的分布列和數(shù)

學(xué)期望(用分?jǐn)?shù)表示)，并估算此次抽獎要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價值總額.

參考數(shù)據(jù)：P(fi-a<X0.6827,P(p-2。<XW〃+2a)a0.9515,

P(p-3a<X+0.9973,y/210%14.5,0.375=

o

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21.已知橢圓C：，+(=l(a>b>())的離心率為\"，且橢圓C經(jīng)過點(，5.h，過右

焦點F的直線/與橢圓C交于A,8兩點.

(I)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)0為坐標(biāo)原點，求△0.1〃面積的最大值以及此時直線/的方程.

22.已知函數(shù)/(I)=/+cosr-sinz,/'(工)為/(1)的導(dǎo)函數(shù).

(1)證明：當(dāng)工》0時，/'")》().

⑵判斷函數(shù)g(0=e'"T[〃z)+〃2])-e")-1的零點個數(shù).

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答案和解析

L【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，集合4="|，+1>3}=(2.+oc),B={.r|.r2<5T}=(0,5),

則ACl3=(2.5).

故選：D.

根據(jù)題意，求出集合入、B,由交集的定義分析可得答案.

本題考查集合的交集運算，注意集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

a+i(a+i)(2+4i)2a-4+(4<i+2)i

【解析】解：因為尸工=[扁上工=----京-----為純虛數(shù)，

所以如一4=0,且4a+2和,

所以a=2.

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)運算化簡:‘再由純虛數(shù)的定義列方程求”?

Z—41

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因為4+3==，所以C=[

60

ac33

由京萬=忑寺,得而7=4,所以sinA=1

故選：C.

直接利用正弦定理求解即可.

本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)〃])=(?/?-1)sin.r,其/")的定義域為{j/齊)},

X

因為〃-工)=(-.r+；)疝1(一])=(丁一；)siw=〃工)，所以/(1)為偶函數(shù)，排除B,/>.

當(dāng)工€(0,1)時，x--<0,sinx>0,則有/(『)<(),排除C

X

故選：A

根據(jù)題意，用排除法分析：由函數(shù)的奇偶性排除8。，再分析區(qū)間(()/)上，/(口的符號，排除

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C,即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性判斷和定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：圓0：/+/=1的圓心。的坐標(biāo)為(0.0),半徑為1,

圓C：3)?+/=戶的圓心C的坐標(biāo)為(3,0),半徑為M,

因為圓。與圓C外切，所以QC|=l+|r|,所以M=4,

設(shè)圓心C(3.())到直線/的距離為d,則"=,

所以|.43|=2介-,/2=

2V/2.

故選：D.

由兩圓外切列方程求r，再求圓心C到直線/的距離，結(jié)合弦長公式求弦長.

本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為「，/,

由/=1什"2四=空空，得『=］，

33

所以/=y/l2+(2>/2)2=3,

所以該圓錐的側(cè)面積S=nrl=37r.

故選：B.

先設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為r,/,再根據(jù)題意求得r的值，結(jié)合勾股定理求得/的值,

進而即可求得圓錐的側(cè)面積.

本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，以及圓錐的側(cè)面積和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)甲、乙、丙三人用a,b,c,

由題意可知：傳球的方式有以下形式，，(〃.〃」,［))，

,(nd.a),(a,c,6,c),

所求概率為］=

o4

故選：c.

根據(jù)古典概型運算公式進行求解即可.

本題主要考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

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8.【答案】B

【解析】解：作出圖形，如圖所示:

.S&PFQ]|P同TEQI_5IF.QI5

S"FQ^|PF2)?IFzQI'醫(yī)QI3'

|PFi|_sinZPQFi\PF2\_sinZPQF,

在△PQFi,△「(?/■)中，由正弦定理得:，

L^QI=sinZQPFl=sinZQP^

?.JQ平分/RPB,

：.ZQPFI=NQPF2,即sin/QPFi=sin/QPB,且

sinZ.PQFi=sin(7r-ZPQF>)=smAPQF,,

sin"QF\=sinNPQF?\PF}\=\PF2\

故siuNQPFi-siu/QPB'人」|FQ一因Q「

.|PFi|JEQ|=5

&臚

又?；IPF2I=—，則\PFi\=\PF'2\+2a=-+2a,

aa

那

—h2na5

,整理得/=302,

cr.3

7

故d—a'=3<J,即〃=4。2,

c=2a,即c=I=2.

故選：D.

\F\Q5\PFi\|F,Q|5

由題意得得品=Q,利用正弦定理結(jié)合角平分線得導(dǎo)=母=Q,再根據(jù)雙曲線的定義,

f>Q3PF2\\F>Q3

結(jié)合題意，即可得出答案.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

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7

【解析】解：COS20=2COS20-1=-g，故A正確；

因為1叫。=',所以tan。=：或tan。=-2,故8錯誤：

1一tair032

令/")=r+1，易知/")在(0,1)上單調(diào)遞減，在［L+X)上單調(diào)遞增，

X

115

當(dāng)丁》：,時，/(1)的最小值為2,當(dāng)0<.「4,*寸，/(/)的最小值為；.，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

A、8利用二倍角余弦、正切公式求值判斷；C、。根據(jù)/(r)=r+l的區(qū)間單調(diào)性求最小值即可

X

判斷.

本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，以及基本不等式的公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：對于A選項，由雷達圖可知，400米跑項目中，甲的得分比乙的得分高，A錯；

對于8選項，由圖可知，在跳高和標(biāo)槍項目中，甲、乙水平相當(dāng)，8對；

對于C選項，甲各項得分的波動較大，乙的各項得分均在(儀吐內(nèi)刊內(nèi)，波動較小，C錯；

對于D選項，甲的各項得分的極差約為I。。。-470=530,乙的各項得分的極差小于200,D

對.

故選：DD.

利用雷達圖、結(jié)合極差逐項判斷，可得出合適的選項.

本題主要考查了統(tǒng)計圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AC

【解析】解：對于選項A,/(1)=齊±二：(-11),

所以/(1)+/(一1)=2,+2-；2,=°，

所以/")為定義在［-L卜的奇函數(shù)，

所以函數(shù)/")可以是中心為原點且邊長為2的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故選項A正確；

對于選項B,令21Y=J+Z),得J：￡+

所以函數(shù)=1<'網(wǎng)21—)+3圖象的對稱中心為4+萼,3)也GZ),

所以以4+器,3)(AeZ)為中心的正方形都能被函數(shù)〃工)=4cos(2r-。+3的圖象平分，

即/")=4Gos(21-力+3可以同時是無數(shù)個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故選項8錯誤；

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對于選項C,令g(.r)=ln(\/4./-+1-2/),

易知g(.r)+ff(-J,)=ln(y/4x2+1-2.r)+ln(^J-24-1+2.r)=0,所以g")為奇函數(shù).

又因為函數(shù)/(，)的圖象是由函數(shù)9")的圖象向下平移一個單位長度得到的，

所以函數(shù)/")圖象的對稱中心為

故以(。.一1)為中心的正方形都能被函數(shù)/(1)=M(/5：777-2”-1的圖象平分，故選項c正

確；

對于選項。，如圖所示(可找出無數(shù)反例)，

正方形中函數(shù)圖象過正方形中心，并平分其周長與面積，但函數(shù)圖象并不中心對稱，可知選項D

錯誤.

故選：AC.

由正方形的“優(yōu)美函數(shù)”這一定義結(jié)合函數(shù)的對稱性逐一分析即可.

本題主要考查了曲線與方程，考查了函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：因為，>(),y>0,

所以()<y=/<1,0<J*<1,

所以“一工=d—1=￡(1-.r'')>0,

所以()<T<V<1,A正確，B錯誤；

2?

令g")=\u-x\=y-x=-X,則g'(i)=-J-'-1,

J

8

當(dāng)0<r<去時，g'3>0,g(：r)單調(diào)遞增,

8

當(dāng)工>在時,g'(工)<o,單調(diào)遞減，

2(

所以=9塌)=(，c正確；

令〃(.r)=[if-j-21-y2-x2=-i2,則/d(r)=—21r,

可知當(dāng)0</<竽時，“J)單調(diào)遞增，

當(dāng)上>苧時，單調(diào)遞減，

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所以=M竽)=!,。正確.

故選：ACD.

由條件可得;/_/，利用比較法判斷x,y的大小，判斷A,8,化簡！/-，，利用導(dǎo)數(shù)求

函數(shù)的最值，由此判斷C,D.

本題主要考查了基函數(shù)的性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

13.【答案】1或-5

【解析】解：因為萬〃石，所以m(m+2)-(5-2m)=(),

整理得m2+4m-5=0,

解得，"=1或-5.

故答案為：1或-5.

利用平面向量平行的充要條件計算即可.

本題主要考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】」

【解析】解：在棱C。，35上分別取點N,M,使得CN=〈CO,CXM=\ctD},連接CM,

NE,

：E,尸分別在正方體48。。一4用口。|的棱「|3,481上，且。E=；RG,

J

%F=小，

二.BF//CM//NE,ZDEN為直線DE與BF所成的角，

設(shè)43-3,在中，由題意得ON=2,

.01八14

設(shè)ZDEN=9,貝=從而(.(2〃二1-2xm=$.

故答案為：二.

o

在棱C。，G"上分別取點MM,使得=GA/=；CMi,連接CM,NE,推導(dǎo)出

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BF//CM//NE,從而NOEN為直線DE與8F所成的角，由此能求出結(jié)果.

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成角、立體幾何初步的知識，考查直觀想象的核心素養(yǎng)、

運算求解能力，是中檔題.

15.【答案】工2=2靖

【解析】解：已知拋物線C：M=2py(p>0)的焦點為F,

則F(O,9,

設(shè)過F的直線方程為V=卜工+2

(,.P

聯(lián)立｛g=Q+X2,

Ir2=2py

消X可得』-2pky-p1=0,

則11+工2=2/，

則1/1+y-2=*(為+工2)+P=2/M+p,

則過F且被C截得的弦長為yl+yi+p=2冰2+2P22P,

當(dāng)且僅當(dāng)k=()時取等號，

即過F且被C截得的弦長的取值范圍為x).

又?.?過F且被C截得的弦長為4的直線有且僅有兩條，

.,.0<2p<4,

即0<p<2,

取〃1,

則拋物線C的方程為2?/,

413

此時弦A8的中點到x軸的距離為；,-,)=：).

故答案為：2沙：--

.,P

設(shè)過F的直線方程為"=+'聯(lián)立<.2,結(jié)合拋物線的定義可得：過F且被C截

=2m

得的弦長的取值范圍為⑵，.+x).然后結(jié)合題意求解即可.

本題考查拋物線的性質(zhì)及拋物線的定義，重點考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】8

【解析】解：因為2()<23,所以至少要進行一次“乘以2”的運算.

①若一共只有一次“乘以2”的運算.

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設(shè)做了k次“減去3”的運算之后，再“乘以2”，再做了t次“減去3”的運算后，

得數(shù)為(20-3k)x2-3t=23,即6k+3f=17,其中為twN,顯然無非負(fù)整數(shù)解.

②若一共只有2次“乘以2”的運算.

設(shè)做了k次“減去3”的運算之后“乘以2”，再做了t次“減去3”的運算之后“乘以2”，再

做了m次“減去3”的運算后，得數(shù)是[(2()-3k)x2-3f]x2-3m=23,

即+2f+in=19,k,t,inG.V,

當(dāng)卜=4時，或=:｛；

I=117〃=3i

當(dāng)k=3時，f+=

當(dāng)k42時，t+m>y.

所以2+，+”,的最小值為6,即至少運算8次，過程為

[(20-3-3-3-3)x2-3]x2-3=23.

③若一共有3次或3次以上“乘以2”的運算，總運算次數(shù)顯然不止8次.

故答案為：8.

運用邏輯推理的思想，根據(jù)題意分類討論即可.

本題主要考查歸納推理，考查運算求解能力，屬于中檔題

17.【答案】解：(1)設(shè)｛“J的公差為d,因為他=4,2?,-?-.=7,

所以211+2〃)-(4+3/)=7,解得"=3,從而仆=1,

所以%=3"-2(n€N').

設(shè)｛"｝的公比為q,因為8+公=8(仇+初，所以'答=g：，=8,解得q=2,

因為幾=4，所以仇=(=1，

所以"=2"MWN)

由上可知：<??=所以％=元-一彳=+，

(2)(-2)(3〃4-1)3n—23〃+12"T

所以S〃=(1一:+：-；+???+1-q：[)+(1+2+???+2"I),

4473n-23n+1

i1—2r,1

所以(一)丁丁=

=1=3n+71+1—22”—3—n+-(1nWN)

【解析】(H由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義計算基本量即可求通項公式；

(2)根據(jù)等比數(shù)列的求和公式及裂項相消求和即可.

本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，分組求和法與裂項求和法的應(yīng)用，考查運算求解能力,

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屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)函數(shù)/")=.，1疝1(31+3)(4>0,3>0)的圖象，

、./開、7r

是由//2sui(cr的圖象向右平移6個單位長度得到的，

...l、uyr+⑼=2sm(^.r---F-),.?.4=2,

()6

c,37T7T

且9=2加：一丫+不,keZ.

若/(/)的最小正周期為+="，；.3=2,3=2k7r-：,keZ,，W=，，

/(r)=2sin(2x-J),

b

7T,7TA*7T7T

令2/_.=上開+5，求得7=丁+5，

1)ZZ(5

7T

取卜=-1,可得與y軸距離最近的對稱軸方程為/----

⑵若/⑺圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離1X—>=?,則3<1,

23,2

36N*且3>2,：.u)-3.

…U/7T7T7T一、一.小燈、

結(jié)合，二2卜汀一彳-+不，keZ,可得。=一彳，=2s】ii(3.r-司)，

uoJM

,.7T27T.c冗r57F7T,

當(dāng)工修一0,拳,3X--

sini€[一1,中],/(工)€[-2,制，

故/(.「)在上的值域為：-2,\/3].

【解析】(11根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系，結(jié)合周期求出1和，，可得函數(shù)的解析式，從而求出

與y軸距離最近的對稱軸方程.

(2)根據(jù)題意求出求出3和可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強，運算量大，是中檔題.

第14頁，共19頁

19.【答案】解：（1）證明：過點C作CEL”/?于點E,如圖所示:

?.?四邊形入8CD為等腰梯形，4川|C7),AD=DC=\,

BE=g,

又BC=AD=1,￡CEB=90°,則NABC=60°,

在中，由余弦定理得+—2HSCB?cosN60°=1+4-2=3,

..AC2+CB2=AB2,即A4BC是直角三角形,

AC1BC,

y.AC!PC,BCCPC=C,BCu平面P8C,PCU平面PBC,

ACJ■平面PBC,

又ACC平面ABCD,則平面AHC,Dl平面PBC；

(2)由(1)得。UI平面PBC,PBA.BC,則建立以C為原點的空間直角坐標(biāo)系C-r爐,如圖所

AD=DC=\,48=2,則4(俏0,0),8(0,1,0),P(0.1.25/3),D(^,-1,0),

.?.血=（苧，一;,0）,喬=（0,1,2e），列=（點,一1,—26），

設(shè)平面PCD的一個法向量為百=(Jr.t/.z),

|Cdri=—x--y=0「1

則\2，取/=I,則〃—v3,二二一g,

I聲?H2存=0

第15頁，共19頁

二平面PCD的一個法向量為百=（1.,

設(shè)直線PA與平面PCD的夾角為。，

J.sina=|cos<，

故直線期與平面PC。所成角的正弦值為密;

【解析】（1）利用線面垂直和面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論：

⑵由（1）得ACL平面P8C,PBlBC,則建立以C為原點的空間直角坐標(biāo)系。-工步,利用向

量法，即可得出答案.

本題考查直線與平面垂直和直線與平面的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能

力和運算能力，屬于中檔題.

20,【答案】解：（1）由折線圖可知:

〃=35x0.025+45x0.15+55x0.24-65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05=65,

a2=(35-65)2x0.025+(45-65)2x0.15+(55-65)2x0.2+0+(75-65)2x0.225

+(85-65)2x0.1+(95-65)2x0.05=210,

“y14.5,X~N(65.14硝，

P(50.5<XW94)=P(ji—o<X4〃+2。)=^5+_Q

(2)由題意可知￡10,20,30,40,

35

又P(XW55)=a，P(X>55)=>

oo

口sio)=八3=2,

■78432

…3153357

=20)=-x--|--x-x-=--,

、’8.18i128'

P(S=30)=：x：X；x2=,

O440*1

5115

“7844128

「X的分布列為:

10203040

957155

r

32心64128

第16頁，共19頁

=10x—+20x+30x—+40x-^―=,

⑴321286412816

325

故此次抽獎要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價值總額約為32()X三=650()元.

10

【解析】(1)先根據(jù)頻率分布折線圖求平均值及方差，再根據(jù)正態(tài)分布公式計算概率即可；

(2)先分析獲獎金額的情況，再列出相關(guān)分布列計算即可.

本題考查頻率分布折線圖，平均數(shù)與方差的概念，離散型隨機變量的分布列與期望的求解，屬中

檔題.

21.【答案】解：⑴由e2=2=1—與，得(？=3凡

3a1

所以橢圓C的方程為:京+，=1，

31

把點的坐標(biāo)代入上式，得加+廬=1，可得產(chǎn)=2,

22

所以"2=6,，=2,故橢圓C的方程為3與=L

(2)由(1)知焦點F的坐標(biāo)為20),若直線/的斜率為0,

則。，A,8三點不能構(gòu)成三角形，

所以直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為r"也“2,

X=my+2

'!/■,，消去X,得(〃廣+3)/+Amy-2=0,

—4--=1

{62

方程(7”2+3)?/+4,ny-2=0的判別式4=16"，+8(〃/+3)=24(nr4-1)>0,

設(shè)4(m,%)，/AA--</'),則!/1+<)2=——普q，y\y-i=一一2-r5，

in-+3in-+3

；版-()2={(一『+

S^AOB=|OF|?12/1-y-2\=M=\/1/1+1/2-iyiy-2,；34x:

2x/6\/m2+1

=-7^+3~~?

c_2倔2\/6

令\jin2+1=21),則以53=環(huán)”端3

當(dāng)且僅當(dāng)f-g時，等號成立，即△。八。面積的最大值為歷.

令\jin-+1=v￡，解得，”=±I,

所以此時直線/的方程為」-i/-20或l+"-20.

【解析】(I)根據(jù)給定條件列方程，求出a,b即可作答.

(2)先判斷直線/的斜率不為0,設(shè)出直線/的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達定理、三角